2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：拓展之通過求二階導(dǎo)函數(shù)解決導(dǎo)數(shù)問題（原卷版）

第10講：拓展三：通過求二階導(dǎo)函數(shù)解決導(dǎo)數(shù)問題

目錄

1、函數(shù)極值的第二判定定理：..............................1

類型一：利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值.........................1

類型二：利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性.......................3

類型三：利用二階導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的范圍.........................5

類型四：利用二階導(dǎo)數(shù)證明不等式............................7

1、函數(shù)極值的第二判定定理：

若“組在x=x0附近有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)/(X)，且/'(%)=o,f\x0)0

(1)若/"(/)<0,則/(x)在點(diǎn)與處取極大值；

⑵若/"(%)>0,則/(%)在點(diǎn)%處取極小值

2、二次求導(dǎo)使用背景

(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)r(x),無法判斷導(dǎo)函數(shù)正負(fù)；

(2)對(duì)函數(shù)4%)一次求導(dǎo)得到;''(X)之后，解不等式/'(x)>0和/''(%)<0難度較大甚至

根本解不出.

(3)一階導(dǎo)函數(shù)中往往含有e'或Inx

3、解題步驟：

設(shè)g(x)=/'(x)，再求g'(x),求出g'(x)>0和g'(x)<0的解,即得到-函數(shù)g(x)的單調(diào)性,

得到函數(shù)g(x)的最值，即可得到fr(x)的正,負(fù)情況，即可得到函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

高頻考點(diǎn)

類型一：利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值

典型例題

例題1.(2024?貴州貴陽?一模)英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式:

ex=l+x+一+—+…+—+…其中加=1*2*3、4*—X”,6為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),

2!3!n\

e=2.71828…….以上公式稱為泰勒公式.設(shè)〃引=*1超(另=*二，根據(jù)以上信息,

并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，解決如下問題.

(1)證明:ex>l+x；

⑵設(shè)x?O,y),證明：率<8(耳；

⑶設(shè)尸(x)=g⑺-+若x=0是―無)的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

例題2.(23-24高二下?云南玉溪?階段練習(xí))已知函數(shù)〃力=依-Inx-LaeR.

⑴討論函數(shù)〃尤)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)。=1時(shí),設(shè)g(x)=e"(x)+e*+/m;(meR),若g(x)\O恒成立，求加的取值范圍.

練透核心考點(diǎn)

1.(2024?四川遂寧?二模)已知函數(shù)"x)=e，-or-2.

⑴若在區(qū)間(0,1)存在極值，求。的取值范圍；

(2)若xe(0,+oo),/(x)>x-sinx-cosx,求。的取值范圍.

2.(2024?四川廣安?二模)已知函數(shù)，(x)=e*-依—1.

⑴若/(X)存在極值，求。的取值范圍；

(2)若XG(0,+OO),證明：f(x)>x-sinx.

類型二：利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性

典型例題

例題1.(2024?江西九江?二模)已知函數(shù)〃尤)=(2X-4)111(尤-1)+6(4力€11)在x=2處的切

線方程為3x-y-2=0

(1)求a,b的值；

⑵判斷外”的單調(diào)性.

例題2.(23-24高二下?廣東清遠(yuǎn)?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=lnx-or+a,g(x)=xeA-2x.

(1)求函數(shù)y=〃x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵已知q=l,當(dāng)xe(O,y),試比較“力與g(x)的大小，并給予證明.

練透核心考點(diǎn)

1.(23-24高二下,重慶銅梁?階段練習(xí))拐點(diǎn)，又稱反曲點(diǎn)，指改變曲線向上或向下的點(diǎn)(即

曲線的凹凸分界點(diǎn)).設(shè)廣(X)是函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)，/(X)是函數(shù)r(x)的導(dǎo)函數(shù)，若

方程尸(x)=o有實(shí)數(shù)解X=并且在點(diǎn)(/"(%))左右兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)相反，貝I］稱

(X。J(x。))為函數(shù)y=/(x)的“拐點(diǎn)

⑴經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)/。)=訃3+/2+5+八°片0)都有"拐點(diǎn)"，且該"拐點(diǎn)”也是函

數(shù)y=/(元)的圖象的對(duì)稱中心.已知函數(shù)/(元)=V+桁2-9x+a的圖象的對(duì)稱中心為,

討論函數(shù)Ax)的單調(diào)性并求極值.

1Q5

(2)已知函數(shù)g(x)=2/m?++—尤——F+1,其中加>0.求g(x)的拐點(diǎn).

mm

2.(23-24高二下?寧夏?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=(x-l)e'-加.

(1)當(dāng)a<0時(shí)，求證：/(x)>-2x2-l；

⑵當(dāng)a=T時(shí)，函數(shù)g(x)=/(x)-xe"+x在(0,+8)上的最大值為加，求不超過俄的最大整

數(shù).

類型三：利用二階導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的范圍

典型例題

x

e_1

例題L（23-24高二下?江蘇蘇州?階段練習(xí)）已知=17g（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

（1）求曲線y=F（x）在點(diǎn)（0,/（0））處的切線方程；

（2）求證：當(dāng)x＞0時(shí)，4了）＞/；恒成立；

x+2

（3）已知左＞0,如果當(dāng)1＞0時(shí)，/（力〉3kx恒成立，求女的最大值.

e+1

例題2.（23-24高三下?江西階段練習(xí)）記函數(shù)y=〃x）（xe。）在。上的導(dǎo)函數(shù)為y=/'（x）,

若尸（x）＞0（其中=恒成立，則稱y=/（x）在。上具有性質(zhì)

⑴判斷函數(shù)y=log〃x（。＞0且分1）在區(qū)間（0,+向上是否具有性質(zhì)V?并說明理由；

⑵設(shè)。,6均為實(shí)常數(shù)，若奇函數(shù)8（無）=2/+依2+巳在％=［處取得極值，是否存在實(shí)數(shù)c,

X

使得y=g（x）在區(qū)間［c，+8）上具有性質(zhì)M?若存在，求出C的取值范圍；若不存在，請說

明理由；

⑶設(shè)左eZ且上＞0,對(duì)于任意的xe（o,y）,不等式匕螞上D＞上成立，求上的最大值.

XX+1

練透核心考點(diǎn)

1.(23-24高三下?山東濰坊?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=ae=；尤2-尤.

(1)若〃龍)在R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

⑵當(dāng)。=1時(shí)，證明：Vxe(-2,+co),/(x)>sinx.

2.(2023?河南?三模)已知函數(shù)〃x)=lnx-x+2,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)若此函數(shù)的圖象與直線x=」交于點(diǎn)P,求該曲線在點(diǎn)P處的切線方程;

e

⑵判斷不等式“X)>0的整數(shù)解的個(gè)數(shù)；

⑶當(dāng)?<e2時(shí)，(l+axe2r_a)〃x)Wxe2-，-l,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

類型四：利用二階導(dǎo)數(shù)證明不等式

典型例題

x

e_1

例題L(23-24高二下?江蘇蘇州?階段練習(xí))已知=17g(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

(1)求曲線y=F(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

(2)求證：當(dāng)x>0時(shí)，4了)>/；恒成立；

x+2

kx

(3)已知左>0,如果當(dāng)1>0時(shí)，/(力〉3恒成立，求女的最大值.

e+1

例題2.(2024?黑龍江齊齊哈爾?二模)已知函數(shù)/(x)=Hnx+-----,awR.

x

⑴當(dāng)。=2時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1"(功處的切線方程；

(2)當(dāng)xNO時(shí)，證明：exln(x+l)+e-x-cosx>0.