2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和（原卷版）

專題34等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和（新高考專用）

目錄

【知識(shí)梳理】................................................................2

【真題自測(cè)】................................................................3

【考點(diǎn)突破】................................................................4

【考點(diǎn)1】等比數(shù)列基本量的運(yùn)算..............................................4

【考點(diǎn)2】等比數(shù)列的判定與證明..............................................5

【考點(diǎn)3】等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用..............................................7

【分層檢測(cè)】................................................................8

【基礎(chǔ)篇】..................................................................8

【能力篇】.................................................................10

【培優(yōu)篇】.................................................................11

考試要求：

1.理解等比數(shù)列的概念.

2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.

3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.

知識(shí)梳理

1.等比數(shù)列的概念

(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)

數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(顯然qWO).

數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)式：念=觀”>2,q為非零常數(shù)).

(2)等比中項(xiàng)：如果在。與6中間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,方成等比數(shù)列，那么G叫做。與6

的等比中項(xiàng).此時(shí)G2=ab.

2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和公式

⑴若等比數(shù)列｛念｝的首項(xiàng)為0，公比是q,則其通項(xiàng)公式為=

nm

通項(xiàng)公式的推廣：an=amq~.

⑵等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式：當(dāng)q=l時(shí)，Sn=nai；當(dāng)qWl時(shí)，s"—二』

3.等比數(shù)列的性質(zhì)

已知｛如｝是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列｛劣｝的前n項(xiàng)和.

(1)若左+/=m+〃(左，I,m,”?N*),則有Clk,〃/=Clm，an.

⑵相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak,ak+m,或+2”…仍是等比數(shù)列，公比為

也

(3)當(dāng)qW—1,或q=—1且“為奇數(shù)時(shí)，Sn,S2n-Sn,S^-Sin,…仍成等比數(shù)列，其公比為

更

|常用結(jié)論

1.若數(shù)列｛麗｝,｛屏｝(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則數(shù)列｛ca〃｝(cW0),｛|涮｝,｛al｝,｛an-bn｝,｛gj

也是等比數(shù)列.

2.由斯+i=q所,qWO,并不能立即斷言｛麗｝為等比數(shù)列,還要驗(yàn)證aiWO.

3.在運(yùn)用等比數(shù)列的前附項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對(duì)q=l與qWl分類討論，防止因忽略q=l

這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤.

4.三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)為充x,xq-,四個(gè)符號(hào)相同的數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)為今，充xq,

xq3.

2

.真題自測(cè)

一、單選題

1.（2023?全國(guó),高考真題）設(shè)等比數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，前〃項(xiàng)和S“，若4=1,Ss=5邑-4,貝監(jiān)=（）

1565

A.—B.—C.15D.40

88

2.（2023?全國(guó),高考真題）記S“為等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，若$4=-5,56=21S2,則詼=（）.

A.120B.85C.-85D.-120

3.（2022?全國(guó)?高考真題）已知等比數(shù)列｛%｝的前3項(xiàng)和為168,a2-a5=42,則%=（）

A.14B.12C.6D.3

二、填空題

4.（2024?北京?高考真題）設(shè)｛q｝與｛么｝是兩個(gè)不同的無(wú)窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合

M=｛無(wú)|唳=4,左eN*｝,給出下列4個(gè)結(jié)論：

①若｛4｝與｛2｝均為等差數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素；

②若｛《｝與抄“｝均為等比數(shù)列，則M中最多有2個(gè)元素；

③若｛%｝為等差數(shù)列，｛4｝為等比數(shù)列，則M中最多有3個(gè)元素；

④若｛4｝為遞增數(shù)列，論,｝為遞減數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

5.（2024?上海?高考真題）無(wú)窮等比數(shù)列｛凡｝滿足首項(xiàng)4>0,q>l,記/.=卜7卜,>€[4，的]0&“+]]｝,

若對(duì)任意正整數(shù)”集合/”是閉區(qū)間，則4的取值范圍是.

6.（2023?北京?高考真題）我國(guó)度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于祛碼的、用來(lái)

測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列｛%｝,該數(shù)列的前

3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且q=1,%=12,為=192,則%=；數(shù)列｛4｝所有項(xiàng)的和

為.

7.（2023?全國(guó)?高考真題）記S”為等比數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和.若8s6=7SS，則｛4｝的公比為.

8.（2023?全國(guó)，高考真題）已知｛%｝為等比數(shù)列，g%%=%/，。940=-8,則%=.

3

考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1】等比數(shù)列基本量的運(yùn)算

一、單選題

1.（2024?河南三模）設(shè)s,為數(shù)列%｝的前"項(xiàng)和，若S“=2a“-1,則」-（）

%+〃6

11

A.4B.8C.—D.一

84

2.（23-24高二下?黑龍江齊齊哈爾?期中）在各項(xiàng)為正的等比數(shù)列｛4｝中，％與可。的等比中項(xiàng)為3,則

logs/+log3a13=（）

A.1B.2C.3D.4

二、多選題

3.（2024?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列｛%｝中，若對(duì)V〃eN*,都有=4（4為常數(shù)），則稱數(shù)列｛%｝

為"等差比數(shù)列"，4為公差比，設(shè)數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和是S",則下列說(shuō)法一定正確的是（）

A.等差數(shù)列｛4｝是等差比數(shù)列

B.若等比數(shù)列｛q｝是等差比數(shù)列，則該數(shù)列的公比與公差比相同

C.若數(shù)列電｝是等差比數(shù)列，則數(shù)列｛。向｝是等比數(shù)列

D.若數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，則數(shù)列｛5“｝等差比數(shù)列

4.（23-24高二下?陜西安康?期末）已知數(shù)列｛4｝滿足%w±l,且4+囚“+。2=2,〃=2],則下列說(shuō)法正

確的是（）

A.數(shù)列｛凡｝可能為常數(shù)列

B.數(shù)列出｝可能為等比數(shù)列

20

C.若4=2,則2>=限一2

<=1

D.若4=-記S”是數(shù)列的前〃項(xiàng)積，則S,,的最大值為S,

三、填空題

5.（2024?河北甘B鄲?模擬預(yù)測(cè)）記S“為等比數(shù)歹!]｛4｝的前〃項(xiàng)的和，若生+4=1,4s$=7邑，貝I]幾=.

6.（2024?北京?高考真題）漢代劉歆設(shè)計(jì)的“銅嘉量”是命、合、升、斗、斛五量合一的標(biāo)準(zhǔn)量器，其中升量

4

器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次

為65mm,325mm,325mm,且斛量器的高為230mm,則斗量器的高為mm,升量器的高為mm.

反思提升：

1.等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問(wèn)題，等比數(shù)列中有五個(gè)量ax,n,q,an,

Sn,一般可以“知三求二”，通過(guò)列方程(組)便可迎刃而解.

2.等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比q的分類討論，當(dāng)q=l時(shí)，｛或｝的前〃項(xiàng)和S“=〃ai;

,,,,工,<71(1一q")aL(hq

當(dāng)時(shí),{q“}的前n項(xiàng)和Sn=T~c[-

i-q'

【考點(diǎn)2】等比數(shù)列的判定與證明

一、解答題

1.(23-24高二下?上海寶山?期末)已知等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為1,前〃項(xiàng)和為S“，且4如是3與S7-l的等

比中項(xiàng).

⑴求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式:

(2)若T,是數(shù)列—的前”項(xiàng)和，求T,的最小值.

aa

[?n+lJ

Q3Q

2.(23-24高二下?廣東江門?階段練習(xí))已知數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為4=：,且滿足。用=短、

(1)求證：數(shù)列1]為等比數(shù)列；

(2)設(shè)包=彳--1],記數(shù)列圾｝的前〃項(xiàng)和為T“，求】，并證明：7；<|.

3.(2024?四川綿陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛%｝中，^=1，a

n+l(71eN,).

2—a”

⑴證明:｛,T｝是等比數(shù)列；

an

⑵求數(shù)列｛'｝的前n項(xiàng)和.

4.(23-24高二下?北京?期中)已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，4=1,%+%=1。，數(shù)列出｝滿足4=1,履1=22+1.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)求證：數(shù)列也+1｝是等比數(shù)列；

(3)設(shè)c,=an+bn,求數(shù)列｛g｝的前n項(xiàng)和Sn.

5.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))對(duì)于給定的正整數(shù)3若對(duì)任意的正整數(shù)〃(〃>%),數(shù)列｛%｝均滿足

5

k

?…?a?-r?,1+i……a?+k^-an+k=a；,且a“>0,則稱數(shù)列｛%｝是"口傳)數(shù)列

⑴證明：各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝是"K［優(yōu))數(shù)列

(2)已知數(shù)列的｝既是F(2)數(shù)列",又是"口(3)數(shù)列

①證明：數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列.

②設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，若4+%=3,/-的=2,問(wèn)：是否存在正整數(shù)〃，P，7”,使得S“+2=p，m?

若存在，求出所有的〃P，M；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

6.(23-24高二下?遼寧?階段練習(xí))曲線的切線、曲面的切平面在平面幾何、立體幾何以及解析幾何中有著重

要的應(yīng)用，更是聯(lián)系數(shù)學(xué)與物理學(xué)的重要工具，在極限理論的研究下，導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，

更是與切線有著密不可分的關(guān)系，數(shù)學(xué)家們以不同的方法研究曲線的切線、曲面的切平面，用以解決實(shí)際問(wèn)

題：

⑴對(duì)于函數(shù)y=〃x),分別在點(diǎn)化，〃⑼伏eN,Ql)處作函數(shù)y=的切線，記切線與無(wú)軸的交點(diǎn)分別

為?,0)(keNK'l),記/為數(shù)列｛%｝的第％項(xiàng)，則稱數(shù)列"/為函數(shù)y=/(x)的"切線-x軸數(shù)列"，同理

記切線與'軸的交點(diǎn)分別為(0,%)(左eN,Zr"),記外為數(shù)列｛%｝的第左項(xiàng),則稱數(shù)列｛%｝為函數(shù)y=/(%)的

“切線-丫軸數(shù)列

①設(shè)函數(shù)/(X)=COS7UC+X,記/(X)的"切線-X軸數(shù)列"為｛%｝.

②設(shè)函數(shù)g⑴常：記g(x)的"切線P軸數(shù)列”為也｝,

則S,=%4+。2也+…+4,也，求｛邑｝的通項(xiàng)公式.

(2)在探索高次方程的數(shù)值求解問(wèn)題時(shí)，牛頓在《流數(shù)法》一書中給出了牛頓迭代法：用"作切線”的方法求

方程的近似解.具體步驟如下：設(shè)r是函數(shù)y=/(x)的一個(gè)零點(diǎn)，任意選取X。作為r的初始近似值，曲線

'=/(%)在點(diǎn)(見(jiàn)，〃%))處的切線為4,設(shè)1與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為毛，并稱毛為「的1次近似值；曲線

y=/(x)在點(diǎn)■"(%))處的切線為％，設(shè)4與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為巧，稱巧為廠的2次近似值.一般地，曲

線y=/(X)在點(diǎn)(％J(玉))(〃eN+)處的切線為/“+1,記ln+l與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn+l,并稱xn+l為廠的〃+1次

近似值.己知二次函數(shù)F(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根b,C,其中c>0.對(duì)函數(shù)y=/(x)持續(xù)實(shí)施牛頓迭代法得到

數(shù)列4+1,〃eN,我們把該數(shù)列稱為牛頓數(shù)列，令數(shù)列｛cj滿足4=土心("?N*),且％>c,證明：

Xn~C

6

1112_

一+—H1—<■—.（注：當(dāng)x>l時(shí)，lnx<x-l恒成立，無(wú)需證明）

C[c2cnInq

反思提升：

1.證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項(xiàng)法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判

定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只栗證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可.

2.在利用遞推關(guān)系判定等比數(shù)列時(shí)，要注意對(duì)”=1的情形進(jìn)行驗(yàn)證.

【考點(diǎn)3】等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用

一、單選題

1.（2024?安徽滁州?三模）已知｛%｝是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，%+%=24,%%=驍8,則公比q的值是（）

A.2B.-2C.3D.-3

2.（23-24高二下,四川達(dá)州,階段練習(xí)）等比數(shù)列｛%｝中。[+%+%=W，&+。4+。6=萬(wàn)，則。4+&+。8=（）

5

A.-B.5C.10D.20

4

二、多選題

3.（2024?湖南長(zhǎng)沙?一模）小郡玩一種跳棋游戲，一個(gè)箱子中裝有大小質(zhì)地均相同的且標(biāo)有1~10的10個(gè)小

球，每次隨機(jī)抽取一個(gè)小球并放回，規(guī)定：若每次抽取號(hào)碼小于或等于5的小球，則前進(jìn)1步，若每次抽

取號(hào)碼大于5的小球，則前進(jìn)2步.每次抽取小球互不影響，記小郡一共前進(jìn)"步的概率為P“，則下列說(shuō)法

正確的是（）

1

A.P2=-

B-p“="T+：P“_2（"N3）

C.

D.小華一共前進(jìn)3步的概率最大

4.（2024,湖北?二模）無(wú)窮等比數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為％公比為公下列條件能使｛%｝既有最大值，又有最小值

的有（）

A.。<4<1B.4〉0,-1<4<0

C.%<0,4=-1D.<0,q<-l

三、填空題

5.（21-22高三上?山東聊城?期末）已知等比數(shù)列｛q｝的公比q=g,且%+%+%+L+%9=9。，貝U

q+4+/+L+400=.

6.（23-24高二下?廣東廣州?期中）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題："三百七十八里關(guān),

初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其大意為："有

7

一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目

的地.”則該人第一天走的路程為_(kāi)________里.

反思提升：

（1）等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項(xiàng)公式的變形，二是等比中項(xiàng)的變形，三是前n項(xiàng)

和公式的變形.根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問(wèn)題的突破口.

（2）涉及等比數(shù)列的單調(diào)性與最值的問(wèn)題，一般要考慮公比與首項(xiàng)的符號(hào)對(duì)其的影響.

攣分層檢測(cè)

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

1.（2024?河南洛陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）折紙是一種用紙張折成各種不同形狀的藝術(shù)活動(dòng)，起源于中國(guó)，其歷史可追

溯到公元583年，民間傳統(tǒng)折紙是一項(xiàng)利用不同顏色、不同硬度、不同質(zhì)地的紙張進(jìn)行創(chuàng)作的手工藝.其

以紙張為主材，剪刀、刻刀、畫筆為輔助工具，經(jīng)多次折疊造型后再以剪、亥h畫手法為輔助手段，創(chuàng)作

出或簡(jiǎn)練、或復(fù)雜的動(dòng)物、花卉、人物、鳥(niǎo)獸等內(nèi)容的立體幾何造型作品.隨著一代代折紙藝人的傳承和

發(fā)展，現(xiàn)代折紙技術(shù)已發(fā)展至一個(gè)前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其復(fù)雜而又栩栩如

生的折紙作品是由一張完全未經(jīng)裁剪的正方形紙張所創(chuàng)作出來(lái)的，是我們中華民族的傳統(tǒng)文化，歷史悠久，

內(nèi)涵博大精深，世代傳承.在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐課上某同學(xué)將一張腰長(zhǎng)為I的等腰直角三角形紙對(duì)折，每次對(duì)折

后仍成等腰直角三角形，則對(duì)折6次后得到的等腰直角三角形斜邊長(zhǎng)為（）

A1c貶n1

8B844

2.（2024?寧夏石嘴山?三模）已知數(shù)列｛凡｝等比數(shù)列，且。1=1,%。3。4=64，則氏2。5的值為（）

A.1B.2C.3D.4

3.（23-24高二下?安徽六安?期中）已知等比數(shù)列｛q｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比4=2,且滿足出&=16,則%=

（）

A.2B.4C.8D.16

4.（2024?山東泰安?模擬預(yù)測(cè)）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝中，已知的＞1，其前〃項(xiàng)之積為l，且蠢=幾，

則1取得最大值時(shí)，則〃的值為（）

A.15B.16C.29D.30

二、多選題

5.（23-24高二上?河北保定?期末）已知等比數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為4,公比為4,則下列能判斷｛4｝為遞增數(shù)列

的有（）

8

應(yīng)=；

A.4=3B.q=2應(yīng)=3

11

d-4=一耳，4=5

6.（23-24高二上?山東青島?期末）在等比數(shù)列｛%｝中，q=l,%=27,則（）

A.｛4q+J的公比為9B.｛Iog3%+J的前20項(xiàng)和為210

C.｛4｝的前20項(xiàng)積為38°D.￡（%+%）=2（3力-1）

k=l

7.（23-24高三上?全國(guó)?開(kāi)學(xué)考試）記公比為4的單調(diào)遞增的等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,若出+%=4,

%+4=16,則（）

A.q=2B.an=1?2"

C.5?=|（2"-1）D.5?+1-S?=^

JD

三、填空題

8.（23-24高二下?江西贛州?階段練習(xí)）已知S,是等比數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，若索=3,則薩=____.

?5310

9.（23-24高二上?山東青島?期末）數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，且前〃項(xiàng)和為＜=22-％,則實(shí)數(shù)上=.

10.（2024?貴州?模擬預(yù)測(cè)）拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖在計(jì)算機(jī)通信、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和網(wǎng)絡(luò)維護(hù)等方面有著重要的

作用.某樹(shù)形拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖如圖所示，圓圈代表節(jié)點(diǎn)，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都有兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)，則到第10層一共有個(gè)

節(jié)點(diǎn).（填寫具體數(shù)字）

第2弓/入、

第3層/、/\

第4層八

四、解答題

11.（23-24高二下?廣東東莞?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足4=1,"m="7（"eN"）,數(shù)列出｝前〃項(xiàng)

和S,=12一120.

⑴求證：數(shù)列［是等差數(shù)列；

⑵求｛%｝、也｝的通項(xiàng)公式；

b

（3）設(shè)g=i,求的最大值.

an

9

12.（23-24高三下?湖南岳陽(yáng)?階段練習(xí)）已知等差數(shù)列｛%｝滿足%+%-=8"+2（?>2）,數(shù)列出,｝是公比

為3的等比數(shù)列，出+4=20.

⑴求數(shù)列｛%｝和也.｝的通項(xiàng)公式;

（2）數(shù)列｛凡｝和出,｝中的項(xiàng)由小到大組成新的數(shù)列｛c“｝,記數(shù)列｛c,｝的前n項(xiàng)和為S“,求S50.

【能力篇】

一、單選題

1.（23-24高二下,廣東佛山?階段練習(xí)）已知非零實(shí)數(shù)a,b,c不全相等，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若a,b,c成等差數(shù)列，則工，y,』構(gòu)成等差數(shù)列

abc

B.若a,b,c成等比數(shù)列，則2",2J2。構(gòu)成等差數(shù)列

C.若a,6,c成等差數(shù)列，則2",2J2。構(gòu)成等比數(shù)列

D.若a,b,c成等比數(shù)列，則log?。，log?》，log2c構(gòu)成等比數(shù)列

二、多選題

2.（23-24高二下?湖北?階段練習(xí)）在一個(gè)有窮數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，我

們把這樣的操作稱為該數(shù)列的一次"和擴(kuò)充”.如數(shù)列1,3,第1次"和擴(kuò)充"后得到數(shù)列1,4,3；第2次“和

擴(kuò)充"后得到數(shù)列1,5,4,7,3；依次擴(kuò)充，記第〃（〃eN*）次"和擴(kuò)充"后所得數(shù)列的項(xiàng)藜記為《，所有項(xiàng)

的和記為凡，數(shù)列｛%｝的前八項(xiàng)為S“