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文檔簡介
第10講:拓展三:通過求二階導(dǎo)函數(shù)解決導(dǎo)數(shù)問題
目錄
1、函數(shù)極值的第二判定定理:..............................1
類型一:利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值.........................1
類型二:利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性.......................3
類型三:利用二階導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的范圍.........................5
類型四:利用二階導(dǎo)數(shù)證明不等式............................7
1、函數(shù)極值的第二判定定理:
若“組在x=x0附近有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)/(X),且/'(%)=o,f\x0)0
(1)若/"(/)<0,則/(x)在點與處取極大值;
⑵若/"(%)>0,則/(%)在點%處取極小值
2、二次求導(dǎo)使用背景
(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)r(x),無法判斷導(dǎo)函數(shù)正負(fù);
(2)對函數(shù)4%)一次求導(dǎo)得到;''(X)之后,解不等式/'(x)>0和/''(%)<0難度較大甚至
根本解不出.
(3)一階導(dǎo)函數(shù)中往往含有e'或Inx
3、解題步驟:
設(shè)g(x)=/'(x),再求g'(x),求出g'(x)>0和g'(x)<0的解,即得到-函數(shù)g(x)的單調(diào)性,
得到函數(shù)g(x)的最值,即可得到fr(x)的正,負(fù)情況,即可得到函數(shù)f(x)的單調(diào)性.
高頻考點
類型一:利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值
典型例題
例題1.(2024?貴州貴陽?一模)英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式:
ex=l+x+一+—+…+—+…其中加=1*2*3、4*—X”,6為自然對數(shù)的底數(shù),
2!3!n\
e=2.71828…….以上公式稱為泰勒公式.設(shè)〃引=*1超(另=*二,根據(jù)以上信息,
并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識,解決如下問題.
(1)證明:ex>l+x;
⑵設(shè)x?O,y),證明:率<8(耳;
⑶設(shè)尸(x)=g⑺-+若x=0是―無)的極小值點,求實數(shù)。的取值范圍.
例題2.(23-24高二下?云南玉溪?階段練習(xí))已知函數(shù)〃力=依-Inx-LaeR.
⑴討論函數(shù)〃尤)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)。=1時,設(shè)g(x)=e"(x)+e*+/m;(meR),若g(x)\O恒成立,求加的取值范圍.
練透核心考點
1.(2024?四川遂寧?二模)已知函數(shù)"x)=e,-or-2.
⑴若在區(qū)間(0,1)存在極值,求。的取值范圍;
(2)若xe(0,+oo),/(x)>x-sinx-cosx,求。的取值范圍.
2.(2024?四川廣安?二模)已知函數(shù),(x)=e*-依—1.
⑴若/(X)存在極值,求。的取值范圍;
(2)若XG(0,+OO),證明:f(x)>x-sinx.
類型二:利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性
典型例題
例題1.(2024?江西九江?二模)已知函數(shù)〃尤)=(2X-4)111(尤-1)+6(4力€11)在x=2處的切
線方程為3x-y-2=0
(1)求a,b的值;
⑵判斷外”的單調(diào)性.
例題2.(23-24高二下?廣東清遠(yuǎn)?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=lnx-or+a,g(x)=xeA-2x.
(1)求函數(shù)y=〃x)的單調(diào)區(qū)間;
⑵已知q=l,當(dāng)xe(O,y),試比較“力與g(x)的大小,并給予證明.
練透核心考點
1.(23-24高二下,重慶銅梁?階段練習(xí))拐點,又稱反曲點,指改變曲線向上或向下的點(即
曲線的凹凸分界點).設(shè)廣(X)是函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù),/(X)是函數(shù)r(x)的導(dǎo)函數(shù),若
方程尸(x)=o有實數(shù)解X=并且在點(/"(%))左右兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)符號相反,貝I]稱
(X。J(x。))為函數(shù)y=/(x)的“拐點
⑴經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)/。)=訃3+/2+5+八°片0)都有"拐點",且該"拐點”也是函
數(shù)y=/(元)的圖象的對稱中心.已知函數(shù)/(元)=V+桁2-9x+a的圖象的對稱中心為,
討論函數(shù)Ax)的單調(diào)性并求極值.
1Q5
(2)已知函數(shù)g(x)=2/m?++—尤——F+1,其中加>0.求g(x)的拐點.
mm
2.(23-24高二下?寧夏?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=(x-l)e'-加.
(1)當(dāng)a<0時,求證:/(x)>-2x2-l;
⑵當(dāng)a=T時,函數(shù)g(x)=/(x)-xe"+x在(0,+8)上的最大值為加,求不超過俄的最大整
數(shù).
類型三:利用二階導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的范圍
典型例題
x
e_1
例題L(23-24高二下?江蘇蘇州?階段練習(xí))已知=17g(e為自然對數(shù)的底數(shù))
(1)求曲線y=F(x)在點(0,/(0))處的切線方程;
(2)求證:當(dāng)x>0時,4了)>/;恒成立;
x+2
(3)已知左>0,如果當(dāng)1>0時,/(力〉3kx恒成立,求女的最大值.
e+1
例題2.(23-24高三下?江西階段練習(xí))記函數(shù)y=〃x)(xe。)在。上的導(dǎo)函數(shù)為y=/'(x),
若尸(x)>0(其中=恒成立,則稱y=/(x)在。上具有性質(zhì)
⑴判斷函數(shù)y=log〃x(。>0且分1)在區(qū)間(0,+向上是否具有性質(zhì)V?并說明理由;
⑵設(shè)。,6均為實常數(shù),若奇函數(shù)8(無)=2/+依2+巳在%=[處取得極值,是否存在實數(shù)c,
X
使得y=g(x)在區(qū)間[c,+8)上具有性質(zhì)M?若存在,求出C的取值范圍;若不存在,請說
明理由;
⑶設(shè)左eZ且上>0,對于任意的xe(o,y),不等式匕螞上D>上成立,求上的最大值.
XX+1
練透核心考點
1.(23-24高三下?山東濰坊?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=ae=;尤2-尤.
(1)若〃龍)在R上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍;
⑵當(dāng)。=1時,證明:Vxe(-2,+co),/(x)>sinx.
2.(2023?河南?三模)已知函數(shù)〃x)=lnx-x+2,e為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若此函數(shù)的圖象與直線x=」交于點P,求該曲線在點P處的切線方程;
e
⑵判斷不等式“X)>0的整數(shù)解的個數(shù);
⑶當(dāng)?<e2時,(l+axe2r_a)〃x)Wxe2-,-l,求實數(shù)a的取值范圍.
類型四:利用二階導(dǎo)數(shù)證明不等式
典型例題
x
e_1
例題L(23-24高二下?江蘇蘇州?階段練習(xí))已知=17g(e為自然對數(shù)的底數(shù))
(1)求曲線y=F(x)在點(0,/(0))處的切線方程;
(2)求證:當(dāng)x>0時,4了)>/;恒成立;
x+2
kx
(3)已知左>0,如果當(dāng)1>0時,/(力〉3恒成立,求女的最大值.
e+1
例題2.(2024?黑龍江齊齊哈爾?二模)已知函數(shù)/(x)=Hnx+-----,awR.
x
⑴當(dāng)。=2時,求曲線y=/(x)在點(1"(功處的切線方程;
(2)當(dāng)xNO時,證明:exln(x+l)+e-x-cosx>0.
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