2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：空間直線、平面的平行（（解析版））

專題38空間直線、平面的平行（新高考專用）

目錄

【知識(shí)梳理】................................................................2

【真題自測(cè)】................................................................3

【考點(diǎn)突破】...............................................................14

【考點(diǎn)11直線與平面平行的判定與性質(zhì)........................................14

【考點(diǎn)2］平面與平面平行的判定與性質(zhì)........................................24

【考點(diǎn)3］平行關(guān)系的綜合應(yīng)用................................................32

【分層檢測(cè)】...............................................................43

【基礎(chǔ)篇】.................................................................43

【能力篇】.................................................................54

【培優(yōu)篇】.................................................................62

考試要求：

從定義和基本事實(shí)出發(fā)，借助長(zhǎng)方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、

平面與平面的平行關(guān)系，并加以證明.

.知識(shí)梳理

1.直線與平面平行

(1)直線與平面平行的定義

直線/與平面a沒有公共點(diǎn)，則稱直線/與平面a平行.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號(hào)表示

如果平面外一條直線

與此平面內(nèi)的一條直a____aGa,bua,a//b=>a

判定定理

線平行，那么該直線與//a

此平面平行

一條直線和一個(gè)平面

平行，如果過該直線的a//a,￡,。n￡

性質(zhì)定理7

平面與此平面相交，那Jeb=b=>a//b

么該直線與交線平行

2.平面與平面平行

(1)平面與平面平行的定義

沒有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫做平行平面.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號(hào)表示

如果一個(gè)平面內(nèi)的

au￡,buB,aC\b

兩條相交直線與另%如/

判定定理=P,a//a,b//an

一個(gè)平面平行，那4__/

aIIB

么這兩個(gè)平面平行

兩個(gè)平面平行，則

其中一個(gè)平面內(nèi)的/a/a//0,aua0ali

性質(zhì)

直線平行于另一個(gè)/_____/￡

平面

兩個(gè)平面平行，如

a〃￡,a(~yy=a,

性質(zhì)定理果另一個(gè)平面與這

二劣必J3r\y=b=>a//b

兩個(gè)平面相交,那

2

么兩條交線平行

I常用結(jié)論

1.平行關(guān)系中的三個(gè)重要結(jié)論

(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a邛,則a〃及

(2)平行于同一平面的兩個(gè)平面平行，即若a〃6，p//y,則a〃/

(3)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即若b±a,則?！?。

2.三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化

性質(zhì)定理

▼判定定理判定定理I

線線平行一:篤、線面平行.一、面面平行

性質(zhì)定理性質(zhì)

等真題自測(cè)

一、解答題

1.（2024?全國(guó),高考真題）如圖，AB//CD,CD//EF,AB=DE=EF=CF=2,CD=4,AD=BC=y/l0,

=為cr＞的中點(diǎn).

(1)證明：EM//平面

(2)求點(diǎn)M到ADE的距離.

2.(2023?全國(guó)?高考真題)如圖，在三棱錐P—ABC中，AB1BC,AB=2,BC=2?，PB=PC=&,

3P,AP,3c的中點(diǎn)分別為，及O,點(diǎn)尸在AC上，BF1AO.

A

3

（1）求證：跖〃平面A￡）O；

⑵若/PO尸=120。，求三棱錐P-ABC的體積.

3.（2023?天津?高考真題）如圖，在三棱臺(tái)ABC-A耳G中，4人，平面

ABC,AB±AC,AB=AC=A4,=2,4Q=1,Af為BC中點(diǎn).，N為AB的中點(diǎn),

⑴求證：AN〃平面AMG；

（2）求平面AMG與平面ACGA所成夾角的余弦值；

⑶求點(diǎn)C到平面AMG的距離.

4.（2022?全國(guó)?高考真題）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面

ABCD是邊長(zhǎng)為8（單位：cm）的正方形，A￡A氏AEBC,AGCD,AHD4均為正三角形，且它們所在的平面都

與平面ABCD垂直.

（1）證明：砂//平面ABCD；

⑵求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）.

5.（2022?北京?高考真題）如圖，在三棱柱ABC-44G中，側(cè)面BCG與為正方形，平面8CCH，平面ABB0,

AB=BC=2,M,N分別為4瓦，AC的中點(diǎn).

4

B]M

C

⑴求證：MN〃平面3CC4；

（2）再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線A8與平面8MN所成角的正弦值.

條件①：AB1MN；

條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

參考答案:

1.⑴證明見詳解；

13

【分析】（工）結(jié)合已知易證四邊形瓦匕河為平行四邊形，可證四/生。，進(jìn)而得證;

（2）先證明。4,平面結(jié)合等體積法%_AOE=%.EDM即可求解.

【詳解】（1）由題意得，EF//MC,且所=MC,

所以四邊形EFCN是平行四邊形，所以EM//FC,

又CFu平面BCF,EM仁平面BCF,

所以EM〃平面BCF；

（2）取DM的中點(diǎn)。，連接。4,0E,因?yàn)锳B//MC,且AB=MC,

所以四邊形AMCB是平行四邊形，所以AM=BC=JQ,

又=故八位）暇是等腰三角形，同理是等腰三角形，

可得OA_LDM,OE_LDM,OA==3,OE=[ED一=73,

又AE=2?,^^XOA1+OE2=AE2,故OAJ_OE.

又。4_LDMQEcDM=O,OE,DMu平面EDM,所以。4_L平面EDM,

易知S^EDM=￡X2X6=6

5

在VAD￡中，cosZDEA=土衛(wèi)~~,

2x2x204

所以sin/°EA=^'凡"EA=；X2X2百義孚=與.

設(shè)點(diǎn)M到平面ADE的距離為d,由%_ABE=VA-EDM，

得%皿以=%回.04,得〃=吟，

故點(diǎn)M到平面ADE的距離為5g.

13

AB

1

。佑女二藥匕)c

E‘F

2.(1)證明見解析

(2)偵

3

【分析】(1)根據(jù)給定條件，證明四邊形C?所為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.

(2)作出并證明尸加為棱錐的高，利用三棱錐的體積公式直接可求體積.

【詳解】⑴連接DE,QF,設(shè)AF=zAC,則麗=麗+^^(l-r)麗+f前，AO=-BA+^BC,BFLAO,

貝0旃?=[(1-f)麗+tBC]-(一麗+1BC)=(r-1)麗2+^rBC7=4(Z-l)+4r=0,

解得/=；，則/為AC的中點(diǎn)，由2EQ廠分別為尸員PA,BC,AC的中點(diǎn)，

^^DE//AB,DE=-AB,OF//AB,OF=-AB,即DE//OF,DE=OF,

22

則四邊形ODEF為平行四邊形，

EFIIDO,EF=DO,又EFa平面ADO,DOu平面ADO,

所以EF〃平面相＞O.

(2)過尸作RW垂直產(chǎn)。的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,

因?yàn)镻8=PC,O是8C中點(diǎn)，所以尸O1BC,

在Rt△尸30中，PB=y16,BO=-BC=y/2,

2

所以PO7PB2-OB?=a一2=2,

6

因?yàn)锳B_LBC,OP//AB,

所以O(shè)b_LBC,又POcOF=O,尸0,0bu平面尸。/，

所以3C1平面尸0斤，又HWu平面尸0斤，

所以3C_LPM,又BCnfM=O,BC,FMu平面ABC,

所以PM_L平面ABC,

即三棱錐尸-ABC的高為PM,

因?yàn)?POP=120。，所以NPOAf=60。，

所以尸知=尸0$也60°=2*且=6，

2

又Sf=>AB.BC=Lx2x2母=2枝,

Z_X/ix5V

所以L-ABCngSaMc.尸知義括

(2)t

嗚

【分析】（1）先證明四邊形MN41cl是平行四邊形，然后用線面平行的判定解決；

（2）利用二面角的定義，作出二面角的平面角后進(jìn)行求解；

（3）方法一是利用線面垂直的關(guān)系，找到垂線段的長(zhǎng)，方法二無需找垂線段長(zhǎng)，直接利用等體積法求解

【詳解】（1）

7

連接MN，GA.由M,N分別是BC,8A的中點(diǎn)，根據(jù)中位線性質(zhì)，MN//AC,且威=奇=1,

由棱臺(tái)性質(zhì)，AQ//AC,于是MN〃AG，由MN=AG=I可知，四邊形小G是平行四邊形，則4”〃

MG，

又AN<Z平面GMA,MC|U平面GK4,于是〃平面AMC1.

(2)過M作MELAC,垂足為E,過E作EF，AC1,垂足為尸,連接板,C￡.

由MEu面ABC,A4，面ABC,故AA]_LME,又ME_LAC,ACnAA]=A,AC,的u平面ACQA,則

ME_L平面ACCA.

由AGu平面ACG4，故ME_LAG，又EF_LAQ,MEcEF=E,ME,EFu平面AffiF,于是人弓,平

面MEF,

由MRu平面MEF,故AG_L"F.于是平面AMG與平面ACGA所成角即NMFE.

ME=-1,cosNC4C]=^^,則sinNCAC]=,故E/=lxsinNC4C],在RIAAIEF中,

NMEF=9。

(3)［方法一：幾何法］

8

過C1作GPLAC,垂足為P,作CQLAM,垂足為2,連接尸Q,PM,過戶作PRJ_GQ,垂足為R.

3A/2

由題干數(shù)據(jù)可得，C]A=C]C=逐，GM=JcF+PM?=亞,根據(jù)勾股定理，GQ=

~2~

由Cf,平面AMC,平面AMC,則GPLAM,又GQLAM,CienC1P=C1,弓。,弓尸匚平面弓尸。，

于是2平面GPQ.

又PRu平面C/Q,則尸又PR^GQ,CtQ^AM=Q,GQ,AMu平面CjMA,故依，平面GMA.

2.交

在RtAC/Q中，PR=今產(chǎn)=磊=：,

2d57Z3

~2~

又C4=2上4,故點(diǎn)C到平面QMA的距離是p到平面C.MA的距離的兩倍,

4

即點(diǎn)C到平面AMQ的距離是§.

[方法二：等體積法]

輔助線同方法一.

設(shè)點(diǎn)C到平面AMQ的距離為瓦

V=XCPXS=X2XX

Ct-AMC~1^AMCJ2(^)="

Vv_1,Q,163垃_h

c-ctMA=-X/JXSAAMCI=-xhx-xy/2x—^-=—.

h24

由匕AMC=CMA—=即//=_.

C]—A/WCC—C]M/123，'3

9

4.⑴證明見解析;

(2)等技

【分析】(1)分別取",BC的中點(diǎn)KN,連接政V,由平面知識(shí)可知EM_LAB,/W_L8C,EM=FN,依

題從而可證兇0_L平面ABC。，？W_L平面ABC。，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知W〃FN,即可知四邊形

EMNF為平行四邊形，于是跖//MN,最后根據(jù)線面平行的判定定理即可證出；

(2)再分別取中點(diǎn)K,L,由(1)知，該幾何體的體積等于長(zhǎng)方體KWL-E/GH的體積加上四棱

錐3-組體積的4倍，即可解出.

【詳解】(1)如圖所示：

分別取的中點(diǎn)連接肱V,因?yàn)闉槿鹊恼切?，所以，BC,

EM=FN,又平面￡AB_L平面ABCD,平面￡ABc平面ASCD=AB,EMu平面E4B,所以EW_L平面

ABCD,同理可得印，平面ABCD,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知EA/〃FN,而EM=FN,所以四邊形

EMNF為平行四邊形，所以EF//MN,又EF。平面ABC。，MNu平面ABC。，所以EF〃平面A3CD.

(2)［方法一］:分割法一

如圖所示：

分別取AZZDC中點(diǎn)K,L,由（1）知，EF//MN且EF=MN,同理有，HE//KM,HE=KM,

10

HG//KL,HG^KL,GFI!LN,GF=LN,由平面知識(shí)可知，BDLMN,MNLMK,KM=MN=NL=LK,

所以該幾何體的體積等于長(zhǎng)方體KMNL-EFGH的體積加上四棱錐3-MNFE體積的4倍.

因?yàn)镸N=NL=LK=KM=4亞,EM=8sin60。=4有，點(diǎn)B到平面肱VFE的距離即為點(diǎn)B到直線建V的距

離d,d=2也，所以該幾何體的體積

V=（4&yx4K+4x；x4&x4gx2萬=1286+爭(zhēng)相=等技

［方法二］:分割法二

如圖所示:

連接AC,BD,交于0,連接0EQFQGQH.則該幾何體的體積等于四棱錐0-EFGH的體積加上三棱錐A-0EH的4

倍,再加上三棱錐E-0AB的四倍.容易求得，0E=0F=0G=0H=8,取EH的中點(diǎn)P,連接APQP.則EH垂直平面

AP0.由圖可知，三角形AP0,四棱錐0-EFGH與三棱錐E-0AB的高均為EM的長(zhǎng).所以該幾何體的體積

V=1.473-（4^）2+4-1-4^-^-472-473+4-1-473—4^-472=-^^.

5.⑴見解析

（2）見解析

【分析】（1）取A3的中點(diǎn)為K,連接可證平面MKN〃平面BCC4,從而可證〃平面5CG4.

（2）選①②均可證明3月，平面A3C,從而可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可求線面

角的正弦值.

【詳解】（1）取AB的中點(diǎn)為K,連接”K,NK,

由三棱柱ABC-44G可得四邊形山狙4為平行四邊形，

而耳M=肱4,,BK=KA,則MK//BBt,

而MKz平面5CG耳，5用（=平面3。。1瓦，故〃平面3。。1月，

11

而CN=NA,BK=KA,則隧〃3C,同理可得NK〃平面BCC出，

而NKnMK=K,NK,MKu平面MMV,

故平面MKN〃平面BCG耳，而MNu平面MKN,故MN〃平面BCC4,

(2)因?yàn)閭?cè)面8CC用為正方形，故圓，84，

而CBu平面BCQBi,平面CBBg1平面ABB^,

平面CBB?c平面ABB{\=BB1,故CB，平面ABB^,

因?yàn)镹KHBC,故NKJL平面ABB14，

因?yàn)锳Bu平面A84A，故NKLA5,

若選①，則ABLMZV,而NKCMN=N,

故平面MAK,而AIKu平面MNK,故AB_LMK,

所以ABLB4，而CB_L8耳，CBcAB=B,故8耳，平面A3C,

故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則3(0,0,0),4(0,2,0),N(l,1,0),加(0,L2),

故麗=(0,2,0),麗=(1,1,0),麗=(0],2),

設(shè)平面BNM的法向量為n=(x,y,z),

n-BN=0fx+y=0-.、

則c，從而c八，取Z=—1,則"=一2,2,-1),

n-BM=0[y+2z=0''

設(shè)直線AB與平面BMW所成的角為凡則

sin6=|cos(〃,AB)|=g.

若選②，因?yàn)镹KHBC,故NK,平面AB4A，而KMu平面

故NKLKM,而B[M=BK=1,NK=1,故B、M=NK,

而B1B=MK=2,MB=MN,故,ABB】M三AMKN,

所以=/MKN=90。，故4與_18片，

而CB1BBj,CB(->AB=B,故2片_1,平面ABC,

故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則3(0,0,0),4(0,2,0),N(l,1,0),Af(O,L2),

故麗=(0,2,0),麗=(1,1,0),麗=(0,1,2),

設(shè)平面BNM的法向量為n=(x,y,z),

12

n-BN=O[x+y=0，一/、

則從而[尸2z=。'取z—?jiǎng)t〃=（-22-1），

n-BM=0

設(shè)直線AB與平面3MW所成的角為6,則

【考點(diǎn)1】直線與平面平行的判定與性質(zhì)

一、單選題

1.（2024?江西景德鎮(zhèn)?三模）已知。，b是空間內(nèi)兩條不同的直線，a,ft,/是空間內(nèi)三個(gè)不同的平面,

則下列說法正確的是（）

A.若＜z_L，，auct,則

B.若a10,a（3,則aPa

C.若ac尸=a,aLy,尸_L/,則

D.若a_L￡,ac\f3=a,b±a,則或6，。

2.（2024?內(nèi)蒙古?三模）設(shè)a,4是兩個(gè)不同的平面，m,/是兩條不同的直線，且戊。/7=/貝〃加/〃"是"機(jī)〃￡

且加/a"的（）

A.充分不必要條件B.充分必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

二、多選題

3.（2024?湖北黃岡?模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體ABCD-A耳GA的棱長(zhǎng)為3,點(diǎn)E、EG分別在棱。4,A6,

D.ED.F1_*_.

4A上，滿足KT=7Tk=￡，4G=XAA,記平面EFG與平面431c。的交線為/,貝（j（）

Jy,/i|iy,Cz.J

13

A.V2e（O,l）,AC〃平面E/G

B.平面印G截正方體所得截面圖形為六邊形的充分不必要條件是4e（0,1）

C.4=（時(shí)，三棱錐A-EFG的外接球表面積為24兀

D.彳=:時(shí)，直線/與平面ABCD所成角的正弦值為逅

36

4.（2023?遼寧沈陽?二模）在正方體ABCD-ABGA中，鉆=1,點(diǎn)P在正方體的面CCQZ）內(nèi)（含邊界）

移動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（）

7T

A.當(dāng)直線用P//平面4跳）時(shí)，則直線男尸與直線CA成角可能為:

4

B.當(dāng)直線4尸//平面時(shí)，尸點(diǎn)軌跡被以A為球心，。為半徑的球截得的長(zhǎng)度為:

42

C.若直線男尸與平面CG2。所成角為7:T，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為JgT

42

D.當(dāng)直線用PLA8時(shí)，經(jīng)過點(diǎn)2,P,2的平面被正方體所截，截面面積的取值范圍為］手，&

三、解答題

5.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模）如圖，已知平面8CE,CD//AB,ABCE是等腰直角三角形，其中

NEBC=—,且鈣=BC=2CD=4.

2

⑴設(shè)線段BE中點(diǎn)為尸，證明：C尸〃平面ADE；

（2）在線段A3上是否存在點(diǎn)知,使得點(diǎn)8到平面CEM的距離等于巫，如果存在，求MB的長(zhǎng).

2

6.（2024?北京順義?三模）如圖在幾何體A8CDFE中，底面ABC。為菱形，ZABC=^）°,AE//DF,AEYAD,

14

AB=AE=2￡＞尸=4

⑴判斷A。是否平行于平面CEE并證明;

⑵若面以8_1_面ABCD；求:

但)平面ABCD與平面CE尸所成角的大小;

(0)求點(diǎn)4到平面CEF的距離.

參考答案:

1.C

【分析】借助于模型，完成線面關(guān)系的推理可得c項(xiàng)正確，可通過舉反例或羅列由條件得到的所有結(jié)論,

進(jìn)行對(duì)A,B,D選項(xiàng)的排除.

【詳解】對(duì)于A,由auoc,設(shè)a。尸=/,當(dāng)?！?時(shí)，可得。//4，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由。_L/?,a_L?可得?！╝或aua,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,如圖，設(shè)ap|7=6,/?n/=c,在平面a作不與。重合的直線機(jī)，使m_Lb,

因a_L7,則相因〃_!_7,m(Z/3,則相〃夕，因ac￡=a,則租//°,于是a_L7,故C正確；

對(duì)于D,當(dāng)a_L￡,ac/3=a,b_La時(shí)，若。＜za,且4，

則人可以和平面a,/?成任意角度，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

2.C

【分析】根據(jù)題意，利用線面平行的判定定理與性質(zhì)定理，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求

解.

15

【詳解】當(dāng)加/〃時(shí)，加可能在a內(nèi)或者用內(nèi)，故不能推出〃?〃尸且〃M/e,所以充分性不成立;

當(dāng)〃?///且時(shí)，設(shè)存在直線“ua,且〃//“?，

因?yàn)椤ā?￡,所以77//〃，根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理，可知”/〃，

所以“Z〃/,即必要性成立，故"加〃/"是"〃〃/￡且〃〃/a”的必要不充分條件.

故選：C.

3.ACD

【分析】根據(jù)線面平行的判定定理判斷A；畫出截面即可判斷B；建立如圖空間直角坐標(biāo)系，確定球心和半

徑即可判斷C；作出截面，如圖，確定交線，利用空間向量法求解線面角即可判斷D.

【詳解】A：由題設(shè)及正方體結(jié)構(gòu)特征，有AC〃E尸且ACZ平面EFG,EFu平面EFG,故AC〃平面EFG,

故A正確；

B：當(dāng)力e（O,l）時(shí)，平面MG截正方體所得截面圖形為五邊形或六邊形，

C：以Z）為原點(diǎn)，以ZM,DC,所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

2

當(dāng)彳=§時(shí)，8（3,3,0）,G（0,3,3）,G（3,0,l）,E（l,0,3）,F（0,l,3）,

外接球的球心在過線段EG的中點(diǎn)，且垂直于平面A2D4的直線上，

EG的中點(diǎn)/（2,0,2）,可記球心0（2/2）,外接球的半徑「=|煙=|。尸|,

所以Jl+產(chǎn)+1=小4+?-1）~+1,解得t=2,r=V6,

所以三棱錐4-跳6的外接球表面積為24兀，故C正確；

16

D：作出截面圖形，交AO于"（2,0,2）,交瓦

直線/即為直線MV,麗=[-|,3,-|）,又平面ABCD的法向量為訪=（0,0,1）,

3

2

則/與平面ABCD所成的角6滿足sind=gsMN,q=鬲j,故D正確.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問

題求解，其解題思維流程如下：

（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相

等且為半徑；

（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些

元素的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；

（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.

4.BCD

【分析】A應(yīng)用線面平行、面面平行的判定證面ABD//面C42,進(jìn)而判斷p的軌跡，即可判斷線線角的

范圍；B根據(jù)A分析知:P點(diǎn)軌跡為線段CD,,再畫出球與各面的截面形狀,即可判斷;C根據(jù)耳G，面CCRD,

結(jié)合線面角大小確定尸的軌跡，即可求長(zhǎng)度；D首先確定P軌跡為線段CG，再應(yīng)用平面的基本性質(zhì)畫出截

面，進(jìn)而確定面積范圍.

【詳解】A：如下圖，連接C4、CD,、BR,由正方體性質(zhì)知：CDJ/BA,,

17

由CB|CZ面A?。，Z）Au面A?。，則CB|//面ABD,同理可證CA//面人臺(tái)。，

又CBinCR=C,C瓦,CRu面CBQ,故面人跳）〃面CBQ,

由B】e面CBQ,面CBQ1c面CGA。=CR,且尸在正方體的面CC1R。內(nèi),

所以，要使直線87//平面48。，則用Pu面CB.,即PeC。，又回CBQ為等邊三角形,

故尸在3上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線耳尸與直線3成角為號(hào),J錯(cuò)誤；

B：由A分析知：直線4尸//平面AB。，尸點(diǎn)軌跡為線段CQ,

取C。中點(diǎn)〃，連接而團(tuán)AC2為等邊三角形，則AH=后曰欣==（

以A為球心，1為半徑的球截C2的長(zhǎng)度為2，!）^^=；,正確；

JT

C：由用G，面CG2。，顯然與2、5c與面CCQQ夾角為了，

4

IT1

所以，要直線男尸與平面CGA。所成角為;，則尸軌跡是以G為圓心CA為半徑的二圓,

44

如下圖示：

D：^B,P±AB,而Afi〃CD,則用尸，C。，而CD上面34clC,面

又面BB&CP面CCRD=CC],故尸軌跡為線段cq,

過R作RE//B尸交AA于石，連接防，易知：截面8P2E為平行四邊形，如下圖,

18

當(dāng)P與C或C1重合時(shí)，截面為矩形，此時(shí)面積最大，為0；

當(dāng)P為CG的中點(diǎn)時(shí)，截面為菱形，此時(shí)面積最小，為垃=0

22

所以截面面積的取值范圍為］手,3,正確.

故選：BCD

5.⑴證明見解析

（2）存在，"8的長(zhǎng)為2甄

【分析】（1）取AE的中點(diǎn)G,根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；

（2）設(shè)=根據(jù)等體積法/_"EC=%.BEC求出）的值，即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）取BE的中點(diǎn)尸，AE的中點(diǎn)G,連結(jié)FG、GD、CF

貝I］有GF=；AB,GFIIAB,

因?yàn)?CD//AB,所以CD〃Gb且CD=G產(chǎn)，

2

所以四邊形CfG￡＞是平行四邊形，則CE〃DG,

又ZX7u平面ADE,C尸（z平面ADE,

所以Cf7/平面ADE.

（2）存在.設(shè)其2=尤（0＜彳＜4）,在Rt/XBEC中，EC々BE?+BC，=40.

19

iii

因?yàn)镸BJ,而BEC)所以％_BEC=gS&BECxMB=—x—xBExBCxMB=.

因?yàn)镸B_L面BEC,BEu面BEC,BCu面BEC

所以MBLBE,MBLBC,

則AMBEAKBC均為直角三角形.

在RLJWBE中,ME=\lMB2+BE2=7^+16

同理，MC=ylx2+l6-

取EC的中點(diǎn)因?yàn)锳ffi=MC,所以MH工EC,

而MH=dME。-EH?=&+8.

22

故SMFr=-xECxMH=-x4y/2xy/x+S=^Sx+64.

因?yàn)辄c(diǎn)B到面CEM的距離等于也,

2

斫以i/_1c④26+8

=5X-=

用以%-MEC_AMEC^"?

而/.MEC=右一BEC，所以也/，解得x=也.

3315

所以在線段A3上只存在唯一一點(diǎn)M,當(dāng)且僅當(dāng)2叵時(shí)，點(diǎn)8到面CEM的距離等于理.

152

(2)(i);;(H)2A/2

【分析】（1）取AE中點(diǎn)G,證明AD//GR,假設(shè)AD〃平面CEF,根據(jù)線面平行性質(zhì)定理證明AD〃￡F,

推出矛盾，可得結(jié)論；

（2）（i）證明線線垂直建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解平面與平面的角，（ii）利用向

量方法求點(diǎn)到平面距離.

【詳解】（1）AD不平行于平面CEF,理由如下：

取AE中點(diǎn)G,

20

E

因?yàn)锳E〃DF,AE=2DF,所以AG〃DF,AG=DP

則四邊形AGED為平行四邊形，所以AD//GP,

又GFcEF=F,所以AD不平行于￡F,

假設(shè)AD〃平面CEF,

因?yàn)槠矫鍯EFc平面皿花1=",ADu平面ADFE

所以AD//EF,與AD不平行于"矛盾，

所以假設(shè)不成立，即AD不平行于平面C即；

(2)取8中點(diǎn)M,連接40

因?yàn)榱庑蜛BCD,ZABC=60°,

所以AACD為正三角形，又加為CO中點(diǎn)，所以AMLCD,

由于AB//CD,所以AMLAB,

又面EAB_L面ABCD,面E4Bc面ABCD=AB,AMu面ABCD

所以2面RLB,因?yàn)锳Eu面E4B,所以

又因?yàn)锳E_LAD,AM。AD=A,AMADu面ABC?,

所以AE_L面ABCD,而AB,AMu面ABC。，所以AEJLAB,

所以如圖，以A為原點(diǎn)，福,亞,亞所在直線為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,0,0),3(4,0,0),C(2,26,0),E(0,0,4),川一2,2班,2)

(i)因?yàn)锳E_L面ABCD,所以荏=(0,0,4)為平面ABCD的一個(gè)法向量

設(shè)平面CEF的法向量為為=(x,y,z),因?yàn)辂?卜2,-264)=(TQ2)

21

n-CE=-lx-26y+4z=0y=^3x

所以_.=><,令x=l,而=（1,后2）

h-CF=-4x+2z=0z=2x

設(shè)平面ABCQ與平面CEF所成角為巴

,,\n-AE\______=也

所以cos0-|cos<n,AE>|8,則。三

1一同局」.網(wǎng)一20x4-2

jr

即平面ABS與平面CO所成角大小為“

（ii）因?yàn)橐?（2,260）,由⑴知平面的一個(gè)法向量為為=。,62）

、.\AC-n\|2+6+0lr-

所以點(diǎn)A到平面CEF的距離為=11=2V2.

同2V2

反思提升：

（1）判斷或證明線面平行的常用方法

①利用線面平行的定義（無公共點(diǎn)）.

②利用線面平行的判定定理（a。a,bua,a//b^a//a）.

③利用面面平行的性質(zhì)（a〃夕，aua=a〃￡）.

④利用面面平行的性質(zhì)（a〃夕，a&￡,a//a=a〃￡）.

（2）應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時(shí)需要經(jīng)過已知直線作輔助平面確

定交線.

【考點(diǎn)2】平面與平面平行的判定與性質(zhì)

一、單選題

1.（2024?安徽安慶三模）在正方體ABCD-2汩。中，點(diǎn)瓦尸分別為棱4氏的中點(diǎn)，過點(diǎn)E/，G三點(diǎn)

作該正方體的截面，則（）

A.該截面多邊形是四邊形

B.該截面多邊形與棱2月的交點(diǎn)是棱的一個(gè)三等分點(diǎn)

C.4<7，平面G所

D.平面4百2〃平面和所

2.（2024?福建南平?二模）在正四面體ABCD中，P為棱AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A的平面a與平面PBC平行，平

面aPl平面ABD=〃?，平面aPl平面ACD=〃，則加，”所成角的余弦值為（）

J212J3

A.—B.-C.-D.—

3333

二、多選題

3.（23-24高一下?河南?階段練習(xí)）刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫空間的彎曲性，

規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于2%與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面

22

jr

角，角度用弧度制.例如：正方體每個(gè)頂點(diǎn)均有3個(gè)面角，每個(gè)面角均為故其各個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為

2K-3X-^=".如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，點(diǎn)C的曲率為三,〃，區(qū)尸分別為

AC,AB，AG的中點(diǎn)，則（）

A.直線3尸〃平面AOE

在三棱柱ABC-AAC中，點(diǎn)A的曲率為r

C.在四面體A1AOE中，點(diǎn)E的曲率小于兀

D.二面角A-DE-A的大小為:

4.（2024?河北保定?二模）如圖1,在等腰梯形ABCD中，AB//CD,EFLAB,CF=EF=2DF=2,AE=3,

EB=4,將四邊形AEFD沿EF進(jìn)行折疊，使AD到達(dá)AD位置，且平面A7XRE_L平面以ZE,連接

D'C,如圖2,則（）

D'

DFCDF/^-^C

EE

圖1圖2

BE±AD'B.平面AEB〃平面ZXFC

多面體AEBCD'F為三棱臺(tái)D.直線AD與平面3CFE所成的角為:

三、解答題

5.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在圓錐P。中，尸為圓錐的頂點(diǎn)，0是圓錐底面的圓心，四邊形A3CD

是底面的內(nèi)接正方形，瓦尸分別為的中點(diǎn)，過點(diǎn)及E。的平面為a.

B

23

(1)證明：平面a〃平面PBC；

(2)若圓錐的底面圓半徑為2,高為6，設(shè)點(diǎn)M在線段所上運(yùn)動(dòng)，求三棱錐P-MBC的體積.

6.(2024?山東濰坊?三模)如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，AB±AC,AB^AC=2AAl,E是棱BC的中

⑴求證：AC〃平面明￡；

⑵求二面角A-BJE-A的大小.

參考答案：

1.B

【分析】將線段所向兩邊延長(zhǎng)，分別與棱C3的延長(zhǎng)線，棱co的延長(zhǎng)線交于G,”，連GG，G”分別與棱

BPBG1

BBQDi交于P,Q,可判斷A；利用相似比可得才="=可，可判斷B；證明AC，平面800即可判斷

CCjCJCJ

C；通過證明AC_L平面可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,將線段所向兩邊延長(zhǎng)，分別與棱CB的延長(zhǎng)線，棱8的延長(zhǎng)線交于G,H,

連GG，GH分別與棱自交于P,Q,得到截面多邊形是五邊形，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,易知△AEF和AB￡G全等且都是等腰直角三角形，所以G2=AF=』BC,

2

BPBG1BP1_

所以777=不=￡,即高~二可，點(diǎn)尸是棱8耳的一個(gè)三等分點(diǎn)，B正確；

CCqCrCJ￡>￡)1J

對(duì)于C,因?yàn)?月，平面BCC4，86匚平面3。6瓦，所以

又BC|_L4C,A4nBic=瓦，44,瓦Cu平面44c,所以BC]_1_平面44c,

因?yàn)锳Cu平面480,所以4CLBG，同理可證ACLBD,

24

因?yàn)锽DcBCi=B,BD,BQu平面BC|D,所以4C，平面,

因?yàn)槠矫鍮CQ與平面a所相交，所以4c與平面G所不垂直，C錯(cuò)誤;

對(duì)于