《直線的方程》第一課時(shí)示范公開課教學(xué)設(shè)計(jì)【高中數(shù)學(xué)】

《直線的方程》教學(xué)設(shè)計(jì)第一課時(shí)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1、理解直線與方程的關(guān)系．提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；2、理解點(diǎn)斜式方程和斜截式方程的推導(dǎo)，并能明確其適用條件．提高邏輯推理數(shù)學(xué)素養(yǎng)；3、知道直線的點(diǎn)斜式和斜截式方程的內(nèi)在聯(lián)系和參數(shù)含義.提高數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：利用點(diǎn)斜式方程和斜截式方程解決相關(guān)問題；教學(xué)難點(diǎn)：直線與方程的關(guān)系、點(diǎn)斜式方程和斜截式方程的推導(dǎo)．課前準(zhǔn)備課前準(zhǔn)備PPT課件．教學(xué)過程教學(xué)過程一、整體概覽問題1：閱讀課本第78-81頁，回答下列問題：（1）本節(jié)將要研究哪類問題？（2）本節(jié)要研究的對象在高中的地位是怎樣的？師生活動(dòng)：學(xué)生帶著問題閱讀課本，老師指導(dǎo)學(xué)生概括總結(jié)本節(jié)的內(nèi)容.預(yù)設(shè)的答案：（1）本節(jié)課主要學(xué)習(xí)直線的方程第一課時(shí)直線的點(diǎn)斜式方程與斜截式方程（2）在求直線的方程中，直線方程的點(diǎn)斜式是基本的，直線方程的斜截式、兩點(diǎn)式都是由點(diǎn)斜式推出的．從一次函數(shù)引入，自然地過渡到本節(jié)課想要解決的問題——求直線的方程問題．在引入過程中，要讓學(xué)生弄清直線與方程的一一對應(yīng)關(guān)系，理解研究直線可以從研究方程及方程的特征入手．在推導(dǎo)直線方程的點(diǎn)斜式時(shí)，根據(jù)直線這一結(jié)論，先猜想確定一條直線的條件，再根據(jù)猜想得到的條件求出直線的方程．充分體現(xiàn)坐標(biāo)法建立方程的一般思路，為后續(xù)學(xué)習(xí)圓的方程及圓錐曲線的方程奠定基礎(chǔ)．發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．設(shè)計(jì)意圖：通過章引言內(nèi)容的預(yù)習(xí)，讓學(xué)生明晰下一階段的學(xué)習(xí)目標(biāo)，初步搭建學(xué)習(xí)內(nèi)容的框架.探索新知1、探究新知問題2：設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中的直線，分別判斷滿足下列條件的是否唯一，如果唯一，作出相應(yīng)的直線，并思考直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足什么條件?（1）已知的斜率不存在（2）已知的斜率不存在且過點(diǎn)（3）已知的斜率為（4）已知的斜率為且過點(diǎn)師生活動(dòng)：在教師的指導(dǎo)下共同歸納總結(jié)問題．預(yù)設(shè)的答案：滿足條件（1）的直線有無數(shù)條，單滿足條件（2）的直線是唯一的，此時(shí)若P（x，y）為直線上的點(diǎn)，則必有，另外，任意橫坐標(biāo)為-2的點(diǎn)，一定都在直線上．滿足條件(3)的直線，只要傾斜角為60°即可，因此也有無數(shù)條，但滿足條件(4)的直線是唯一的，如圖所示，此時(shí)若P(x，y)為直線上不同于B的點(diǎn)，則，，化簡可得，容易驗(yàn)證，B(1，2)的坐標(biāo)也能使上式成立，因此直線上的點(diǎn)都使得上式成立;另外，如果x，y能使得上式成立，則要么P(x，y)就是點(diǎn)B(1，2)，要么，也就是說，點(diǎn)P一定在直線上．教師講解：一般地，如果直線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F(x，y)=0的解，而且以方程F(x，y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線上，則稱F(x，y)=0為直線的方程，而直線稱為方程F(x，y)=0的直線，為了簡單起見，“直線”也可說成“直線F(x，y)=0”，并且記作:F(x，y)=0．設(shè)計(jì)意圖：通過問題思考，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，通過斜率和一個(gè)點(diǎn)可確定一條直線，開門見山，引出學(xué)習(xí)的課題．（板書：直線的方程）問題3：想一想：二次函數(shù)y=(x-1)2的圖像的:對稱軸為x=1，其中的x=1表示的是什么？預(yù)設(shè)的答案：x=1表示的是直線x=1.設(shè)計(jì)意圖：有利于學(xué)生把舊知識納入新的知識體系中，從新知的角度重新審視已經(jīng)學(xué)習(xí)過的相關(guān)知識點(diǎn)，幫助學(xué)生完成知識結(jié)構(gòu)體系．教師講解：從前面的實(shí)例也可以看出，在平面直角坐標(biāo)系中，如果已知是直線上一點(diǎn)，而且知道的斜率信息，就可以寫出直線的方程:

(1)如果直線的斜率不存在，則直線的方程為

(2)如果直線的斜率存在且為k，設(shè)P(x，y)為直線上不同于的點(diǎn)，則，即，化簡可得①，而且的坐標(biāo)也能使上式成立;另外，如果x，y能使得上式成立，則要么P(x，y)就是點(diǎn)，要么，也就是說，點(diǎn)P一定在直線上，從而①就是直線的方程.因?yàn)榉匠挞儆芍本€上一點(diǎn)和直線的斜率確定，所以通常稱為直線的點(diǎn)斜式方程．

直線的點(diǎn)斜式方程還可以用方向向量來得到:如果已知是直線上一點(diǎn)，而且的斜率為k，則直線的一個(gè)方向向量為

另一方面，設(shè)P(x，y)為平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，則P在直線上的充要條件是與共線，又因?yàn)?，所以．設(shè)計(jì)意圖：利用直線的方向向量推導(dǎo)了直線的點(diǎn)斜式方程.方向向量的運(yùn)用，避免了對斜率存在與否的討論，簡化了思維和推導(dǎo)過程，讓學(xué)生體會(huì)到了向量這一工具在解決問題時(shí)的優(yōu)勢.這樣的設(shè)計(jì)，能為學(xué)生以后積極尋求多種方法解決問題提供思路、引導(dǎo)方向，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，同時(shí)也及時(shí)鞏固了上一小節(jié)剛剛學(xué)習(xí)過的知識，有利于提高學(xué)生對知識的應(yīng)用意識．問題4：請同學(xué)們思考求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的思路是什么？師生活動(dòng)：小組討論，學(xué)生自己先給出答案，教師總結(jié)．預(yù)設(shè)的答案：(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)；

(2)分析動(dòng)點(diǎn)的幾何特征；

(3)用坐標(biāo)表示動(dòng)點(diǎn)的幾何特征，并進(jìn)行必要的化簡變形；

(4)說明得到的坐標(biāo)關(guān)系符合直線的方程的定義．設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生了解求方程的步驟，以便與后面的學(xué)習(xí)相呼應(yīng)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力．教師講解：一般地，當(dāng)直線既不是x軸也不是y軸時(shí):若與x軸的交點(diǎn)為，

則稱在x軸上的截距為;若與y軸的交點(diǎn)為，則稱在y軸上的截距為.一條直線在y軸上的截距簡稱為截距.因此，如果已知直線的斜率為k，截距為，則意味著這條直線過了這個(gè)點(diǎn)，從而可知直線的方程為，化簡可得．方程②由直線的斜率和截距確定，因此通常稱為直線的斜截式方程．問題5：從直線的斜截式方程，可知直線的斜率和截距與斜率公式及截距的定義的關(guān)系是什么？師生活動(dòng)：小組討論，學(xué)生自己先給出答案，教師總結(jié)．預(yù)設(shè)的答案：若是直線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則第二式減去第一式可得，因此當(dāng)時(shí)有，從而k就是直線的斜率.在方程中，令x=0得y=b，因此直線與y軸的交點(diǎn)為，這就是說，b為直線的截距(即直線在y軸上的截距)．設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)點(diǎn)斜式方程探索得出斜截式方程，更方便的看出直線的斜率和截距．問題6：直線方程的斜截式與一次函數(shù)的表達(dá)式有什么聯(lián)系與區(qū)別？師生活動(dòng)：小組討論，學(xué)生自己先給出答案，教師總結(jié)．預(yù)設(shè)的答案：(1)k≠0時(shí)，斜截式方程就是一次函數(shù)的解析式；

（2）斜截式方程不能表示垂直于x軸的直線，即斜率不存在的直線只能用表示;一次

函數(shù)解析式既不能表示垂直于x軸的直線，也不能表示垂直于y軸的直線.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生從直線的角度去重新認(rèn)識一次函數(shù)，理解直線的方程的斜截式和一次函數(shù)表達(dá)式之間的聯(lián)系與區(qū)別．三、初步應(yīng)用例1已知直線經(jīng)過點(diǎn)P，且的斜率為k，分別根據(jù)下列條件求直線的方程:

(1)；（2）師生活動(dòng)：學(xué)生自行解答，由老師指定學(xué)生回答．預(yù)設(shè)的答案：解(1)根據(jù)已知可得直線的點(diǎn)斜式方程為

，化簡得.(2)根據(jù)已知可得直線的點(diǎn)斜式方程為化簡得設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生鞏固直線點(diǎn)斜式方程的認(rèn)識，同事引出有關(guān)截距的概念，為引出斜截式方程做好了鋪墊.例2：已知直線經(jīng)過點(diǎn)P(-2，3)，且的傾斜角為45°，求直線的方程，并求直線的截距．師生活動(dòng)：學(xué)生自行解答，由老師指定學(xué)生回答．預(yù)設(shè)的答案：因?yàn)橹本€的斜率k=tan45°=1，所以可知直線的方程為

，即y=x+5.因此直線的截距為5．設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生思考利用已知條件和已經(jīng)知道的兩種方程形式如何求解直線的方程，讓學(xué)生從具體實(shí)例中體會(huì)出一般思路和方法．四、歸納小結(jié)，布置作業(yè)問題7：（1）直線的方程和方程的直線的概念是什么？（2）什么是直線的點(diǎn)斜式方程？斜截式方程？（3）什么是直線的斜截式方程？斜截式方程中的截距的概念是什么？師生活動(dòng)：學(xué)生嘗試總結(jié)，老師適當(dāng)補(bǔ)充.預(yù)設(shè)的答案：（1）一般地，如果直線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F(x，y)=0的解，而且以方程F(x，y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線上，則稱F(x，y)=0為直線的方程，而直線稱為方程F(x，y)=0的直線．（2）如果直線的斜率存在且為k，設(shè)P(x，y)為直線上不同于的點(diǎn)，則，即，化簡可得①，而且的坐標(biāo)也能使上式成立;另外，如果x，y能使得上式成立，則要么P(x，y)就是點(diǎn)，要么，也就是說，點(diǎn)P定在直線上，從而①就是直線的方程.因?yàn)榉匠挞儆芍本€上一點(diǎn)和直線的斜率確定，所以通常稱為直線的點(diǎn)斜式方程．（3）一般地，當(dāng)直線既不是x軸也不是y軸時(shí):若與x軸的交點(diǎn)為，

則稱在x軸上的截距為;若與y軸的交點(diǎn)為，則稱在y軸上的截距為.一條直線在y軸上的截距簡稱為截距.因此，如果已知直線的斜率為k，截距為，則意味著這條直線過了這個(gè)點(diǎn)，從而可知直線的方程為，化簡可得．方程②由直線的斜率和截距確定，因此通常稱為直線的斜截式方程設(shè)計(jì)意圖：通過梳理本節(jié)課的內(nèi)容，能讓學(xué)生更加明確斜率概念的有關(guān)知識．布置作業(yè)：教科書第85頁練習(xí)A1，2，3題五、目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)1過點(diǎn)(－3，2)，傾斜角為60°的直線方程為()A．y＋2＝eq\r(3)(x－3) B．y－2＝eq\f(\r(3),3)(x＋3)C．y－2＝eq\r(3)(x＋3) D．y＋2＝eq\f(\r(3),3)(x＋3)設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生對傾斜角求斜率并求直線方程的方法．2.直線y－2＝eq\r(3)(x＋1)的傾斜角及在y軸上的截距分別為()A．60°，2 B．60°，2＋eq\r(3)C．120°，2＋eq\r(5) D．120°，2設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生對點(diǎn)斜式求方程的簡單應(yīng)用．3．直線l經(jīng)過點(diǎn)P(3，4)，它的傾斜角是直線y＝eq\r(3)x＋eq\r(3)的傾斜角的2倍，求直線l的點(diǎn)斜式方程．設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生對點(diǎn)斜式求方程的的方法．參考答案：1．C[因?yàn)橹本€的傾斜角為60°，所以其斜率k＝tan60°＝eq\r(3)，由直線方程的點(diǎn)斜式，可得方程為y－2＝eq\r