江蘇省南通市海安市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷(解析)

高中數(shù)學(xué)精編資源2/22022~2023學(xué)年（下）高二期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1.本試卷共6頁(yè)，包含單項(xiàng)選擇題（第1題~第8題，共40分）、多項(xiàng)選擇題（第9題~第12題，共20分）、非選擇題（第13題～第22題，共90分）三部分.本次考試滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.2.答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、考試號(hào)等用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆填在答題卡上.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)答題卡表頭規(guī)定填寫或填涂的項(xiàng)目是否準(zhǔn)確.4.作答非選擇題必須用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其它位置作答一律無(wú)效.作答選擇題必須用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案.5.如有作圖需要，可用2B鉛筆作答，并請(qǐng)加黑加粗，描寫清楚.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，則（）A.27 B.54 C.12 D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)，進(jìn)而代值計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：B.2.（）A.35 B.56 C.70 D.84【答案】A【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)化簡(jiǎn)，再應(yīng)用組合數(shù)公式計(jì)算即可.

【詳解】,.故選：A.

3.已知三棱錐，點(diǎn)M，N分別為，的中點(diǎn)，且，，，用，，表示，則等于（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】運(yùn)用向量的線性運(yùn)算即可求得結(jié)果．【詳解】因?yàn)椋?，，所?故選：D.4.2023年4月26日南通支云足球隊(duì)將在主場(chǎng)迎戰(zhàn)河南隊(duì)，組委會(huì)安排甲、乙等5人到球場(chǎng)的四個(gè)區(qū)域參加志愿服務(wù)，要求每個(gè)區(qū)域都有人服務(wù)，且每位志愿者只能服務(wù)一個(gè)區(qū)域，則甲、乙兩人被安排到同一區(qū)域的方法種數(shù)為（）A.18 B.24 C.60 D.120【答案】B【解析】【分析】利用捆綁法求解即可.【詳解】將甲乙捆綁在一起與其他人一起進(jìn)行全排列，共有種排法，所以將甲、乙兩人被安排到同一區(qū)域的方法種數(shù)為24種.故選：B.5.向量，，滿足，，且，則（）A. B. C.22 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積及坐標(biāo)表示計(jì)算求解即可.【詳解】，所以.故選：A.6.當(dāng)下有部分年輕人熱衷于購(gòu)買盲盒，現(xiàn)有10只不同的盲盒，其中有4只文具盲盒，6只零食盲盒.若每次從中開(kāi)1只盲盒，直到4只文具盲盒全部打開(kāi)為止，則最后1只文具盲盒恰好在第6次被打開(kāi)的方法種數(shù)為（）A.480 B.1800 C.7200 D.10800【答案】C【解析】【分析】先利用特殊位置優(yōu)先法第6次抽到其中任一只文具盲盒有種情況，再求前5次的情況，再由分步計(jì)數(shù)原理求解即可.【詳解】有10只不同的盲盒，其中有4只文具盲盒，第6次抽到其中任一只文具盲盒有種情況，前5次有3次是文具盲盒，2次是零食盲盒，共有種可能，前5次打開(kāi)盲盒的順序有種可能，由分步計(jì)數(shù)原理可得共有種.故選：C.7.已知隨機(jī)事件，滿足，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知結(jié)合條件概率公式，即可得出，進(jìn)而推得.即可根據(jù)條件概率公式，得出答案.【詳解】由已知可得，.因?yàn)椋裕?又,所以，.又，所以，.故選：A.8.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可判斷利用函數(shù)值【詳解】因?yàn)?，該函?shù)的定義域?yàn)椋?，故，，單調(diào)遞增；，，單調(diào)遞減，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且，，；故選:B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.在上單調(diào)遞減 B.的極大值為1C.方程有兩解 D.曲線經(jīng)過(guò)四個(gè)象限【答案】ABD【解析】【分析】先利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而畫出大致圖象，判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)椋?，令，即或；令，即，所以函?shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故A正確；當(dāng)時(shí)，取得極大值，故B正確；又，畫出大致圖象，結(jié)合圖象可知函數(shù)與只有一個(gè)交點(diǎn)，所以方程只有一解，故C錯(cuò)誤；由圖象可知曲線經(jīng)過(guò)四個(gè)象限，故D正確.故選：ABD.10.在樹(shù)人中學(xué)舉行的演講比賽中，有3名男生，2名女生獲得一等獎(jiǎng).現(xiàn)將獲得一等獎(jiǎng)的學(xué)生排成一排合影，則（）A.3名男生排在一起，有6種不同排法 B.2名女生排在一起，有48種不同排法C.3名男生均不相鄰，有12種不同排法 D.女生不站在兩端，有108種不同排法【答案】BC【解析】【分析】利用捆綁法可判斷A、B；利用插空法可判斷C；利用分步計(jì)數(shù)法可判斷D.【詳解】解：由題意得：對(duì)于選項(xiàng)A：3名男生排在一起，先讓3個(gè)男生全排后再作為一個(gè)整體和2個(gè)女生做一個(gè)全排，共有種，A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：2名女生排在一起，先讓2個(gè)女生全排后再作為一個(gè)整體和3個(gè)男生做一個(gè)全排，共有種，B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：3名男生均不相鄰，先讓3個(gè)男生全排后，中間留出兩個(gè)空位讓女生進(jìn)行插空，共有種，C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：女生不站在兩端，先從三個(gè)男生種選出兩個(gè)進(jìn)行全排后放在兩端，共有種，然后將剩下的3人進(jìn)行全排后放中間，共有種，D錯(cuò)誤.故選：BC11.已知，，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)公式判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，，且，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確.故選：ABD.12.在正三棱柱中，已知，，為中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，則（）A.B.平面C.異面直線與所成角的余弦值為D.線段長(zhǎng)度的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得；【詳解】在正三棱柱中，為中點(diǎn)，所以，以D為原點(diǎn)，DA，DB為x軸，y軸，過(guò)D點(diǎn)垂直于平面ABC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有，，，，，，，可得，，，，故A正確.，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，，所以，因?yàn)?，即，又平面，所以平面，故B正確；設(shè)異面直線與所成角為，，，，異面直線與所成角的余弦值為，故C錯(cuò)誤；，，，設(shè)向量，且，，令，則，，所以，線段EF長(zhǎng)度的最小值為，故D正確.故選：ABD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)是______.【答案】120【解析】【分析】化簡(jiǎn)，由的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可知其不可能出現(xiàn)含的項(xiàng)，進(jìn)而求解即可【詳解】，因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)公式為，不可能出現(xiàn)含的項(xiàng)，所以展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，即含項(xiàng)的系數(shù)是120.故答案為：120.14.銀行卡的密碼由6位數(shù)字組成.某人在銀行自動(dòng)取款機(jī)上取錢時(shí)，忘記了密碼的最后一位數(shù)字.如果記得密碼的最后一位數(shù)字是奇數(shù)，則不超過(guò)2次就按對(duì)的概率為_(kāi)_____.【答案】##【解析】【分析】設(shè)出事件，由已知根據(jù)互斥事件的運(yùn)算性質(zhì)，以及條件概率的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】設(shè)為“第次按對(duì)密碼”（），則事件“不超過(guò)2次就按對(duì)”可表示為，記“密碼的最后一位數(shù)字是奇數(shù)”，由條件概率的性質(zhì)可得，.故答案為：.15.曲線與在公共點(diǎn)處有相同的切線，則______.【答案】【解析】【分析】設(shè)、求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且公共點(diǎn)為，依題意可得，即可得到方程組，解得即可.【詳解】設(shè)、，則、，設(shè)與的公共點(diǎn)為，與在公共點(diǎn)處有相同的切線，，即，則，則，所以，，所以．故答案為：．16.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，，，，，均在球的表面上.若點(diǎn)在平面內(nèi)，且，平面，則______；球的半徑為_(kāi)_____.【答案】①.##②.【解析】【分析】根據(jù)已知可推得點(diǎn)是的中心，根據(jù)重心定理得出點(diǎn)坐標(biāo).根據(jù)線面垂直列出方程組，求出的值，即可得出.根據(jù)已知確定球心的位置，進(jìn)而根據(jù)正弦定理得出即外接圓的半徑，然后根據(jù)勾股定理列出關(guān)系式，求解即可得出答案.【詳解】由已知可得，，，，所以，，即為等邊三角形.又點(diǎn)在平面內(nèi)，且，所以，點(diǎn)為外心，也是的中心，所以，點(diǎn)為的重心.由重心定理可得，，.又平面，所以有，即，解得，所以，.如圖，由已知可推得，球心在線段上，設(shè)半徑為，外接圓的半徑為.由正弦定理可得，，則.又，所以有.又，所以有，解得.故答案為：；.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.設(shè)，求：（1）；（2）.【答案】（1）5670（2）16777216【解析】【分析】（1）由二項(xiàng)式公式展開(kāi)對(duì)比即可求解；（2）結(jié)合平方差公式并利用函數(shù)觀點(diǎn)即可求解.【小問(wèn)1詳解】由二項(xiàng)式公式得，對(duì)比，即得.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，因?yàn)?，所?16777216.18.如圖，在正方體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，表示出和，由即可證明；（2）直接根據(jù)線面角的向量公式即可求解．【小問(wèn)1詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，則，所以，因?yàn)?，所以．小?wèn)2詳解】由（1）得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，即，取，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．19.已知函數(shù).（1）求的最值；（2）求曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程.【答案】（1）最小值為，無(wú)最大值（2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，得出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，即可得出答案；（2）設(shè)切點(diǎn)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出斜率.根據(jù)已知結(jié)合斜率的公式即可得出.聯(lián)立得出方程，求出方程的根，得出切點(diǎn)坐標(biāo)以及斜率，代入點(diǎn)斜式方程，即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】由已知可得，的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增.所以，在處取得唯一極小值，也是最小值.所以，的最小值為，無(wú)最大值.【小問(wèn)2詳解】設(shè)切點(diǎn)為，則根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線在處的斜率，則，所以，，整理可得，.設(shè)，則在上恒成立，所以，在上單調(diào)遞增.又，所以存在唯一解.所以，的解為，切點(diǎn)，此時(shí)斜率為，切線方程為，整理可得，切線方程為.20.設(shè)甲袋中有3個(gè)白球和4個(gè)紅球，乙袋中有1個(gè)白球和2個(gè)紅球.某人先從甲袋中依次取2個(gè)球，再?gòu)囊掖腥?個(gè)球.若在甲袋中取得紅球，則放入乙袋；若取得白球，則兩袋均不放入.（1）求從甲袋中第二次取得白球的概率；（2）求從乙袋取得紅球的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)古典概型公式求解即可.（2）分別討論從甲袋中取出白球的情況，再利用古典概型公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】令事件：從甲袋中第二次取得白球，則.小問(wèn)2詳解】令事件：從乙袋取得紅球，當(dāng)從甲袋中取出的兩個(gè)球均為白球時(shí)，.當(dāng)從甲袋中取出的兩個(gè)球一白一紅時(shí)，.當(dāng)從甲袋中取出的兩個(gè)球均為紅球時(shí)，.綜上：.21.如圖，在四棱錐中，，，是的中點(diǎn)，平面，，，.（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使二面角的余弦值為？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）E為中點(diǎn)，詳見(jiàn)解析；【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理得到平面PCD，然后以D為原點(diǎn)，以AD，DC為x，y軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面PAC的一個(gè)法向量，由；（2）設(shè)，求得平面AEC的一個(gè)法向量，由求解.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)椋?，平面PCD，所以平面PCD，則以D為原點(diǎn)，以AD，DC為x，y軸建立空間直角坐標(biāo)系：則，所以，設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為：，則，即，令，得，所以點(diǎn)到平面的距離為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則，設(shè)平面AEC的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，則，，，所以，即，解得或（舍去）所以存在點(diǎn)E，是OP的中點(diǎn).22.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且.（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）證明：在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，且.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)數(shù)的