2025年高考數(shù)學(xué)熱點題型突破：解三角形十類題型匯編

*者率*急JUL型突破.,第三魯彬十昊烈型匯￡

近4年考情(2021-2024)

考題統(tǒng)計考點分析考點吳求

2024年/卷第15題，13分

2024年〃卷第15題，13分

高考對本節(jié)的考查不會有大的變（1）正弦定理、余弦定理及其變形

2024年甲卷第11題，5分化，仍將以考查正余弦定理的基本

（2）三角形的面積公式并能應(yīng)用

2023年I卷〃卷第17題，10分使用、面積公式的應(yīng)用為主.從近

五年的全國卷的考查情況來看，本

2023年甲卷第16題，5分（3）實際應(yīng)用

節(jié)是高考的熱點，主要以考查正余

2023年乙卷第18題，12分弦定理的應(yīng)用和面積公式為主.（4）三角恒等變換

2022年/卷〃卷第18題，12分

2021年/卷〃卷第20題，12分

題型一拆角與姿角................................................................2

類型一出現(xiàn)了3個角（拆角）..............................................................2

類型二湊角..............................................................................3

類型三拆角后再用輔助角公式合并求角.................................................5

類型四通過誘導(dǎo)公式統(tǒng)一函數(shù)名........................................................6

題型二利用余裁定理化簡等式......................................................7

類型一出現(xiàn)了角或邊的平方.............................................................7

類型二出現(xiàn)角的余弦（正弦走不通）.......................................................9

題型三周長與面積相關(guān)計算.......................................................11

類型一面積相關(guān)計算...................................................................11

類型二周長的相關(guān)計算.................................................................13

題型四倍角關(guān)系.................................................................16

類型一倍角關(guān)系的證明和應(yīng)用..........................................................16

類型二擴角降幕........................................................................19

類型三圖形中二倍角的處理............................................................20

題型五角平分線相關(guān)計算.........................................................23

題型六中線相關(guān)計算.............................................................27

題型七高線線相關(guān)計算...........................................................32

題型八其它中間線...............................................................34

題型九三角勸解的個數(shù)問題.......................................................41

題型十解三角形的實際應(yīng)用.......................................................44

類型一距離問題.......................................................................44

類型二高度問題.......................................................................46

■o（熱點題型）O

題型一拆角與湊角

核心?技巧

（1）正弦定理的應(yīng)用

①邊化角，角化邊u>a:b:c=sinA:sinB:sinC

②大邊對大角大角對大邊

a>b^A>B<=>sinA>sinB=cosA<cosB

a+bb+c_以+c_ab

施=2A

③合分比:si.沈;sin。sinA+sinBsinB+sinCsinA+sinCsinAsinB

（2）AABG內(nèi)角和定理（結(jié)合誘導(dǎo)公式）：A+B+。=兀

①sin。=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=c=acosB+bcosA

同理有：a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC.

②一cosC=cos(?l+8)=cosAcosB—sin^sinB;

③斜三角形中，—tanC=tan(力+B)=-3”人士1ali義gtanyl+tanB+tan(7=tanA-tanB-tanG

1—tanA*tanB

小.(A-\-B\C(A-\-B\.C

⑷sm(---)=cos—;cos(---)=sm—

類型一出現(xiàn)了3個角（拆角）

1.在中黑，求人的值

2./XABC的內(nèi)角ABC的對邊分別為a,b,c,且b=2csin(A+[■),求C.

3.（湛江一模）在△ABC中，內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知卷=2cos管-C）

求4

類型二次角

4.在△4BC中，角A,B,。的對邊分別為Q,b,c,已知2QcosZ?cos8+bcos2Z=，5c—6,求角A

5.（2024屆?廣州?階段練習(xí)）已知△ABC中角A,B,。的對邊分別為a,b,c,滿足CcosB+々cosC=

aa

3cosc，求sin。的值

6.在△ABC中，角45。所對的邊分別為a,c,且以+意a3a

cosAcosBcosC

tanBtanC.

???

7.=csin>l,求角。的大小.

8.已知△4BC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為Q,b,c,且，^bcos，,巨=csin_B,求。

9.在△4BC中，內(nèi)角Z,B,。所對邊的長分別為Q,b,c,且滿足bcos。=asin_B,求4

類型三拆角后再用球助角公式合并求角

10.（深圳一模）記△4BC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為Q,b,c,已知b+c=2asin（c+今），求4

11.在△48。中，V3sinC+cosC=sin8+：in。，求在

sin力

???

12.銳角△4BC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為Q,b,c,已知QCOsC+，^csinA=b+c,求4

13.已知Q,6“分別為44及7三個內(nèi)角48,。的對邊，且acosC+，^asinC=b+c,求角A的大小;

類型四通過誘導(dǎo)公式端一函數(shù)名

14.在△48。中，內(nèi)角所對的邊分別為a,b,c.已知asinB=bcos（A—*），求A的值

15.已知△ABC中，角A,B,。所對邊分別為Q,b,c,若滿足a(sin2A—cosBcosC)+bsinAsinC=0,求

角人的大小.

16.在△ABC中，內(nèi)角4,旦。所對的邊分別為a,b,c.已知asinB=bcos（_A—專），bcosC=ccosB,求＞1的

值.

???

題型二利用余弦定理化簡等式

核心技巧

余弦定理

a2^b2+c2-2bccosA;

公式b2=c2+a2—2accosB;

c2^a2+b2-2abcosC.

b2+c2-a2

cosAA=C7;

2bc

ac2+a2—b2

常見變形cosB=八;

2ac

cosC=C.

2ab

類型一出現(xiàn)了角或邊的平方

17.已知△4BC內(nèi)角人,8,。所對的邊長分別為Q,b,c,2，^Q2cos8+b2=2abcosC+a2+c?,求_B.

18.(2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)在△ABC中，內(nèi)角所對的邊分別為a,b,c,若6=看，〃

O

=~|~ac,貝1JsinA+sinC=()

A2聞nV39「an3VU

A-is-B-?fD-13-

19.記△4BC的內(nèi)角。的對邊分別為a,b,c,已知＜?=3〃+c?,貝ij扭空=

tanC------

20.(2023年北京高考數(shù)學(xué)真題)在4ABe中，(Q+c)(sinA-sin。)=6(sinA-sinB)，則/。=()

21.在AABC中，角人,8,。的對邊分別為a,b,c,已知c=2函2asinCcos_B=asirM—bsinB+^-bsinC,

求b;

MS

22.（2024屆.湖南四大名校團隊模擬沖刺卷（一））在△4BC中，內(nèi)角45。所對的邊分別為a,b,c,已知

△ABC的面積為S,

且2S（包呼+弛嗎）=3+〃）sin4求C的值

\smBsmG）

23.（2024廣東省六校高三第四次聯(lián)考）已知△ABC的角A,B,。的對邊分別為Q,b,c,且

sinA（ccosB+bcosC）—csinB=csinC+bsinB,求角A

24.記A4BC的內(nèi)角。的對邊分別為a,b,c.已知〃—a?=2c2,求應(yīng)與的值

tanA

類型二出現(xiàn)角的余弦（正救走不通）

25.記△48。的內(nèi)角A>8、。的對邊分別為Q、b、c,已知bcosA—acosB—b—c,求4

???

26.已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角ABC的對邊，且sin(/—B)=2sinC,證明:a2=〃+2c2.

27.在△4BC中，內(nèi)角ABC的對邊分別為a,b,c,c=2b,2sinA=3sin2C,求sinC.

28.記△ABC的內(nèi)角4BC的對邊分別為a,b,c,B=,且(sinA+sinB)sinC+cos2C=1,求證5a=

o

3c

29.已知△AB。的內(nèi)角A、B、。的對邊分別為a、b、c,sin(A—B)tanC=sinCsinB,求"方0

b2

30.△ABC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為Q,b,c.已知(b—c)sinB=bsin(A—C),求角A.

???

題型三周長與面積相關(guān)計算

核心技巧

設(shè)計周長和面積的相關(guān)計算一般會用到余弦定理還有可能需要用到完全平方公式

對于完全平方公式：（Q+b）2=Q2+〃+2ab，其中兩邊之和a+b對應(yīng)周長，兩邊平方和02+〃在余弦定理中，

兩邊之積ab在面積公式和余弦定理中都會出現(xiàn)

類型一麗相關(guān)計算

31.已知△ABC中角A,。的對邊分別為a,b,c,sinC=飛工，a=b+四，c=，求△ABC的面

o

積.

32.（2024新高考一卷?真題）記AABC的內(nèi)角A、8、C的對邊分別為a,b,c,已知sinC=V2cosB,a2+62

—c2=V2ab

⑴求B；（2）若△ABC的面積為3+3，求c.

33.記△ABC的內(nèi)角ABC的對邊分別為a,b,c,8=與，且5a=3c,若△ABC的面積為15《，求c

O

???

34.在△4BC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知A=《，△4BC的面積為之9，b=2,求a.

62

35.記△48。的內(nèi)角4,8,。的對邊分別為a,b,c,已知B=2A,當(dāng)a=4,b=6時，求△ABC的面積S.

36.（2024屆?廣東省六校第二次聯(lián)考）已知△ABC中角4B,。的對邊分別為a,b,c,sinC=與工，a=b

o

+2,c=3,，求△ABC的面積.

37.記△ABC的內(nèi)角4,8,。的對邊分別為a,b,c,已知B=2A,當(dāng)a=4,b=6時，求△ABC的面積S.

類型二周長的相關(guān)計算

38.已知在△48。中，角A,氏C的對邊分別是（1力,0,且人=。,若8=告，/XABC的面積為4,求4ABC的

6

周長.

???

39.在△ABC中，內(nèi)角4B,C所對的邊分別為a,b,c,且(b+c)(sinB+sinC)=asinA+36sinC.

(1)求角A的大??；(2)若a=&T,且AABC的面積為V3,求△ABC的周長.

40.(2024?新高考二卷?真題)記△ABC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinA+，ScosA=2.

⑴求4(2)若a=2,V2&sinC=csin28,求△ABC的周長.

41二48。的角48。的對邊分別為￡1也0,存?前=—1,人4口。的面積為2,若口=22,求448。的

周長.

42.在AABC中，已知就?前=4,a=5,ABAC=60°，則ZVIBC周長為.

43.在△ABC中，ABC所對的邊為a,b,c,A=y,a=2,B=,,求△ABC的周長.

44.在△ABC中，內(nèi)角4B,。所對的邊分別為a,b,c,且(b+c)(sinB+sinC)=asinA+3bsinC.

(1)求角A的大??；(2)若a=?,且AABC的面積為瓜,求AABC的周長.

題型四倍角關(guān)系

核心?技巧

1、二倍角公式：sin2Z=2sin_Acos>l,cos2A=2cos2A—1=1—2sin2A=cos2A—sin2A

cad4*2c1+cosC?2c1—cosC

2、擴角降搴：cos2--=-----------sm2--=---------------

忘記了可以用二倍角公式推導(dǎo):記虧=t,則cosC=cos2f=2cos2力—1=1—2sin2t

222

故cos2t=2cos2右一1=cost=1+半s2',COs2t=1—2sintnsin1=--黑s"

3、倍角關(guān)系證明的方法技巧

解三角形中的關(guān)系，主要涉及到正弦、余弦等三角函數(shù)的倍角公式。這些公式允許我們通過已知的一個角的大

小，來求解其兩倍南的大小所對應(yīng)的三角函數(shù)值，從而在解三角形問題時提供更多的信息和靈活性。

4、圖冊中出行二倍角條件時可以考慮構(gòu)造等聯(lián)三角移

類型一倍角關(guān)系的證啕和應(yīng)用

45.（黃岡中學(xué)?三模）在銳角△ABC中，內(nèi)角A,所對的邊分別為a,b,c,滿足迪*-1=

smC

si./—sidC,且一wc,求證：6=2C.

sin2B

46.在△ABC中，角46、。的對邊分別為a、b、c,若人=28,求證：a2-b2=bc；

MS

47.（2024.吉林長春模擬預(yù)測）ZVIBC的內(nèi)角4B、。所對的邊分別為a.b,c,a=V3,b=l,A=2B,則c

=（）

A.2B.V3C.V2D.1

48.（2024.全國?模擬預(yù)測）在4ABe中，角48,C的對邊分別為a,b,c（a,dc互不相等），且滿足bcosC

=（2b—c）cos_B,求證：A=2B；

49.在△ABC中，內(nèi)角A,。所對的邊分別為a,b,c,且b=4.若A=28,且△4BC的邊長均為正整

數(shù)，求a.

50.（2024.全國.模擬預(yù)測）在△48。中，角48,C的對邊分別為a,b,c（a,b,c互不相等），且滿足bcosC

=（2b—c）cosB.

（1）求證：A=2B；

（2）若c=求cos_B.

51.已知a,b,c分別是△ABC的角ABC的對邊，bsinB—asinA=sinC（2bcos2B—c）.

（1）求證：A=2B；

（2）求二的取值范圍.

a

??

類型二擴角降第

52.（2023?重慶八中二模）記AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知acos2-^-+ccos2j1-=-|-6,

證明：sinA+sinC=2sinB

53.在AABC中，內(nèi)角4B,。所對的邊分別a,b,c,且(acos?等+ccos21)(a+c—6)=~|~ac,求角B的

大??；

類型三圖形中二倍角的處理

54.(廣東省六校2024屆第一次聯(lián)考)在△ABC中，AB=4,。為4B中點，CD=V7,ZBAC=2ZACD,

求人。的長.

55.(2024屆?江蘇揚州?高三統(tǒng)考)在△4BC中，AC=代48,且8c邊上的中線4D長為1.

(1)若BC=248,求△ABC的面積；(2)若AABC=2/DAC,求BC的長.

MS

題型五角平分線相關(guān)計算

核心?技巧

△ABC中，AD平分ABAC.

策略一：角平分線定理：黑=巖

證法1（等面積法）變=露*=修*，得端=知

SACDCD'AC'h2ACCD

注：均為A到6。的距離，壇為。到AB,AC的距離.

證法2（正弦定理）

ACCD

如圖，而sinZl=sinZ2,sinZ3=sinZ4

sinZ4sinZ2

整理得4S-=BD

,AOCD

第喀二:利用兩個小三角形面積和等于大三角形面積處理

11A1A

SLABC=SLABD+SLADC=>—xABxACxsinA=--xABxADxsin--+--xABxADxsin--,

JU喀三：角互補:

/ABD+AADC=兀=>cosZ.ABD+cosZADC=0,

在AABD中，cosZ.ABD—

2DAXDB

加+1X72—402

在XADC中，cos/ADC=

2DAXDC???

56.（2024?遼寧丹東?二模）在△ABC中，點。在邊上，AD平分NR4C,NR4C=120°,AB=273,

人。=當(dāng)1,則人。=（）

O

A.2B.V3C.3D.2V3

57.已知△ABC中，角4B。所對的邊分別為a,b,c,a2=3b2+c?,且sinC=2sinB.

（1）求角人的大小；

（2）若b+c=6,點。在邊BC上，且AD平分NA4C,求49的長度.

58.（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題T16角平分線相關(guān)計算）在△ABC中，NA4C=60°,4B=2,BC

=V6,NBAC的角平分線交于。，則AD=.

59.（2024.廈門第四次質(zhì)檢）記△4BC的內(nèi)角45。的對邊分別為a,b,c,已知8=冬，若6=",c=

2a,。是人。上一點，8。為角3的平分線，求

60.已知△48。的角4B,。的對邊分別為a,b,c,且人=|■兀，若4D平分NR4C交線段BC于點。，且

O

AD=1,3。=2CD,求△4BC的周長.

61.在△4BC中，內(nèi)角48,。的對邊分別為a,b,c,a=32，人=看，作角A的平分線與交于點

O

且AD=V3，求b+c.

62.（2024屆.云南省昆明市五華區(qū)高三上期中）△ABC的內(nèi)角ABC的對邊分別為a,b,c,AO平分乙BAC

且交BC于點D.已知AD=1,AACD的面積為1,若CD=2BD,求tan/BAC.

題型六中線相關(guān)計算

核心?技巧

如圖，△ABC中，AD為5。的中線，已知AB,AC,及乙4,求中線AD長.

巢喀一：如圖，倍長中線構(gòu)造全等，再用余弦定理即可

第喀二:向量法，AD=y（AB+AG）,等式兩邊再進行平方

第喀三：兩次余弦定理，鄰補角余弦值為相反數(shù)，即cosZADB+cosAADC=0

補充：若或?qū)l件“AD為BC的中線”換為“感=/!”也適用，此時需要倍長等分線構(gòu)造相似

MS

63.在△ABC中，內(nèi)角A,。所對邊的長分別為a,b,c,且滿足A=等，a=，/，屈?芯=3,4D是

O

△ABC的中線，求4D的長.

64.（2023年新課標(biāo)全國II卷真題：已知中線長）記△4BC的內(nèi)角ABC的對邊分別為a,b,c,已知△48。

的面積為g，。為中點，且40=1.

⑴若Z.ADC=與，求tanB；

O

（2）若〃+/=8,求b,c.

65.（2024?安徽滁州?三模）在△ABC中，角AB。的對邊分別為a,b,c,2bcos。—c=2a.

（1）求口的大??；（2）若a=3,且AC邊上的中線長為手，求△ABC的面積.

66.在△4BC中，內(nèi)角4,旦。的對邊分別為a,b,c,sinC=,2sinA=3sin2C,

若叢ABC的面積為嗎，求A8邊上的中線CD的長.

67.在△4BC中，角C的對邊分別為a,b,c,已知A=等，〃—+c?+3c=0,△ABC的面積為

o

氣3,求邊的中線AD的長.

68.ZVLBC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為a,b,c,a=2,。為AB的中點，且CD=

⑴證明：c=（2）若乙4cB=￡,求△ABC的面積.

69.記△48。的內(nèi)角4B,。的對邊分別為a,b,c,已知B=當(dāng)，若c=3a,。為AC中點，BD=63,求

o

△4BC的周長.

70.ZV18C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知B=冬，c=2,。為AC的中點，口。=，萬。,求

O4

的面積.

題型七高線線相關(guān)計算

核心?技巧

策略一：等面積法：人。?BC=AB?人。?sinZBAC

策略二：AD=AB-sinZABD=AC-sinZACD

策略三：a=c-COSB+b-COSC

71.(2024?山東青島?三模)設(shè)三角形ABC的內(nèi)角/、5、。的對邊分別為a、b、c5.sin(B+C)=

2A/3sin2-^-.

(1)求角A的大??；

(2)若b=3,BC邊上的高為亨L,求三角形ABC的周長.

72.已知△ABC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為Q,b,c,a=6,5sin2A=4V5sinB.

(1)若b=l,證明：C=A+^-；

(2)若BC邊上的高為甲，求△ABC的周長.

O

???

a2+c2-62

73.已知△ABC的內(nèi)角4B,。的對邊分別為a,b,c,且c—=-b.

2c

⑴求A;

⑵若b=/c,且BC邊上的高為2通,求a.

題型八其它中間線

74.如圖，在△ABC中，角的對邊分別為a,b,c.已知人=看.若。為線段延長線上一點，且

O

ZCAD=年,80=3CD,求tan/ACB.

75.（2021新高考一卷T20：三等分線相關(guān)計算）記△4BC是內(nèi)角48,C的對邊分別為a,b,c.已知〃=

QC,點。在邊AC上，BDsmZ-ABC=asinC.

（1）證明：BD=b；

（2）若AD=2DC,求cos/ABC.

???

76.如圖，在△48。中，若48=47,。為邊上一點，B0=2OC,4D=2,‘由乙上=存則8。=

smZAG5D

77.（2024?安徽蕪湖?三模）已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角ABC的對邊，且bcosA+V3bsinA=a+c

⑴求B；

⑵若b=2,△ABC的面積為四，。為AC邊上一點，滿足CD=2AD,求RD的長.

78.記△4BC的內(nèi)角/、8、C的對邊分別為a、b、c,已知A=譚?，點。在邊上，且CD=2BD,cosB=

o

,求tanZBAZ）.

o

79.已知△48。的三內(nèi)角A,B,C所對邊分別是a,b,c,且滿足a=b,若點。是邊/C上一點，說=

《於+!■說,c=，正，聞|=2四,求邊a的大小.

OO

???

80.已知△48。的內(nèi)角48,。對應(yīng)的邊分別為a,b,c,△ABC的面積為sinA=3sinB,點。在邊上,

若DC-DA=-^-BC,求cosA.

o

81.如圖，在△ABC中，若AB=AC,。為邊BC上一點，BD=2OC,AD=2,現(xiàn)0架則BC=

smZACD

82.已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角ABC的對邊，且&2=〃+2。2,若人=與，a=3,玩=3屈，求

O

AM的長度.

83.在△4BC中，內(nèi)角48,。所對的邊分別為a,b,c.已知4=看，若點。為邊8。上的一個點，且滿足

O

cosZBAD=3，求4ABD與&ACD的面積之比.

5

???

題型九三角形解的個數(shù)問題

核心?技巧

三角形解的個數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形

具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進行判斷.

解三角好多解情況

在△ABC中,已知a,b和A時，解的情況如下：

A為銳角A為鈍角或直角

4ck

『A

圖形

AB\--BA'--……'BAB

AB

關(guān)系式a=6sinA6sinA<a<6Q'ba>ba&b

解的個數(shù)一解兩解一解一解無解

84.在AABC中，c=2,acosC=csinA,若當(dāng)a=g時的ZL4BC有兩解，則x0的取值范圍是.

85.設(shè)在△ABC中，角48、。所對的邊分別為a,b,c,若滿足&=心力=如8=等的448。不唯一,則

成的取值范圍為()

A.B.(O,V3)C.D.(y,1)

86.若滿足4ABe=看，AC=3,BC=巾的A4BC恰有一解，則實數(shù)小的取值范圍是

O

87.AABC中，已知AABC=^,AC=3,BC=m(m>0).

o

(1)若△ABC恰有一解,則實數(shù)m的取值范圍是；

(2)若△ABC有兩解，則實數(shù)小的取值范圍是；

(3)若△ABC無解,則實數(shù)m的取值范圍是；

88.在△48。中，a,b,c分別為角A,B,C的對邊，若b=10,/=《，且△4BC有唯一解，則a的取值范

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圍是.

89.在△ABC中，已知AB=x,BC=2V2,。=卞，若存在兩個這樣的三角形ABC,則力的取值范圍是

-2.

90.已知AABC的內(nèi)角A>B、。所對的邊分別是a,b,c,A=60°,若a=V3,fe=m（m>0）,當(dāng)AABC有且

只有一解時,求實數(shù)m的范圍及A4BC面積S的最大值.

題型十解三角形的實際應(yīng)用

核心?技巧

（1）仰角和俯角：在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖

①）.

視線

水

平

塞阿得線

圖①

⑵方位角：從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點的方位角為a（如圖②）.

（3）方向角：相對于某一正方向的水平角.北偏東即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)a到達(dá)目標(biāo)方向（如圖③）.北偏西

a,即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)a到達(dá)目標(biāo)方向.南偏西等其他方向角類似.

（4）坡角與坡度：坡角指坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（如圖④，角夕為坡角）.坡度指坡面的鉛直高度與水

平長度之比（如圖④，i為坡度，i=tanf）.坡度又稱為坡比.

類型一m問題

91.一游客在人處望見在正