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認(rèn)證類型：個人認(rèn)證

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專題07函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲担ㄐ赂呖紝Ｓ茫?/p>

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點突破】................................................................6

【考點1】確定函數(shù)的單調(diào)性（區(qū)間）.............................................6

【考點2】求函數(shù)的最值......................................................12

【考點3】函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用..................................................16

【分層檢測】...............................................................23

【基礎(chǔ)篇】.................................................................23

【能力篇】.................................................................31

【培優(yōu)篇】.................................................................35

考試要求：

1.借助函數(shù)圖象，會用數(shù)學(xué)符號語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最值，理解其實際意義.

2.會運用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì).

.知識梳理

L函數(shù)的單調(diào)性

(1)單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)人為的定義域為1,區(qū)間DU/,如果Vxi,X2GD

當(dāng)X1<X2時，都有心1)<性2),那當(dāng)XI<X2時，都有

么就稱函數(shù)人X)在區(qū)間D上單調(diào)那么就稱函數(shù)人X)在區(qū)間。上

定義

遞增，特別地，當(dāng)函數(shù)人X)在它的單調(diào)遞減，特別地，當(dāng)函數(shù)汽X)

定義域上單調(diào)遞增時，我們就稱在它的定義域上單調(diào)遞減時，

它是增函數(shù)我們就稱它是減函數(shù)

建而2)

圖象描述O~^2X

X

自左向右看圖象是下降的

自左向右看圖象是上升的

⑵單調(diào)區(qū)間的定義

如果函數(shù)y=/U)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,那么就說函數(shù)y=/(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格

的)單調(diào)性，區(qū)間。叫做y=")的單調(diào)區(qū)間.

2.函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)y=Kx)的定義域為/,如果存在實數(shù)〃滿足

(l)vx￡/,都有於WM；(l)Vxez,都有/

條件

(2)3xoe/,使得"o)=M(2)3xoe/,使得"o)=M

結(jié)論M為最大值M為最小值

|常用結(jié)論

1.有關(guān)單調(diào)性的常用結(jié)論

在公共定義域內(nèi)，增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)；減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)；增函數(shù)一減函數(shù)=增

函數(shù)；減函數(shù)一增函數(shù)=減函數(shù).

2.函數(shù)y=/(x)(/(x)>0或《x)<0)在公共定義域內(nèi)與y=—/(%),丫=于(])的單調(diào)性相反.

2

.真題自測

一、單選題

1.（2023?全國?高考真題）設(shè)函數(shù)“*）=2+旬在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，則。的取值范圍是（）

A.B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+co)

2.（2023?北京?高考真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,y）上單調(diào)遞增的是（）

B./(x)=g

A./(x)=-lnx

c.…!D./(x)=3M

已知函數(shù)/（%）=「日尸.記。=/

3.（2023?全國?高考真題）[2J,b=I2J，則（）

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

4.（2022?天津?IWJ考真題）函數(shù)=的圖像為（)

x

5.（2021?全國?高考真題）下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（）

A./(%)=-%C.=D.〃力=也

3

6.（2021?北京?高考真題）已知了⑴是定義在上［0,1］的函數(shù)，那么“函數(shù)Ax）在［0,1］上單調(diào)遞增”是"函數(shù)/（X）

在［0用上的最大值為/'⑴”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

參考答案：

1.D

【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計算作答.

【詳解】函數(shù)y=2,在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)〃刈=2乂*在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，

2

則有函數(shù)'=雙彳-"）=。-?2一?在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，因此§21,解得°22,

所以。的取值范圍是［2,+oo）.

故選：D

2.C

【分析】

利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷ABC,舉反例排除D即可.

【詳解】

對于A,因為y=lnx在（0,+8）上單調(diào)遞增，y=-%在（0,+e）上單調(diào)遞減，

所以/（x）=-lnx在（0,+巧上單調(diào)遞減，故A錯誤；

對于B,因為y=2'在（0,+e）上單調(diào)遞增，y=;在（0,+e）上單調(diào)遞減，

所以/（町=（在（°，+8）上單調(diào)遞減，故B錯誤；

對于c,因為>=:在（。,+8）上單調(diào)遞減，y=-x在（0,+“）上單調(diào)遞減，

所以〃尤）=-/在（。,+巧上單調(diào)遞增，故C正確；

對于D,因為/21=3日=3；=5/⑴=3卜"=3。=1,〃2）=少-"=3,

顯然〃力=3斤1在（0,+8）上不單調(diào)，D錯誤.

故選：C.

4

3.A

【分析】利用作差法比較自變量的大小，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】令g(x)=-(x-l)2,則g(x)開口向下，對稱軸為尤=1,

因為乎-1-1-y-="丁一而函+6)-2=9+6&-16=6&一7>0,

fir-ri^6.f.否］屈+64?g?Jy/6>/3

所以三一1一［1一萬］=^―一2>°'lT-l>l-T

由二次函數(shù)性質(zhì)知g(乎)<g4),

因為^^-1-1-’2'一［'M(A/6+V2)2—42=8+4^—16=4A/3—8=4(^/3—2)<0,

又丫=6,為增函數(shù)，故“<c<〃，即6>c>“.

故選：A.

4.D

【分析】分析函數(shù)/(x)的定義域、奇偶性、單調(diào)性及其在(-*。)上的函數(shù)值符號，結(jié)合排除法可得出合適

的選項.

【詳解】函數(shù)〃對=亡1的定義域為｛小片。｝,

且………T⑺’

—XX

函數(shù)”X)為奇函數(shù)，A選項錯誤；

又當(dāng)無<。時，/(x)=feM<0,C選項錯誤；

當(dāng)x>l時，==函數(shù)單調(diào)遞增，故B選項錯誤；

XXX

故選：D.

5.D

5

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷后可得正確的選項.

【詳解】對于A,〃x)=-x為R上的減函數(shù)，不合題意，舍.

對于B,〃尤)=(|)為尺上的減函數(shù)，不合題意，舍.

對于C,=f在(-8,0)為減函數(shù)，不合題意，舍.

對于D,〃力=a為R上的增函數(shù)，符合題意，

故選：D.

6.A

【分析】利用兩者之間的推出關(guān)系可判斷兩者之間的條件關(guān)系.

【詳解】若函數(shù)在［0』上單調(diào)遞增，則在［0』上的最大值為"1),

若/(X)在［0』上的最大值為〃1),

比如〃尤,

但=在0,；為減函數(shù)，在1,1為增函數(shù)，

故/(%)在［0』上的最大值為7(1)推不出〃x)在［0,1］上單調(diào)遞增，

故"函數(shù)f(x)在［0』上單調(diào)遞增"是"F(x)在［0,1］上的最大值為"的充分不必要條件,

故選：A.

.考點突破

【考點1］確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)

一、單選題

1.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)“X)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意的也<“<0,都有

(m-n)(/(m)-/(H))<0,且/'(-2)=0,則不等式小十1)一八一工一)N0的解集為()

A.[-3,-l]U[0,l]B.[-2,2]

C.(e,-3)U(-2,0)U(2,+<?)D.[-3,-l]U(0,l]

2.(2023?廣東惠州,一模)嶺南古邑的番禺不僅擁有深厚的歷史文化底蘊，還聚焦生態(tài)的發(fā)展.下圖1是番

禺區(qū)某風(fēng)景優(yōu)美的公園地圖，其形狀如一顆愛心.圖2是由此抽象出來的一個"心形"圖形，這個圖形可看作

6

由兩個函數(shù)的圖象構(gòu)成，貝廣心形”在X軸上方的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式可能為（）

A.y=國"-尤?B.y=x，4-f

C.y=Q-x?+2岡D.y=+2x

二、多選題

3.（2023?全國?模擬預(yù)測）小菲在學(xué)校選修課中了解了艾賓浩斯遺忘曲線.為了解自己記憶一組單詞的情況,

她記錄了隨后一個月的有關(guān)數(shù)據(jù)，繪制圖象，擬合了記憶保持量y與時間x（單位：天）之間的函數(shù)關(guān)系

7

------x+1,0<xWl

20

y=f(x)=<.則下列說法中正確的是（)

A.隨著時間的增加：小菲的單詞記憶保持量降低

B.第一天小菲的單詞記憶保持量下降最多

C.9天后，小菲的單詞記憶保持量不低于40%

D.26天后，小菲的單詞記憶保持量不足20%

4.（2024,河南?一模）定義在R上的函數(shù)/（xQlogoG/l+bT+法）（a>0且awl,6*0）,若存在實數(shù)相

使得不等式/（一m+J加2+12）+/（-*）20恒成立,則下列敘述正確的是（）

A.若6>0,則實數(shù)機(jī)的取值范圍為[-2,2]

B.若b<0,則實數(shù)相的取值范圍為（-8,2]

C.若。>1,6<0,則實數(shù)機(jī)的取值范圍為（-8，-2]U[2,yo）

D.若0<a<l,b>0,則實數(shù)機(jī)的取值范圍為[2,E）

7

三、填空題

5.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知定義在(T,0)U(0,M)上的函數(shù)〃x),對于定義域內(nèi)任意的x,y,都有

f(xy)=f(x)+f(y),且在(0,+8)上單調(diào)遞減，則不等式〃到<log?空的解集為.

/、[x,x>a

6.(2023?北京密云三模)設(shè)函數(shù)/(X)"2°

①當(dāng)。=2時，〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為；

②若iceR且xwO,使得/(1+同=/(1一”成立，則實數(shù)。的一個取值范圍______.

參考答案：

1.D

【分析】由對任意的加<〃<0,都有(租-")(/(㈤-/(〃))<0,得/■(%)在(-8,0)上單調(diào)遞減，由函數(shù)，(無)是

定義在R上的奇函數(shù)得了(-2)=-八2)=。，/(0)=0,“X)在(0,+8)上單調(diào)遞減，畫出/(x+1)的簡圖，即

可求解.

【詳解】對任意的能<“<0,都有(〃/一〃)?(/(〃，)一/(〃))<。，

所以“X)在(-8,0)上單調(diào)遞減，

因為函數(shù)，(無)是定義在R上的奇函數(shù)，/(-2)=-/(2)=0,/(0)=0,

所以〃x)在(0，y)上單調(diào)遞減，則可畫出/(x+1)的簡圖，如圖所示，

-3\T\^

所以公止上二12二次也20,

%X

則F/"?；驀?yán)：)4?；騲—

[x>0[x<0

[％<-3或一1(九<1、]一341<-1或

即〈或〈或尤二一1,

[x>0[x<0

解得無￡[—3—1]u(0,1],

故選：D.

2.C

8

【分析】

利用基本不等式可求得y=|x|F7w2,知A錯誤；由xe（-2,0）時，丫=*的=7<0可知B錯誤；根據(jù)

y=^-x2+2\x\<l,圖象中的特殊點及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性可知C正確；根據(jù)函數(shù)定義域可知D錯誤.

【詳解】對于A,?..y=k|7^7=Jx2（4_R）wJ『+jx］=2（當(dāng)且僅當(dāng)1=4一V,即x=±8時取

等號），

.?一=慟^^在（-2,2）上的最大值為2,與圖象不符，A錯誤;

對于B,當(dāng)2,0）時，y=x"，<0,與圖象不符，B錯誤；

對于C,1/y=-^-X2+2|%|=+1-，當(dāng)X=±l時，Jmax=1；

又y=7-X2+2|X|過點（-2,0）,（2,0）,（0,0）；

由-d+2國之。得：|x|（|x|-2）<0,解得：—24x42,即函數(shù)定義域為［一2,2］；

又+2卜x［=J-x，+2國,

.?.y={-/+2國為定義在［-2,2］上的偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對稱；

當(dāng)xe［0,2］時，=7-X2+2X=^-（^-1）2+1,則函數(shù)在（。,1）上單調(diào)遞增，在2）上單調(diào)遞減；

綜上所述：y=尸了訊與圖象相符，C正確；

對于D,由+2x20得：0<x<2,；.y=，一/+2%不存在xe（-。0）部分的圖象,D錯誤.

故選：C.

3.AB

【分析】根據(jù)艾賓浩斯遺忘曲線對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】由函數(shù)解析式和圖象可知F（尤）隨著無的增加而減少，故A正確.

由圖象的減少快慢可知：第一天小菲的單詞記憶保持量下降最多，B正確.

當(dāng)1<%430時，/（x）=g+1卷］x2,

貝廳⑼？圖x9［=0.35,

即9天后，小菲的單詞記憶保持量低于40%,故C錯誤.

/（26）=|+f^x26^>|,故D錯誤.

9

故選：AB

4.BD

【分析】先判斷函數(shù)于3=Iog“(J1+b2d+法)為奇函數(shù),再分"1和0<。<1討論y=iog/的單調(diào)性，分

6>0和6<0討論函數(shù)t=委+區(qū)的單調(diào)性，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷得出人盼的單調(diào)性，利用單調(diào)

性將/(,m+7^712)+/(-㈤to進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化成含參數(shù)小的不等式，求解即得.

【詳解】對于函數(shù)/(尤)=log”(J1+上無2龍)，因/(無)+f(—無)=log”(Jl+b,x1+6x)+log?(Jl+6?尤2—bx)

=log“[(71+*V+fe)(71+&V-6x)]=0，則函數(shù)/a)是奇函數(shù).

不妨設(shè)r=Ji+廿￡+bx，則y=bg?，，

對于A項，當(dāng)。>1時，y=iog/在定義域內(nèi)為增函數(shù)，

因b>o,則/=。+蛆/+正在R上也是增函數(shù),故/(無)=題?！?+/尤2+區(qū))在R上也是增函數(shù).

由f(—m+\lnr+12)+>0<^>f(一m+[m2+12)>=于(ni)，則—m+Qm2+12>m>即

dm2+12>2m(*)，

①當(dāng)mWO時，此時恒成立；②當(dāng)機(jī)>0時，由(*)可得病+1224蘇，WW-2<m<2,綜上可知，me(-co,2],

故A項錯誤；

對于B項，當(dāng)0<。<1時，y=log/在定義域內(nèi)為減函數(shù)，因6<0,則/=a+03+區(qū)在R上也是減函數(shù),

故/'(x)=log”(Vl+b2x2+bx)在R上是增函數(shù)，

由A項分析可得，/(_〃z+342+]2)+/(_〃[)20恒成立可得,me(ro,2],故B項正確；

對于C項，當(dāng)時，y=logj在定義域內(nèi)為增函數(shù)，因b<0,則r=J1+"+法在R上是減函數(shù)，故

f(x)=log。M+bV+在R上是減函數(shù)，

由f(—m+A/^2+12)+>0<^>/(—m+/m2+12)>—f(—m)=/(m)>則—m+J療+12<m>即

din2+12<2m(*),

①當(dāng)mV0時，無解；②當(dāng)相>0時，由(*)可得病+1244加2,解得機(jī)4-2或機(jī)22,綜上可知，m6[2,+<?),

故C項錯誤；

對于D項，當(dāng)。時，V=logJ在定義域內(nèi)為減函數(shù)，因>>0,貝1=位*?+"在R上也是增函數(shù)，

22

故/'(x)=loga(>/1+bx+bx)在R上是減函數(shù),

10

由C項分析可得，/(一加+加工15)+/(-m)to恒成立可得，me[2,+co),故D項正確.

故選：BD.

【點睛】思路點睛：一般先考慮函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)參數(shù)分類判斷，構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性，

利用單調(diào)性去掉抽象函數(shù)的符號，將其化成含參數(shù)加的不等式恒成立問題，再對參數(shù)機(jī)分類討論不等式解

的情況即得.

5.{尤|尤<-1或無>1}

【分析】由/3)=〃x)+〃y)，利用賦值法，得到函數(shù)/(X)的奇偶性，構(gòu)造函數(shù)F(x)=〃x)7og2號，

研究其單調(diào)性和奇偶性，再由歹⑴=0,將不等式/(x)<log2空轉(zhuǎn)化為尸(耳<尸(1)求解.

【詳解】由/(孫)=f(x)+f(y),令x=y=l,W/(l)=/(l)+/(l)，所以/⑴=。.

令x=y=-l,得"-I"。.令y=T,#/(-x)=/(x)+/(-l)=y(x),所以函數(shù)為偶函數(shù).

構(gòu)造函數(shù)*x)=/(x)-k)g2號，因為尸(f)=*x),所以尸⑴為偶函數(shù)，且在(0,+心)上為減函數(shù).

因為"1)=/⑴一嚏2號=。，

所以不等式〃“<1082早等價于口m=/四一題2，1<0=*1),

所以網(wǎng)M〈尸⑴，即W>1,所以X<—1或X>1,

故不等式f(x)<log2空的解集為{x|x<-1或x>1}.

故答案為：{x[x<-l或X>1}.

6.(—oo,l],[2,+oo)(1,+oo)

【分析】當(dāng)4=2時，作出“X)的圖象，結(jié)合圖象，即可求得函數(shù)的遞增區(qū)間，由〃l+x)=/(l-x),得到

/(X)的圖象關(guān)于尤=1對稱，結(jié)合題意，即可求得。的取值范圍.

[YY>2

【詳解】①當(dāng)°=2時，可得〃x)=:一函數(shù)〃尤)的圖象，如圖所示，

I—x+2羽工<2

可得函數(shù)〃尤)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-吃1]，[2,+⑹.

11

②由〃l+x)=〃lr),可函數(shù)的圖象關(guān)于x=l對稱,

若HxeR且無力0,使得/(l+x)=/(l—x)成立,

如圖所示，則滿足即實數(shù)。的取值范圍為(1,+?0.

故答案為：(-00,1],[2,+00)；(1,+co).

反思提升：

1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間.

2.(1)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：①定義法；②圖象法；③利用已知函數(shù)的單調(diào)性；④導(dǎo)數(shù)法.

(2)函數(shù)y=/(g(x))的單調(diào)性應(yīng)根據(jù)外層函數(shù)丁=危)和內(nèi)層函數(shù)/=g(x)的單調(diào)性判斷，遵循“同

增異減”的原則.

易錯警示函數(shù)在兩個不同的區(qū)間上單調(diào)性相同，一般要分開寫，用“，”或“和”連接，不

要用“U”.

【考點2】求函數(shù)的最值

一、單選題

,.i+y(x)

1.(2024?陜西?模擬預(yù)測)函數(shù)“X)滿足底,且%>e,Xj>e,/(^)+/(%2)=l,則/'(4V2)的最

小值為()

51

A.eB.1C.—D.-

7e

2.(2024?湖南岳陽?三模)已知函數(shù)〃尤)=e+°m(",不存在最小值，則實數(shù)。的取值范圍是()

[x+lax,x>a

A.(-1,0)B.H'+s)C.(T。)ug,+s)D.[-§,o[u(l，+8)

二、多選題

3.(2024?江蘇南通?模擬預(yù)測)已知不等式(砧+3乂/-6b0對任意xe(O,+s)恒成立，其中a,b是整數(shù),

12

則a+b的取值可以為（）

A.-4B.-2C.0D.8

2x

4.（2022?福建漳州?一模）已知函數(shù)則（）

廠+9

A./（X）的定義域為RB./CO是偶函數(shù)

C.函數(shù)y=f（尤+2022）的零點為0D.當(dāng)x>0時，/（x）的最大值為g

三、填空題

5.（2023,云南保山?二模）對于函數(shù)/（力，若在其圖象上存在兩點關(guān)于原點對稱，則稱/（X）為"倒戈函數(shù)",

設(shè)函數(shù)/（尤）=3"+tanx-2W+1（MWR）是定義在上的"倒戈函數(shù)”，則實數(shù)機(jī)的取值范圍是.

丫2+Y+]

6.（2023?河南關(guān)B州?模擬預(yù)測）已知％>0,y>0,%+2y=l,則「——的最小值為____.

2xy

參考答案：

1.C

【分析】通過解方程可得了（%）的解析式，由八七）+/（々）=1化簡可得In%」11%=皿%，2）+3,結(jié)合基本

2

不等式可得出（％?々）之6,運用分離常數(shù)法化簡可得———,進(jìn)而可得其最小值.

In（玉?％2）+1

【詳解】因為足了二腎架，所以Inx-lnx"（尤）一1一/（尤）=0,即/⑴二"二，

1-/（x）ln.r+1

又因為/（屆）+/（%）=1，

所L”X]7Jnx?—=]切（In%一l）（lnx?+1）+（Inx?-l）（ln3+1）21nxi?In々一2

5

In+1Inx2+1（In%+l）（lnx2+1）（In%+l）（lnx2+1）

所以In%?In%=In（再?z）+3,

因為M>e,x2>e,所以1口%>1,Inx2>1,

所以In%?In%=In（占?X2）+3V產(chǎn)斗丁與=*廣）,

整理得In?（司.尤2）-4In（玉?X2）-1220,

解得111（占?4）26或ln（x「X2）V-2（舍）,

所以/（52）=；n，「R1=i2“25Inx=In?2

介南亍當(dāng)且僅當(dāng)）:6即W時取等號.

ln（%?%）+1In（玉?x2）+l

故了（周馬）的最小值為:

故選：C.

2.C

13

【分析】分別在。＜0,。20條件下結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性及二次函數(shù)性質(zhì)，確定函數(shù)/（尤）的取值規(guī)律，由條

件列不等式求“的范圍，可得結(jié)論.

【詳解】（1）當(dāng)〃＜0時，若x＜。，貝Uf（x）=e'+a,

因為函數(shù)〃*）=6*+。在（-00,。）上單調(diào)遞增，所以a＜〃x）＜e"+a,

若xNa,則/'（尤）=爐+26=（尤+a）2-/2-",當(dāng)且僅當(dāng)*=一。時取等號,

因為/'（"不存在最小值，

所以一片＞。，所以一

（2）當(dāng)時，若x＜。，貝!J/（x）=e'+a,

因為函數(shù)“力=6工+。在（-＜?,4）上單調(diào)遞增，所以a＜〃x）＜e"+a,

若xNa,則/（尤）=x?+2依=（尤+。）2-片z=31,當(dāng)且僅當(dāng)無=。時取等號,

因為F（x）不存在最小值，

所以3a2＞a,所以。,

所以實數(shù)。的取值范圍是（T，O）U],+S

故選：C.

3.BD

【分析】對b分類討論，當(dāng)匕V0時，由（依+3乂尤2_6）?。得到依+340在xeQ+co）上恒成立，則a不存

在；當(dāng)6X）時，由（廄+3乂/-6）W0,結(jié)合圖象利用數(shù)學(xué)結(jié)合的思想得出a,b的整數(shù)解.

【詳解】當(dāng)人40時，由（Q%+3）（f—b）V。得至|J依+3?0在%￡（0,+oo）上恒成立，則。不存在,

當(dāng)人>0時，由(。%+3)(元2一匕)40可設(shè)/(%)=依+3,(g(x)=x2-b,

又g（x）的大致圖象如下,

14

因止匕“+6=8或-2.

故選：BD

4.AD

【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，分別從定義域、奇偶性、零點、最值考察即可求解.

【詳解】對A,由解析式可知Ax）的定義域為R,故A正確;

2九一2九

對B,因為/(尤)+/(-x)=2c+2可知/(X)是奇函數(shù)，故B不正確；

尤，+9_r+9

對C,，=/(x+2022)=)0,得X=_2022,故C不正確；

(X+2022)+9

八,/、2%221

0<A(x)=-----=-----<—.=-

2-

對D,當(dāng)x>0時，X+9r.9^93,當(dāng)且僅當(dāng)x=3時取等號,

X十一LAX'—

X7X

故D正確.

故選：AD

4

5.l<m<—

3

【分析】根據(jù)新定義得到存在天目-1,1],入產(chǎn)0,使/（-%）=-/（X。），轉(zhuǎn)化為4根-2=3*。+3』有解，建立

不等式求解即可.

【詳解】因為函數(shù)〃x）=3"+tanx-2相+1（加€2是定義在[-1,1]上的“倒戈函數(shù)〃,

所以存在%e[—1,1],飛20,使/'（一與）=一〃七），

即—3國—tanXQ+2/w—1=3*+tan（—）—2，〃+1,

即4加-2=3刈+3/，令"3而，貝,

所以4加一2=1+122,當(dāng)且僅當(dāng)t=l,即毛=0時取等號，

t

所以%>1,當(dāng)方=2或.=3時，（4m-2）=3+-=—,所以根

3'/333

4

所以lv機(jī)工一.

3

4

故答案為：1〈根工§

6.3+273/273+3

【分析】化簡式子，利用整體代入，結(jié)合基本不等式，可得結(jié)果.

【詳解】因為％+2尸1,

”…V+x+l%x+1Xx+VX11

所以-------=—+----=—+——-=—+—+—

2xy2y2xy2yxy2yyx

15

=二+2+衛(wèi)=3+把+々23+2百，

2yyx2yx

CQy/3—1

3x=2yx------,

當(dāng)且僅當(dāng)三—''即2時等號成立，

,C13-J3

x+2y=l,y=———,

〔”4

所以Xy+1的最小值為3+273.

2xy

故答案為：3+26.

反思提升：

1.求函數(shù)最值的三種基本方法：

（1）單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.

（2）圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值.

（3）基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求

出最值.

2.對于較復(fù)雜函數(shù)，可運用導(dǎo)數(shù)，求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點值，求出最值.

【考點3】函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

一、單選題

1.（2024?全國?模擬預(yù)測）函數(shù)“”=1。8,（無歸-聞-1）在[1,2]上單調(diào)遞增，則實數(shù)°的取值范圍是（）

A.（2,+oo）B.（0,l）u（2,+oo）C.[4,+oo）D.（0,l）u[4,+oo）

2.（23-24高二下?廣東東莞?階段練習(xí)）已知尸（x）為函數(shù)〃x）的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x＞0時,有〃力_獷'（司＞0恒

成立，則下列不等式一定成立的是（）

AB,f[^＜2f

C.佃TO）D.佃＜川）

二、多選題

3.（2024廣西賀州?一模）已知函數(shù)/（對的定義域為（-1,1）"（彳）+/（）0=力產(chǎn)],且當(dāng)彳€（0,1）時，/。）＞0,

U+孫1

則下列說法正確的是（）

A.是奇函數(shù)

B./（X）為增函數(shù)

C.若實數(shù)。滿足不等式/（2。）+/（。-1）＞0,則a的取值范圍為g,+8

16

4.（2023?重慶?模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，滿足/'（x-lh"尤+1）,當(dāng)xe［0,l］時,

f（x）=x,設(shè)函數(shù)g（x）=〃x）-6-左，則下列結(jié)論成立的是（）

A.函數(shù)〃尤）的圖象關(guān)于x=l對稱

C.當(dāng)實數(shù)左＞T時，函數(shù)g（x）在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減

D.在區(qū)間［T3］內(nèi)，若函數(shù)g（x）有4個零點，則實數(shù)左的取值范圍是

三、填空題

5.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）定義在口上的函數(shù)〃力的導(dǎo)函數(shù)為尸（力，且有〃-3）=-12,〃-力+〃尤）=0,

且對任意xeR都有尸（無）＞3,則使得f-320成立的x的取值范圍是.

6.（21-22高三上?浙江紹興?階段練習(xí)）已知函數(shù)-依+6,則對任意的存在。、6（其中。、

6eR且同21）,能使以下式子恒成立的是.

①“2無）4/（1+巧；②〃x）+）=2021；（3）/（-^）＜/（?+1）,（4）/（x2）＞/（2^-1）.

參考答案：

1.C

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性，利用其最值以及二次函數(shù)單調(diào)性，建

立不等式，可得答案.

【詳解］令〃=x|x—同一1,則y=loga”.

當(dāng)。＞1時，y=log””在（0,+8）上單調(diào)遞增，

則由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知"=x|尤-4-1在［1,2］上單調(diào)遞增，

且M=^|x-（z|-l＞0在［1,2］上恒成立，

所以“min解得。＞2或。＜0（舍去）.

所以"=x|x-a|-l=x（a-x）-l=-x2+辦-1在［1,2］上單調(diào)遞增，

則■|N2,解得。24.

當(dāng)Ovavl時，y=logq〃在（。,+8）上單調(diào)遞減,

17

則由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知〃=x|x-4-1在［1,2］上單調(diào)遞減,

且〃=-1>0在［1,2］上恒成立，

所以".=2|2-4-1>0,解得或(舍去).

所以a=x|x-4-l=x(x-a)-J%2-依一1在［1,2］上單調(diào)遞減，

貝|］122,解得。24,與0<”1矛盾.

綜上所述，ae［4,-H?).

故選：C.

2.B

【分析】構(gòu)造函數(shù)尸(x)=T，x>0,求導(dǎo)確定其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定建立尸尸的不等關(guān)系,

以及尸尸⑴的不等關(guān)系，整理化簡得答案.

【詳解】令歹(x)=g,x>0,則/(司=衛(wèi)斗幺立，

因為當(dāng)x>0時，有〃x)-礦(x)>0恒成立，

所以當(dāng)x>0時，/⑴

即尸(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以即即A錯誤，B正確，

24

/心1>歹(1),即平，即2/1卜〃1),CD錯誤.

2

故選：B.

3.ABD

【分析】先令無=y=0,求出了⑼，再令y=-x,即可判斷A；令O<X<"1,結(jié)合已知判斷

)_尤

〃>)-/■(元)=/(y)+〃-x)=/的符號，即可判斷B；根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式即可判

1—xy

斷C；根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可判斷D.

【詳解】對于A,令x=y=0,則/(0)+，(0)=/(0),所以"0)=0,

18

令丫=一%,則/(x)+f(—x)=〃o)=o,所以f(-x)=—“X),

所以是奇函數(shù)，故A正確；

對于B,令°＜兀＜y＜1,

則/(，)—/(尤)=/(y)+/(—=

因為Ovxvyvl,所以丁一%>0,0<孫<1,丁一1<0,%+1>0,

所以3>0,「孫+廣尤-1=」-1)"+1)<0,

l-xy1-xy1-xy1-xy

所以。y_—x<1,

1-xy

又因為當(dāng)x￡(。/)時，/?>O,

所以〃y)-〃x)=”M>o,W/(y)>/(x),

所以函數(shù)/(x)在(。,1)上單調(diào)遞增，

又〃x)是奇函數(shù)，且"0)=0,

所以函數(shù)〃x)為增函數(shù)，故B正確;

對于C,由f(2a)+f(a—l)>0,得，(2a)>—〃a—l)=〃l—a),

2a>1-a

所以一1<20<1,解得:<q<],故C錯誤;

32

-l<a-l<l

對于D,

即了，故D正確.

故選：ABD.

【點睛】方法點睛：利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性求解抽象函數(shù)不等式，要設(shè)法將隱性劃歸為顯性的不等式

來求解，方法是:

(1)把不等式轉(zhuǎn)化為/[g(尤)

(2)判斷函數(shù)/■(%)的單調(diào)性,再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把不等式的函數(shù)符號脫掉，得到具體的不等式(組),

但要注意函數(shù)奇偶性的區(qū)別.

4.ACD

19

【分析】根據(jù)偶函數(shù)可得/(I-x)=/(x+l)即可判斷A,由/(x-l)=/(x+l)得周期T=2結(jié)合偶函數(shù)可判

斷B,求出g(x)的解析式利用一次函數(shù)單調(diào)性判斷C,畫出函數(shù)“尤)圖象和函數(shù)>=以》+1)的圖象可判斷

D.

【詳解】因為函數(shù)“X)是定義在R上的偶函數(shù)，所以『(1-x)=〃x-l)=〃x+l),所以函數(shù)的圖象

關(guān)于x=l對稱，可知A正確；

由/(x-l)=/(x+l),可得/(尤)=/(x+2),知函數(shù)的周期7=2,

、

由周期和奇偶性得了[(2亍023)=7(2x505+-3)=/(-3)=/(--1)=A]1)=彳1，故B不正確；

當(dāng)xe[1,2]時，貝x-2e[-l,0],—(x—2)e[0,1],所以/[―(x—2)]=2—x,

由函數(shù)為偶函數(shù)且周期為2可得/。)=/1一。-2)]=2-巧；心(力=〃力一區(qū)一上=一次+1)尤+2-左，

由函數(shù)g(x)在區(qū)間[L2]上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以-(左+1)<0,即Q-L得C正確；

函數(shù)g(x)在區(qū)間[一1,3]有4個零點，"尤)=丘+無=無(>+1),尤e[-l,3]有4個解，

即〃幻與直線y=-x+l)在[-1,3]有4個交點，利用周期T=2和偶函數(shù)，結(jié)合/(無)在xe[0,1]的解析式，

可畫出函數(shù)/(x)和函數(shù)>=々0+1)在R上的圖像.如圖：

y=f(x)y=k(x+1)

^^1O\1234^

由圖可得0<4左41,即0〈左v1,實數(shù)上的取值范圍是(0,』,D正確.

4I4」

故選：ACD.

5.[In3,+co)

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)-3x,根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可結(jié)合奇偶性求解.

【詳解】由〃T)+/(x)=0知”尤)是奇函數(shù)，.?"(3)=-〃—3)=12,

設(shè)g(x)=/(x)-3x,則g(3)=/(3)-3x3=12-9=3,g,(x)=/,(x)-3>0,

.??g⑺在R上單調(diào)遞增,由/?)-3e，-320得/(el)-3e，N3,

即g(e\"g(3),.北23,得尤21n3,無的取值范圍是[ln3,+a).

20

故答案為：［ln3,+a)

6.①②③

【分析】取a=-L,b=0,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可判斷①；取6=罷可判斷②；取a=-l,

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)〃尤)的單調(diào)性，可判斷③；分aV-1、兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)〃尤)的

單調(diào)性，可判斷④.

【詳解】對于①，取a=—l,b=0,則〃x)=；+x,/,(x)=x2+l>0,

所以，函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，

H^jx2+l-2x=(x-l)2>0,即2XW/+I,故〃2x)<f(l+x2)恒成立，①對；

對于②，取a=—1,b=2：1,則/'(x)=\+x+2,,

所以，/(_x)=_b￡_x+嗎=_E_x+型，則/(x)+/(-x)=2021,②對；

v73232

對于③,當(dāng)。=一1時,f(x)=^-+x+b,則/'(x)=f+1,

所以，函數(shù)/(X)在R上為增函數(shù)，?.?一/40,故7'(r2)W〃a+l),③對；

對于④，當(dāng)a21時，/,(x)=x2-a.

由可得尤<一人或x>&,由尸(力<?？傻靡挥摇从取春螅?/p>

此時，函數(shù)/(x)的增區(qū)間為卜(?,-夜)、(9,+8),減區(qū)間為卜心,夜)，

所以，函數(shù)/(X)的極大值為八-&)=笞與+>>6,極小值為/(&)=-笞4+6<人

Q/NO,所以，/仁"/(右)=-2害+6,

v-^<-1<20-1<0,所以，八-⑹〉f(T">f⑼=b>f網(wǎng),

則/(尤2)>/(2--1)不恒成立；

當(dāng)aV-1時，f'(x)=x2-a>0,則〃x)在R上為增函數(shù)，

因為20-1>1，所以，/(/)、/(2一"-1)的大小關(guān)系無法確定，④錯.

故答案為：①②③.

反思提升：

1.利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，首先要準(zhǔn)確判斷函數(shù)的單調(diào)性，其次應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到一個單