遼寧省沈陽市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期三?？荚?/h1>

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Page232024屆高三三模考試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則滿意的集合B的個(gè)數(shù)是（）A.7 B.8 C.15 D.16【答案】B【解析】【分析】依據(jù)集合交運(yùn)算的結(jié)果，結(jié)合集合的元素，干脆求解即可.【詳解】，又，則的元素必有，故可以為如下個(gè)集合中的隨意一個(gè)：.故選：B.2.已知，且為虛數(shù)單位，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可知中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，而表示圓上的點(diǎn)到的距離，由圓的圖形可得的的最大值.【詳解】依據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可知中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓.表示圓C上的點(diǎn)到的距離，的最大值是，故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，圓的性質(zhì)，屬于中檔題.3.“，使得成立”是“恒成立”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)的最值（值域）以及充分、必要條件的學(xué)問來確定正確答案.【詳解】的最小值為2，故，“恒成立”，即“恒成立”，所以，故.故是充要條件.故選：C4.我國南北朝時(shí)期的聞名數(shù)學(xué)家祖暅原提出了祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異.”意思是，夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的隨意一個(gè)平面所截，若截面面積都相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.運(yùn)用祖暅原理計(jì)算球的體積時(shí)，構(gòu)造一個(gè)底面半徑和高都與球的半徑相等的圓柱，與半球（如圖①）放置在同一平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐后得到一新幾何體（如圖②），用任何一個(gè)平行于底面的平面去截它們時(shí)，可證得所截得的兩個(gè)截面面積相等，由此可證明新幾何體與半球體積相等，即.現(xiàn)將橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周后得一橄欖狀的幾何體（如圖③），類比上述方法，運(yùn)用祖暅原理可求得其體積等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造一個(gè)底面半徑為，高為的圓柱，通過計(jì)算可得高相等時(shí)截面面積相等，依據(jù)祖暅原理可得橄欖球形幾何體的體積的一半等于圓柱的體積減去圓錐的體積.【詳解】解：構(gòu)造一個(gè)底面半徑為，高為的圓柱，在圓柱中挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐，則當(dāng)截面與頂點(diǎn)距離為時(shí)，小圓錐底面半徑為，則，，故截面面積為：，把代入，即，解得：，橄欖球形幾何體的截面面積為，由祖暅原理可得橄欖球形幾何體的體積為：圓柱圓錐.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是讀懂題意，構(gòu)建圓柱，通過計(jì)算得到高相等時(shí)截面面積相等，依據(jù)祖暅原理得到橄欖球形幾何體的體積.5.已知函數(shù)，則的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)可求得在和上的單調(diào)性，由此可解除錯(cuò)誤選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，在上單調(diào)遞增，BD錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤，A正確.故選：A.6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若存在，滿意，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用圖象求得函數(shù)解析式為，由結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱性得出，且有，將代入結(jié)合誘導(dǎo)公式可求得的值.【詳解】由圖象知函數(shù)的最小正周期為，，又，且，，，所以，，，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榇嬖冢瑵M意，即，則，可得，且，則.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：依據(jù)三角函數(shù)的部分圖象求函數(shù)解析式的方法：（1）求、，；（2）求出函數(shù)的最小正周期，進(jìn)而得出；（3）取特別點(diǎn)代入函數(shù)可求得的值.7.已知函數(shù)，若函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)給定條件，結(jié)合零點(diǎn)的意義求出的零點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求出方程有三個(gè)根的a的取值范圍作答.【詳解】由得：或，因函數(shù)，由解得，因此函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)方程有三個(gè)不同的根，函數(shù)在上遞減，函數(shù)值集合為，在上遞增，函數(shù)值集合為，函數(shù)在上遞減，函數(shù)值集合為，在上遞增，函數(shù)值集合為，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，如圖，方程有3個(gè)不同的根，當(dāng)且僅當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，視察圖象知，當(dāng)或，即或時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及給定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍問題，可以通過分別參數(shù)，等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合推理作答.8.已知直線與曲線，分別交于點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C.1 D.e【答案】B【解析】【分析】設(shè)與直線垂直，且與相切的直線為，切點(diǎn)為，設(shè)與直線垂直，且與相切的直線為，切點(diǎn)為，進(jìn)而依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得坐標(biāo)得，即可得直線與直線重合時(shí)最小，再求距離即可.【詳解】解：設(shè)與直線垂直，且與相切的直線為，設(shè)與直線垂直，且與相切的直線為，所以，，設(shè)直線與的切點(diǎn)為，因?yàn)椋?，解得，，即，設(shè)直線與的切點(diǎn)為，因?yàn)椋?，解得，，即，此時(shí)，所以，當(dāng)直線與直線重合時(shí)，最小，最小值為.故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿意對(duì)恒成立，且實(shí)數(shù)，滿意，則下列關(guān)系式不恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】由題意，依據(jù)構(gòu)造函數(shù)的思想，明確其單調(diào)性，得到兩個(gè)字母之間的膽小，結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，可得答案.【詳解】令，則對(duì)恒成立，∴在時(shí)單調(diào)遞增.又由實(shí)數(shù)，滿意，即，∴，若，則，故A、B選項(xiàng)錯(cuò)誤；令，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，故大小不確定，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；令，則，此時(shí)單調(diào)遞增，又∵，∴，∴，即，故D選項(xiàng)正確.故選：ABC.10.以下四個(gè)命題表述正確的是（）A.橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為B.已知圓C：，點(diǎn)P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P向圓C引兩條切線PA、PB，AB為切點(diǎn)，直線AB經(jīng)過定點(diǎn)C.曲線：與曲線：恰有三條公切線，則m＝4D.圓上存在4個(gè)點(diǎn)到直線l：的距離都等于1【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)于A:斜率為且與橢圓相切的直線到直線的距離為到橢圓的最大值或者最小值.對(duì)于B:依據(jù)AB為切點(diǎn)，得出，，由此推斷AB在以為直徑的圓上，以此求出公共弦AB的直線方程，找到定點(diǎn).對(duì)于C:兩圓三條公切線，說明兩圓外切，兩圓心距離應(yīng)當(dāng)?shù)扔趦蓤A半徑之和.對(duì)于D:推斷直線與圓上各點(diǎn)距離兩個(gè)方向的最遠(yuǎn)距離，兩值大于1則有四個(gè)滿意條件的點(diǎn).【詳解】對(duì)于A:設(shè)直線與橢圓相切，聯(lián)立方程得：，因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以，得當(dāng)時(shí)，直線與距離最大，最大距離為故A正確.對(duì)于B:設(shè)點(diǎn)，因?yàn)锳B為切點(diǎn)，所以，，連接，依據(jù)圓周角與圓直徑關(guān)系可知，AB兩點(diǎn)在以為直徑的圓上，圓的方程為，兩圓公共弦AB所在直線方程為，聯(lián)立方程得，令，則故B正確.對(duì)于C:曲線：，曲線:，因?yàn)閮蓤A有三條公切線，所以兩圓外切，故，得故C正確.對(duì)于D:直線與圓相切，且與距離為1，因此圓上存在3個(gè)點(diǎn)到直線l：的距離都等于1故D錯(cuò)誤.故選:ABC【點(diǎn)睛】圓錐曲線與相交直線的最遠(yuǎn)距離求法：

1.設(shè)一條與相交直線平行的直線;2.假設(shè)直線與曲線相切并聯(lián)立方程，求出直線方程;3.依據(jù)平行線距離公式求出兩直線距離，即是圓錐曲線與相交直線的最遠(yuǎn)距離.11.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上.平面ABC，在底面中，，，，若球O的體積為，則下列說法正確的是（）A.球O的半徑為 B.C.底面外接圓的面積為 D.【答案】BCD【解析】【分析】A.依據(jù)球O的體積為求解推斷；B.利用余弦定理求解推斷；C.利用正弦定理求解推斷；D.設(shè)的外心為E，作平面ABC，由，利用截面性質(zhì)求解推斷.【詳解】解：設(shè)球的半徑為R，由體積公式得：，則，即，故A錯(cuò)誤；在中，由余弦定理得，，所以，故B正確；設(shè)外接圓的半徑為r，由正弦定理得，則，所以底面外接圓的面積為，故C正確；如圖所示：設(shè)的外心為E，作平面ABC，則，所以，故D正確，故選：BCD12.已知函數(shù)，則（）A.B.的最大值為C.在單調(diào)遞減D.在單調(diào)遞增【答案】BC【解析】【分析】A選項(xiàng)可通過檢查特別位置的函數(shù)值是否在定義域內(nèi)，明顯函數(shù)的一個(gè)周期是，結(jié)合定義域，探討函數(shù)上的單調(diào)性可解決CD選項(xiàng)，B選項(xiàng)換元之后，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的最值.【詳解】，但無意義，故不恒成立，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；定義域滿意，即，在定義域內(nèi)，故不妨考慮，，故時(shí)，，，單調(diào)遞增，，,，，單調(diào)遞減，故C選項(xiàng)正確；時(shí)，由于在定義域內(nèi)，故等效于考慮，此時(shí)先遞增后遞減，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)，則，此時(shí)記，，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，故在取到最大值，故B選項(xiàng)正確.故選：BC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，且，則____________．【答案】##【解析】【分析】由三角恒等變換公式化簡(jiǎn)后求解【詳解】，，因?yàn)椋?，，所以．故答案為?4.設(shè)，是雙曲線：的兩個(gè)焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在的右支上，且，則的面積為________.【答案】8【解析】【分析】由平面對(duì)量的運(yùn)算可得，設(shè)，，則點(diǎn)在以為直徑的圓上，故.又點(diǎn)在雙曲線的右支上，依據(jù)雙曲線的定義可得，依據(jù)可求，從而可求的面積.【詳解】由，得，所以，可得.不妨設(shè)，，所以，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，所以是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形.故．又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線的右支上，所以，所以，解得，所以．故答案為:8.15.對(duì)于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，使得成立，其中為大于0的常數(shù)，則稱點(diǎn)為函數(shù)的級(jí)“平移點(diǎn)”.已知函數(shù)在上存在1級(jí)“平移點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)級(jí)“平移點(diǎn)”定義知有解，即可得在上有解，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性、最值，即可求的范圍.【詳解】由在上存在1級(jí)“平移點(diǎn)”，則有解，即：，得：，∴在上有解，令，，則，∴在上單調(diào)遞增，則，∴，即.故答案為：16.已知復(fù)數(shù)，對(duì)于數(shù)列，定義為的“優(yōu)值”．若某數(shù)列的“優(yōu)值”，則數(shù)列的通項(xiàng)公式______；若不等式對(duì)于恒成立，則k的取值范圍是______．【答案】①.②.【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及優(yōu)值得定義可知，進(jìn)而可得通項(xiàng)，依據(jù)通項(xiàng)得，分奇數(shù)和偶數(shù)兩種狀況探討即可得范圍.【詳解】由得,所以,進(jìn)而可得,當(dāng)時(shí),,兩式相減得,當(dāng)時(shí),也符合.故即可當(dāng)為偶數(shù)時(shí),(當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)，故當(dāng)奇數(shù)時(shí),(當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)，故，故對(duì)于恒成立，則故答案為：，四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知．（1）求角B的大小；（2）從下列條件中選擇2個(gè)作為已知條件，使三角形存在且唯一確定，并求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．【答案】（1）（2）選條件②③：可確定唯一三角形，且面積為；選條件①③：可確定唯一三角形，且面積為.【解析】分析】（1）依據(jù)正弦定理邊角互化以及同角關(guān)系即可求解，（2）依據(jù)正弦定理以及余弦定理結(jié)合給定的條件即可逐一選擇兩個(gè)條件進(jìn)行判別三角形是否唯一，最終依據(jù)面積公式即可求解.【小問1詳解】由正弦定理，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，故，又因?yàn)椋裕拘?詳解】若選條件①：；條件②：，由（1）知，，由余弦定理得，解得，答案不唯一，所以舍去．若選條件②：；條件③：；由（1）知，因?yàn)椋?，所以，由正弦定理，解得，由余弦定理得，解得或（舍去）則的面積為；若選條件①：；條件③：；由（1），因?yàn)椋?，所以，所以，由正弦定理得，解得，則的面積為．18.已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)P為C上一動(dòng)點(diǎn)（異于兩點(diǎn)），直線和直線與直線分別交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)垂直于x軸時(shí)，的面積為2．（1）求C的方程；（2）求證：為定值，并求出該定值．【答案】（1）（2）證明見解析，90°【解析】【分析】（1）由題意可得的方程組，從而得到結(jié)果；（2）設(shè)，得到直線和直線的方程，解出M，N兩點(diǎn)坐標(biāo)，可知，從而得到定值.【小問1詳解】由題意知，則．當(dāng)軸時(shí)，，故的面積，解得，故C的方程為．【小問2詳解】由（1）得，設(shè)，則直線，令，得；直線，令得．故，因?yàn)?，故，又，則．因此，故，即．19.正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿意：.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用數(shù)列通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，即解得或，因?yàn)閿?shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，所以，因?yàn)?，所以，解得或，因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)都是正數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，有，所以，解得，又當(dāng)時(shí)，，符合.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式【小問2詳解】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，，，上述兩式相減，得.則所以，數(shù)列的前項(xiàng)和為.20.如圖多面體中，四邊形是菱形，，平面，，.（1）證明：平面平面；（2）在棱上有一點(diǎn)，使得平面與平面的夾角余弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接交于，連接，，證明，利用面，證明面，從而面面；（2）建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用二面角確定M點(diǎn)位置，結(jié)合點(diǎn)到平面距離向量公式得到結(jié)果.．【小問1詳解】證明：取的中點(diǎn)，連接交于，連接，，因?yàn)槭橇庑危?，且是的中點(diǎn)，所以且，又，，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以，又因?yàn)?，，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面；【小?詳解】∵，平面，∴平面，且，∴以為原點(diǎn)，，，為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)在棱上存在點(diǎn)使得平面與平面的夾角余弦值為，，，，，，，，0，，，，，，0，，，，則設(shè)，0，，，，，所以，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，即，令，，得，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，即，取，得，，，，解得，此時(shí)，∴，∴點(diǎn)到平面的距離.21.已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，左焦點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)滿意（為原點(diǎn)），求四邊形面積的最大值.【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】（1）依據(jù)橢圓經(jīng)過的點(diǎn)和焦點(diǎn)，由待定系數(shù)法即可求解.（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，依據(jù)韋達(dá)定理得根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而依據(jù)面積公式表達(dá)出面積函數(shù)，利用換元法以及不等式即可求解最值.【小問1詳解】設(shè)橢圓的焦距為，則，又因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，