2025屆樂山市高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷及答案解析

樂山立志達(dá)高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年度上期半期考試高三數(shù)學(xué)試卷

時(shí)間：120分鐘滿分150分

出題人：陳健審題人：程才

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

2

A=（xlx-2x-8<=（x|v=yfx,yenD

1.已知集合L」〔卜>,則可）8=（）

A.（-2,4）B.[0,4）C.[0,1]D.{0,1}

【答案】D

【解析】

【分析】先求出集合A,將其中非負(fù)整數(shù)代入y=即可判斷是否屬于集合2,進(jìn)而結(jié)合交集的定義求

解即可.

【詳解】根據(jù)題意，A={x\-2<x<4},則集合A中的整數(shù)為一1,01,2,3,

當(dāng)x=0時(shí)，y=40=0eB,當(dāng)x=l時(shí)，y=4\=\&B,

當(dāng)x=2時(shí)，y=6./B,當(dāng)x=3時(shí)，y=6更B,

所以2口8={0,1}.

故選：D

2.在等比數(shù)列{4}中，a.=9,公比q=；,則生與生的等比中項(xiàng)是（）

A.1B.3C.±1D.±3

【答案】D

【解析】

【分析】先求a3a5,結(jié)合等比中項(xiàng)的定義可得答案.

【詳解】因?yàn)閍3a5=%?%/=9，所以％與知的等比中項(xiàng)是±3.

故選：D.

3.已知復(fù)數(shù)4=2+i/2=a+i（aeR）,若復(fù)數(shù)4—為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（）

11

A.-B.——C.-2D.2

22

【答案】A

【解析】

【分析】計(jì)算馬22,根據(jù)純虛數(shù)的定義計(jì)算可得。的值.

[詳解]Z].z,=(2+i)(a+i)=2a+(a+2)i—l=2a—l+(a+2)i,

2。-1=0

因?yàn)閺?fù)數(shù)Z「Z2為純虛數(shù)，所以<，解得：a

。+2002

故選：A

tanx

兀71

4.已知xe,則函數(shù)/(》)=的值域是

1

AB.(0,3]C.一,+ooD.[3,+oo)

°43

【答案】c

【解析】

tanx

【分析】根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性確定tame(-“,1],再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求出/(x)=的

值域，即得答案.

tairr

【詳解】令/=tanx,則=

因?yàn)椋?tanxx€上單調(diào)遞增，且tan；=l,所以f=tarue(—oo,l],

4

又廣;在(一8』上單調(diào)遞減，且8,1],所以y1

e

33，J，

即/(x)的值域是|,+?I.

故選：C.

1,3

5.命題“IceR,—V+x——a<0”為真命題的一個(gè)必要不充分條件是()

22

A.67>0B.a>\

C.a>—2D.a>-3

【答案】D

【解析】

【分析】先由存在量詞命題為真求得。的范圍，再根據(jù)“必要不充分條件”即可確定選項(xiàng).

,1,31,3

【詳解】由eR,—x~+x----a<0,可得?！狄粁"+x—在R上能成立,

2222

1,31,

因一x~+x—=—(x+l)~—2>—2,故得a>—2.

222

由題意知，(-2,+s)是選項(xiàng)的范圍的真子集即可.

故選：D.

6.已知平面向量而，為滿足：網(wǎng)=同=2,且應(yīng)在方上的投影向量為-g晨則向量成與向量方的夾角為

()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)投影向量得到而/=-2,求出cos泣〃=-；,得到西方=120°.

—1一m-nn1一

【詳解】由加在〃上的投影向量為-y，得可.同=一萬(wàn)〃所以加?〃=一2，

所以成?拓=2x2cos或，拓=一2,所以cos應(yīng)，拓二——,

2

又兩Me[00/801，所以兩拓=120°.

故選：C.

7.設(shè)a為銳角，若cos(a+*|=；,則cos^^-2a]的值為()

.472口4行「7

A.------D.----C.

999

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式、同角公式及二倍角公式求解即得.

TTTT27r

【詳解】因?yàn)閍為銳角，所以一<a+—<—,

663

(兀)兀Z

所以COS[K-2。J=cos—26+|1=sin12a+1

=sin(2a+—)=sin2(a+—)=2sin(tz+—)cos(tz+—)=2x—x4行

3666339

故選：B.

8.若函數(shù)/(x)=V1+bln(m—x)+3(a〉0且awl/為常數(shù))在［—c,0］(。為常數(shù))上有最小

值—5,則/⑴在［0,。］上()

A.有最大值12B.有最大值6

C.有最小值-5D,有最小值-8

【答案】A

【解析】

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=*j-g+x),證明函數(shù)為奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得最大

7

值，由/(x)=g(x)+,得解.

【詳解】設(shè)g(x)=-^—g+Mn(&+i—q,

因?yàn)?+1-x>W-x20,所以g(x)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

g(-x)=---g+bln(J*+1+x)=J］-；-6In(Jx2+1-x)=；——7---61n(Jx2+1-xj=-g(x),

7

即g(x)為奇函數(shù)，且/(x)=g(x)+Q,

717

因?yàn)?(x)在［-c,o］上有最小值-5,所以g(x)在［-c,o］上有最小值一5-耳=-萬(wàn)，

17

由奇函數(shù)的對(duì)稱性知，g(x)在［o,c］上有最大值萬(wàn)，

177

所以/(%)在［0,上有最大值y+-=12,

故選：A

二、多選題：本小題共3小題，每小題6分，共18分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)

選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知10"=2，102b=5,則()

A.a>bB.Q+26=1

12

C.log2tz+log2Z7<-3D.—+—>9

一一ab

【答案】BCD

【解析】

【分析】由對(duì)數(shù)運(yùn)算可得。=lg2,Z)=1lg5,借助作差法結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算可得A；由對(duì)數(shù)運(yùn)算可得B；借

助基本不等式與對(duì)數(shù)運(yùn)算可得C；借助基本不等式“1”的活用可得D.

【詳解】由10"=2,則。=炮2,由1()2&=5,則2b=lg5,即b=glg5；

對(duì)A：a-Z)=lg2-1lg5=lg-^<lgl=0,故故A錯(cuò)誤；

對(duì)B：〃+2b=lg2+2x；lg5=lgl0=l,故B正確；

對(duì)C：由a=lg2>0,Z)=1lg5>0,則a+2b=l〉2ja-2b=2缶K，

即則Iog2a+log26=log2ab<log2』二—3,故C正確;

88

,工,12fl2blb2a

對(duì)D：由Q+26=1,則一+—=—+：(Q+26)=5+—+—,

ab\ab)ab

,_1c/112b2alba_2b2a.

由Q=lg2,b=—Ig5c,則mtl—,故---1—>2./------=4,

2abab\ab

則—I—=5H---1--->9,故D正確.

abab

故選：BCD.

10.已知數(shù)列｛?！埃那?項(xiàng)和為s“，若％=20,an+l=a?-4,(〃eN*),則()

A.4是數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)B.當(dāng)S“最大時(shí)，"的值只能取5

C.數(shù)列是等差數(shù)列D.S5=S,

【答案】AC

【解析】

【分析】由等差數(shù)列的基本量法求出通項(xiàng)，令4=24-4〃可得A正確；由牝=。可得B錯(cuò)誤；求出S”,

再表達(dá)出」一心，作差可得C正確；求出65,67可得D正確；

n〃+1

【詳解】因?yàn)閐=a〃+i-=-4,(〃wN*),q=20,

所以數(shù)列｛冊(cè)｝是公差為-4，首項(xiàng)是20的等差數(shù)列,

即=Q]+(〃-l)d=20-4(〃-1)—24—477,

對(duì)于A,4=24-4〃=〃=5,所以4是數(shù)列｛冊(cè)｝中的項(xiàng)，故A正確；

對(duì)于B,令24—4〃=0=>〃=6,即。6=0，前五項(xiàng)大于零，

所以當(dāng)S“最大時(shí)，〃的值可以取5或6,故B錯(cuò)誤；

g“C〃(q+%)"(20+24-4")2

對(duì)于C,S”=----------=-----------------=22n-2n,

〃22

而zS,22〃—2/5,22(〃+1)—2(〃+1F..

所以」■=---------=22-2n,=—---->-——------=22-2(n+lY

nnn+in+1

2^±L_^L=22-2(/?.+1)-(22-2ZZ)=-2,

所以數(shù)列是等差數(shù)列，故C正確；

5X47x6

對(duì)于D,S5=20x5+—x(-4)=60,57=20x7+—x(-4)=56,

所以S5Hs7,故D錯(cuò)誤；

故選：AC.

11.已知函數(shù)/(x)=cos2x+asinx,則()

A.函數(shù)/(x)的最小正周期為2兀

-9~

B.當(dāng)。=1時(shí)，函數(shù)/(x)的值域?yàn)橐?,三

O_

(TT7兀)

C.當(dāng)a=—2時(shí)，函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為2E+g,2E+不(keZ)

D.若a=l,函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,E)(左eZ)內(nèi)恰有2025個(gè)零點(diǎn),貝”=1350

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用余弦型函數(shù)和正弦函數(shù)的周期性可判斷A選項(xiàng)；利用二次函數(shù)的值域可判斷B選項(xiàng)；利用復(fù)

合函數(shù)的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng)；在xe（0,271）時(shí)解方程/（x）=0,結(jié)合函數(shù)的周期性可判斷D選項(xiàng).

2兀

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)丁=32%的最小正周期為7；=萬(wàn)=兀，

函數(shù)歹=asinx（a。0）的最小正周期為%=2兀,

故函數(shù)/（X）的最小正周期為2兀，A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=cos2x+sinx=-2sin2x+sinx+1,

令/=sinx,則歹=一2?+/+l=_2”一；）+\,

19

當(dāng)，二:時(shí)，Vmax=6；當(dāng)，二一1時(shí)，歹二-2-1+1=-2；當(dāng)，=1時(shí)，y=0.

48

所以，Vmin=一2,

9

所以，當(dāng)。=1時(shí)，函數(shù)/（X）的值域?yàn)椤?},B對(duì);

O

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)〃=—2時(shí)，/(x)=cos2x-2sinx,

則/(x)=—2sin2xi2sinx+1——2sinxH-H—，

令/=sinx,貝ij—?jiǎng)t外層函數(shù)y=—++1,

外層函數(shù)y=—2,+g]+|的單調(diào)遞增區(qū)間為-1,一0,單調(diào)遞減區(qū)間為—g」

當(dāng)—1；時(shí)，則內(nèi)層函數(shù)/=sinx單調(diào)遞增時(shí)，則函數(shù)/（x）為增函數(shù)，

所以，2而一1Vx<2左兀一弓（左€Z）；

當(dāng)—時(shí)，則內(nèi)層函數(shù)/=sinx單調(diào)遞減時(shí)，則函數(shù)/（%）為增函數(shù)，

所以，2左兀+巴Vx<2hi+—（A:€Z）.

26

綜上所述，當(dāng)a=—2時(shí)，函數(shù)/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為[桁―],2桁一：]（左eZ）,

C7兀C77兀

2kli+-,2ATIH——(kGZ),C錯(cuò);

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)Q=1時(shí)，/(x)=cos2x+sinx=-2sin2x+sinx+1=0,

可得sinx=l或sinx=——

2

由于函數(shù)/（x）的最小正周期為2兀，且/（2兀）=1,

現(xiàn)在考慮函數(shù)/(X)在(0,2兀)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，

由sinx=l可得x=工，由sinx=一l可得》=無(wú)'或》=口^,

2266

所以，函數(shù)/(x)在(0,2兀)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3,

因?yàn)?025+3=675,故左=2x675=1350,D對(duì).

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角函數(shù)最值的不同求法：

①利用sinx和cosx的最值直接求；

②把形如V=asinx+6cosx的三角函數(shù)化為y=Nsin(ox+。)的形式求最值；

③利用sinx土cosx和sinxcosx的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求最值；

④形如y-asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求最值.

三、填空題：本小題共3小題，每小題5分，共15分.

12,已知向量Q=(l,cosx),b=(sinx,-l),若QJ_B'則卜|-?

【答案】國(guó)

2

【解析】

【分析】根據(jù)向量垂直，得到數(shù)量積為0,進(jìn)而求出cosx,可求口.

【詳解】因?yàn)椤阩_B，所以￡.3=0nsinx—cosx=0=>sin2x=cos2'=；.

所以=Jl+cos>\=Jl+；=.

故答案為：

2

13.已知函數(shù)/(x)=x(li?)2-3x在區(qū)間［a,￡］內(nèi)單調(diào)遞減，則f的最大值為

【答案】e4

【解析】

【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間，結(jié)合題意可得見，的最值，即可得結(jié)果.

【詳解】由題意可知：/(X)的定義域?yàn)?0,+8),且/'(x)=(ln%)2—3+21nx=(lnx+3)(liu

令/'(x)40,可得—3WhwVl,解得e-WxWe，

可知/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為［e，e］,

因?yàn)?(x)在區(qū)間［?,/?］單調(diào)遞減，則［見夕仁,e］,

34

可知amin=e_,Anax=e，所以2的最大值為e.

a

故答案為：e4.

14.函數(shù)是數(shù)學(xué)中重要的概念之一，1692年，德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨首次使用function這個(gè)詞，1734年瑞士

數(shù)學(xué)家歐拉首次使用符號(hào)/(x)表示函數(shù).1859年我國(guó)清代數(shù)學(xué)家李善蘭將function譯作函數(shù)，“函”意味著

信件，巧妙地揭示了對(duì)應(yīng)關(guān)系.密碼學(xué)中的加密和解密其實(shí)就是函數(shù)與反函數(shù).對(duì)自變量恰當(dāng)?shù)刭x值是處理

函數(shù)問題，尤其是處理抽象函數(shù)問題的常用方法之一.已知對(duì)任意的整數(shù)區(qū)6均有

)(a+6)=/(a)+/(6)+仍+3,且則/(2024)=.

【答案】2048285

【解析】

【分析】根據(jù)/(。+6)=/(。)+/他)+仍+3利用賦值法可得/(〃)—/(〃—2)=2〃—2,再由累加法計(jì)

算可得結(jié)果.

【詳解】在/(。+6)=/(。)+/優(yōu))+仍+3中,

令a=6=0,得/(0)=/(0)+/(0)+0+3,于是/(0)=-3.

在/(a+6)=/(4)+/㈤+仍+3中，

令a=2,b=-2,得/(0)=/(2)+/(-2)—4+3,;.〃2)=—1.

在/(a+b)=f(a)+/(b)+ab+3中，令a=n-2,b=2,

得/(〃)=/(〃—2)+/(2)+2(〃—2)+3=〃〃H2)—1+2(〃—2)+3=/(〃—2)+2〃=2,

2)=2〃-2.

/(2024)-/(2022)=2x2024-2,

/(2022)-/(2020)=2x2022-2,

7(2020)-/(2018)=2x2020-2,

/(4)-/(2)=2x4-2

上述等式左、右兩邊分別相加得/(2024)-/(2)=2(2024+2022+---+4)-2xl011.

2024)=2x(202：+4)xlon_2022_1=2048285.

故答案為：2048285

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用賦值法得出遞推關(guān)系式，再利用累加法即可求得結(jié)果.

四、解答題：本題5個(gè)小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知向量G=kinx,j)B=(cosx,—l).

(1)當(dāng)時(shí)，求tan2x的值；

(2)設(shè)函數(shù)八＞)=2(萬(wàn)+且0,],求/(x)的值域.

24

【答案】(1)-----

7

”+|

(2)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)向量平行列出等式，計(jì)算tanx的值，二倍角公式即可計(jì)算tan2x；

(2)計(jì)算/(x),并用輔助角公式化簡(jiǎn)，根據(jù)角的范圍可求出值域.

【小問1詳解】

__3

因?yàn)閍〃B，所以—sinx=—cosx，

4

32tanx24

因?yàn)閏osxwO,所以tanx=——，所以tan2x=--------廠=----.

41-tanx7

【小問2詳解】

[3/兀\3

f(x)=2伍+B)?B=2sinxcosx+2cos2x+—=sin2x+cos2x+—=-^2sinI2x+—I+—,

因?yàn)樗?乎:所以sin[2x+；1e-^y-,1,

所以/(x)的值域?yàn)镮；,行+|.

16.已知函數(shù)/(無(wú)為奇函數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)。的值；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=log2l-logz：+機(jī)，若對(duì)任意的e(0,1],總存在石e[2,8],使得

g(M)=/(%)成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【答案】(1)-1

5]_

(2)

3；4

【解析】

【分析】(1)首先可得函數(shù)的定義域，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到/(。)=0,求出參數(shù)。的值，再檢驗(yàn)即可;

(2)首先求出/(x)在(0』上的值域A,再利用換元法求出g(x)在xe[2,8]上的值域8,依題意

A^B,即可得到不等式組，解答即可.

【小問1詳解】

由題意可得，函數(shù)的定義域?yàn)镽,因?yàn)?(x)是奇函數(shù)，所以/(。)=*=0,可得。=-1,

經(jīng)檢驗(yàn)，對(duì)于VxeR,/(—x)=—/(x)成立，所以a=—1.

【小問2詳解】

尸一1?

由(1)可得=~-=1———

V,2*+12工+1

因?yàn)閤e(O,l],所以2、e(1,2],2X+1G(2,3],了匕€14}

22

，TV-----e

2V+12X+1°4，

所以當(dāng)xe(O』時(shí)/(x)的值域Z=[o,；,

又g(x)nlogzI-logzj+MMOogzX-lXlogzX-Zj+m,xe[2,8],

=logx,re[1,3],則y=?—1)(/一2)+加=產(chǎn)―3f+2+/=|/3+m

2-\

31

當(dāng)，=—時(shí)，取最小值為---\-m,當(dāng)，=3時(shí)，取最大值為2+加，

24

即g(x)在xe[2,8]上的值域8=--^+m,2+m,

又對(duì)任意的Ze(O,l],總存在石e[2,8],使得g(xj=/(x2)成立，

--+m<0

4,解得—機(jī)三工，即實(shí)數(shù)加的取值范圍是一g5,1

即4=5,所以〈

3434

2+m>—

3

17.已知△45C的角4,B,C對(duì)的邊分別為a,b,c,2bcosA=2c-y/3a

(1)求2；

(2)若cos/=sinC—1,CA=^CD,BD^^31,求△4SC的面積.

【答案】(1)

⑵4也

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理邊化角，再用三角恒等變化由值求角即可;

(2)由三角方程求角，結(jié)合條件(1)可知三個(gè)內(nèi)角，再利用向量關(guān)系和已知的長(zhǎng)度去求邊，即可得到面

積.

【小問1詳解】

因?yàn)?6(：05幺=20-1§0，由正弦定理邊化角，所以2sin8cosZ=2sinC-J^sinZ

2sinBcosA=2sin(Z+B)-V3sinA=2sinAcosB+2cosAsinB-V3sinA

即百sin4=2sinAcosB

在△48C中，sinZwO,所以cos3=E

2

又因?yàn)锽e(0㈤，所以2=g

6

【小問2詳解】

由cosA=sinC—1,得cosf——。=sinC—1,

cos—cosC+sin—sinC=sinC-1n-^-cosC+—sinC=sinC-l，

6622

—sinC+^-cosC=1nsin(C+—)=1，

223

因?yàn)?<C<TT,所以：<C+T■〈二~，所以CH—=—,所以C=—

所以Z=—，且b=c

3

___13

在△48。中，CA=4CD，所以40=—6

4

BD2=AB2+AD2-2AB-ADcosA=b2+—b2-2b--b-\--\=37,

164I2)

解得6=c=4,

所以△4SC的面積5=!48］。51必=、4?4?亞=46.

222

Z(^,人x>/o\J

x+1

18.已知函數(shù)/(x)=xlnx,g(x)=<

—+l,x<0

12

(1)求函數(shù)/(x)的極值；

(2)若函數(shù)y=aex-工區(qū)在區(qū)間。,2)上單調(diào)遞增，求。的最小值；

X

(3)如果存在實(shí)數(shù)加、“，其中加＜“，使得g(772)=g⑺，求〃一機(jī)的取值范圍.

【答案】(1)極小值為無(wú)極大值

e

⑵-

e

(3)[3-2ta2,2)

【解析】

【分析】(1)求出函數(shù)的定義域，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出函數(shù)的極值；

(2)依題意可得y'=aex—工20在(1,2)上恒成立，顯然。＞0,參變分離可得設(shè)

xa

m(x)=xex,xe(l,2),利用導(dǎo)數(shù)得到加(x)＞機(jī)⑴=e,即可求出參數(shù)。的取值范圍，即可得解;

(3)方法1：依題意可得函數(shù)g(x)在(―叫。］、(0,+8)上為增函數(shù)，則—2＜見＜0,0＜〃Ve—1,從

而得到機(jī)=21n(〃+l)-2,則〃—加=〃一21n(〃+l)+2,令0(x)=x-21n(x+l)+2,

xe(O,e-l],利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出〃一加的取值范圍；方法2：依題意可得

/\〃=e'一1"

-2<m<0,0<n<e-1,令g(加)==，，可得<,0<Z<1,令

h(t)=n-m=e,-2t+l,利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出〃(7)的范圍，從而得解.

【小問1詳解】

???/(x)定義域?yàn)?0,+8),/,(x)=l+lnx,

.?.當(dāng)xe(0,eT)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)xe(eT,+e)時(shí)，f(x)>0；

.?./(x)在倒,1)上單調(diào)遞減，在(「,+句上單調(diào)遞增，

???/(x)的極小值為/仁一|)=—1,無(wú)極大值.

【小問2詳解】

依題可知，y=aex-Inx,V="e">0在(1,2)上恒成立，顯然?！?,所以門"2’,

xa

設(shè)加(x)=xe“，XG(1,2),m'(x)=(x+l)ex>0,所以加(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，

m(x)>m(l)=e,故即即Q的最小值為

aee

【小問3詳解】

ln(x+l),x>0

方法1：由已知g(x)=]x，則函數(shù)g(x)在(一8,0]、(0,+8)上為增函數(shù)，

—+l,x<0

12

若存在實(shí)數(shù)加、n,其中加<〃，使得g(加)=g(〃)，則一2c加<0,0<77<e-l,

由g(加)=g(〃)可得￡+l=+,則加二21n(〃+l)-2,

故〃一加=〃一21n(〃+l)+2,

X—1

令O(x)=x_21n(x+l)+2,xe(0,e-l],p(x)=]-------一=0,可得x=l.

x+1x+1

當(dāng)0<x<l時(shí)，d(%)<o,此時(shí)函數(shù)9(%)單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，(p'(x)>0,此時(shí)函數(shù)9(%)單調(diào)遞增,

故，0(x)min=9⑴=3-21n2,

又因?yàn)?(0)=2,^(e-l)=e-l,且e—1<2,所以3—21n2〈〃?)<2,

因此，〃一機(jī)的取值范圍是[3—21n2,2).

ln(x+l),x>0

方法2：由已知g(x)=?，則函數(shù)g(x)在(-叫。］、(0,+8)上為增函數(shù),

—+l,x<0

[2

若存在實(shí)數(shù)加、n,其中加<",使得g(加)=g⑺，則一2(機(jī)<0,0<zz<e-l,

/=ln(〃+l)

n=el-1

令g(根)=g(〃)=/，則<_加+]'可得<

/-T+m=2t—2

由一2<0可得0</41,

令〃?)=場(chǎng)一加=e'-2/+1,其中0</41,令/(7)=e'-2=0可得/=ln2,

當(dāng)0</<ln2時(shí)，h'(t)<0,此時(shí)函數(shù)〃⑺單調(diào)遞減，當(dāng)。2<區(qū)1時(shí),〃'⑺>0,

此時(shí)函數(shù)〃⑺單調(diào)遞增，故當(dāng)0</41時(shí)，/z(r)mm=A(ln2)=3-21n2,

又因?yàn)榱?0)=2,A(l)=e-1,且e-1<2,所以3-2山2?〃⑺<2,

因此〃一機(jī)的取值范圍是［3—21n2,2).

19.已知函數(shù)/(x)=ex---1.

X

(1)若方=e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，求函數(shù)/(x)的極值；

(2)若6=1,函數(shù)g(x)=/(x)—@有兩個(gè)零點(diǎn)T,x2(%1<x2).

X

①求。的取值范圍；

X2

②當(dāng)不等式Xe%+2x2e〉機(jī)恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【答案】(1)極小值為/(l)=e—1,無(wú)極大值；

(2)①?！?；②加W3.

【解析】

【分析】(1)直接求導(dǎo)得/'(x)=—e,+elnx,再對(duì)分子求導(dǎo)即可得到/(乃的單調(diào)性和極值；

X'

(2)①問題化為a=xe*_lnx-x在(0,+0°)上有兩個(gè)不同的根，利用導(dǎo)數(shù)研究右側(cè)的值域范圍，即可得參

數(shù)范圍；

②利用同構(gòu)思想進(jìn)行整體換元，轉(zhuǎn)化為7-In/-。=0有兩個(gè)不同正根4=西0,才2=%產(chǎn)，最后利用比值

換元〃二2

h

化為〃>1時(shí)(2〃+1)In〃—m(//—1)>0恒成立求參數(shù)范圍.

【小問1詳解】

由題設(shè)/(》)=/—四—1,且xe(O,+s),