2025高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必刷題：直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

第49講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

知識梳理

知識點(diǎn)1:直線與平面垂直的定義

如果一條直線和這個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直,那稱這條直線和這個平面相互垂直.

知識點(diǎn)2：判定定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語

圖形語言符號語言

言

一條直

1

線與一個平

面內(nèi)的兩條a,bua

判斷定aVI

相交直線都7>n/_La

理b-Ll

垂直，則該acb=P

直線與此平

面垂直

兩個平

面垂直，則<

在一個平面aX.(3

面_L面acB=a

內(nèi)垂直于交>=>Z7±cr

bu/3

=＞線_1面

線的直線與b-La

另一個平面

垂直

一條直a

線與兩平行/z

平面中的一

平行與zzalIB]

個平面垂卜=>G_L/

垂直的關(guān)系aVa\

直，則該直

線與另一個

平面也垂直

兩平行ab

直線中有一

平行與條與平面垂allb}

>=>Z?ldz

垂直的關(guān)系直，則另一ala]

條直線與該

平面也垂直

知識點(diǎn)3：性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

垂直于同?b

性質(zhì)定alia

一平面的兩條7au/31=>〃///?

理acB=b

直線平行

文字語

圖形語言符號語言

言

垂直于

a

垂直與同一直線的ala]

z￡Z1IB

平行的關(guān)系兩個平面平al/7J

行zd二

如果一

條直線垂直

于一個平

線垂直

面，則該直J/_L%aua=>/_La

于面的性質(zhì)

線與平面內(nèi)三

所有直線都

垂直

知識點(diǎn)4：平面與平面垂直的定義

如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直,又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩

條交線互相垂直.（如圖所示，若ac0=CD,CDLy,且cy=AB,4c7=BE,BE,

則c_L尸）

一般地,兩個平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.

知識點(diǎn)5：判定定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

判定定理一個平面一bla]

}na_L/?

過另一個平面hbu隊(duì)

的垂線，則這兩

個平面垂直

知識點(diǎn)6：性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

性質(zhì)定理兩個平面垂直，aIB

ac0=a

則一個平面內(nèi)垂直>=>6_La

bu(3

于交線的直線與另b-La

一個平面垂直

【解題方法總結(jié)】

判定定理,判定定理）

線，線,性質(zhì)定理線，面,性質(zhì)定理面,面

（1）證明線線垂直的方法

①等腰三角形底邊上的中線是高；

②勾股定理逆定理；

③菱形對角線互相垂直；

④直徑所對的圓周角是直角；

⑤向量的數(shù)量積為零；

⑥線面垂直的性質(zhì)（aJ_%bu；

⑦平行線垂直直線的傳遞性(aljaUbnblc).

(2)證明線面垂直的方法

①線面垂直的定義；

②線面垂直的判定(a_Lb,aJ_Gcua,bua,Z?cc=P=>a_La)；

③面面垂直的性質(zhì)Qa，(3,ac/3=b,a，b,aua=a，/3

平行線垂直平面的傳遞性(aLa,blla=>bLa)；

⑤面面垂直的性質(zhì)(a1y,/3Ly,ac0=l=l1y).

(3)證明面面垂直的方法

①面面垂直的定義；

②面面垂直的判定定理(a_L尸,autz=a_L4).

空間中的線面平行、垂直的位置關(guān)系結(jié)構(gòu)圖如圖所示，由圖可知，線面垂直在所有關(guān)系

中處于核心位置.

必考題型全歸納

題型一：垂直性質(zhì)的簡單判定

例1.(2024?甘肅蘭州??？寄M預(yù)測)設(shè)私”是兩條不同的直線，氏尸是兩個不同的平

面，則下列說法正確的是()

A.若根則mla

B.若,則加la

C.若相則加la

D.若相_L〃_La,則mla

【答案】D

【解析】當(dāng)機(jī)_L〃，〃//a時，可能有掰la,但也有可能m〃a或"?ua,故A選項(xiàng)錯誤；

當(dāng)夕_La時，可能有加la,但也有可能加//a或帆u”,故選項(xiàng)B錯誤;

在如圖所示的正方體A38-A4GA中，

取，〃為4G，”為CG，4為平面ABCD,。為平面ADQA,這時滿足加上"，nl/3,

B，a,但mla不成立，故選項(xiàng)C錯誤；

當(dāng)機(jī)_1_夕，尸，〃_La時，必有a〃夕，從而加la,故選項(xiàng)D正確；

故選：D.

例2.（2024?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知/,加，〃表示不同的直線，*ft,7表示不同

的平面，則下列四個命題正確的是（）

A.若〃/a,且加//a,貝!J/_LMB.若a_L〃，掰//a,〃_L尸，則加//“

C.若加〃/,且加la,則/_L（zD.若加1九，mla,〃〃￡,則

【答案】C

【解析】對于選項(xiàng)A：若〃/a,且mlla,則/,機(jī)可能平行、相交或異面，并不一定垂

直，故A錯誤；

對于選項(xiàng)B：若a_LQ，掰//a,尸，則比,〃可能平行、相交或異面，并不一定平

行，故B錯誤；

對于選項(xiàng)C：若加〃/,且加la,根據(jù)線面垂直可得：IVa,故C正確；

對于選項(xiàng)D：若機(jī)1九，mla,但不能得到“l(fā)a,

所以雖然“〃?，不能得到a,尸，故D錯誤；

故選：C.

例3.（2024?陜西咸陽?統(tǒng)考二模）已知〃z是兩條不同的直線，a,戶是兩個不同的

平面，有以下四個命題：

①若m//n,“ua,則〃z〃a,②若mca,mV/3,則a_L6，

③若〃zla,m_L夕，貝1Ja〃），④若a_L〃，〃zua,nua,則加J_"

其中正確的命題是（）

A.②③B.②④C.①③D.①②

【答案】A

【解析】對于①，當(dāng)神〃"，"<=a時，〃2〃?；蚶?lt;=*所以①錯誤，

對于②，當(dāng)，〃ua,機(jī)_L￡時，由面面垂直的判定定理可得（Z_L夕，所以②正確,

對于③，當(dāng)mla，相時，有?！ㄊ?，所以③正確，

對于④，當(dāng)C夕，mca,"ua時，如圖所示，m//n,所以④錯誤，

故選：A

變式1.（2024?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知。，力是兩個不同的平面，加，〃是兩條不同的

直線，則下列命題中正確的是（）

A.若則“_L〃B.若a〃/3,mua,nu/3,則加〃〃

C.若m工n,muajiu0,則D.若〃i，a,m〃n,n〃B,則a_L6

【答案】D

【解析】對于A,可能會出現(xiàn)〃〃尸,〃<=「，或〃與尸相交但不垂直的情況，所以A不正

確；

對于B,加,"可能平行、可能異面，所以B不正確；

對于C,若打〃/?,仍然滿足mu（z,wu/?且機(jī)_|_〃，所以C不正確；

對于D,mVa,m!In,則〃_La,再由"〃尸，可得a_L￡,可知D正確.

故選：D.

變式2.（2024?陜西咸陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖所示的菱形ABCD中，

46=2,/區(qū)4。=60。,對角線47,%?交于點(diǎn)0,將沿BD折到△%'班）位置，使平面

A'Ml平面BCD以下命題：

①BD1AC；

②平面A'。。1平面BCD；

③平面ABC1平面ACD；

④三棱錐A-BCD體積為1.

其中正確命題序號為（）

A.①②③B.②③C.③④D.①②④

【答案】D

【解析】如圖：

因?yàn)樗倪呅问橇庑危琙fi4D=60°,

所以皿=4。=8。=。0=如，0為8D的中點(diǎn)，

所以BDLA。，BD1C0.AOcCO=O,AO,COu面AOC,

所以班）1面AOC,又A'Cu面A。。，所以3D1AC,即①正確；

由①知班）工面AOC,又BDu面BCD,所以平面A。。1平面BCD,即②正確;

如圖：

取AC的中點(diǎn)為E，連接研，DE，依題意，A6=BC=AO=CD,

所BE/AE，DELAC,所以4即是二面角6—AC—。的平面角，

又因?yàn)槠矫鍭BD1平面3CD，平面48。門平面68=如，BD1AO

所以A'O，面BCD,AA'BD和△BCD是邊長為2的正三角形，

所以Ac=℃=J22-F=6,且有AO_LOC,

所以在Rt^AOC中，A'C=V6,

又△ABC和△ADC是兩全等的等腰三角形，AB=BC=AD=CD=2,

AC的中點(diǎn)為E，所以BE=DE=

由已知可得△BCD是邊長為2的正三角形，得a=2,

則在ABQE中,容易算得如=2,BE=DE=—,BD2BE2+DE2-

2

所以/BEDW90。，所以二面角8-AC—。不是直二面角，故③錯誤；

由已知可得△BCD是邊長為2的正三角形，又由上得A'。，面BCD,

所以三棱錐的高即為AO,A,O=V3,△BCD是邊長為2的正三角形，

所以三棱錐A-BCD的體積為％BC/A'O=W2x2x3x6=i,故④正確.

3'BCD322

故選：D.

變式3.（2024?廣西南寧?武鳴縣武鳴中學(xué)?？既＃┮阎?,加，〃是三條不同的直線，

4是不同的平面，則下列條件中能推出夕的是（）

A.Iua,mu0,且/_1_加

B.lua,mu。,nu/3,且/_1_加，/In

C.%ua,nuB,mlln,且/

D.Iaa,IUm,且〃z_L￡

【答案】D

【解析】對于A,lua,mu/3,且/_LM,。，尸可以平行、相交不垂直、垂直，A不

正確；

對于B,lua,機(jī)u￡,nu0,且/J_M,/I”，當(dāng)加,“不相交時，/不一定與耳垂

直，貝心不一定與尸垂直，B不正確；

對于c,mua,〃u尸，m//n,且顯然直線/與名△無關(guān)系，。，）可以平

行、相交不垂直、垂直，C不正確；

對于D,由///加，mV/3,得/，尸，又lua,根據(jù)面面垂直的判定知a，夕，D正確.

故選：D

【解題方法總結(jié)】

此類問題可以轉(zhuǎn)化為一個正方體的棱、面等，進(jìn)而進(jìn)行排除.

題型二：證明線線垂直

例4.（2024?貴州黔東南?凱里一中?？寄M預(yù)測）如圖，在三棱柱ABC-44G中，

AB^BC,AB】=B、c.

小G

（1）證明：AC±BtB;

【解析】（1）取AC的中點(diǎn)。，連接BD，B.D,

???AB=BC,ABx=B,c,.-,ACLBD,AC±BtD,

又BDCBQ=D,

而84u平面BBQ,

.-.ACLBXB-

例5.（2024?廣東深圳?統(tǒng)考二模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形,

241平面488,八4=4。=近48,點(diǎn)板是陽的中點(diǎn).

（1）證明：AMLPC；

【解析】（1）證明：因?yàn)镻4=AQ,點(diǎn)根是尸D的中點(diǎn)，所以401PE）.

因?yàn)樗?1平面ABCRPAu平面以￡），所以平面Q4Q1平面48CD,

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以CDLAD,

因?yàn)槠矫鍮4￡）c平面ABCD=AD，CDu平面A8CD,

所以CD,平面以￡）,所以CDLAM,

因?yàn)镻DcCD=D,PDCDu平面PCD,

所以平面PCD，

因?yàn)镻Cu平面PCD,所以AMJ_PC.

例6.（2024?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）己知三棱柱ABC-44C中，

A8=AC=2,44=AB=4C=2,NR4c=90。,E是BC的中點(diǎn)，方是線段上一點(diǎn).

⑴求證：ABLEF；

【解析】(1)證明：連接4E,AE,EG

vZfi4C=90°,AB=AC=2,￡是BC的中點(diǎn)

.-.AE1BC

BC=6AB=26,AE=BE=EC=LBC=&

2

?.?4A=A8=AC=2,￡是BC的中點(diǎn)

-.A.E^BC,:.AEMQAB?-BE?=4^=垃

222

A,A=AE+AlE,AE±AtE

；AEcBC=E,AE,BCu平面ABC

.?.4E，平面ABC,「ABu平面ABC，\ELAB,

???在三棱柱ABC-A4G中，AG〃AC,

-,-ABLAC,AB±AG,

■.?4ECAG=A,AEAGUAGE

,：AB工平面ACE,

,即u平面AGE,，AB1EF.

變式4.（2024?福建寧德?校考模擬預(yù)測）圖1是由直角梯形A8CD和以C。為直徑的半

圓組成的平面圖形，AD//BC,ADIAB^AD=A3=ggC=l.E是半圓上的一個動

點(diǎn)，當(dāng)△CZJE周長最大時，將半圓沿著CD折起，使平面PCD_L平面ABC。，此時的點(diǎn)E

到達(dá)點(diǎn)尸的位置，如圖2.

⑴求證：BDLPD；

【解析】（1）如下圖，過點(diǎn)。作以1交加于點(diǎn)/，連結(jié)即，

因?yàn)锳D〃BC,AD1AB,AD^AB^BC=\.

所以BF=FC=1,BD=^2,DC=y/2,由Br>2+OC2=BC2,

所以BD1CD,

因?yàn)槠矫鍼CD_L平面A8C￡）,平面peon平面ABCD=CD,Mu平面ABCD

所以班）1平面PCD，又PDu平面PCD，

所以BD1PD.

變式5.（2024?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，己知三棱柱ABC-44Q中，

AB=AC=2,=A^B=\c=2V2,ABAC=90°,E是BC的中點(diǎn)，廠是線段A?上一

⑴求證：ABLEF；

⑵設(shè)p是棱AA上的動點(diǎn)（不包括邊界），當(dāng)APBC的面積最小時，求棱錐尸-ABC的體

積.

【解析】（1）連接AE,AE

■：,E為BC中點(diǎn),：.\EVBC.

又A5=4C,Z￡L4C=90°,/.AEIBC,且AE=BE=EC.

?/AiA=A[B=AjC,

.?.△AAE/ZkABE,A^E±AE,

又AE^BC,BCC\AE=E,8C,AEu平面ABC,

.?.AE，平面ABC,又Mu平面ABC,

由已知皿/AC,AC〃4G，，AB_LAG,

又AGcAE=a,AQAEU平面A”，二融/平面ACE.

而reAQ,EFu平面AGE,,加，郎.

(2)由(1)可知4EL8C,AELBC.

又A,EcAE=E,4E,AEu平面AA￡,；.BC_L平面耳短，

所以S△尸BC二萬BCPE,又?■?p在棱HA上移動，

;當(dāng)PE1他時,PE最小,此時APBC面積最小.

兀

在RGAEA中，4A=2V2,AE=①,則4石=&,/34=—,.-.AP=

6

在AAAE中，過戶做PM1AE于叔，則尸M〃AE,

PMAP感

?■?—=PM1平面ABC,于是可得PM=2.

,_11_5/6_A/6

■v?VP-ABC=322O2'

變式6.（2024?貴州畢節(jié)?校考模擬預(yù)測）在梯形ABCD中，ABIIDC,NZMB=90。，

CD=2,AC=AB=4,如圖1.沿對角線AC將△D4C折起，使點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)戶的位置，E為

BC的中點(diǎn)，如圖2.

p

圖1圖2

(1)證明：PE1AC.

【解析】(1)因?yàn)镸//DC,ZDAB^9Q°,所以/4DC=90。，

DC1

所以cos/ACD=—=—,所以NACD=60°,則NC4B=NACO=60°,

AC2

又AC=AB=4,所以融。為等邊三角形，所以6C=4,又￡為加的中點(diǎn),

連接Q石交AC于點(diǎn)0,則OC=CE=2,ZDC(9=ZECO=60°,

所以△。。8△后。。，所以NCOD=NCOE=90°,即。

則折起后AC1OP,ACLOE,OE^OP^O,OE,OPu平面POE,

所以AC1平面POE,PEu平面POE，所以PE1AC.

【解題方法總結(jié)】

三線合一（有等腰三角形就必用）

共面=>勾股定理（題目中線段數(shù)據(jù)多）

證明4±1先看兩直線位置關(guān)系

2其他（初中平面幾何學(xué)習(xí)的其他垂直證明方法）

.異面n考慮用線面垂直推導(dǎo)異面垂直n找重垂線n在重垂線對應(yīng)平面內(nèi)找=

題型三：證明線面垂直

13.（2024?陜西榆林?陜西省神木中學(xué)?？既＃┤鐖D，在四棱柱A58-44G2中,

底面ABCD,底面4BCD滿足AD//BC,S.AB=AD=AA1=2,BD=DC=2日

⑴求證：/15_/.平面4。24；

(2)求四棱錐c-8DD禺的體積.

【解析】(1)由底面4BCD,ABU平面ABCD,

所以AB_LA4「

又因?yàn)榻?AD=2，BD=2V2.

滿足Af+A/y=%)2,可得ABLAD,

又cAD=A,AAj,ADu平面ADDXA^,

所以ABI平面

(2)由(1)中曲_L心，且AD//BC,BD=DC=242,可得6c=4,

因此%)2+。。2=8C?,即皮)1DC,

又A4,，平面48CD,AA.//DD,,

可得DD,1平面ABCD,OCU平面ABCD,

即DR±DC,

又DD、IBD=D,DD、,BDu平面BDD、B、,

所以O(shè)C1平面BDR4,即。c為四棱錐c-田的高，

即四棱錐C-出力)內(nèi)的體積.匕_8即4=g-BD?DC=gx2x2&x2&=g

例7.(2024?云南?校聯(lián)考模擬預(yù)測)如圖，在四棱錐尸-Q鉆。中，已知

717r7T

OA=OP=1,CP=2,AB=4,^CPO=-,ZABC=-,ZAOC=-.

362

TV

【解析】(1)在△POC中，ZCPO=-,CP=2,OP=\,

所以CO2=Cp2+Op2-2CP-OP-cos/CPO=4+l-2x2xlx』=3.

2

所以CO=8，故CC^+OL=cp2,則CO1OP.

71

又/4。。=不，即G91Q4.

2

"<^04=0,0尸,04匚平面人。尸,

所以C01平面AOP.

例8.（2024?云南昭通?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐C-中，CD1平面

ABD,E為AB的中點(diǎn)，AB=BC=AC=2,CG=2EG.

【解析】（1）因?yàn)镃D1平面的，Mu平面”，所以CD1AB,

又因?yàn)锳B=BC=AC,E為此的中點(diǎn)，所以CE是加。的中線，

所以CE/M,且CEcCD=C,CECDu平面CED,

所以平面CED.

例9.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?赤峰二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖1,在五邊形ABCDE中，四邊

形MCE為正方形，CD1DE,CD=DE,如圖2,將△可沿壇折起，使得A至A處，且

AB_LAJD.

圖1圖2

⑴證明：平面ABE；

7TTT

【解析】（1）由題意得/BEC=/CEZ）=：,/BED）,DE1BE>

42

因?yàn)锳B1AE，則

又AEnAQ=4，AE，4Du面A。，所以AbJ.面a”，

又DEu面AE。，則DE_LAB,

又DE1BE，ABCBE=B,平面AJBE,跖匚平面ABE,

所以DE/平面HBE.

變式7.（2024?重慶巴南?統(tǒng)考一模）如圖所示，在三棱錐P-ABC中，已知/N1平面

ABC,平面PAB1平面PBC.

p

w

R

⑴證明：BCl平面

【解析】（1）過點(diǎn)A作他1尸8于點(diǎn)￡,

因?yàn)槠矫鍽4B1平面P8C,且平面B48c平面PBC=PB，AEu平面B4B，

所以AE1平面P8C，

又BCu平面PBC,所以

又B11平面ABC，BCu平面必C,

所以B416C,

又因?yàn)锳EnPA=A,AE，以u平面必B，

所以6C1平面

變式8.（2024?廣東廣州?統(tǒng)考三模）如圖，在幾何體ABCDEF中，矩形BDEV所在平面

與平面ABCD互相垂直，UAB^BC=BF=1,AD=CD=BEF=2-

BC

⑴求證：BC1平面CDE；

【解析】（1）在矩形或）郎中，DELBD，

又平面平面48CZ）,平面ABCDQ平面8/無產(chǎn)=即，DEu平面BDEF，

所以上平面ABCD，

又BCu平面ABCD,

所以O(shè)E1BC,

在矩形BDEF中，BD=EF=2,

又BC=I,CDW，所以應(yīng)）2=4=叱+。。2,

所以8cleD.

又DEcCD=D,DE,CDu平面CDE,

所以平面CDE；

變式9.（2024?天津津南?天津市咸水沽第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱

ABC-A4G中，平面ACGA，平面ABC,AC=BC=CG=2,。是AA的中點(diǎn)，且

^ACB=90°,ND4c=60\

B

⑴證明：平面CBD；

【解析】（1）連接累，

由題意可知：△AC4,為等邊三角形，且。是AA的中點(diǎn)，

所以CDLA4，

因?yàn)槠矫鍭CGA，平面ABC,平面ACCdn平面腦C=AC,AC1BC,

所以平面ACGA,

且AAu平面ACG4,可得BOL4,,

CDcBC=C,CD,BCu平面CBD,

所以A4,，平面CBD.

【解題方法總結(jié)】

垂直關(guān)系中線面垂直是重點(diǎn).

,①垂直兩條相交線；

②垂直里面作垂線；

線垂面哪里找4

③直（正）棱柱的側(cè)棱是垂線；

、④正棱錐的頂點(diǎn)與底面的中心的連線是垂線.

心—①垂直面里所有線（證線線垂直）；

線垂面有何用

[4②過垂線作垂面（證面面垂直）.

證明線面垂直常用兩種方法.

方法一：線面垂直的判定.

線線垂直二線面垂直，符號表示為：a_Lb,a.Lc,b（^a,c（^,oc,bi^c=P>那么al.a.

方法二：面面垂直的性質(zhì).

面面垂直二線面垂直，符號表示為：=b,a<^a,aLb,那么a_L尸.

題型四：證明面面垂直

例10.（2024?山西運(yùn)城?山西省運(yùn)城中學(xué)校校考二模）如圖，在三棱柱ABC-44G中，

側(cè)面54CC為菱形，NCB乩=60。，AB=BC=2,AC=AB1=V2.

（1）證明：平面AC8I平面;

【解析】（1）如圖，連接3G,交4c于0,連接40.

因?yàn)閭?cè)面84G。為菱形，所以4C，2?G,且。為BG的中點(diǎn).又AC=A4=V^,故

AO1BtC.

又AB=BC=2,且NCB4=60。，所以CO=1,BO=如，所以8,=1.又

AB=2,所以4笈=502+4。2,所以AO1B。.

因?yàn)?O,C4U平面54GC,BOC\CBt=o,所以AO1平面54GC.

又AOu平面ACB1,所以平面AC4J_平面58]G。.

A4

例11.（2024?貴州貴陽?校聯(lián)考三模）如圖所示，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD為

直角梯形，ABI/CD,AB=^CD,CDLCE,ZADC=/EDC=45。,AD=y/2,

⑴求證：平面平面ABCD；

【解析】（1）?.?四邊形ABCD為直角梯形，ABI/CD,:.CDLBC,

又CD1CE,BC[\CE=C,BC,CEu平面BCE,\。。人平面BCE,

又BEu平面BCE,CD1BE；

作AF1CD,

■.?ZADC=45°,AD=y[2,/.AF=b：.BC=1,

又NEDC=45。，：.CD=CE=2,

?；BE=6BC2+BE2=CE2,：,BEVBC,

?.?BCnCD=C,8<?,儀>匚平面48。。，：,8E，平面48。。，

「BEu平面4￡組，;平面ABE1平面ABCD.

例12.（2024?西藏日喀則?統(tǒng)考一模）如圖，已知直角梯形ABCD與ADEF，

2DE=2BC=AD^AB=AF=2,AD1AF，ED//AF,AD±AB,BC//AD,G是線段

B尸上一點(diǎn).

⑴平面A3CDJ_平面ABE

【解析】(1)因?yàn)锳D1AF，AD1AB>AF^AB=A,AF、AM平面ABF,

所以AD_L平面ABF,又A￡)u平面ABC。，

所以平面ABCD_L平面ABF.

變式10.(2024?廣東梅州?統(tǒng)考三模)如圖所示，在幾何體E45CD中，451平面

，點(diǎn)C在平面H4B的投影在線段尸E上(5Cv尸c),BP=6,AB=AP=2#,

DC=2,CD//平面PAB-

(1)證明：平面PCD_L平面E4D.

【解析】(1)由題知，平面3CP，平面％B，過點(diǎn)C作PB的垂線，垂足為E，連接品,

又因?yàn)槠矫鍮CPC平面如B=pg，所以CE_L平面RIB.

因?yàn)?)1平面R4B，所以CE〃DA,則C,D,A,E共面.

因?yàn)镃D〃平面9，CDu平面⑦4￡,平面CDAE。平面加=剛，

所以CD〃E4,則四邊形AECD為平行四邊形，所以AE=￡C=2.

因?yàn)锽P=6,AB=AP=2,所以cosNAPE=—,

202

IFJT

因?yàn)?</APE<—,所以/APE=—,

26

ApAE2g_2

由正弦定理得-./“D=.〃好，即sin/AE?！?，

sin/AEPsin/APE一

2

所以sinNA研=且，因?yàn)?<44￡尸〈三，所以乙4砂=二,

223

JT

所以NE4P=5,即

因?yàn)?)1平面尸AB，AEu平面以B，所以A￡1AD，

又因?yàn)锳￡)nAP=A,AD,APU平面以D，所以AE1平面ADR

因?yàn)镃D〃E4,所以CD1平面W.

因?yàn)镃Du平面PCD,所以平面PCD1平面MD.

變式11.(2024?河北張家口?統(tǒng)考三模)如圖，在三棱柱ABC-44G中，側(cè)面34GC

為菱形，NCBB、=60。，AB=BC=2,AC=AB1=J1.

(1)證明：平面AC81平面58℃;

【解析】(1)連3G、4c交于。，則。為80、4。的中點(diǎn)，連AD，

因?yàn)锳C=A4，所以A￡＞，4C,

因?yàn)閭?cè)面為菱形，^CBB,=60°,AB=BC=2,AC=AB、=0,

所以加=有，AD=1，所以Afi2=B￡)2+A￡)2,即AD1M，

因?yàn)?Cp|8D=8,5c,3Du平面54CC,

所以AD_L,F面,因?yàn)锳Du平面AC4,

所以平面AC4_L平面BB￡C.

變式12.(2024?陜西西安?西安市大明宮中學(xué)校考模擬預(yù)測)如圖，在長方體

ABCD-\BXCXDX中，AB=2BC=2,AA,=4,P為棱的中點(diǎn).

(1)證明：平面尸平面

(2)畫出平面O/C與平面AA?！ǖ慕痪€，并說明理由；

⑶求過A，P，C三點(diǎn)的平面a將四棱柱分成的上、下兩部分的體積之比.

【解析】(1)在長方體ABC?！狝4G2中，AB=2BC=2,

,?,△4)尸與△BPC都是等腰直角三角形，

ZAPD=ZBPC=45°,NDPC=90°,:.DPLPC,

QDDt±平面ABCD,PCu平面ABCD,0A±PC,

又DDQDP=D,DD-DPu面PDR,..CP上面PDR,

又PCU平面PCD,，，平面PCR±平面PDDt；

(2)延長CP與方的延長線相交于2，連接M2，

則MD,即為平面。/C與平面AAO2的交線，理由如下：

M&AD,：.M&平面A,ADDt,M&CP,Me平面DtPC,

二平面RPC與平面AAOA的交線為D,M.

(3)令加2與Ad的交點(diǎn)為N,

則三棱臺APN-DCD、的體積為以“四-VM-ANP,

???P為棱AB的中點(diǎn)，為CM的中點(diǎn)，

A是人m的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，

:.MD=2AD^2,AN=-AAi=2,

11.”.8”11C,,1

VM^DCD,=~x-x2x4x2=-,=-x-x2x1x1=-,

D乙JD乙D

7

...三棱臺APN—OCA的體積為％-

717

.??過2/C三點(diǎn)的平面a將四棱柱分成的上部分的體積為2x1x4-7

33

17

V17

.??過2,RC三點(diǎn)的平面a將四棱柱分成的上、下兩部分的體積之比為年=7.

3

AC1

變式13.（2024?云南?云南師大附中校考模擬預(yù)測）如圖，？為圓錐的頂點(diǎn)，A,B為底

27c

面圓0上兩點(diǎn)，ZAOB=-,￡為心中點(diǎn)，點(diǎn)方在線段AB上，且AF=2FB.

（1）證明：平面AOPL平面0EF；

【解析】（1）設(shè)圓。的半徑為廠，

2冗7T

在斜。8中，OA=OB=r,ZAOB=--,ZOAB=~,

36

故48=百.，又AF=2FB，故4?=也，

3

在AAOF中，由余弦定理得0尸2=OA2+AF2-2OA.AF.cosZOAF=-O^=-r2,

33

所以042+0/2=4/2,即0A10F；

圓錐中，P01底面OO,OFu底面OO,故尸斤，

又。4cop=0,所以。/1平面AOP,

又OFu平面OEF,所以平面A0P1.平面。郎.

變式14.（2024?江蘇南京?南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）在如圖所示的空間幾何體

中，AACD與△ACB均是等邊三角形，直線印上平面ACD,直線EB1平面A3C,

DELBE.

（1）求證：平面ABC1平面ADC；

【解析】（1）

圖1

如圖1,設(shè)平面或坦與直線AC的交點(diǎn)為0,連接80,DO.

因?yàn)橹本€皿上平面ACD,直線EB1平面ABC,ACu平面AC。，ACu平面ABC,

所以O(shè)E工AC,BE1AC.

因?yàn)镈EcBE=E，DEu平面BDE，BEu平面BDE，

所以AC,平面8瓦.

因?yàn)锽Ou平面8班，DOu平面BDE，

所以BO/AC,DO1AC.

又因?yàn)锳ACD與△ACB均是等邊三角形，

所以。為AC中點(diǎn)，且二面角B-AC-。的平面角為

在平面四邊形BODE中，

因?yàn)閆BED=ZEDO=NEBO=90°,

所以"00=90。，

所以平面平面A0C.

【解題方法總結(jié)】

主要證明方法是利用面面垂直的判定定理（線面垂直=面面垂直）.證明時，先從現(xiàn)有

的直線中尋找平面的垂線，若圖中不存在這樣的直線，則可通過作輔助線來解決.

題型五：垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用

例13.（2024?貴州銅仁?統(tǒng)考二模）如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，ZBAC=9Q°,

AB=AC=1.

為

（1）試在平面ABC內(nèi)確定一點(diǎn)反，使得AH1平面A5C,并寫出證明過程；

【解析】（1）取棱8C的中點(diǎn)。，連接A。，AD.在等腰直角AABC中，AD1BC,

又8C_LAA],ADn^A=AA3A4,u平面,故平面4網(wǎng).

又BCu平面A3C,故平面ABC,平面從刈，這兩個平面的交線為A。.

在中，作則有AH,平面A/C；

例14.（2024?全國?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在正三棱柱A8C-A4G（側(cè)棱垂直于底

面，且底面三角形ABC是等邊三角形）中，BC=ca,M、N、尸分別是CG，AB，臺4

的中點(diǎn).

⑴求證：平面NPC〃平面A4M；

（2）在線段34上是否存在一點(diǎn)。使Ag,平面4MQ?若存在，確定點(diǎn)。的位置；若不存

在，也請說明理由.

【解析】（1）（1）證明：:M、N、?分別是CG，AB>3月的中點(diǎn).

：.NPUAB},四邊形MCPg為平行四邊形，可得"http://"4,

因?yàn)镹P仁平面A8[M；AB]U平面

.?.肥//平面A4M；

同理可得CP//平面AgAT；

又CPRNP=P,CP,NPu平面NPC,

;平面NPC//平面.

(2)假設(shè)在線段34上存在一點(diǎn)。使A4,平面AMQ.

?.?四邊形A54A是正方形，因此點(diǎn)B為點(diǎn)0.

不妨取6c=2,如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則河(。,-1，1),。(0,1,0),A(73,o,o),

4(0,1,2),4(瘋0,2)

函=卜＞/^,1,2),M2=(o,2,-1),m=卜若,-1,-1)

???AB^MQ=0,福.^7=卜君卜［君)+lx(-l)+2x(-l)=0.

所以鬲，夜，碼，亞，又平面AMQ,所以48,平面

\MQ,

;在線段上存在一點(diǎn)°,使A4,平面AMQ,其中點(diǎn)B為0點(diǎn).

例15.(2024?天津?耀華中學(xué)校考二模)如圖，在三棱錐A-8C。中，頂點(diǎn)A在底面

8CQ上的射影。在棱8。上，AB=AD=y/2,BC=BD=2,/CBD=90。,E為CD的中

點(diǎn).

A

C

(1)求證：A￡)_L平面ABC；

(2)求二面角8-AE-C的余弦值；

(3)已知P是平面A3。內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)。為AE中點(diǎn)，且尸。_L平面ABE,求線段P。的長.

【解析】(1)因?yàn)轫旤c(diǎn)A在底面28上的投影。在棱2。上，

所以A。，平面BC。，

因?yàn)锳Ou平面A8。，

所以平面平面BCD,

因?yàn)镹CBO=90。，

所以

因?yàn)槠矫鍭2￡)n平面BCD=BD,BCu平面BCD,

所以8CL平面ABD,

又AOu平面A2￡),

所以BCU。，

由AB=AD=拉，BD=2,得BO?=筋?十池?，

所以AZ)_LA8,

因?yàn)锳8riBC=B,A8u平面ABC,BCu平面ABC,

所以4。_L平面ABC.

(2)連接0E,因?yàn)椤?。的中點(diǎn)，"為CD的中點(diǎn)，OEHBC,所以

如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)E,OD,0A為x軸，y軸，z軸為正方向，建立空間直

角坐標(biāo)系，

則O(0,0,0),A(0,0,