2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)作業(yè)圓的方程北師大版

PAGEPAGE1圓的方程一、選擇題1．圓心在x軸上，半徑為1，且過(guò)點(diǎn)(2，1)的圓的方程是()A．(x－2)2＋y2＝1 B．(x＋2)2＋y2＝1C．(x－2)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－2)2＝1A[設(shè)圓的方程為(x－a)2＋y2＝1，由題意知(2－a)2＋12＝1，解得a＝2，故選A．]2．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圓，則m的取值范圍是()A．(－∞，－eq\r(2))B．(－∞，－2eq\r(2))∪(2eq\r(2)，＋∞)C．(－∞，－eq\r(3))D．(－∞，－2eq\r(3))∪(2eq\r(3)，＋∞)B[由題意知m2＋4－12＞0，即m2＞8，解得m＞2eq\r(2)或m＜－2eq\r(2)，故選B．]3．設(shè)P(x，y)是曲線(xiàn)x2＋(y＋4)2＝4上隨意一點(diǎn)，則eq\r(x－12＋y－12)的最大值為()A．eq\r(26)＋2B．eq\r(26)C．5D．6A[eq\r(x－12＋y－12)的幾何意義為點(diǎn)P(x，y)與點(diǎn)A(1，1)之間的距離．易知點(diǎn)A(1，1)在圓x2＋(y＋4)2＝4的外部，由數(shù)形結(jié)合(圖略)可知eq\r(x－12＋y－12)的最大值為eq\r(1－02＋1＋42)＋2＝eq\r(26)＋2．故選A．]4．已知方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圓有最大的面積，則取最大面積時(shí)，該圓的圓心的坐標(biāo)為()A．(－1，1) B．(－1，0)C．(1，－1) D．(0，－1)D[由x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0知所表示圓的半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(k2＋4－4k2)＝eq\f(1,2)eq\r(－3k2＋4)，要使圓的面積最大，須使半徑最大，所以當(dāng)k＝0時(shí)，rmax＝eq\f(1,2)eq\r(4)＝1，此時(shí)圓的方程為x2＋y2＋2y＝0，即x2＋(y＋1)2＝1，所以圓心為(0，－1)．]5．動(dòng)點(diǎn)A在圓x2＋y2＝1上移動(dòng)時(shí)，它與定點(diǎn)B(3，0)連線(xiàn)的中點(diǎn)的軌跡方程是()A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝4C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(1,2)C[設(shè)中點(diǎn)M(x，y)，則動(dòng)點(diǎn)A(2x－3，2y)．∵點(diǎn)A在圓x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，即(2x－3)2＋4y2＝1．故選C．]6．(2024·西安調(diào)研)已知圓C經(jīng)過(guò)P(－2，4)，Q(3，－1)兩點(diǎn)，且在x軸上截得的弦長(zhǎng)為6，則圓C的方程為()A．x2＋y2－2x－4y－8＝0B．x2＋y2＋2x－4y－8＝0C．x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0D．x2＋y2＋2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0C[設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D2＋E2－4F＞0，將P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2D－4E－F＝20，①,3D－E＋F＝－10，②))令y＝0得x2＋Dx＋F＝0．③設(shè)x1，x2是方程③的兩根，由|x1－x2|＝6得D2－4F＝36，④解①②④組成的方程組得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝－4，,F＝－8，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－6，,E＝－8，,F＝0，))因此，所求的圓的方程為x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0，故選C．]二、填空題7．若圓(x＋1)2＋(y－3)2＝9上相異兩點(diǎn)P，Q關(guān)于直線(xiàn)kx＋2y－4＝0對(duì)稱(chēng)，則k的值為_(kāi)_______．2[由題意知，直線(xiàn)kx＋2y－4＝0經(jīng)過(guò)圓心(－1，3)，則有－k＋6－4＝0，即k＝2．]8．若一圓的圓心坐標(biāo)為(2，－3)，一條直徑的端點(diǎn)分別在x軸和y軸上，因此圓的方程是________．(x－2)2＋(y＋3)2＝13[設(shè)直徑的兩端點(diǎn)分別為A(a，0)，B(0，b)，則a＝4，b＝－6，∴|AB|＝eq\r(42＋62)＝2eq\r(13)，從而圓的半徑為eq\r(13)，因此圓的方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝13．]9．圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的點(diǎn)到直線(xiàn)x－y＝2距離的最大值是________．eq\r(2)＋1[將圓的方程化為(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心坐標(biāo)為(1，1)，半徑為1，則圓心到直線(xiàn)x－y＝2的距離d＝eq\f(|1－1－2|,\r(2))＝eq\r(2)，故圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)x－y＝2距離的最大值為d＋1＝eq\r(2)＋1．]三、解答題10．已知以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－1，0)和B(3，4)，線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)交圓P于點(diǎn)C和D，且|CD|＝4eq\r(10)．(1)求直線(xiàn)CD的方程；(2)求圓P的方程．[解](1)由已知得直線(xiàn)AB的斜率k＝1，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)．所以直線(xiàn)CD的方程為y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0．(2)設(shè)圓心P(a，b)，則由P在CD上得a＋b－3＝0． ①又直徑|CD|＝4eq\r(10)，所以|PA|＝2eq\r(10)．所以(a＋1)2＋b2＝40． ②由①②解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝6))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝－2，))所以圓心P(－3，6)或P(5，－2)，所以圓P的方程為(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40．11．如圖，等腰梯形ABCD的底邊AB和CD長(zhǎng)分別為6和2eq\r(6)，高為3．(1)求這個(gè)等腰梯形的外接圓E的方程；(2)若線(xiàn)段MN的端點(diǎn)N的坐標(biāo)為(5，2)，端點(diǎn)M在圓E上運(yùn)動(dòng)，求線(xiàn)段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程．[解](1)由已知可知A(－3，0)，B(3，0)，C(eq\r(6)，3)，D(－eq\r(6)，3)，設(shè)圓心E(0，b)，由|EB|＝|EC|可知(0－3)2＋(b－0)2＝(0－eq\r(6))2＋(b－3)2，解得b＝1．所以r2＝(0－3)2＋(1－0)2＝10．所以圓的方程為x2＋(y－1)2＝10．(2)設(shè)P(x，y)，由點(diǎn)P是MN中點(diǎn)，得M(2x－5，2y－2)．將M點(diǎn)代入圓的方程得(2x－5)2＋(2y－3)2＝10，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(5,2)．1．若直線(xiàn)ax＋2by－2＝0(a＞0，b＞0)始終平分圓x2＋y2－4x－2y－8＝0的周長(zhǎng)，則eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值為()A．1B．5C．4eq\r(2)D．3＋2eq\r(2)D[由題意知圓心C(2，1)在直線(xiàn)ax＋2by－2＝0上，∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))(a＋b)＝3＋eq\f(b,a)＋eq\f(2a,b)≥3＋2eq\r(\f(b,a)·\f(2a,b))＝3＋2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(b,a)＝eq\f(2a,b)，即b＝2－eq\r(2)，a＝eq\r(2)－1時(shí)，等號(hào)成立．∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值為3＋2eq\r(2)．]2．已知圓C截y軸所得的弦長(zhǎng)為2，圓心C到直線(xiàn)l：x－2y＝0的距離為eq\f(\r(5),5)，且圓C被x軸分成的兩段弧長(zhǎng)之比為3∶1，則圓C的方程為_(kāi)_______．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2[設(shè)圓C的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則點(diǎn)C到x軸，y軸的距離分別為|b|，|a|．由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r2＝2b2，,r2＝a2＋1，,\f(|a－2b|,\r(5))＝\f(\r(5),5)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－1，,r2＝2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1，,r2＝2.))故所求圓C的方程為(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2．]3．動(dòng)圓C與x軸交于A(x1，0)，B(x2，0)兩點(diǎn)，且x1，x2是方程x2＋2mx－4＝0的兩根．(1)若線(xiàn)段AB是動(dòng)圓C的直徑，求動(dòng)圓C的方程；(2)證明：當(dāng)動(dòng)圓C過(guò)點(diǎn)M(0，1)時(shí)，動(dòng)圓C在y軸上截得弦長(zhǎng)為定值．[解](1)∵x1，x2是方程x2＋2mx－4＝0的兩根，∴x1＋x2＝－2m，x1x2＝－4．∵動(dòng)圓C與x軸交于A(x1，0)，B(x2，0)兩點(diǎn)，且線(xiàn)段AB是動(dòng)圓C的直徑，∴動(dòng)圓C的圓心C的坐標(biāo)為(－m，0)，半徑為eq\f(|AB|,2)＝eq\f(|x2－x1|,2)＝eq\f(\r(x1＋x22－4x1x2),2)＝eq\r(m2＋4)．∴動(dòng)圓C的方程為(x＋m)2＋y2＝m2＋4．(2)證明：設(shè)動(dòng)圓C的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵動(dòng)圓C與y軸交于M(0，1)，N(0，y1)，令y＝0，則x2＋Dx＋F＝0，由題意可知D＝2m，F(xiàn)＝－4，又動(dòng)圓C過(guò)點(diǎn)M(0，1)，∴1＋E－4＝0，解得E＝3．令x＝0，則y2＋3y－4＝0，解得y＝1或y＝－4，∴y1＝－4．∴動(dòng)圓C在y軸上截得弦長(zhǎng)為|y1－1|＝5．故動(dòng)圓C在y軸上截得弦長(zhǎng)為定值．1．(2024·青島模擬)如圖A(2，0)，B(1，1)，C(－1，1)，D(－2，0)，eq\o(\s\up12(︵),CD)是以O(shè)D為直徑的圓上一段圓弧，eq\o(\s\up12(︵),CB)是以BC為直徑的圓上一段圓弧，eq\o(\s\up12(︵),BA)是以O(shè)A為直徑的圓上一段圓弧，三段弧構(gòu)成曲線(xiàn)W．給出以下4個(gè)結(jié)論：①曲線(xiàn)W與x軸圍成的面積等于2π；②曲線(xiàn)W上有5個(gè)整點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))；③eq\o(\s\up12(︵),CB)所在圓的方程為：x2＋(y－1)2＝1；④eq\o(\s\up12(︵),CB)與eq\o(\s\up12(︵),BA)的公切線(xiàn)方程為：x＋y＝eq\r(2)＋1．則上述結(jié)論正確的是()A．①②③④ B．②③④C．①②③ D．②③B[曲線(xiàn)W與x軸的圖形為以(0，1)圓心，1為半徑的半圓加上以(1，0)為圓心，1為半徑的eq\f(1,4)圓，加上以(－1，0)為圓心，1為半徑的eq\f(1,4)圓，加上長(zhǎng)為2，寬為1的矩形構(gòu)成，可得其面積為eq\f(1,2)π＋2×eq\f(1,4)π＋2＝2＋π≠2π，故①錯(cuò)誤；曲線(xiàn)W上有(－2，0)，(－1，1)，(0，2)，(1，1)，(2，0)共5個(gè)整點(diǎn)，故②正確；eq\o(\s\up12(︵),CB)是以(0，1)為圓心，1為半徑的圓，其所在圓的方程為x2＋(y－1)2＝1，故③正確；設(shè)eq\o(\s\up12(︵),CB)與eq\o(\s\up12(︵),BA)的公切線(xiàn)方程為y＝kx＋t(k＜0，t＞0)，由直線(xiàn)和圓相切的條件可得eq\f(|t－1|,\r(1＋k2))＝1＝eq\f(|k＋t|,\r(1＋k2))，解得k＝－1，t＝1＋eq\r(2)(t＝1－eq\r(2)舍去)，則其公切線(xiàn)方程為y＝－x＋1＋eq\r(2)，即x＋y＝1＋eq\r(2)，故④正確．故選B．]2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)與x軸交于不同的兩點(diǎn)A，B，曲線(xiàn)Γ與y軸交于點(diǎn)C．(1)是否存在以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)C？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)求證：過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓過(guò)定點(diǎn)．[解]由曲線(xiàn)Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0．設(shè)A(x1，0)，B(x2，0)，可得Δ＝m2－8m＞0，則m＜0或m＞8，x1＋x2＝m，x1x2＝2m．令x＝0，得y＝2m，即C(0，2m)．(1)若存在以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)C，則eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝0，得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0(舍去)或m＝－eq\f(1,2)．此時(shí)C(0，－1)，AB的中點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))即圓心，半徑r＝|CM|＝eq\f(\r(17),4)，故所求圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(17,16)．(2)證明：設(shè)過(guò)A，B兩點(diǎn)的圓的方程為x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，將點(diǎn)C(0，2m)