2025屆新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)解答題 分類(lèi)專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)（含解析）

【高考數(shù)學(xué)】【專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)】導(dǎo)數(shù)解答題分類(lèi)練習(xí)

【題型一】求切線(xiàn)、公切線(xiàn)的問(wèn)題（1-3題）

【題型二】函數(shù)單調(diào)性的討論（4-6題）

【題型三】函數(shù)極值點(diǎn)辨析、極值、最值（7-9題）

【題型四】函數(shù)不等式的證明（10-12題）

【題型五】恒成立與能成立（有解）問(wèn)題（13-15題）

【題型六】函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題（16-18題）

【題型七】隱零點(diǎn)問(wèn)題（19-21題）

【題型八】雙變量、極值點(diǎn)偏移、拐點(diǎn)偏移、零點(diǎn)偏移問(wèn)題（22-24題）

【題型九】方程的根、函數(shù)圖像交點(diǎn)和位置問(wèn)題（25-27題）

【題型十】導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)綜合問(wèn)題（28-30題）

【題型一】求切線(xiàn)、公切線(xiàn)的問(wèn)題（1-3題）

1.（2023?貴州?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃x）=e*+x,g（x）=?x2+2x+l.

⑴當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)尸（x）=〃x）—g（x）的單調(diào)性；

⑵當(dāng)a<0時(shí)，求曲線(xiàn)丫=〃M與丁=8（2的公切線(xiàn)方程.

2.(2021.全國(guó).模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=e*,g(x)=lnx.

(1)求函數(shù)"(x)=/(x).g〈x)的最小值(g'(x)為函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù));

(2)試判斷曲線(xiàn)y=〃x)與y=g(x)公切線(xiàn)的條數(shù).

3.(2018?河南安陽(yáng)?一模)已知函數(shù)/3=但+2，g(x)=3elnx,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

ex

⑴討論函數(shù)/(X)的單調(diào)性.

(2)試判斷曲線(xiàn)y=/(%)與y=g。)是否存在公共點(diǎn)并且在公共點(diǎn)處有公切線(xiàn).若存在,求出公

切線(xiàn)/的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【題型二】函數(shù)單調(diào)性的討論（4-6題）

4.（2025?四川內(nèi)江?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃司=§加-/.

⑴若/”）=1,求函數(shù)在區(qū)間［0,2］上的最值；

⑵討論函數(shù)y=的單調(diào)性.

5.（2024?浙江紹興?模擬預(yù)測(cè)）已知"x）=aeX-x,g（x）=cosx.

⑴討論/（x）的單調(diào)性.

⑵若玉。使得/（不）=g（X。），求參數(shù)。的取值范圍.

6.(2022.全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=(x+2a)lnx(aeR).

⑴討論r(x)的單調(diào)性；

⑵是否存在aeZ,使得r(x)>a+2對(duì)曾>1恒成立？若存在，請(qǐng)求出。的最大值；若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【題型三】函數(shù)極值點(diǎn)辨析、極值、最值(7-9題)

7.(2024?云南?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=xlnx-；依3-尤(℃2.

(l)f(x)在x=l處的切線(xiàn)與直線(xiàn)y=x垂直，求。的值;

(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求”的取值范圍.

8.（2022?河南?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）=2sinx-alnx（a＞。）.

⑴當(dāng)°=1時(shí)，求曲線(xiàn)y=〃x）在點(diǎn)伍,2-ln?處的切線(xiàn)方程；

⑵討論“X）在區(qū)間［兀,2兀）上極值點(diǎn)個(gè)數(shù).

2

9.（2021?貴州貴陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知曲線(xiàn)〃切=旄。§加一,，a"

（1）當(dāng)a=0時(shí)，求曲線(xiàn)y=/（x）在點(diǎn)（L〃l））處的切線(xiàn)方程；

（2）若函數(shù)y=/（x）有三個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【題型四】函數(shù)不等式的證明(10-12題)

10.(2024?陜西榆林?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=e'+(a-l)x-l,其中aeR.

(1)討論函數(shù)〃司的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a=2時(shí)，證明：/(x)>xliu-cosLr.

n.(2023.廣東廣州?二模)已知函數(shù)/(x)=ln(l+x),g(x)=ox2+x.

⑴當(dāng)犬>—1時(shí)，/(x)<^(x),求實(shí)數(shù)〃的取值范圍；

(2)已知〃GN*,證明：sin—^―+sin+???+sin—<ln2.

H+1n+22n

12.(2023?湖北十堰.二模)已知函數(shù)〃x)=(2—x)e。6-2.

(1)若f(x)在R上單調(diào)遞減，求。的取值范圍；

⑵當(dāng)0<.<1時(shí)，求證〃x)在(0,+8)上只有一個(gè)零點(diǎn)毛,且毛<白.

【題型五】恒成立與能成立（有解）問(wèn)題（13-15題）

13.（2020?山東?高考真題）已知函數(shù)/（%）=〃e"T—Inx+lna.

（1）當(dāng)“=e時(shí)，求曲線(xiàn)y=在點(diǎn)。，/⑴）處的切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;

（2）若不等式/（x）Nl恒成立，求a的取值范圍.

14.(2023?四川成都?二模)已知函數(shù)g(x)=ax-a-ln無(wú),〃x)=xg(x),且g(x)N0.

⑴求實(shí)數(shù)。的值；

⑵證明：存在%,「伉)=0且0</<1,0<彳<1時(shí),/(x)</(^).

15.(2023?江西南昌?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=e*+(l-a)x-lna-lnx(a>0).

⑴若”=e,求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若不等式/(X)<1在區(qū)間(1,y)上有解，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【題型六】函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題（16-18題）

16.（22-23高二下?河南?期末）已知函數(shù)/（x）=ae*—x,aeR.

（1）當(dāng)々=—時(shí)，證明："X）—lnx+x—120在（0,+8）上恒成立；

⑵若丁（無(wú)）有2個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

17.（2024?河南鄭州三模）已知函數(shù)/（x）=e"—x.

⑴若a=2,求在（1/（1））處的切線(xiàn)方程；

⑵討論“X）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

18.(2019?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)/(x)=2sinx—xcosx—x,f(x)為于(x)的導(dǎo)數(shù).

(1)證明：f(x)在區(qū)間(0,萬(wàn))存在唯一零點(diǎn)；

(2)若工￡[0,用時(shí)，f(x)>ax,求Q的取值范圍.

【題型七】隱零點(diǎn)問(wèn)題（19-21題）

19.（2018高三?全國(guó)?競(jìng)賽）設(shè)函數(shù)〃x）=1,%是正整數(shù).當(dāng)x>0時(shí)，〃尤）>娛

恒成立.求上的最大值.

20.(2023高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))設(shè)函數(shù)f(x)=e2，-alnx.

(1)求。=e時(shí)，/(x)的單調(diào)區(qū)間；

2

(2)求證：當(dāng)a>0時(shí)，/(x)>2a+a\n—.

a

21.(2020?北京?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=x-lnx-2.

(1)證明：f(x)在區(qū)間(3,4)內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；

(2)若對(duì)于任意的都有xlnx+x>Mx-l),求整數(shù)％的最大值.

【題型八】雙變量、極值點(diǎn)偏移、拐點(diǎn)偏移、零點(diǎn)偏移問(wèn)題(22-24題)

22.(2023-江西南昌?二模)己知函數(shù)/'(x)=x(lnx—。)，g(x)=+a-ax.

⑴當(dāng)時(shí)，/(x)、-Inx-2恒成立,求a的取值范圍.

⑵若g(x)的兩個(gè)相異零點(diǎn)為%，求證：項(xiàng)

23.(22-23高三上?河北唐山?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=(x-l)hu-x2+ax(aeR).

⑴若函數(shù)y=/'(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍；

⑵設(shè)占,％是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：x,+x2>2.

24.（2023?江西?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/。）=冗+=.

e

⑴討論了（X）的單調(diào)性；

⑵若凡片々，且〃占）=/（9）=2,證明：0<〃2<e,且再+尤2<2.

【題型九】方程的根、函數(shù)圖像交點(diǎn)和位置問(wèn)題(25-27題)

25.(23-24高三下?山東荷澤?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=(x-l)e*-加，aeR.

⑴當(dāng)時(shí)，求“X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若方程，(x)+a=O有三個(gè)不同的實(shí)根，求。的取值范圍.

26.(2023.河南.模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=xlnx-加，-⑺為/(x)的導(dǎo)數(shù).

⑴討論廣⑺的單調(diào)性；

(2)若直線(xiàn)>=三與曲線(xiàn)y=f(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍.

高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))設(shè)函數(shù)/(司=；%-機(jī)無(wú)，2

27.(20232Ing(x)=x(m+l)x,m>0.

⑴求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵當(dāng)機(jī)＞1時(shí)，討論函數(shù)〃x)與g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

【題型十】導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)綜合問(wèn)題（28-30題）

28.（23-24高三下?四川綿陽(yáng)?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=ex-msinx,

⑴討論mNO時(shí)函數(shù)外力在[0,可上的單調(diào)性；

（2）當(dāng)加=1時(shí)，若加+1對(duì)于任意xw[0,+oo）恒成立，求。的取值范圍.

29.(23-24高三上.河北.階段練習(xí))已知函數(shù)〃尤)=sin(x-l)-Inx,尸(x)為的導(dǎo)數(shù).

⑴證明：廣(x)在區(qū)間(0,1+鼻上存在唯一極大值點(diǎn)；

⑵求函數(shù)/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

30.（2024?四川南充?三模）已知函數(shù)/1（無(wú)）=；/-sinx+ox.

⑴當(dāng)。=1時(shí)，求〃x）的最小值；

⑵①求證：“X）有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；

②當(dāng)ae[-1-71,1]時(shí)，設(shè)/（X）的極值點(diǎn)為升,若g（無(wú)）=-；x2+2siru-2x.求證:

f（x0）＞g（x0）

參考答案:

1.⑴在R上單調(diào)遞增.(2)y=2x+le"—A-cix^X]+(4a—2)e%—4〃+1=0.

【解答】(1)當(dāng)〃=工時(shí)，

2令加⑴=e2x-4axcx+(4a—2)e*—4〃+1,

F(x)=/(x)-g(x)=ex--x2-x-l(xeR)

m'(x)=2e2x—4aex—4orex+(4〃-2)e"=2ex(e》-2ax-])

Fr(x)=ex-x-l

令夕(x)=e*-2ax-l,

令/i(x)=F(x),有“(x)=e*—1,

因?yàn)閍vO,所以函數(shù)丁=一2。%—1在在R單調(diào)遞增，

當(dāng)X￡(TX),O)時(shí)，〃(尤)vO,函數(shù)7z(x)在(一8,0)又函數(shù)y=e”在在R單調(diào)遞增，

所以夕(x)在R單調(diào)遞增，又0(0)=0,

上單調(diào)遞減，

X￡(0,+8),勿(X)>0,函數(shù)人(無(wú))在(0,+8)上單當(dāng)元￡(一8,0),0(%)<0,

調(diào)遞增，X￡(O,+8),0(X)>0,

故/i(x)之用(0)=0,即b'(X)之0,

又e，>0得，

所以尸(%)=/(九)一g(九)在R上單調(diào)遞增.所以工￡(-??,0),m'(x)<0,

(2)因?yàn)?(九)=e*+%,g(jv)=52+2%+1,%￡(0,+8),加(%)>0,

所以/'(x)=e*+l,g(x)=2or+2,所以相⑴在(-00,0)單調(diào)遞減，在(0,+8)單調(diào)遞增，

設(shè)曲線(xiàn)y=/(%)在點(diǎn)(%，/(菁))與曲線(xiàn)y=g(尤)所以m(x)>m(0)=0,

在(％2，g(%2))的切線(xiàn)相同，因此函數(shù)y=m(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，

則切線(xiàn)方程為y—/(石)"'(%)(%-%)，即即匕2過(guò)-4時(shí)e再+(4a—2)e再-4〃+1=0只有一

y—eXi—X,=(e*i+1)(%—玉)，個(gè)解石=0,

此時(shí)切線(xiàn)方程為y=2x+L

整理得y=(e畫(huà)+1)九一e西石+e畫(huà).

所以曲線(xiàn)>=/(%)與丁=8(%)的公切線(xiàn)方程為

又切線(xiàn)方程也可表示為y-g(/)=(?'(X2)(%_%2)，

y=2x+l.

即y—ovf—2X(+2)(X—X),

2—1=2OX222.(1)e；(2)2條公切線(xiàn).

整理得y=(2依2+2)%—應(yīng)+1，【解答】(I)g'(x)=—,函數(shù)//(無(wú))=——，定義域?yàn)?/p>

XX

eX|+1=2g+2(0,4-00),

所以《

.'?消/整理得

—e'玉+e*'=—ax?+1

且“(x)=e(：1),令“(%)=0得1=]因?yàn)閺S(chǎng)[4]=1—W>0，^(e2)=e2-3>0,

x

當(dāng)了￡(0,1)時(shí)，”(x)<0,當(dāng)無(wú)￡(l,+oo)時(shí)，所以尸(%)=jvlnx—Inx—%—1=0有兩個(gè)正數(shù)根，再

x1

”(九)>0,由eI=——，可得兩個(gè)對(duì)應(yīng)的占的值.

即函數(shù)h{x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,y)上單調(diào)遞增,故曲線(xiàn)y=/(%)與y=g(%)有2條公切線(xiàn).

所以心僵=〃⑴=e-

3.(1)/(%)在(-00,0)上單調(diào)遞減，在[0,3廣|上單調(diào)

(2)設(shè)曲線(xiàn)y=e”與切線(xiàn)的切點(diǎn)橫坐標(biāo)為X],曲線(xiàn)

遞減，在上單調(diào)遞增.

y=lnx與切線(xiàn)的切點(diǎn)橫坐標(biāo)為馬(石w尤2，々>。)?

v1(2)存在，y=3x

因?yàn)?e*y=e>(inx)’

X

2x2e2

【解答】(1)解：因?yàn)?(%)=臼一+匚定義域?yàn)?/p>

r1eX1—Inxex

所以e再=—=----------

x再-x

22{%|xW。},

所以f(x)="一W=令/'(x)=0,

exex

1ex,-Inx1--Inx,e

1?

將其代入——=--------得1x2解得x—77=.

x2-lnx2-x2

(九)<0；當(dāng)工>帚時(shí)'

當(dāng)x<~?7=且%。0時(shí)，

整理得x2Inx2-Inx2-x2-1=0.

r(x)>o,

記x=%2>0，令r(x)=Jvlnx—Inx—x—1,

則/(九)=Inx--,/(x)在(o,+8)上單調(diào)遞增,所以〃力在(一8,0)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)

且/(1)=一1<0,/⑵=ln2-；>0，

上單調(diào)遞增.

所以r'(x)=0在(1,2)上有唯一的解，設(shè)為x0,

(2)解：由且(％)=3匕1口%定義域?yàn)?0,+8),

則函數(shù)r(x)在(0,%)上單調(diào)遞減，在(5，+?)上單調(diào)

，/、3e

g(X)=一

遞增，故r(x)有極小值.X

,1假設(shè)曲線(xiàn)丁=/(X)與y=g(x)存在公共點(diǎn)且在公共點(diǎn)

又Inx。=一，

%

處有公切線(xiàn)，且切點(diǎn)橫坐標(biāo)為%>0.

所以r(x())=入11nM—]nx0-x0-1

11,

—Y________Y——1—---FXQj<0.

一人0Ao1——

%%X。)

?2

所以當(dāng)0<兀<§時(shí)/'(%)v0,當(dāng)§〈尤<2時(shí)

/（x0）=g（x（））

/（無(wú)o）=g'（x。）r(x)>o,

所以/(X)在I。,'!]上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,

2

4xne3e,?」3八

其中--------Y=—即4須）一3e工0—e=0,

e天%）又"0)=0,42)=4,,

記1(%)=4%3-3昭2%-匕3,XG(0,+O0),則所以函數(shù)/'(x)在區(qū)間[0,2]上的最小值為

/1|■]=一六，最大值為"2)=4；

"(%)=3(2x+e)(2x—e),

2

所以當(dāng)■時(shí)”(x)<0,當(dāng)%時(shí)(2)函數(shù)%2的定義域?yàn)镽且

”(九)>0,/r（x）=2m;2-2x=2j;（ar-l）,

所以〃(X)在［o,1^上單調(diào)遞減，在+8)上單調(diào)遞

若々=0時(shí)，當(dāng)兄<0時(shí)/當(dāng)％>0時(shí)

增，

又7/(0)=W〃0=-2e3,仆)=0,

所以/(%)在(-8,0)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞

故方程為(%)=0在(0,+e)上有唯一實(shí)數(shù)根尤0=e,

減;

若Q>0時(shí)，則當(dāng)％<0或％>工時(shí)/'(%)>。，當(dāng)

經(jīng)驗(yàn)證九0=e也滿(mǎn)足2片+——=3elnx0，a

%

0<x<—時(shí)/'⑺v0,

a

于是〃/o)=々(/)=3e'(Xo)=g'5)=3,

所以〃X)在(-8,0),[L+s]上單調(diào)遞增，在

所以曲線(xiàn)丁=/(%)與y=g(尤)的公切線(xiàn)/的方程為

[o,一J上單調(diào)遞減；

y-3e=3(x-e),即y=3x.

若avO時(shí)，則當(dāng)x<工或%>0時(shí)/'(x)v0,當(dāng)

4a

4.(1)最小值為-----，最大值為4(2)答案見(jiàn)解析

27

—<x<0時(shí)/'(%)>0,

2

【解答】(1)因?yàn)?(%)=§依3一%2,所以a

所以/(%)在1-8,—],(0,+")上單調(diào)遞減，在

f'^x)=2cu3—2x,

[1,0)上單調(diào)遞增；

則/'(1)=2〃-2=1,解得a=~,

綜上可得：當(dāng)4=0時(shí)/(元)在(—。,0)上單調(diào)遞增，在

所以/(x)=x3-x2,則

/0=3%2-2x=x（3x-2）,

當(dāng)Q〉0時(shí)/(%)在(-00,0)，［j,+s］上單調(diào)遞增，

，故/(%)>g(x)恒成立,這表明此時(shí)條件不滿(mǎn)足；

在(0,：］上單調(diào)遞減；

當(dāng)a<l時(shí)，設(shè)/?(%)=ae"-x-cosx,由于

當(dāng)〃<0時(shí)/(X)在1―8,工］(0,+8)上單調(diào)遞減，

/z(-|a|-l)=ae"+|a|+l-cos(-|a|-l)>ae"+|fl|2一,甘口+,卜\c

在［L,o］上單調(diào)遞增.

，/z(0)=4e°-0-cos0=a-lW0,

5.(1)當(dāng)〃W0時(shí)，/(%)在(-8,+00)上單調(diào)遞減；當(dāng)故由零點(diǎn)存在定理，知一定存在/c］—］4一1,。］,使得

〃>0時(shí)，/(%)在(TO,—Ina)上單調(diào)遞減，在/?(方)=。,故

(—Ina,+oo)上單調(diào)遞增.(2)(-co,l］/(%)一g(%)=ae麗-xQ-cosx0=h(xQ)=0

【解答】(1)由/(x)=ae"-x,知/'(x)=ae*-l.從而/(Xo)=g(%o),這表明此時(shí)條件滿(mǎn)足.

當(dāng)aV0時(shí)，有/f(x)=acx—1<0—1=—1<0,所綜上，a的取值范圍是(-00,1］.

以/(%)在(一。,+8)上單調(diào)遞減；6.(1)當(dāng)a<0時(shí)，/'(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增；?當(dāng)

當(dāng)。>0時(shí)，對(duì)x<-lna有a>0時(shí)，f'(x)在(0,2a)上單調(diào)遞減，在(2a,+x>)

/(%)=Oe”—1<茂“a—1=1—1=0,

上單調(diào)遞增.

對(duì)x>-ln〃有(2)不存在滿(mǎn)足條件的整數(shù)a,理由見(jiàn)解析

/'(x)=ae*—1>求“"—1=1—1=0,【解答】(1)因?yàn)?'(x)=(x+2a)lnx(x>0),

所以/(%)在(一8,—In〃)上單調(diào)遞減，在所以/'(%)—Inx+1+—.

(-lna,+a?)上單調(diào)遞增.記g(x)=/'(%)=lnx+l+—(x>0),

12ax-2a

綜上，當(dāng)〃00時(shí)，/(%)在(一8,+8)上單調(diào)遞減；

xx2x2

當(dāng)〃>0時(shí),/(%)在(一8,—Ina)上單調(diào)遞減,在當(dāng)a?0時(shí)，g'(x)>0,即g(%)在(O,+8)上單調(diào)遞

(一Ina,+8)上單調(diào)遞增.增；

當(dāng)a>0時(shí)，由g'(x)>0,解得x>2a，

(2)當(dāng)a>l時(shí)，由(1)的結(jié)論，知/(%)在(-8,一lna)

即g(x)在(2a,4w)上單調(diào)遞增；

上單調(diào)遞減，在(-Ina,+。)上單調(diào)遞增，

由g'(x)<。,解得。<xv2a,

所以對(duì)任意的工都有

/(x)>/(-ln?)=fle-lnfl+lntz=l+liid!>l+tal=l>coj元土賊價(jià))在(0,2Q)上單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)a40時(shí)，f'(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增;7.(Da=1(2)

當(dāng)a>0時(shí)，/'(x)在(0,2a)上單調(diào)遞減，在【知識(shí)點(diǎn)】已知切線(xiàn)(斜率)求參數(shù)、根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)

【詳解】(1)/'(%)=1111+1—辦2—1=In]一辦2,

又了(%)在％=i處的切線(xiàn)與丁=%垂直，所以

(2)假設(shè)存在aeZ，使得/'(x)>a+2對(duì)任意x>l

/⑴=T,即一，=一1，所以々=1；

恒成立，即xlnx—x—ax+2a>0對(duì)任意x>l恒成

立.(2)因?yàn)?'(%)=Inx-依2,且，(無(wú))有兩個(gè)極值點(diǎn),

令7i(x)=xlnx-x—依+2a(x>l),則

所以方程/(x)=0在(o,+8)上有兩個(gè)不同的根,

"(x)=lnx-a，即方程In犬一辦2=。有兩個(gè)不同的正數(shù)根,

]nx

當(dāng)〃?0且awZ時(shí)，”(x)>0,則/z(x)在(L+oo)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)=—丁與函數(shù)y=a的圖象在

上單調(diào)遞增，(0,+8)上有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

x(l-21nx)_l-21nx

若%>0對(duì)任意%>1恒成立，則/z(l)=Q—120,則/(%)=，令

./\1—21nx_/—

即121,矛盾，故舍去；g(*)=—§—=0,解得了=6,

當(dāng)。>0，且時(shí)，由Inx—a>0得兀>e"；

當(dāng)時(shí),gr(x)<0,g(%)單調(diào)遞減,

由Inx—avO得l<xve"，

當(dāng)0<了<、6時(shí)，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，

所以;1(%)在(1,e")上單調(diào)遞減，在(e",+00)上單調(diào)遞

且當(dāng)X>1時(shí)，9(%)>0，且%f+8,

增，

所以="(e")=2a—e",則令g(i)=o.

h(x\.=2a—e">0即可.故作出g(x)的圖象如圖所示:

\/mm

令G(f)=2f—e'Q>0),則G'?)=2—e',

當(dāng)2-e'>0,即，<ln2時(shí)，G“)單調(diào)遞增；

當(dāng)2—e'<0,即/>ln2時(shí)，G。)單調(diào)遞減，

所以G⑺1rax=G(ln2)=21n2-2<0.

所以不存在a〉0且a￡Z，使得2〃一匕°>0成立.

即Q的取值范圍為

綜上所述，不存在滿(mǎn)足條件的整數(shù)271

8.(1)y=--x+3—?In—

712

(2)當(dāng)0<Q<4兀時(shí)，/(%)在區(qū)間［兀,2兀)上極值點(diǎn)個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)為0,

綜合上述，當(dāng)0<a<4兀時(shí)，/(%)在區(qū)間［兀,2兀)上極

為1;

當(dāng)〃之4兀時(shí)，/(%)在區(qū)間［兀,2兀)上極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；

當(dāng)〃24兀時(shí)，/(%)在區(qū)間［兀,2兀)上極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；

【解答】(1)當(dāng)&=1時(shí)，/r(x)=2cosx--,貝1J

9.(1)y=lex-e；(2)('1'+00］

【解答】(1)當(dāng)〃=0時(shí)，

所以曲線(xiàn)y=/(x)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為：

f(x)=xex^=>f(x)=ex+xex=jT⑴=2e,

-嗚1-步-。即

由/⑴=e，

271

y=—x+3—In—.

712

故曲線(xiàn)y=/(x)在尤=1處的切線(xiàn)方程為：

(2)由題意得，/'(%)=2cosx——，(Q>0),

y-e=2e(x-l),化簡(jiǎn)得：y=2ex-e.

因?yàn)楹瘮?shù)y=2cosx,y=-@(a>0)在區(qū)間

(2)

［兀,2兀)上均單調(diào)遞增，

'?"'(％)=/(4+1)—2ta(x+1)=(x+1)佇一2句

所以/'(%)=2COS%—4(Q>0)在區(qū)間［兀,2兀)上單

，，令

調(diào)遞增，=0=(x+1乂，-2ar)=0=x+l=0

r(7r)=-2--<o,

71或e"-2ax=0，

當(dāng)了'(2兀)=2------>0?即0<"<4兀時(shí),由于函數(shù))=/(%)有三個(gè)極值點(diǎn)Xi,乙，13，

2兀

x

f\x)在區(qū)間［71,271)上存在唯一的零點(diǎn)m,所以方程e-2ax=0必有兩個(gè)不同的實(shí)根，

設(shè)g(%)=e，-2ar,可得g'(x)="-2。，

則/(%)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間(機(jī),271)上單

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，不符

調(diào)遞增，QW0g'(%)>0g(x)H

所以/(%)在區(qū)間［兀,2兀)上只有1個(gè)極值點(diǎn)，且為極小值合題意；

當(dāng)〉時(shí)，的兩個(gè)零點(diǎn)必為正數(shù).

點(diǎn)，a0g(x)

當(dāng)了'(2兀)=2-gW0,即口上4兀時(shí)，f\x)<0令g'(%)=0=>e'_2a=0=>x=In2a,

2兀

對(duì)九￡［兀,2兀)恒成立，所以在九￡(—)』112。)，g'(%)<0,g(x)單調(diào)遞減；

所以/(X)在區(qū)間［兀,2兀)上單調(diào)遞減，沒(méi)有極值，即極值在X￡(ln2a,+oo),g(x)單調(diào)遞增.

依題意，要使得函數(shù)g(x)=ex-2ax有兩個(gè)不同的零點(diǎn)ex+X+COSX-1-X1HX>0,XG(0,+OO),

尤2，與，則8⑺麗=8山2")<0,于是①當(dāng)0<九(1時(shí)，???e“+%+cosx-l>0，

xlnx<0,

e'n2a—2aIn2av0=2a—2aIn2av0=1—In2av0=。>￡

2

/.exH-x+cosx—1—xlnx>0；

..??當(dāng)〃■時(shí)，在%￡(—00,—1),//(X)<O,/(X)

②當(dāng)尤>1時(shí)，令g(x)=e"+x+cosx—1-xlnx,

單調(diào)遞減，在了￡(—1,42)，/'(X)>0，/(%)單調(diào)遞

則g'(x)=eX_sinx_lnx,設(shè)7z(x)=g'(x),則

增，在X￡(九2，%3)，/(%)單調(diào)遞減，在

/(x)=ex-cos%--,

%￡(毛，+00),/(%)單調(diào)遞增.Qx>l,ex>e>2?-1<」<0，

x

故實(shí)數(shù)Q的取值范圍是[?|，+8]

—14―cosy<1,7/(%))0,

10.(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析

「/⑺在(1,+oo)上單調(diào)遞增，

【解答】(1)?.?/(%)=?，+(〃—1)%—1>

/z(x)>/z(l)=e—sinl-0>0,即g'(%)>0,

???/'(%)=d+a-1,

/.g(X)在(1,-KX))上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，/'(X)=e*+a—1>0,函數(shù)/⑺在R

g(x)>g(1)=e+cosl>0,即

上單調(diào)遞增；

e"+x+cosx-l—xlnx>0?

當(dāng)QVI時(shí)，由/'(x)=e”+a-l>0,得

綜上，當(dāng)〃=2時(shí)，/(J;)>xlnx-cosx.

x>In(1—(2),

ii.(DaNO⑵證明見(jiàn)解析

函數(shù)〃力在區(qū)間(ln(l-a),+8)上單調(diào)遞增，

【解答】(1)解：令/z(x)=ln(x+l)-x(x>-l),

由/'(x)=e"+a—l<。,得xvln(l—a),

則h!(x\=-----1=———,

\7X+lX+1

函數(shù)/(%)在區(qū)間(-8,ln(l—a))上單調(diào)遞減.

當(dāng)一1vxvO時(shí)，〃(犬)>0,則函數(shù)力(%)在(一1,0)

綜上，當(dāng)時(shí)，/(%)在上單調(diào)遞增，無(wú)減區(qū)間.

R上單調(diào)遞增，

當(dāng)avl時(shí)，/(%)在(in(1-十句上單調(diào)遞增，在當(dāng)％>0時(shí)，/zf(x)<0,則函數(shù)7z(九)在(0,+a?)上單

(—8,In(1—a))上單調(diào)遞減.調(diào)遞減，

所以，=用(0)=0,即ln(x+l)<x,

(2)???當(dāng)〃=2時(shí)，/(尤)=e"+x—l,

所以，當(dāng)。之0時(shí)，In(九+1)KxK辦之+犬，即

二.要證/(x)>jdrLx-cosx,即證

「.1.1,1

/(%)<g(x),所以，sin-------bsin-------1-----bsin——

n+1n+22n

v[ln(n+l)—In〃]+[ln(〃+2)—ln(〃+l)]d----1-|^ln(2n)—In(2n—1)J

當(dāng)avO時(shí)，取入0=—■->0,

a

2H

=]n(2n]—lnn=In——=ln2.

由于ln(l+Xo)>lnl=O,而n

12.(l)[l,+oo卜2)證明見(jiàn)解析

(1丫1

(2XQ+%0=aj——=0，得

Va)a

【解答】(i)因?yàn)?(%)=(2-X)6"—。(:一2,所以

竭

In(%+1)>+x0,

廣(x)=(l-x)e"-a.

故/(九o)>g(%o),不合乎題意.

由/'(X)在R上單調(diào)遞減，得/'(x)wo,即

綜上所述，a>0.

(l-x)e*—aWO在R上恒成立.

(2)證明：當(dāng)。=0時(shí)，由(1)可得ln(x+l)4x,貝！1

令g(x)=(l_九)/一々,則g'(x)=fe”.

lnx<x-l，

可得In’W』一1,即一—1,即當(dāng)XW(TX),0)時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

XXX

當(dāng)了￡(0,+oo)時(shí)，g'(x)vO,g(x)單調(diào)遞減.

lnx>1-—(x>1),

令』=1一,，所以，尤二一乙一，所以，In」一21，故g(%)max=g(0)=l—解得.NL

txt——1t——1t

即a的取值范圍為[1,+8).

(2)由(1)可知，/'(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減，且

所以，一Wln(〃+左)一ln(〃+左一1),

/(O)=l-47>O,/(l)=-6Z<0,

左￡{0,1,2,???,〃},

故三不￡(0,1],使得/(玉)=0.

令g(x)=x—sinx(尤>。)，貝ij

當(dāng)％￡(0,玉)時(shí)，/r(x)>0,函數(shù)/(%)單調(diào)遞增；

gr(x)=l-cos%>0,且g'(無(wú))不恒為零，

當(dāng)%￡(%,+00)時(shí)，/'(%)<0,函數(shù)單調(diào)遞減.

所以，函數(shù)g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，故

因?yàn)?(0)=0,/(2)=-2a-2<0,所以/(%)在

g(%)>g(O)=O,則sinxv尤(％>0),

上只有一個(gè)零點(diǎn)八,

所以，(0,2)

sin---<---<In(n+-In(n+A:—1),故函數(shù)/(%)在(0,+8)上只有一個(gè)零點(diǎn)%.

zz+kzz+k

A:e{0,1,2,---,n},因?yàn)?<%<2,所以要證/即證

Q+1

在（0,+8）上單調(diào)遞增，即/'（%）在（0,+OO）上單調(diào)

4zxo+x0-e<0,即證a%o+2—eVO.

遞增，

因?yàn)?(Xo)=(2_xo)e與一〃^_2=0,得

當(dāng)4=1時(shí)，八1）=0,??./（4加=〃1）=1,.：

(2-Xo)e%=映+2,

〃九）21成立.

所以(2—九o)e與Ke,故需證(2一%)e%—eWO即

當(dāng)。＞1時(shí)，）＜1，./Li，

可.

1--1

???/'（一）-⑴-l）（6Z-l）＜0,

令/z(x)=(2—x)e"-e,0〈犬<2，則a

，存在唯一%＞0,使得了'（Xo）=〃e與7—」-二。，

rx

/z(x)=(l-x)e.%

且當(dāng)xw（O,Xo）時(shí)/'（%）＜0,當(dāng)%￡（%0，+oo）時(shí)

當(dāng)xw(0,l)時(shí)，"(x)>0,/z(x)單調(diào)遞增；當(dāng)

f（x）＞0,ae^=—,

元￡(1,2)時(shí)，”(x)vO,/i(x)單調(diào)遞減.%

/.ln（i+x0-l=-lnx0,

故力(%)的=九(1)=0.即(2-%o)e"—e<0,

原不等式即證.因此/(x)^=/(x0)=ae'b-In/+Ina

2

13.(1)----(2)［1,+℃)

e