2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：隨機(jī)事件、頻率與概率（解析版）

專題61隨機(jī)事件、頻率與概率（新高考專用）

目錄

【知識(shí)梳理】................................................................2

【真題自測(cè)】................................................................3

【考點(diǎn)突破】................................................................7

【考點(diǎn)1】隨機(jī)事件的關(guān)系.....................................................7

【考點(diǎn)2】隨機(jī)事件的頻率與概率..............................................11

【考點(diǎn)3】互斥事件與對(duì)立事件的概率..........................................15

【分層檢測(cè)】...............................................................19

【基礎(chǔ)篇】.................................................................19

【能力篇】.................................................................25

考試要求：

1.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別.

2.T解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式.

.知識(shí)梳理

1.概率與頻率

一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)〃的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的頻率加A）會(huì)

逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P（A）.我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此，我們可以用

頻率加4）估計(jì)概率P（A）.

2.事件的運(yùn)算

定義表示法圖示

事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生，

并事件稱這個(gè)事件為事件A與事件B的AU/或A+5)

并事件（或和事件）

事件A與事件8同時(shí)發(fā)生，稱這

交事件樣一個(gè)事件為事件A與事件B的AA3(或AB)

交事件（或積事件）

3.事件的關(guān)系

定義表示法圖示

若事件A發(fā)生，事件3一定發(fā)

包含關(guān)系生，稱事件3包含事件4或事324或A^B)（O

件A包含于事件3）

如果事件A與事件3不能同時(shí)

若AnB=0,則A

互斥事件發(fā)生,稱事件A與事件5互斥

與B互斥

（或互不相容）

如果事件A和事件B在任何一

若AAB=0,且

次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生,

對(duì)立事件AUB=Q,則A

稱事件A與事件3互為對(duì)立，

與3對(duì)立

事件A的對(duì)立事件記為A

|常用結(jié)論

1.從集合的角度理解互斥事件和對(duì)立事件

⑴幾個(gè)事件彼此互斥，是指由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集.

⑵事件A的對(duì)立事件A所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)

2

集.

2.概率加法公式的推廣

當(dāng)一個(gè)事件包含多個(gè)結(jié)果且各個(gè)結(jié)果彼此互斥時(shí)，要用到概率加法公式的推廣，即

P（AiUA2U???UA?）=P（Ai）+P（A2）H-----PP（A?）.

■真題自測(cè)

一、單選題

1.（2024?上海?高考真題）有四種禮盒，前三種里面分別僅裝有中國(guó)結(jié)、記事本、筆袋，第四個(gè)禮盒里面三

種禮品都有，現(xiàn)從中任選一個(gè)盒子，設(shè)事件A：所選盒中有中國(guó)結(jié)，事件B：所選盒中有記事本，事件C：

所選盒中有筆袋，則（）

A.事件A與事件8互斥B.事件A與事件8相互獨(dú)立

C.事件A與事件BuC互斥D.事件A與事件3cC相互獨(dú)立

2.（2022?全國(guó)?高考真題）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立.已知該棋手

與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為P”P2，P3,且P3>n>R>0.記該棋手連勝兩盤的概率為p,則（）

A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無(wú)關(guān)B.該棋手在第二盤與甲比賽，p最大

C.該棋手在第二盤與乙比賽，p最大D.該棋手在第二盤與丙比賽，p最大

二、解答題

3.（2024?上海?高考真題）為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生中

抽取580人，得到日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的數(shù)據(jù)如下表所示：

時(shí)間范圍學(xué)業(yè)成績(jī)[0,0.5)[0,5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)

優(yōu)秀5444231

不優(yōu)秀1341471374027

⑴該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于1小時(shí)人數(shù)約為多少？

⑵估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長(zhǎng)（精確到0.1）

⑶是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)?

（附：/2=7TV；K------，其中九=a+b+c+d,>3,841）^0.05.）

［a+b）［c+d）［a+c、）［/b八+d，、）v'

4.（2022?北京?高考真題）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到9.50m以

上（含9.50m）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng).為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽

成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：

3

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立.

⑴估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；

（2）設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；

⑶在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰(shuí)獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）

參考答案:

題號(hào)12

答案BD

1.B

【分析】根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的定義，逐一判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】選項(xiàng)A,事件A和事件8可以同時(shí)發(fā)生，即第四個(gè)禮盒中可以既有中國(guó)結(jié)，又有記事本，事件A與

事件B不互斥，A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B,：P（A）=g,P（A8）=；,

.-.P（A）P（B）=P（AB）,B正確;

選項(xiàng)C,事件A與事件8|JC可以同時(shí)發(fā)生，即第四個(gè)禮盒中可以既有中國(guó)結(jié)，又有記事本或筆袋，C錯(cuò)誤；

111

選項(xiàng)D,VP（A）=-,P（Z?QC）=-,P（AC（8p|C））="

.?.P（A）P（BnC）^P（An（BnC））,

與BDC不獨(dú)立，故D錯(cuò)誤.

故選：B.

2.D

【分析】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤.分別求得該棋手在第二盤與甲比賽且連勝兩盤的概率外;該

棋手在第二盤與乙比賽且連勝兩盤的概率P乙；該棋手在第二盤與丙比賽且連勝兩盤的概率。丙.并對(duì)三者進(jìn)

行比較即可解決

【詳解】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤，

記該棋手在第二盤與甲比賽，比賽順序?yàn)橐壹妆氨滓业母怕示鶠椋海?/p>

2

則此時(shí)連勝兩盤的概率為P甲

4

貝I0甲=；［（1一P2）。1。3+P2P1（1—。3）］+（［（1—P3）。也+P3Pl（I-P2）］

=PNP2+P3）-2piP2P3；

記該棋手在第二盤與乙比賽，且連勝兩盤的概率為P乙，

+1

則Pz.=（1-Pl）P2P3P1P2C-ft）=P，Pl+P3）-2p、P2P3

記該棋手在第二盤與丙比賽，且連勝兩盤的概率為P丙

則P丙=（1一。1）0。2+口。3（1-。2）=P3（Pl+Pi）-2PiP2P3

則。甲一。乙=。1（。2+3一2Plp203—［。2（P1+。3）-2Plp2乃］=（Pl-2）。3<°

P乙一。丙=。2（Pl+?。?2Plp2P3Tp3（Pl+0）-2Plp2P3］=（。2一。3）Pl<°

即。甲<P乙，P乙<P頁(yè)，

則該棋手在第二盤與丙比賽，P最大.選項(xiàng)D判斷正確；選項(xiàng)BC判斷錯(cuò)誤;

。與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關(guān).選項(xiàng)A判斷錯(cuò)誤.

故選：D

3.(1)12500

(2)0.9h

⑶有

【分析】（1）求出相關(guān)占比，乘以總?cè)藬?shù)即可;

（2）根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式即可得到答案;

（3）作出列聯(lián)表，再提出零假設(shè)，計(jì)算卡方值和臨界值比較大小即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）由表可知鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于1小時(shí)的人數(shù)為占比———=—,

58058

25

則估計(jì)該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于1小時(shí)的人數(shù)為29000x^=12500.

58

（2）估計(jì)該地區(qū)初中生的日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)約為

10.5+1xl91+iil^xl79+^^x43+2+2.5

—X139+x28出0.9.

58022222

則估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長(zhǎng)為0.9小時(shí).

（3）由題列聯(lián)表如下:

[L2)其他合計(jì)

5

優(yōu)秀455095

不優(yōu)秀177308485

合計(jì)222358580

提出零假設(shè)“。：該地區(qū)成績(jī)優(yōu)秀與日均鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于1小時(shí)但少于2小時(shí)無(wú)關(guān).

其中c=0.05.

2_580x(45x308-177x50)2

?3.976>3.841.

95x485x222x358

則零假設(shè)不成立,

即有95%的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀與日均鍛煉時(shí)長(zhǎng)不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān).

4.（1）0.4

（2）?

⑶丙

【分析】（］）由頻率估計(jì)概率即可

（2）求解得X的分布列，即可計(jì)算出X的數(shù)學(xué)期望.

⑶計(jì)算出各自獲得最高成績(jī)的概率，再根據(jù)其各自的最高成績(jī)可判斷丙奪冠的概率估計(jì)值最大.

【詳解】（1）由頻率估計(jì)概率可得

甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4,乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5,丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5,

故答案為0.4

（2）設(shè)甲獲得優(yōu)秀為事件4,乙獲得優(yōu)秀為事件A2,丙獲得優(yōu)秀為事件4

---------3

p（x=0）=尸（A44）=0.6X0.5X0.5=三，

p（x=i）=尸（A44）+尸（444）+嗝耳A）

Q

=0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=——,

20

p（x=2）=P（A44）+p（a無(wú)4）+P（N44）

7

=0.4x0.5x0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=——，

20

P（X=3）=P（444）=0.4x0.5x0.5=.

團(tuán)X的分布列為

X0123

6

3872

P

20202020

38727

團(tuán)E(X)=0x——+lx——+2x——+3x——二

202020205

（3）丙奪冠概率估計(jì)值最大.

11

因?yàn)殂U球比賽無(wú)論比賽幾次就取最高成績(jī).比賽一次，丙獲得9.85的概率為了，甲獲得9.80的概率為二，

410

乙獲得9.78的概率為9.并且丙的最高成績(jī)是所有成績(jī)中最高的，比賽次數(shù)越多，對(duì)丙越有利.

考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1】隨機(jī)事件的關(guān)系

一、單選題

1.（2024?寧夏銀川?二模）2024年的高考數(shù)學(xué)將在6月7日下午進(jìn)行，其中數(shù)學(xué)有12道單項(xiàng)選擇題，如果

每道選擇題的答案是從4B,C,。四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)生成，那么請(qǐng)你運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，推斷分析下列

哪個(gè)選項(xiàng)最有可能成為2024年高考數(shù)學(xué)選擇題的答案分布（）

A.AAAAAAAAAAAAB.ABCDABCDABCD

C.CDABACADCBDBD.DBCCCDCDBDBD

2.（23-24高一上?廣東梅州?開(kāi)學(xué)考試）兩名同學(xué)在一次用頻率估計(jì)概率的試驗(yàn)中統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻

率，繪制出統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則符合這一結(jié)果的試驗(yàn)是（）

A.拋一枚硬幣，正面朝上的概率;

B.擲一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)1點(diǎn)的概率；

C.轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)到數(shù)字為奇數(shù)的概率；

D.從裝有2個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球的口袋中任取一個(gè)球恰好是藍(lán)球的概率.

二、多選題

3.（2024?浙江?三模）已知A,B,C是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的三個(gè)事件，且0<P（A）<l,0<P（B）<l,下列

說(shuō)法正確的是（）

A.若A與8互斥，則與百不相互獨(dú)立

B.若A與8相互獨(dú)立，則A與B不互斥

7

C.若P（A⑻-P（網(wǎng)A）=P（AB）,且尸（AB）wO,則A與B相互獨(dú)立

D.若P（ABC）=P（A）.尸（3）P（C）,則A,B,C兩兩獨(dú)立

4.（2024?江西宜春?三模）同時(shí)拋出兩枚質(zhì)地均勻的骰子甲、乙，記事件4甲骰子點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，事件8：

乙骰子點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，事件C：甲、乙骰子點(diǎn)數(shù)相同.下列說(shuō)法正確的有（）

A.事件A與事件8對(duì)立B.事件A與事件8相互獨(dú)立

C.事件A與事件C相互獨(dú)立D.P（C）=P（AB）

三、填空題

5.（23-24高三下?云南昆明,階段練習(xí)）拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，事件A表示“向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”，

事件8表示"向上的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)4",則P（AUB）=.

6.（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）為研究吸煙是否與患肺癌有關(guān)，某腫瘤研究所采取有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法調(diào)

查了10000人，已知非吸煙者占比75%,吸煙者中患肺癌的有63人，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，吸煙者患肺癌的

概率是未吸煙者患肺癌的概率的4.2倍，則估計(jì)本次研究調(diào)查中非吸煙者患肺癌的人數(shù)是.

參考答案:

題號(hào)1234

答案CDABCBC

1.C

【分析】根據(jù)隨機(jī)事件的特征進(jìn)行逐個(gè)判斷即可.

【詳解】A選項(xiàng)全部是A答案，很顯然不正確.

B選項(xiàng)A,B,C,D每個(gè)有3個(gè)答案，但不具備隨機(jī)性.

D選項(xiàng)沒(méi)有A答案，也不正確.

C選項(xiàng)A,B,C,D每個(gè)有3個(gè)答案，具備隨機(jī)性,C正確.

故選:C.

2.D

【分析】先根據(jù)頻率和概率的關(guān)系得到概率為P=；,再對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一判斷得到D正確.

【詳解】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可知，實(shí)驗(yàn)結(jié)果在0.33附近波動(dòng)，即其概率尸=；,

選項(xiàng)A,擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上的概率為《，故此選項(xiàng)不符合題意；

選項(xiàng)B,擲一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)1點(diǎn)的概率為J,故此選項(xiàng)不符合題意；

6

2

選項(xiàng)C,轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)到數(shù)字為奇數(shù)的概率為：，故此選項(xiàng)不符合題意；

8

選項(xiàng)D,從裝有2個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球的口袋中任取一個(gè)球恰好是藍(lán)球的概率為g,

故此選項(xiàng)符合題意；

故選：D

3.ABC

【分析】由互斥事件和相互獨(dú)立事件的概念對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.

【詳解】對(duì)于A,若A與3互斥，則A與B不能同時(shí)發(fā)生，即尸（AB）=O,

因?yàn)镹c5表示A與8都不發(fā)生，則AnB的對(duì)立事件為A與B至少有一個(gè)發(fā)生，

所以P（Zc國(guó)=l-P（Ac8）,

而尸（Au3）=尸（A）+尸（3）-P（AB）=尸（A）+尸（3）,

所以P（Zc國(guó)=1-P網(wǎng)一P（B）,

因?yàn)镻（孫尸㈤=尸（2）］=1—尸⑷—尸⑻一尸（A>尸⑻

所以尸（Zc耳）#P⑷-P⑻，由此可知，入與否不相互獨(dú)立，故A正確；

對(duì)于B,若A與B相互獨(dú)立,則P（AB）=P（A>P（3）,因?yàn)镺<P（A）<1,O<P（B）<1.

所以0<尸（A>P（3）<1,貝|P（AB）*。，所以A與3不互斥，故B正確；

對(duì)于C,若可4忸）?尸（網(wǎng)A）=尸（AB）,

因?yàn)镻（A忸），（8閭=尢小木2=尸0鉆），

因?yàn)镻（AB）*O,則有尸（AB）=P（A）.P（B）,所以A與8相互獨(dú)立，故C正確;

對(duì)于D,拋擲一枚質(zhì)地均均的骰子，事件A表示出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1,3,4,

事件B表示出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1,5,6,事件C表示出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1,2,3,5,

事件ABC表示出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1,P（ABC）=1,

P（A）.P（B）.P（C）4x|x14-

滿足P（ABC）=P（A）P（B）P（C）,

事件A3表示出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1,尸（AB）=g,

1QQ1

但尸（AB）=ZXP（A），（B）=k><%=I

。oo4

9

則A,8不相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

4.BC

【分析】對(duì)于A,甲骰子點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，乙骰子點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，事件可以同時(shí)發(fā)生，由對(duì)立事件的概念可判斷;

對(duì)于B,計(jì)算出P(A)P(8),P(AB),根據(jù)尸(AB)=P(A)P(3)可以判定兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立；對(duì)于C,計(jì)算

出尸(A)尸(C),P(AC),根據(jù)尸(AC)=P(A)尸(C)可以判定兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立；對(duì)于D,由前面可知

尸(C),P(AB),即可判斷是否相等.

【詳解】由題意,得尸⑷=(，尸(8)=\,P(C)=^=1,

22366

對(duì)于A,當(dāng)甲為奇數(shù)點(diǎn)，且乙為偶數(shù)點(diǎn)時(shí)，事件可以同時(shí)發(fā)生，所以事件A與事件2不互斥，故事件A與

事件8不對(duì)立，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由題意知P(AB)=B=7,XP(A)P(B)=1XA=A=P(AB),故事件A與事件5相互獨(dú)立，故B正

C6c64224

確；

對(duì)于c,P(AC)=A=1,又P(A)P(C)=K=[=P(AC),故事件A與事件C相互獨(dú)立，故C正確；

36122612

對(duì)于D,由上知，尸(C)=’<P(A8)=J,故D錯(cuò)誤.

64

故選：BC.

5

5.-

6

【分析】根據(jù)題意可知事件AU8：點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)或點(diǎn)數(shù)不超過(guò)4有1,2,3,4,6,結(jié)合古典概型分析求解.

【詳解】由題意可知：向上的點(diǎn)數(shù)為1,2,3,4,5,6,

事件AUB：點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)或點(diǎn)數(shù)不超過(guò)%有1,2,3,4,6,

所以

6

故答案為：~~.

6

6.45

【分析】設(shè)非吸煙者患肺癌的概率為元，根據(jù)題意列出方程，求出心即可得到答案

【詳解】本次研究調(diào)查中，非吸煙者有7500人，吸煙者樣本量有2500人，

設(shè)非吸煙者患肺癌的人數(shù)是X人，則彘=4.2x嬴，尤=45,

因此，本次研究調(diào)查中非吸煙者患肺癌的人數(shù)為45人.

故答案為：45.

10

反思提升：

1.準(zhǔn)確把握互斥事件與對(duì)立事件的概念：（1）互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的事件，但也可以同時(shí)

不發(fā)生；（2）對(duì)立事件是特殊的互斥事件，特殊在對(duì)立的兩個(gè)事件不可能都不發(fā)生，即有且僅

有一個(gè)發(fā)生.

2.判別互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事

件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩個(gè)事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件.

【考點(diǎn)2】隨機(jī)事件的頻率與概率

一、單選題

1.（22-23高一下?福建莆田?期末）某射擊運(yùn)動(dòng)員在同一條件下射擊的成績(jī)記錄如表所示：

射擊次數(shù)501002004001000

射中8環(huán)以上的次數(shù)4478158320800

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，估計(jì)該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次射中8環(huán)以上的概率為（）

A.0.78B.0.79C.0.80D.0.82

2.（2024?四川綿陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）某教育機(jī)構(gòu)為調(diào)查中小學(xué)生每日完成作業(yè)的時(shí)間，收集了某位學(xué)生100天每

天完成作業(yè)的時(shí)間，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖（每個(gè)區(qū)間均為左閉右開(kāi)），根據(jù)此直方圖得出了

下列結(jié)論，其中正確的是（）

I0l1.522k.533.544.55完成作業(yè)時(shí)間/小時(shí)

A.估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)的時(shí)間在2小時(shí)至2.5小時(shí)的有50天

B.估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間超過(guò)3小時(shí)的概率為0.3

C.估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)為2.625小時(shí)

D.估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間的眾數(shù)為2.3小時(shí)

二、多選題

3.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）某校高三年級(jí)有（1）,（2）,（3）三個(gè)班，一次期末考試，統(tǒng)計(jì)得到每班學(xué)生的

數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率（數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?20分以上的學(xué)生人數(shù)與該班學(xué)生總?cè)藬?shù)之比）如表所示：

班級(jí)(1)(2)(3)

優(yōu)秀率80%85%75%

11

則下列說(shuō)法一定正確的是（）

A.（2）班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率最高

B.（3）班的學(xué)生人數(shù)不一定最少

C.該年級(jí)全體學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率為80%

D.若把（1）班和（2）班的數(shù)學(xué)成績(jī)放在一起統(tǒng)計(jì)，得到優(yōu)秀率為83%,則（1）班人數(shù)多于（2）班

人數(shù)

4.（2024?江蘇蘇州?模擬預(yù)測(cè)）為了保證擲骰子游戲的公正性，可以用正〃面體的骰子來(lái)進(jìn)行游戲.下列數(shù)

字可以作為w的取值的是（）

可能用到的公式：多面體的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)分別為匕及尸，則V-E+F=2.

A.4B.12C.16D.20

三、填空題

5.（2024?廣東廣州?三模）在一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲中，主持人從編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)外觀相同的空箱子中隨機(jī)選擇

一個(gè)，放入一件獎(jiǎng)品，再將四個(gè)箱子關(guān)閉，也就是主持人知道獎(jiǎng)品在哪個(gè)箱子里，當(dāng)抽獎(jiǎng)人選擇了某個(gè)箱

子后，在箱子打開(kāi)之前，主持人先隨機(jī)打開(kāi)了另一個(gè)沒(méi)有獎(jiǎng)品的箱子，并問(wèn)抽獎(jiǎng)人是否愿意更改選擇以便

增加中獎(jiǎng)概率.現(xiàn)在已知甲選擇了1號(hào)箱，用A,表示i號(hào)箱有獎(jiǎng)品（?=1,2,3,4）,用片表示主持人打開(kāi)i號(hào)箱

子（，=2,3,4）,則尸（囪4）=，若抽獎(jiǎng)人更改了選擇，則其中獎(jiǎng)概率為

參考答案:

題號(hào)1234

答案CCABABD

1.C

【分析】利用頻率估計(jì)概率即可求解.

【詳解】大量重復(fù)試驗(yàn)，由表格知射擊運(yùn)動(dòng)員射中8環(huán)以上的頻率穩(wěn)定在0.8,

所以這名運(yùn)動(dòng)員射擊一次射中8環(huán)以上的概率為0.8,

故選：C.

2.C

【分析】利用頻率分別直方圖、頻數(shù)、頻率、中位數(shù)、眾數(shù)直接求解.

【詳解】對(duì)于A,該學(xué)生每日完成作業(yè)的時(shí)間在2小時(shí)至2.5小時(shí)的天數(shù)為：0.5x0.5x100=25天，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間超過(guò)3小時(shí)的概率為（0.3+0.2+0.1+0.1）x0.5=0.35,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,[1,2.5）的頻率為（0.1+0.3+0.5）x0.5=0.45,[1,3）的頻率為0.45+0.4x0.5=0.65,

則該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)為2.5+05"-045x0.5=2.625,故C正確；

0.2

12

對(duì)于D，估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間的眾數(shù)為二片=2.25,故D錯(cuò)誤;

故選:C

3.AB

【分析】由題目表格中的數(shù)據(jù)，逐一判斷選項(xiàng)，可得答案.

【詳解】選項(xiàng)A：顯然（2）班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率最高，故A正確；

選項(xiàng)B：只根據(jù)優(yōu)秀率的大小，無(wú)法比較每個(gè)班人數(shù)的多少，故B正確；

選項(xiàng)C：該年級(jí)全體學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率為全年級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)與全年級(jí)學(xué)生總?cè)藬?shù)之比,

由于各班的學(xué)生人數(shù)不知道，所以不能計(jì)算該年級(jí)全體學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率，故C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D：設(shè)（1）班、（2）班數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)分別為無(wú)，》（1）班、（2）班人數(shù)分別為a,b,

則±=80%,；=85%,得x=80%a,y=85%6,又（1）班和（2）班放在一起統(tǒng)計(jì)的優(yōu)秀率為83%,

ab

即±±==83%,即80%"+85%6=83%,即80a+85匕=83。+83b,得26=3。，貝故D錯(cuò)誤.

a+ba+b

故選:AB.

4.ABD

【分析】根據(jù)題意，要保證游戲的公平性，需要正“面體每個(gè)面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的可能性要要相同，據(jù)此選出

正確選項(xiàng).

【詳解】第一步，根據(jù)題目，我們知道正w面體的骰子有〃個(gè)面，每個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,n,投擲

后每個(gè)點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的概率相等.

第二步，為了保證游戲的公正性，我們需要保證每個(gè)點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的概率相等，即每個(gè)面的面積相等，這意味

著正n面體的每個(gè)面都應(yīng)該是全等的正多邊形.

第三步，設(shè)正〃面體的每個(gè)面都是正機(jī)邊形，每個(gè)頂點(diǎn)連接左條棱,

V-E+n=2

kV=2Ei1111

所以co，貝!JEy_7E_+E—=1，所以7*+—=苒+力＞彳，

mn=2Ek2mkmE22

V,E,n,k,meN*

Xm>3,^>3,且見(jiàn)左不能同時(shí)大于3,所以機(jī)=3,左23或wiN3#=3,

m=3m=3m=3m=4m=5

解得左=3或I或左=5或k=3或

k=3

我們可以得出〃的取值應(yīng)該是4（正四面體）、6（正六面體）、8（正八面體）、12（正十二面體）、20（正

二十面體）.

故選：ABD

13

13,

5.--/0.375

38

【分析】根據(jù)主持人可打開(kāi)的箱子號(hào)碼可確定尸（可4）=，分別考慮獎(jiǎng)品在1號(hào)箱、不在1號(hào)箱的情況，根

據(jù)此時(shí)更改選擇，結(jié)合全概率公式求解即可.

【詳解】獎(jiǎng)品在1號(hào)箱，甲選擇了1號(hào)箱，主持人可打開(kāi)2,3,4號(hào)箱，則p（圖A）=j

若獎(jiǎng)品在1號(hào)箱，其概率為:，抽獎(jiǎng)人更改了選擇，則其選中獎(jiǎng)品所在箱子的概率為0;

若獎(jiǎng)品不在1號(hào)箱，其概率為:，主持人隨機(jī)打開(kāi)不含獎(jiǎng)品的兩個(gè)箱子中的1個(gè)，

4

若此時(shí)抽獎(jiǎng)人更改選擇，其選中獎(jiǎng)品所在箱子的概率為：；

2

???若抽獎(jiǎng)人更改選擇，其中獎(jiǎng)的概率為P=：1x0+3Jx1：=3"

4428

,13

故答案為：—;~.

3o

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查條件概率的求解、決策類問(wèn)題，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)根據(jù)獎(jiǎng)品所在箱子號(hào)

碼，確定主持人可打開(kāi)的箱子數(shù)，由此確定選中中獎(jiǎng)箱子的概率.

反思提升：

1.頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機(jī)的，而概率是一個(gè)確定的值，通常用

概率來(lái)反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，有時(shí)也用頻率來(lái)作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值.

2.利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求事件的概率，即通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率會(huì)逐步趨近于

某一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是概率.

【考點(diǎn)3】互斥事件與對(duì)立事件的概率

一、單選題

1.（2024?上海?三模）在一個(gè)有限樣本空間中，假設(shè)尸（A）=P（B）=P（C）=g,且A與B相互獨(dú)立，A與C

互斥，以下說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)是（）

①P（AU8）=：②P（［A）=2P（A?③若P（C|B）+P（C|可=：,則8與C互斥

A.0B.1C.2D.3

2.（2024?山東煙臺(tái)?三模）一袋子中裝有5個(gè)除顏色外完全相同的小球，其中3個(gè)紅球，2個(gè)黑球，從中不

放回的每次取出1個(gè)小球，連續(xù)取兩次，則取出的這兩個(gè)小球顏色不同的概率為（）

32123

A.—B.-C.—D.一

105255

二、多選題

11

3.（2024?云南大理?模擬預(yù)測(cè)）假設(shè)A8是兩個(gè)事件，且P⑷P（B）=g,則（）

14

-1_1q]

A.P（AB）=-B.P（AB）=-C.P（A+B）=-D.P（A|B）=-

4.（2024?河南新鄉(xiāng)?模擬預(yù)測(cè)）隨機(jī)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子3次，記3次擲出的點(diǎn)數(shù)之積為X,擲出的點(diǎn)

數(shù)之和為V,貝I（）

A.事件"X=2"和"V=4"相等B.事件"X=4"和"y=6"互斥

C.X為奇數(shù)的概率為gD.y<17的概率為三

854

三、填空題

5.（22-23高二下?天津?期末）天津相聲文化是天津具有代表性的地域文化符號(hào)，天津話妙趣橫生，天津相

聲精彩紛呈，是最具特色的旅游亮點(diǎn)之一.某位北京游客經(jīng)常來(lái)天津聽(tīng)相聲，每次從北京出發(fā)來(lái)天津乘坐高

鐵和大巴的概率分別為0.6和0.4,高鐵和大巴準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)的概率分別為0.9和0.8,則他準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)天津的概率

是（分?jǐn)?shù)作答）.若他已準(zhǔn)點(diǎn)抵達(dá)天津，則此次來(lái)天津乘坐高鐵準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)比乘坐大巴準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)的概率

高（分?jǐn)?shù)作答）.

6.（2024?天津和平?二模）為銘記歷史、緬懷先烈，增強(qiáng)愛(ài)國(guó)主義情懷，某學(xué)校開(kāi)展共青團(tuán)知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).在

最后一輪晉級(jí)比賽中，甲、乙、丙三名同學(xué)回答一道有關(guān)團(tuán)史的問(wèn)題，每個(gè)人回答正確與否互不影響.已

知甲回答正確的概率為g,甲、丙兩人都回答正確的概率是:，乙、丙兩人都回答正確的概率是!.若規(guī)定

三名同學(xué)都回答這個(gè)問(wèn)題，則甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有1人回答正確的概率為;若規(guī)定三名同學(xué)

搶答這個(gè)問(wèn)題，已知甲、乙、丙搶到答題機(jī)會(huì)的概率分別為:，），!，則這個(gè)問(wèn)題回答正確的概率為.

263

參考答案:

題號(hào)1234

答案CDADACD

1.C

【分析】由A與8相互獨(dú)立，則尸（AUB）=P（A）+P（8）-P（AB）,計(jì)算即可判斷①；由條件概率公式計(jì)算

即可判斷②；由「（C|B）+P（C|耳=；,可得6P（CB）+3P（C可=1,若互斥，貝lj

P[BC）=0,P（cZ）=p（c）=|,滿足，可判斷③.

【詳解】對(duì)于①，尸（A）=p（2）=；,且A與8相互獨(dú)立，貝U

P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB）=1+|-1x|=|,故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，P{C|A）==3P（CA）,

15

,P（CA）P（CA3

P（AIC）==-P（CA\

''P（C）i'-1J2V），

故尸?A）=2尸（4?,故②正確；

對(duì)于③，P（C|B）+P（C|B）=1,

則P@E）=瑞，P（C^=有，

故半雪R,

33

即6P（C5）+3P（C4=1,

若BC互斥，則P（BC）=O,尸（C^）=P（C）=g,滿足上式,

故P（3C）=0,即B與C互斥，故③正確.

故選：C.

2.D

【分析】分第一次取出為紅球和黑球兩種情況求解即可.

【詳解】由題意，第一次取出可能為紅球或黑球，故連續(xù)取兩次，則取出的這兩個(gè)小球顏色不同的概率為

故選：D

3.AD

【分析】A選項(xiàng)，利用條件概率公式得到「（AB）=P（A）?尸（B）=gB選項(xiàng)，A與否相互獨(dú)立，故

P（AB）=P（A）P（B）=1；C選項(xiàng)，根據(jù)P（A+B）=尸（A）+P（8）—P（A5）求出答案；D選項(xiàng)，利用條件概率

（,、P（AB）/、

得到尸（A忸）=不/=尸（4）.

【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)镻（8|A）=等3，P（B|A）=P（B）,P（A）=1,

產(chǎn)（A）23

所以P（AB）=P（A）.P（8）=4,A正確；

6

B選項(xiàng)，因?yàn)槭录嗀與8相互獨(dú)立，所以A與百相互獨(dú)立,

所以尸（45）=尸（A）尸（為）==；x]=g,B錯(cuò)誤;

16

1119

C選項(xiàng)，P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）=-+---=-,C錯(cuò)誤；

2363

D選項(xiàng)，因?yàn)槭?忸）=爺胃=尸網(wǎng)，所以P（A|2）=；,D正確.

故選：AD.

4.ACD

【分析】寫(xiě)出事件的所有基本事件判斷A；利用相互獨(dú)立事件的定義判斷B；利用相互獨(dú)立事件、對(duì)立事件

的概率公式計(jì)算判斷CD.

【詳解】對(duì)于A,事件"X=2"和"y=4"都相當(dāng)于擲出兩個(gè)1點(diǎn)和一個(gè)2點(diǎn)，故A正確；

對(duì)于B,事件"X=4"和"丫=6"都包含擲出兩個(gè)1點(diǎn)和一個(gè)4點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,X為奇數(shù)等價(jià)于"3次擲出的點(diǎn)數(shù)都為奇數(shù)〃，因此其概率為[g]=g,故C正確;

3

對(duì)于D,事件?<17”的對(duì)立事件為少=17或y=i8",p（y=18）=I女，尸…）=c；

1153

因此P（y<i7）=i-示—五二次，故D正確.

故選：ACD.

4311

5.——

5043

【分析】根據(jù)互斥事件的概率公式，求得他準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)天津的概率，再結(jié)合條件概率的計(jì)算公式，即可求解.

【詳解】設(shè)事件A為他準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)天津，事件B為他乘坐高鐵到達(dá)天津，事件C為他乘坐大巴到達(dá)天津,

若他乘坐高鐵，且正點(diǎn)到達(dá)天津的概率為P（AB）=0.6x0.9=0.54；

若他乘坐大巴，且正點(diǎn)到達(dá)天津的概率為尸（A。=04x0.8=0.32；

,、43P(AB)0.5427P(AC)0.3216

則尸A)=0.54+0.32=0.86=竺，且P(B|A)=，=—=一,P(C|A)=\，=——=一,

I，50P⑷0.8643P(A)0.8643,

11

所以乘坐高鐵準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)比乘坐大巴準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)的概率高43

4311

故答案為：方電

737

6.-/0.875

72

【分析】根據(jù)題意，設(shè)甲回答正確為事件A,乙回答正確為事件8,丙回答正確為事件C,先由相互獨(dú)立事

件的概率公式求出夕（⑷、P（O的值，結(jié)合對(duì)立事件的性質(zhì)求出第一空答案，利用全概率公式計(jì)算第二空的

答案.

17

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)甲回答正確為事件A,乙回答正確為事件B,丙回答正確為事件C,

則P（A）=g,P（AC）=P（A）P（C）=|,尸（8C）=P（8）P（C）=:,

71

所以尸（C）=§,尸（8）=4，

若規(guī)定三名同學(xué)都回答這個(gè)問(wèn)題，

則甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有1人回答正確的概率［=1-尸航）=「1-卻力1-|，：，

若規(guī)定三名同學(xué)搶答這個(gè)問(wèn)題，已知甲、乙、丙搶到答題機(jī)會(huì)的概率分別為工，二，：，

263

111119^7

貝u這個(gè)問(wèn)題回答正確的概率

22643372

,737

故答案為：-;-'-

o72

反思提升：

1.求解本題的關(guān)鍵是正確判斷各事件之間的關(guān)系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出來(lái).

2.求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一些

彼此互斥的事件的概率的和，運(yùn)用互斥事件的求和公式計(jì)算；二是間接求法，先求此事件的對(duì)

立事件的概率，再用公式P（A）=1—P（A）求出所求概率，特別是“至多”“至少”型題目，用

間接求法比較簡(jiǎn)便.

分層檢測(cè)

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

1.（2024?江蘇鹽城?一模）已知隨機(jī)事件A,B相互獨(dú)立，且P（A）=尸仍）=；,則P（AUB）=（）

2514

A.-B.—C.-D.一

3939

2.（2024?廣東?三模）。為樣本空間，隨機(jī)事件4、3滿足P（A）=尸（2）=（P（AD8）=1,則有（）

A.AUB=QB.P（AUS）=1C.AB=0D.P（A|B）=1

3.（2024?山東荷澤?模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名同學(xué)同時(shí)到A3,C三個(gè)不同的社區(qū)參加公益活動(dòng)，

每個(gè)社區(qū)至少分配一名同學(xué).設(shè)事件A="恰有兩人在同一個(gè)社區(qū)"，事件3="甲同學(xué)和乙同學(xué)在同一個(gè)社區(qū)”,

事件C="丙同學(xué)和丁同學(xué)在同一個(gè)社區(qū)"，則下面說(shuō)法正確的是（）

A.事件A與3相互獨(dú)立B.事件A與5是互斥事件

C.事件B與C相互獨(dú)立D.事件8與C是對(duì)立事件

4.（2024?山西太原?一模）甲，乙兩名同學(xué)要從A、B、C、。四個(gè)科目中每人選取三科進(jìn)行學(xué)習(xí)，則兩人選