2025版新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.4平面向量的應(yīng)用6.4.3余弦定理正弦定理第1課時余弦定理學(xué)案新人教A版必修第二冊

第1課時余弦定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】(1)了解向量法證明余弦定理的推導(dǎo)過程．(2)駕馭余弦定理及其推論，并能用其解決一些簡潔的三角形度量問題．(3)能應(yīng)用余弦定理推斷三角形的形態(tài)．【問題探究】(1)在△ABC中，三個角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，怎樣用a，b和C表示c?(2)在(1)的探究成果中，若A＝90°，公式會變成什么？你認(rèn)為勾股定理和余弦定理有什么關(guān)系？題型1已知兩邊及一角解三角形例1(1)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝1，b＝2，C＝60°，求c.(2)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝5，∠B＝45°，求BC.學(xué)霸筆記：已知三角形的兩邊及一角解三角形的方法已知三角形的兩邊及一角解三角形，必需先推斷該角是給出兩邊中一邊的對角，還是給出兩邊的夾角．若是給出兩邊的夾角，可以由余弦定理求第三邊；若是給出兩邊中一邊的對角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三邊，此時需依據(jù)題意進(jìn)行檢驗，需滿意大角對大邊，兩邊之和大于第三邊．跟蹤訓(xùn)練1(1)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知a＝2，c＝5，cosC＝23，則bA．13B．C．3D．3(2)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b＝9，a＝2c，B＝π3，則△ABC題型2已知三邊解三角形例2在△ABC中，已知a＝26，b＝6＋23，c＝43，求△ABC的最小角．一題多變1本例條件不變，求△ABC最大角的余弦值．一題多變2本例條件改為“a∶b∶c＝6∶(3＋3)∶23”，求A，B，C.學(xué)霸筆記：已知三邊求解三角形的方法(1)利用余弦定理的推論求出相應(yīng)角的余弦值，值為正，角為銳角；值為負(fù)，角為鈍角．其思路清楚，結(jié)果唯一．(2)若已知三角形的三邊的關(guān)系或比例關(guān)系，常依據(jù)邊的關(guān)系干脆代入化簡或利用比例性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為已知三邊求解．跟蹤訓(xùn)練2若△ABC三邊長a，b，c滿意等式3a2＋2ab＋3b2－3c2＝0，則cosC＝________．題型3利用余弦定理推斷三角形的形態(tài)例3在△ABC中，若acosB＋acosC＝b＋c，試推斷該三角形的形態(tài)．題后師說(1)利用三角形的邊角關(guān)系推斷三角形的形態(tài)時，須要從“統(tǒng)一”入手，即運用轉(zhuǎn)化思想解決問題，一般有兩條思路：(2)推斷三角形的形態(tài)時，常用到以下結(jié)論：①△ABC為直角三角形?a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2；②△ABC為銳角三角形?a2＋b2＞c2且b2＋c2＞a2且c2＋a2＞b2；③△ABC為鈍角三角形?a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜b2.跟蹤訓(xùn)練3若在△ABC中，2a·cosB＝c，則三角形的形態(tài)肯定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等邊三角形隨堂練習(xí)1．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若a＝1，b＝2，c＝7，則C＝()A．120°B．90°C．60°D．45°2．在△ABC中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，A＝60°，a＝7，c＝2，那么b的大小是()A．3B．4C．5D．33．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若acosB＝bcosA，則△ABC為()A．等腰且直角三角形B．等腰或直角三角形C．等邊三角形D．等腰三角形4．在△ABC中，角A、B、C所對邊分別是a、b、c，若a2＋b2－ab＝c2，則C＝________．課堂小結(jié)1.余弦定理的推導(dǎo)．2．利用余弦定理解三角形中的兩類問題．3．利用余弦定理推斷三角形的形態(tài)．第1課時余弦定理問題探究提示：(1)如圖，設(shè)CB＝a，CA＝b，AB＝c，那么c＝a－b①我們的探討目標(biāo)是用|a|，|b|和C表示|c|，聯(lián)想到數(shù)量積的性質(zhì)c·c＝|c|2，可以考慮用向量c(即a－b)與其自身作數(shù)量積運算．由①得|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－2|a||b|cosC.所以c2＝a2＋b2－2abcosC，同理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB.(2)a2＝b2＋c2，即勾股定理，勾股定理是余弦定理的一個特例．例1解析：(1)由已知c＝a2+b2-(2)由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB，得5＝2＋BC2－22·BCcos45°，解得BC＝3(負(fù)值舍去)．跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)由題意c2＝a2＋b2－2abcosC，即5＝4＋b2－4b×23，解得b＝3(b＝－1(2)已知b＝9，a＝2c，B＝π3，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，所以92＝4c2＋c2－2·2c·c·cosπ3，即c2＝27，c＝33，則a＝63，三角形周長為a＋b＋c＝9答案：(1)D(2)93＋9例2解析：因為a<c<b，所以最小角為A.所以由余弦定理得：cosA＝b2+c2-∵A∈(0，π)，∴A＝π6一題多變1解析：由例2知最大角為B.所以由余弦定理得：cosB＝a2+c2-一題多變2解析：∵a∶b∶c＝6∶(3＋3)∶23，可設(shè)a＝6x，b＝(3＋3)x，c＝23x(x>0)由余弦定理得：cosA＝b＝3+3x2∵A∈(0，π)，∴A＝π6cosC＝a2+b2-∵C∈(0，π)，∴C＝π4∴B＝π－π6-π跟蹤訓(xùn)練2解析：因為3a2＋2ab＋3b2－3c2＝0，所以cosC＝a2+b答案：－1例3解析：由acosB＋acosC＝b＋c并結(jié)合余弦定理，得a·a2+c2-b22ac＋即a2+c2-整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.因為b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形．跟蹤訓(xùn)練3解析：由2a·cosB＝c以及余弦定理得2a·a2+c2-b2答案：B[隨堂練習(xí)]1．解析：由余弦定理可得cosC＝a2+b2-c22ab＝1+4答案：A2．解析：因為A＝60°，a＝7，c＝2，所以有a2＝b2＋c2－2bcco