2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：解三角形的應(yīng)用（解析版）

專(zhuān)題27解三角形的應(yīng)用（新高考專(zhuān)用）

目錄

【知識(shí)梳理】................................................................2

【真題自測(cè)】................................................................3

【考點(diǎn)突破】...............................................................10

【考點(diǎn)1】解三角形應(yīng)用舉例..................................................10

【考點(diǎn)2】求解平面幾何問(wèn)題..................................................16

【考點(diǎn)3】三角函數(shù)與解三角形的交匯問(wèn)題......................................21

【分層檢測(cè)】...............................................................30

【基礎(chǔ)篇】.................................................................30

【能力篇】.................................................................38

【培優(yōu)篇】.................................................................43

考試要求：

能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.

知識(shí)梳理

1.仰角和俯角

在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線(xiàn)和目標(biāo)視線(xiàn)的夾角,目標(biāo)視線(xiàn)在水平視線(xiàn)上方叫仰角，目標(biāo)視線(xiàn)

在水平視線(xiàn)下方叫俯角（如圖1）.

2.萬(wàn)位角

從正北方向起按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線(xiàn)之間的水平夾角叫做方位角.如B點(diǎn)的方位角為a（如圖

2）.

3.方向角

正北或正南方向線(xiàn)與目標(biāo)方向線(xiàn)所成的銳角，如南偏東30。，北偏西45。等.

4.坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值.

常用結(jié)論

1.不要搞錯(cuò)各種角的含義，不要把這些角和三角形內(nèi)角之間的關(guān)系弄混.

2.解決與平面幾何有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題關(guān)鍵是找清各量之間的關(guān)系，從而應(yīng)用正、余弦定理求解.

真題自測(cè)

一、單選題

1.（2022?全國(guó)?高考真題）沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的"會(huì)

圓術(shù)”，如圖，是以。為圓心，為半徑的圓弧，C是A8的中點(diǎn)，。在上，CD，Afi."會(huì)圓術(shù)"

2

給出A8的弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式：s=AB+~-.當(dāng)Q4=2,NAO3=60。時(shí)，s=（）

2.（2021?全國(guó)?高考真題）魏晉時(shí)劉徽撰寫(xiě)的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)海島的

高.如圖，點(diǎn)、E,H,G在水平線(xiàn)AC上，OE和FG是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱(chēng)為“表

高"，EG稱(chēng)為“表距"，GC和E"都稱(chēng)為"表目距"，GC與的差稱(chēng)為“表目距的差”則海島的高AB=（）

二、填空題

3.（2021?浙江?高考真題）在，ABC中，/8=60。,48=2,M是BC的中點(diǎn)，AM=2^,則AC=

cosZMAC=.

4.（2021?浙江?高考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個(gè)全等的直角三角

形和中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示）.若直角三角形直角邊的長(zhǎng)分別是3,4,記大正方

形的面積為5,小正方形的面積為邑，則卷=.

3

5.(2021?全國(guó)?高考真題)記，ABC是內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c.已知加=，點(diǎn)。在邊AC上,

BDsinZABC=osinC.

(1)證明：BD=b；

(2)若AD=2DC,求cosZA5c.

參考答案：

1.B

【分析】連接OC,分別求出A8,oc,a),再根據(jù)題中公式即可得出答案.

【詳解】解：如圖，連接OC,

因?yàn)镃是A3的中點(diǎn)，

所以O(shè)C_LAB,

又C"AB,所以O(shè),c,r＞三點(diǎn)共線(xiàn)，

即O￡?=Q4=O3=2,

又ZAOB=60。,

所以AB=(M=OB=2,

貝！JOC=垂!,故CD-2—6，

(-伺

所以事211-473.

=2-1----------------=--------------

22

故選：B.

4

D

2.A

【分析】利用平面相似的有關(guān)知識(shí)以及合分比性質(zhì)即可解出.

【詳解】如圖所示：

DEEHFGCG

由平面相似可知DE=FG,所以

ABAHABAC

DEEHCG

CE-EH=CG-EH+EG,

ABAHACAC-AH

表圖x表距

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是通過(guò)相似建立比例式，圍繞所求目標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可解出.

回

252

13

【分析】由題意結(jié)合余弦定理可得8C=8,進(jìn)而可得AC,再由余弦定理可得cos/M4c.

【詳解】由題意作出圖形，如圖，

5

B

M

在4ABM中，由余弦定理得AM?=.2+即〃_2即小840?8,

即12=4+BM2-2BMx2xg,解得RW=4（負(fù)值舍去），

所以BC=2BM^2CM=S,

在，ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+8C2-2ARBC-cos3=4+64—2x2x8xg=52,

所以AC=2萬(wàn)；

AC2+AM2-MC~52+12-16_2屈

在&AMC中,由余弦定理得cosNMAC=

2AM-AC2X2A/3X2A/13-13

故答案為：2屈;嚕.

4.25

【分析】分別求得大正方形的面積和小正方形的面積，然后計(jì)算其比值即可.

【詳解】由題意可得，大正方形的邊長(zhǎng)為：0=斤不=5,

則其面積為：1=5?=25,

小正方形的面積：S?=25-4x（；x3x4]=l,

S,252

從而丁=7=25.

J21

故答案為：25.

7

5.（1）證明見(jiàn)解析；（2）COSZ4BC=-.

【分析】（1）根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有華，結(jié)合已知即可證結(jié)論.

（2）方法一：兩次應(yīng)用余弦定理，求得邊。與c的關(guān)系，然后利用余弦定理即可求得cosZABC的值.

【詳解】（1）設(shè)ASC的外接圓半徑為凡由正弦定理，

hC

得sin/A3C=——,sinC=—,

2R2R

6

hc

因?yàn)?￡>sinNABC=asinC,所以8。?一=a?一,即瓦>6=ac.

2R2R

又因?yàn)閆?2=ac,所以皮>=b.

（2）［方法一］【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理

因?yàn)锳D=2OC,如圖，在aABC中，cosC=a+b~C,①

3

'c

/+(2)2一片

在△BCD中，cosC=-------?！?②

2〃,一

3

由①②得4+/―。2=3〃+（§）2一片,整理得2/_162+，=0.

又因?yàn)椤?QC,所以6。2一11改+3c2=0,解得〃=；或〃=與，

32

當(dāng)。=二。2=〃。=￡-時(shí)，（2+Z7=—+<C（舍去）.

33

7

所以cos/4BC=—.

12

［方法二］:等面積法和三角形相似

2

如圖，已知AD=2DC,則5AABD~§^AABC?

r12°21

即一x—inZADB=—x—QCxsinZABC,

23s32

A

--------------------------'C

而〃=ac,即sinZADB=sinZABC,

故有NAZM=NABC,從而Z4BD=NC.

7

ACADA

由62=",即2=：r,即匕=絲，即.ACBjABD,

abCBBD

2b

皿ADAB—

故——=——，即nn3。，

ABAC—=7

cb

2

又b。=ac,所以c=§a,

則cosZABC='+7

2ac12

［方法三］:正弦定理、余弦定理相結(jié)合

21

由（1）知5D=〃=AC,再由AD=2。。得AD=—b,CD=—b.

33

ADBD

在中，由正弦定理得

sinZABDsinA

±A2

yiZABD=ZC,所以/b,化簡(jiǎn)得sinC=-sinA.

sinCsinA

2?

在中，由正弦定理知c=§〃，又由Z;2=QC,所以。2=§〃2.

242?

22_T2aH-----Q—

在；ABC中，由余弦定理，得cosNA"=":一=-

2女2x2/

3

7

故cos/4BC=—.

12

［方法四］:構(gòu)造輔助線(xiàn)利用相似的性質(zhì)

如圖，作交8C于點(diǎn)E,則△DECSAZRC.

由AD=2DC,得DE=±,EC=巴,BE=』.

333

2c

（W

在4痛）中，cos/BED=」

，,—2a,一c

33

^22_T2

在/ABC中cosZABC=巴士——.

2ac

因?yàn)閏osZABC=-cosABED,

8

（y）2+（|）2-^2

a2+c2-b2

所以

2ac2ac

T'3

整理得64—11/+3。2=0.

又因?yàn)閆?2=ac,所以6片+3c2-o,

c、3

即4=一或。=—C.

32

下同解法1.

［方法五］:平面向量基本定理

,,,一一uumUUUL

因?yàn)锳D=2￡）C,所以AO=2DC.

21

以向量BA,BC為基底，有=+

一一24-2412

所以=-BC+-BABC+-BA,

999

4c4］c

即b2=—a2+—accosZABC+—c2,

999

又因?yàn)榱?=〃c,所以9QC=4［2+4〃c.cosZASC+c2.③

由余弦定理得b2=a2+c2-laccosZABC，

所以ac=/+/一2QCCOSZABC④

聯(lián)立③④，得66—11々。+3。2=0.

3、1

所以〃=—c或〃=—c.

23

下同解法L

【方法六］:建系求解

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在直線(xiàn)為％軸，過(guò)點(diǎn)。垂直于AC的直線(xiàn)為y軸,

。。長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立直角坐標(biāo)系，

如圖所示，則0（0,0）,A（—2,0）,C（1,0）.

由（1）知，BD=b=AC=3,所以點(diǎn)3在以。為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).

9

設(shè)3（%y）（—3〈尤＜3）,則f+y?=9.⑤

由戶(hù)=收知，|5AH3C|=|AC「，

即J（x+2y+y2《x—iy+v=9.（6）

77Q5

聯(lián)立⑤⑥解得戶(hù)-^或x=y3（舍去），

代入⑥式得。=|BC\=^-,c=\BA\=?b=3,

由余弦定理得COS/ABC=/+L-"=二.

2ac12

【整體點(diǎn)評(píng)】⑵方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的

性質(zhì)解題；

方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題利用等面積法使得問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，相似

是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問(wèn)題的常用思路；

方法四：構(gòu)造輔助線(xiàn)作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長(zhǎng)比例關(guān)系的不錯(cuò)選擇；

方法五：平面向量是解決幾何問(wèn)題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可以將

其與余弦定理充分結(jié)合到一起；

方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問(wèn)題更加直

觀化.

考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1］解三角形應(yīng)用舉例

一、單選題

1.（2024?山東臨沂?一模）在同一平面上有相距14公里的A2兩座炮臺(tái)，A在8的正東方.某次演習(xí)時(shí)，A向

西偏北e方向發(fā)射炮彈，8則向東偏北e方向發(fā)射炮彈，其中。為銳角，觀測(cè)回報(bào)兩炮彈皆命中18公里外的

同一目標(biāo)，接著A改向向西偏北■!■方向發(fā)射炮彈，彈著點(diǎn)為18公里外的點(diǎn)“，則8炮臺(tái)與彈著點(diǎn)M的距

離為（）

A.7公里B.8公里C.9公里D.10公里

2.（23-24高一下?浙江?階段練習(xí)）鼎湖峰，矗立于浙江省縉云縣仙都風(fēng)景名勝區(qū)，狀如春筍拔地而起，其

峰頂鑲嵌著一汪小湖.某校開(kāi)展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，有建模課題組的學(xué)生選擇測(cè)量鼎湖峰的高度，為此，他們?cè)O(shè)

計(jì)了測(cè)量方案.如圖，在山腳A測(cè)得山頂尸得仰角為45。,沿傾斜角為15。的斜坡向上走了90米到達(dá)B點(diǎn)（4

B,P,Q在同一個(gè)平面內(nèi)），在B處測(cè)得山頂尸得仰角為60。，則鼎湖峰的山高尸。為（）米.

10

A.45（n-應(yīng)）B.45（A/6+V2）

C.90（＞/3-l）D.90（V3+l）

二、多選題

3.（23-24高三下?重慶?階段練習(xí)）如圖，在海面上有兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)良在。的正北方向，距離為2km,在

某天10：00觀察到某航船在C處，此時(shí)測(cè)得=45,5分鐘后該船行駛至A處，此時(shí)測(cè)得

ZABC=30,NADB=60,ZADC=30,則（）

A.觀測(cè)點(diǎn)8位于A處的北偏東75方向

B.當(dāng)天10：00時(shí)，該船到觀測(cè)點(diǎn)B的距離為Jdkm

C.當(dāng)船行駛至A處時(shí)，該船到觀測(cè)點(diǎn)3的距離為瘋m

D.該船在由C行駛至A的這5min內(nèi)行駛了0km

4.（2024?甘肅蘭州?一模）某學(xué)校開(kāi)展測(cè)量旗桿高度的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，學(xué)生需通過(guò)建立模型、實(shí)地測(cè)量，迭

代優(yōu)化完成此次活動(dòng).在以下不同小組設(shè)計(jì)的初步方案中，可計(jì)算出旗桿高度的方案有

A.在水平地面上任意尋找兩點(diǎn)A,B,分別測(cè)量旗桿頂端的仰角a,尸，再測(cè)量A,B兩點(diǎn)間距離

B.在旗桿對(duì)面找到某建筑物（低于旗桿），測(cè)得建筑物的高度為3在該建筑物底部和頂部分別測(cè)得旗

桿頂端的仰角a和夕

C.在地面上任意尋找一點(diǎn)A,測(cè)量旗桿頂端的仰角a,再測(cè)量A到旗桿底部的距離

D.在旗桿的正前方A處測(cè)得旗桿頂端的仰角a,正對(duì)旗桿前行5m到達(dá)8處，再次測(cè)量旗桿頂端的仰角

三、填空題

5.（2024?廣東湛江,二模）財(cái)富匯大廈坐落在廣東省湛江市經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)，是湛江經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)的標(biāo)志

性建筑，同時(shí)也是已建成的粵西第一高樓.為測(cè)量財(cái)富匯大廈的高度，小張選取了大廈的一個(gè)最高點(diǎn)4點(diǎn)A

在大廈底部的射影為點(diǎn)。，兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)B、C與。在同一水平面上，他測(cè)得8C=102近米，N3OC=120。，

11

在點(diǎn)2處測(cè)得點(diǎn)A的仰角為6（tan8=2）,在點(diǎn)C處測(cè)得點(diǎn)A的仰角為45。，則財(cái)富匯大廈的高度OA=

米.

6.（2021?山東濱州?二模）最大視角問(wèn)題是1471年德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒提出的幾何極值問(wèn)題，故最大視角問(wèn)題

一般稱(chēng)為"米勒問(wèn)題".如圖，樹(shù)頂A離地面。米，樹(shù)上另一點(diǎn)B離地面b米，在離地面。（。<〃）米的C處看此

樹(shù)，離此樹(shù)的水平距離為米時(shí)看A,8的視角最大.

參考答案：

1.D

n

【分析】設(shè)炮彈第一次命中點(diǎn)為C,在-ABC中利用余弦定理求出cos。，又二倍角公式求出cos■!，最后在

^ABM中利用余弦定理計(jì)算可得.

【詳解】依題意設(shè)炮彈第一次命中點(diǎn)為C,則AB=14,AC=BC=AM=18,

0

ZCBA=ZCAB=O,ZMAB=-,

2

在.ABC中BC2=AC2+AB2-2ACABCOS/9,

7

BP182=142+182-2xl4xl8cos6>,解得

lo

?3y0、

所以cose=2cos21_l=/,又e為銳角，解得cos?==（負(fù)值舍去），

21826

0

^^ABM^BM2=AM2+AB2-2AM-ABCOS-

=182+142-2X18X14X-=100,

6

所以=10,即3炮臺(tái)與彈著點(diǎn)M的距離為10公里.

故選：D

12

c

【分析】在中，利用正弦定理求AP,進(jìn)而在Rt/用。中求山的高度.

【詳解】由題知，NPAQ=45,ZBAQ=15,貝30,ZAPQ=45,

又一F5C=60，所以N5PC=30，所以NBP4=15，ZPBA=135，

在/ASP中，AB=90f

APAB

根據(jù)正弦定理有

sinZABP~sinZAPB"

且sin15=sin（60-45）=sin60cos45-cos60sin45=

4

90xf_180底

…nABsinZABP90sin135°

則AP=-----------------=--------------

sin/APBsin15°n-萬(wàn)一標(biāo)一亞

4

在Rt一R4。中,尸-=腔哼=45⑼到

所以山高P2為45（指+血）米.

故選：B.

3.ACD

【分析】利用方位角的概念判斷A,利用正弦定理、余弦定理求解后判斷BCD.

【詳解】A選項(xiàng)中，ZABD=ZABC+ZCBD=30°+45°=75°,ZCDB=ZADC+ABDA=300+60°=90°,

因?yàn)锽在。的正北方向，所以5位于A的北偏東75方向，故A正確.

B選項(xiàng)中，在△BCD中，ZBDC=9Q°,ZDBC=45°,貝U4CD=45。,又因?yàn)?￡>=2,

所以BC=2&km,故B錯(cuò)誤.

C選項(xiàng)中，在ABC中，由余弦定理，得

AB2AC2+BC2~2AC-BCcosZACB=2+8-2x72x242x1=6,即AB="km,故C正確.

D選項(xiàng)中，在sACD中，ZACD=105°,ZADC=30°,則/C4D=45。.

13

由正弦定理，得心CDsin;yc=虛km,故D正確.

sm/CAD

故選：ACD.

4.BCD

【分析】根據(jù)各選項(xiàng)的描述，結(jié)合正余定理的邊角關(guān)系判斷所測(cè)數(shù)據(jù)是否可以確定旗桿高度即可.

【詳解】對(duì)于A：如果A,3兩點(diǎn)與旗桿底部不在一條直線(xiàn)上時(shí)，就不能測(cè)量出旗桿的高度，故A不正確.

對(duì)于B：如下圖，中由正弦定理求AD,則旗桿的高CD=/z+AOsin￡,故B正確；

對(duì)于C：在直角三角形△ADC直接利用銳角三角函數(shù)求出旗桿的高DC=ACtana,故C正確;

對(duì)于D：如下圖，△ABZ）中由正弦定理求AD,則旗桿的高CD=AOsina,故D正確;

故選：BCD.

5.204

【分析】根據(jù)仰角設(shè)出長(zhǎng)度，再根據(jù)余弦定理列出△03C的邊長(zhǎng)關(guān)系，解方程求解即可.

nA卜

【詳解】設(shè)。4=無(wú)米，因?yàn)樵邳c(diǎn)3處測(cè)得點(diǎn)A的仰角為8,所以2=2,所以02=g.

OB2

因?yàn)樵邳c(diǎn)C處測(cè)得點(diǎn)A的仰角為45。，所以O(shè)C=/7米.

由余弦定理，可得BC2=OB2+OC2-2OBOCcosZBOC,

117

BP1022X7=-A2+/J2+-/Z?=-/Z\解得2=204.

424

故答案為：204

14

6.-<?)(/?-<?)

【分析】根據(jù)題意，/BCD=a,/ABC=P，CD=X,分別求得tana,tan(a+0表達(dá)式，即可求得tan分表

達(dá)式，結(jié)合基本不等式，即可得答案.

【詳解】過(guò)C作CDLAB,交A5于。，如圖所示:

設(shè)/BCD=a,AABC=|3,CD=x,

.c-—BDb—c

在/\BCD中，tan1=——=----,

CDx

在；ACD中，tan(cr+尸)==---,

CDx

佇￡_"￡,/a-ba-b

所以tan左tan((a+0-01"丁二丁一須下一22c)(j),

1+---------X+-------------vX

XXX

當(dāng)且僅當(dāng)x=("_c：6_c),即x=?z-c)(6-c)時(shí)取等號(hào),

所以tan￡取最大值時(shí)，NABC=Q最大，

所以當(dāng)離此樹(shù)的水平距離為JS-c)(6-c)米時(shí)看4B的視角最大.

故答案為：J(a-c)(b-c)

反思提升：

1.在測(cè)量高度時(shí)，栗理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)，視線(xiàn)與水平線(xiàn)

的夾角.

2.準(zhǔn)確理解題意，分清已知條件與所求，畫(huà)出示意圖.

3.運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解問(wèn)題的答案，注意方程思想的運(yùn)用.

4,測(cè)量角度問(wèn)題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫(huà)出表示實(shí)際問(wèn)題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有

關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的解.

5.方向角是相對(duì)于某點(diǎn)而言的，因此在確定方向角時(shí)，必須先弄清楚是哪一個(gè)點(diǎn)的方向角.

【考點(diǎn)2】求解平面幾何問(wèn)題

一、單選題

1.(2024?山東?二模)在ABC中，設(shè)內(nèi)角A3,C的對(duì)邊分別為a,b,c,設(shè)甲：Z?-c=<s(cosC-cosB),設(shè)乙：

15

ABC是直角三角形，則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

2.（2021?黑龍江大慶?模擬預(yù)測(cè)）下列命題中，不正確的是（）

A.線(xiàn)性回歸直線(xiàn)￡=加+&必過(guò)樣本點(diǎn)的中心（x,y）

B.若平面a_L平面平面耳，平面則平面打〃平面4

C.若則。>上的逆命題為假命題

au

D.若ABC為銳角三角形，貝UsinA>cos3.

二、多選題

3.（2022?河北滄州?模擬預(yù)測(cè)）在ASC中，三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且abc=2,則下列結(jié)論正確的是（）

A.a2b<2+ab2B.ab+a+b>2^2

C.a+b2+c2>4-D.a+b+c<2y/2

4.（2024?遼寧葫蘆島?一模）在正四棱臺(tái)中，AB=3A,Bt=6,AA,=4,p為棱2片上的動(dòng)

點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）

A.四棱臺(tái)的表面積是40+326

B.四棱臺(tái)ABC。-AqG2的體積是回1

3

c.AP+PG的最小值為2小

D.AP+PC的最小值為

三、填空題

5.（2023?陜西?模擬預(yù)測(cè)）已知在ABC中，AB=5,AC=3,BC=7,點(diǎn)。，E是邊BC上的兩點(diǎn)，點(diǎn)。在8,

AF）

E之間，ZBAD=ZCAE,AB±AE,則.

DE

2冗JT

6.（2023?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）在平面四邊形ABC。中，AB=2,DA-DC=6,ZABC^—,ZACB=-,則四

36

邊形ABC。的面積的最大值為.

參考答案：

1.D

【分析】利用正弦定理定理、和角的正弦公式化簡(jiǎn)命題甲，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.

【詳解】在ABC中，由正弦定理及匕-c=a（cosC-cosB）,sinB-sinC=sinA（cosC-cosB）,

16

即sin(A+C)-sin(A+B)=sinA(cosC-cosB),整理得cosAsin。—cosAsin3=0，

TT

由正弦定理得ccosA-bcosA=0,貝!JcosA=0或Z?=c,即4=—或Z?=c,

2

TT

因此甲：A=|?或6=c,顯然甲不能推乙；

乙：ASC是直角三角形，當(dāng)角8或C是直角時(shí)，乙不能推甲，

所以甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件.

故選：D

2.B

【分析】根據(jù)回歸方程的特征可判定A正確；根據(jù)線(xiàn)面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)，可判斷B不正確；根據(jù)不

等式的性質(zhì)，可判斷C正確；根據(jù)三角形的性質(zhì)和正弦函數(shù)的單調(diào)性，可判定D正確.

【詳解】對(duì)于A中，由回歸直線(xiàn)的概念知線(xiàn)性回歸直線(xiàn)￡=%+4必過(guò)樣本點(diǎn)的中心(元》)，所以A正確；

對(duì)于B中，若平面a_L平面7,平面6_1_平面/,則平面平面夕或平面a與平面尸相交，所以B不正確；

對(duì)于C中，命題/<《，貝逆命題為"。會(huì)，則,<卜

abab

因?yàn)楣?1=號(hào)，其中必的符號(hào)不確定，所以為假命題，所以c正確；

abab

JT7T

對(duì)于D中，若，ABC為銳角三角形，可得A+3>5，即4>萬(wàn)-2,

TT7T

又由y=sinx在區(qū)間(0,3)上為增函數(shù)，所以sinA>sin(,-B)=cos8,所以D正確.

故選：B.

3.ABC

【分析】根據(jù)題意得"(。-6)<2=Me,結(jié)合邊的關(guān)系即可判斷A；根據(jù)邊的關(guān)系及基本不等式即可判斷

BC；用邊長(zhǎng)為1,&,應(yīng)的三角形的周長(zhǎng)判斷D

【詳解】對(duì)于A,a2b<2+ab2,即片匕一/<2,也就是血a-力<2=aZ?c,

另一方面，在4ABe中，ab>0,a-b<c,貝l]a6(a-Z?)<aZ?c成立，故A正確；

對(duì)于B,ab+a+b>ab+c>2^1abc=,故B正確；

對(duì)于C,a+b-+c2>a+2bc>2-^2abc=4,當(dāng)且僅當(dāng)”=2/?=2。=2時(shí)取等號(hào)，故C正確；

對(duì)于D,邊長(zhǎng)為1,立,直的三角形，滿(mǎn)足"c=2,但a+6+c=l+20>2及，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

4.ABD

【分析】求出四棱臺(tái)ABCD-ABCI，的表面積即可判斷A；由正四棱臺(tái)的體積公式計(jì)算出體積，即可判斷

17

B；將側(cè)面展開(kāi)在同一平面，結(jié)合余弦定理即可判斷CD.

【詳解】對(duì)于A,由題可知，四邊形ABCDAqGR為正方形，所以必貧。=36,邑跖口=4,

分別取BC,8c的中點(diǎn)則ME為側(cè)面高，

因?yàn)閭?cè)面BCQBI為等腰梯形，側(cè)面高M(jìn)E=742-22=2g，

所以一個(gè)側(cè)面的面積為（2+6）X2GX：=86,

故正四棱臺(tái)的表面積為36+4+8^x4=40+32^,故A正確；

對(duì)于B,連接AC，AG，取AC,4G中點(diǎn)。,。，連接。。一過(guò)點(diǎn)A作A"_LAC,則正四棱臺(tái)的高為。Q,

Aq=e,AO=30,則AH=2&，

在梯形中，OO、=AHZ16-8=2山,

所以四棱臺(tái)ABCD-\BXCXDX的體積v=^lx（4+36+V4^36）=笞，故B正確；

對(duì)于c,將側(cè)面AB4A，8CC4展開(kāi)且處于同一平面，連接AG與4瓦交于點(diǎn)。，如圖所示，則..M2CAQ，

兀

所以=2耳=§4，由上述結(jié)論可知，NA=2T，

'+1力-AQ24/B12/is

由余弦定理得，cosA=—@L—，解得AQ=曳"，則CQ=^AQ=上空，

巴c〃4323

2x4x—

3

所以AC]=AQ+QG=2屈，

因?yàn)槭瑸槔釨片上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），所以點(diǎn)A,P，G不能共線(xiàn)，

所以AP+PG>AG=2jm,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)點(diǎn)A,P,C共線(xiàn)時(shí)，AP+PC最短，

由余弦定理得，cos/A2C=迎竺二"，解得AC=6g,

2x6x6

所以AP+PC的最小值為66，故D正確；

故選：ABD.

18

5.苧牛

【分析】

由余弦定理求出cosNBAC,cosNABC的值，結(jié)合題意即可推出sinNAEB=cosNABE1,繼而利用正弦定理,

即可求得答案.

【詳解】由題意知在ABC中，AB=5,AC=3,3C=7,

AB2+AC2-BC225+9-49

貝lJcosNB4C=

2ABAC2x5x32

AB2+BC2-AC225+49-913

cosZABC-

2ABBC2x5x7-14’

而ABACe(0,it),.-.ABAC=y

TT冗

又NBAD=NCAE,AB±AE,則N5AD=NCAE=-,「.ZDAE=一

63

ji13

且/ABE+/AEB=—sinZAEB=cos/ABE=cosZABC=一

214

13

,,ADsinZAEDAD1413A/3

故江=嬴商石，即無(wú)一百

21

2

故答案為：竽

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了正余弦定理的應(yīng)用問(wèn)題，解答的關(guān)鍵是求出sinNAEB=cosNAB石，從而

可利用正弦定理求解答案.

6.6

【分析】在中，利用正弦定理可得AC=2g,進(jìn)而可求得J1BC的面積SOBC=3,在.ACD中，由

7T

余弦定理可得ZAOCV],進(jìn)而可得ACD的面積S"8V3,即可得結(jié)果.

19

2x3

ACABABsinZABC

【詳解】在4ABe中，由正弦定理可得AC=—^=26

sinZABC-sinZACBsinZACB

2

所以^BC的面積S△ABc=gAC?BCsin/ACB=；x2?x2x￥=3；

2122

十人「o』人設(shè)>丁巾/“ccA￡>+DC-AC2AD-DC-AC12-12

在AC。中，由余弦定理cos/AOC=----------------------->-----------------------=---------

當(dāng)且僅當(dāng)AD=￡>C=?時(shí)，等號(hào)成立，

即cos/ADC20,且NADCe(O,7i),則NADCe，',

所以ACD的面積S“s=-A。,DCsinNADC<—x6x1=3；

顯然當(dāng)8、。位于直線(xiàn)AC的兩側(cè)時(shí)，四邊形4BCD的面積較大,

此時(shí)四邊形ABCD的面積SABCD=5AAsc+SAACDV3+3=6.

所以四邊形45co的面積的最大值為6.

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與解三角形有關(guān)的交匯問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn)

（1）根據(jù)條件恰當(dāng)選擇正弦、余弦定理完成邊角互化；

（2）結(jié)合三角恒等變換、三角函數(shù)以及基本不等式分析運(yùn)算.

反思提升：

平面幾何中解三角形問(wèn)題的求解思路

（1）把所提供的平面圖形拆分成若干個(gè)三角形，然后在各個(gè)三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；

（2）尋找各個(gè)三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果.

【考點(diǎn)3】三角函數(shù)與解三角形的交匯問(wèn)題

一、解答題

L（2024?北京,三模）已知函數(shù)/（彳）=26$1110_￥￡：050無(wú)+2（：0520X,（0>0）的最小正周期為兀.

⑴求。的值；

（2）在銳角ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.c為以x）在0胃上的最大值，再?gòu)臈l件①、條件

20

②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求的取值范圍.條件①：acosB+bcosA=2ccosC；條

件②：2asinAcosB+Z?sin2A=J§〃；條件③：ABC的面積為S,且s=6（"+"——fj.注：如果選擇多

4

個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)條件計(jì)分.

2.（2024?福建漳州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形ABCD中，ZDAB=|,B=^,且ABC的外接圓半徑為4.

⑴若BC=4&,AD=2近,求ACD的面積；

（2）若。=與27c，求3C—AD的最大值.

3.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）十字測(cè)天儀廣泛應(yīng)用于歐洲中世紀(jì)晚期的航海領(lǐng)域，主要用于測(cè)量太陽(yáng)等星體的

方位，便于船員確定位置.如圖1所示，十字測(cè)天儀由桿和橫檔。構(gòu)成，并且E是。的中點(diǎn)，橫檔

與桿垂直并且可在桿上滑動(dòng).十字測(cè)天儀的使用方法如下：如圖2,手持十字測(cè)天儀，使得眼睛可以從A點(diǎn)

觀察.滑動(dòng)橫檔8使得A,C在同一水平面上，并且眼睛恰好能觀察到太陽(yáng)，此時(shí)視線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，DE

的影子恰好是AE.然后，通過(guò)測(cè)量AE的長(zhǎng)度，可計(jì)算出視線(xiàn)和水平面的夾角NG4D（稱(chēng)為太陽(yáng)高度角），

最后通過(guò)查閱地圖來(lái)確定船員所在的位置.

圖1圖2

⑴在某次測(cè)量中，AE=40,橫檔的長(zhǎng)度為20,求太陽(yáng)高度角的正弦值.

⑵在桿A8上有兩點(diǎn)4，劣滿(mǎn)足44t當(dāng)橫檔C。的中點(diǎn)E位于4時(shí)，記太陽(yáng)高度角為％?=1，2）,

其中％,a?都是銳角.證明：a,<2a2.

4.（2023?福建泉州?模擬預(yù)測(cè)）在平面四邊形ABCD中，ZABC=60°,/ADC=120。，點(diǎn)B,。在直線(xiàn)AC

的兩側(cè)，AB=1,BC=2.

⑴求回BAC；

（2）求AABD與一ACD的面積之和的最大值.

21

5.(2023?河南?模擬預(yù)測(cè))已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A民C的對(duì)邊分別為。，b,c,

^V3cosA

tanB+tanC=--------------?

cosBcosC

⑴求A;

(2)若°=#，求6+c的取值范圍.

6.(2023,陜西榆林?三模)已知a,6,c分別為ABC的內(nèi)角A5C所對(duì)的邊，AB-AC=4,且acsin3=8sinA.

⑴求A；

⑵求sinAsinBsinC的取值范圍.

參考答案：

1.(1)1

(2)(一6,司

【分析】利用三角恒等變換整理可得小)=2425+仆1,結(jié)合最小正周期分析求解;

以2尤+$為整體，結(jié)合正弦函數(shù)最值可得c=3.若選條件①：利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得C=g,

63

利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換可得。-6=2gsin[