2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點（原卷版）

專題19利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點（新高考專用）

f目錄

【真題自測】................................................................2

【考點突破】................................................................3

【考點1】判斷、證明或討論零點的個數(shù)........................................3

【考點2】根據(jù)零點情況求參數(shù)范圍............................................4

【考點3】與函數(shù)零點相關(guān)的綜合問題..........................................5

【分層檢測】................................................................7

【基礎(chǔ)篇】..................................................................7

【能力篇】..................................................................8

【培優(yōu)篇】..................................................................9

真題自測

一、單選題

1.（2023?全國，rWj考真題）函數(shù)/（x）=/+<xv+2存在3個零點，則”的取值范圍是（）

A.（-oo,-2）B.（-?,-3）C.（T,T）D.（-3,0）

二、解答題

2.（2023?全國,高考真題）⑴證明：當(dāng)0cx<1時，x-Y<sin尤<x;

（2）已知函數(shù)/（x）=cosox-ln（l-尤2）,若尤=。是的極大值點，求。的取值范圍.

3.（2022?全國?高考真題）已知函數(shù)/（x）=ot-L-（a+l）ln尤.

x

（1）當(dāng)。=0時，求/（x）的最大值；

（2）若恰有一個零點，求。的取值范圍.

4.（2022?全國?高考真題）已知函數(shù)/'（》）=§——lnx+x-a.

⑴若〃x）20,求。的取值范圍；

⑵證明：若“X）有兩個零點飛,三，則無也<1.

5.（2022?全國,高考真題）已知函數(shù)/（x）=ln（l+x）+axer

⑴當(dāng)a=l時，求曲線丫=/（力在點（。，/⑼）處的切線方程；

⑵若在區(qū)間（-1,0）,（0,口）各恰有一個零點，求a的取值范圍.

6.（2021?全國,高考真題）已知函數(shù)/（%）=（兀-1）d-*+6.

（1）討論〃x）的單調(diào)性；

（2）從下面兩個條件中選一個，證明：Ax）只有一個零點

1

右1e

\ly—<〃4—,b>2。；

22

考點突破

【考點1】判斷、證明或討論零點的個數(shù)

一、單選題

2

1.（2022?浙江寧波?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）="26，設(shè)關(guān)于x的方程r（尤）+/a）-l=0（aeR）

eel

-----x——,x<—

I22e

有加個不同的實數(shù)解，則加的所有可能的值為（）

A.3B.4C.2或3或4或5D.2或3或4或5或6

二、多選題

2.（2023?湖南?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃尤）=$近（0無+。）（0>0,0<。<2兀）的部分圖象如圖所示，貝I］（）

57r7T

B./（X）在區(qū)間一不，一5上單調(diào)遞增

C.將函數(shù)y=cosx圖象上各點橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膅（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向右平移已個單位長

度，可得函數(shù)“X）的圖象

D.函數(shù)y=4/（x）+，2彳+三的零點個數(shù)為7

三、填空題

3.（2021?浙江?模擬預(yù)測）已知實數(shù)a>0且awl,/（%）="-靖為定義在（0,+e）上的函數(shù)，則〃尤）至多有

個零點；若/（X）僅有1個零點，則實數(shù)。的取值范圍為.

四、解答題

4.（2024?四川成都?二模）已知函數(shù).

⑴判斷“X）的零點個數(shù)并說明理由；

（2）當(dāng)尤21時，+恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

e

5.（2024?陜西寶雞?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=（x—l）e'-4+L

⑴a=l時,求〃x）的零點個數(shù)；

⑵若x>l時，〃力>0恒成立，求a的取值范圍.

6.（2022■全國■模擬預(yù)測）已知函數(shù)/'（x）=e"-方一a,aeR.

3

⑴當(dāng)。=1時，求證：/(x)>0；

(2)求函數(shù)g(x)=xe-lnx-2x的零點個數(shù).

反思提升：

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點常用方法

(1)構(gòu)造函數(shù)g(x),利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)的性質(zhì)，結(jié)合g(x)的圖象，判斷函數(shù)零點的個數(shù).

(2)利用零點存在定理，先判斷函數(shù)在某區(qū)間有零點，再結(jié)合圖象與性質(zhì)確定函數(shù)有多少個零

點.

【考點2】根據(jù)零點情況求參數(shù)范圍

一、單選題

1.(23-24高三上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=<若>=/(幻-5恰有5個

71

COXH---,--71<X<0

不同零點，則正實數(shù)。的范圍為()

A?<10」3B.「%10，八4j

<10]「c1。)

C-12,T]D.[2,可J

二、多選題

2.(2021?山東聊城?二模)用符號區(qū)表示不超過x的最大整數(shù)，例如：[0.6]=0,[2.3]=2.設(shè)

/(x)=(l-lnX)(加+21nx)有3個不同的零點A，巧，斗，則()

A.x=e是/a)的一個零點

J

B.xl+x2<-xi-2-Je+e

C.0的取值范圍是jLo]

21n3In2

D.若民]+[引+民]=6,則。的范圍是-

9，--4~

、填空題

3.(2021.安徽安慶.三模)已知函數(shù)/。)=》(》一6，)+/*+〃箔*(尤一6，)有三個零點耳，巧，￡，且不<。<馬<W，

其中e=2.718為自然對數(shù)的底數(shù)，貝1的范圍為.

四、解答題

4.(2023?陜西寶雞?模擬預(yù)測)f(x)=x3+ax2-a2x+m(a>0)

⑴若a=l時函數(shù)/(x)有三個互不相同的零點，求m的范圍;

(2)若函數(shù)/(尤)在[-M]內(nèi)沒有極值點，求。的范圍;

4

5.（23-24高三上,遼寧沈陽,開學(xué)考試）已知函數(shù)〃元）=xlnx+a-tix（aeR）.

⑴若。=1,求函數(shù)/⑺在處的切線方程;

（2）若函數(shù)/（尤）在區(qū)間［l,e］上有且只有一個零點，求實數(shù)。的范圍.

6.（2023?天津濱海新?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=ox-1-（a+l）lnx,aeR.

⑴若。=0,求y=的單調(diào)區(qū)間.

⑵若1,且〃x）＞l在區(qū)間|,e上恒成立，求a的范圍；

（3）若判斷函數(shù)g（x）=x"（x）+a+l］的零點的個數(shù).

反思提升：

1.函數(shù)零點個數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)，根據(jù)圖象的幾何直觀求解.

2.與函數(shù)零點有關(guān)的參數(shù)范圍問題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點，并結(jié)合特殊

點判斷函數(shù)的大致圖象，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍.也可分離出參數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交

點情況.

【考點3】與函數(shù)零點相關(guān)的綜合問題

一、單選題

1.（2024?湖北?二模）已知函數(shù)〃力=?+三（e為自然對數(shù)的底數(shù)）.則下列說法正確的是（）

A.函數(shù)〃元）的定義域為R

B.若函數(shù)/'（X）在P（0"（0））處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為三，則。=1

C.當(dāng)“=1時，〃力=機可能有三個零點

D.當(dāng)a=l時，函數(shù)的極小值大于極大值

二、多選題

2.（2024?黑龍江哈爾濱?二模）已知函數(shù)了（尤）=〃2（尤+l）lnx-x+l,下列說法正確的有（）

A.當(dāng)機=；時，則y=/（x）在（。,+◎上單調(diào)遞增

B.當(dāng)機=1時，函數(shù)y=/（x）有唯一極值點

c.若函數(shù)y=/（x）只有兩個不等于1的零點占,三，則必有占“2=1

D.若函數(shù)＞=/（元）有三個零點，則。＜根＜g

三、填空題

3.（2024?安徽?模擬預(yù)測）對于函數(shù)〃力=向財-質(zhì)（x'O）,當(dāng)該函數(shù)恰有兩個零點時，設(shè)兩個零點中最大

值為當(dāng)該函數(shù)恰有四個零點時，設(shè)這四個零點中最大值為尸，求

5

(l+a)sin2o(1+62)COS2/

~a+1-/,—,

四、解答題

?7Y

4.(2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?二模)已知函數(shù)/(無)=lnx-/.

(1)當(dāng)。=1時，證明：/(X)有且僅有一個零點.

(2)當(dāng)x>0時，y(x)Wx恒成立，求。的取值范圍.

(3)證明：—+—+—<n-e(1"e,\n>2,n&K).

23ne-1

5.(2024?江西景德鎮(zhèn)?三模)已知函數(shù)/(x)=e2,g(x)=ex-Z?x.

⑴當(dāng)八e時，求函數(shù)g(x)的極值;

⑵已知實數(shù)a€0,y

①求證：函數(shù)“X)有且僅有一個零點；

②設(shè)該零點為看,若〃尤)圖象上有且只有一對點A(X］，X),8億,%)&<%)關(guān)于點心,0)成中心對稱，

求實數(shù)。的取值范圍.

6.(2024?全國■模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(尤)=/-ax+21nx.

⑴求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)/(x)的兩個極值點分別為和9，證明：-

xi-x2a2

⑶設(shè)力(x)=sin%+lnx,求證：當(dāng)?！昕?2］時，/(x)-21n%=幼(%)有且僅有2個不同的零點.

jrJT37r371

(參考數(shù)據(jù)：——In—b1.119,九一In兀b1.997,-----In一?3.162,2萬一1112兀?4.445)

2222

反思提升：

在求解函數(shù)問題時，很多時候都需要求函數(shù)人X)在區(qū)間/上的零點，但所述情形都難以求出其

準(zhǔn)確值，導(dǎo)致解題過程無法繼續(xù)進(jìn)行時，可這樣嘗試求解：先證明函數(shù)人用在區(qū)間/上存在唯

一的零點(例如，函數(shù)4外在區(qū)間/上是單調(diào)函數(shù)且在區(qū)間/的兩個端點的函數(shù)值異號時就可證

明存在唯一的零點)，這時可設(shè)出其零點是X0.因為X0不易求出(當(dāng)然，有時是可以求出但無需

求出)，所以把零點X0叫做隱零點；若X0容易求出，就叫做顯零點，而后解答就可繼續(xù)進(jìn)行,

實際上，此解法類似于解析幾何中“設(shè)而不求”的方法.

?分層檢測

6

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

1.（2024?云南昆明?一模）己知函數(shù)/（x）=e'+e2r,則下列說法正確的是（）

A.為增函數(shù)B.〃尤）有兩個零點

C.的最大值為2eD.y=的圖象關(guān)于x=l對稱

■JT

2.（2024?四川涼山?二模）^/（x）=xsinx+cosx-l,xe--,7i,則函數(shù)/（%）的零點個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

3.（22-23高三下?江西階段練習(xí)）若函數(shù)p（x）=X51nx一〃有零點，貝!Jo的取值范圍是（）

11]1（1'

A.—,+00B.—00,—C.

e.5e）I5eJ

4.（2023?內(nèi)蒙古包頭?一模）已知函數(shù)”X）=T3+3X+I,則下列結(jié)論正確的是（）

A.〃x）有兩個零點B.點（U）是曲線y=/（x）的對稱中心

C.〃尤）有兩個極值點D.直線y=3x+2是曲線y=/（x）的切線

二、多選題

5.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃x）=（l-x）lnx-ax,aeR,下列正確的是（）

A.若函數(shù)〃x）有且只有1個零點%,則無。=1

B.若函數(shù)有兩個零點，則a>0

C.若函數(shù)〃x）有且只有1個零點七,則a=l,%=1

D.若“X）有兩個零點，則a<0

6.（21-22高三上?湖北?期中）已知函數(shù)/（x）=lnx-——，下列結(jié)論成立的是（）

x-1

A.函數(shù)/（x）在定義域內(nèi)無極值

B.函數(shù)在點A（2,〃2））處的切線方程為y=|x+ln2-8

C.函數(shù)/（x）在定義域內(nèi)有且僅有一個零點

D.函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個零點七，X?,且工廠％=1

7.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=d一依+1,qcR,則（）

A.若/（%）有極值點,則〃工0

7

B.當(dāng)a=l時，有一個零點

C./(x)=2-/(-x)

D.當(dāng)。=1時，曲線y=〃x)上斜率為2的切線是直線y=2x-l

三、填空題

8.(2023?四川內(nèi)江?模擬預(yù)測)若函數(shù)，(x)=fcv-e，有兩個零點，則上的取值范圍為.

9.(2021?海南?二模)函數(shù)〃此=(1+//-1的零點個數(shù)為.

10.(20-21高三上?吉林長春?期中)若函數(shù)〃x)=lnx+L-a有且只有一個零點，則實數(shù)。的值為.

X

四、解答題

11.(20-21高二下?重慶?期末)已知函數(shù)〃尤)=：/+依-21n無+人的圖象在x=2處的切線與直線y=-gx+5

垂直.

(1)求。的值；

(2)若函數(shù)尤)在［l,e］上無零點，求方的取值范圍.

12.(2024?江蘇揚州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=ln(sx)-x(〃?>0).

⑴若〃x)40恒成立，求加的取值范圍；

(2)若〃x)有兩個不同的零點占,三，證明西+々>2.

【能力篇】

一、單選題

1.(2024?全國?模擬預(yù)測)若函數(shù)〃%)=尤e-x-lnx+a-2有兩個零點，則實數(shù)〃的取值范圍是()

A.(-oo,l］B.(-<x),0］C.(-8,0)D.(-oo,l)

二、多選題

2.(2024?遼寧?三模)己知函數(shù)〃x)=ax-3,g(x)=alnx+La為實數(shù)，下列說法正確的是()

X

A.當(dāng)4=1時，則“X)與g(x)有相同的極值點和極值

B.存在aeR,使〃x)與g(x)的零點同時為2