大學高數(shù)下冊試題及答案

大學高數(shù)下冊試題及答案

《高等數(shù)學》測試題一一、選擇題1．設有直線及平面，則直線A．平行于平面；

B．在平面上；

C．垂直于平面；

D．與平面斜交.2．二元函數(shù)在點處A．連續(xù)、偏導數(shù)存在；

B．連續(xù)、偏導數(shù)不存在；

C．不連續(xù)、偏導數(shù)存在；

D．不連續(xù)、偏導數(shù)不存在.3．設為連續(xù)函數(shù)，，則＝A．；

B．；

C．D．.4．設是平面由，，所確定的三角形區(qū)域，則曲面積分＝A．7；

B．；

C．；

D．.5．微分方程的一個特解應具有形式A．；

B．；

C．；

D．.二、填空題1．設一平面經過原點及點，且與平面垂直，則此平面方程為；

2．設，則＝；

3．設為正向一周，則0；

4．設圓柱面，與曲面在點相交，且它們的交角為，則正數(shù)；

5．設一階線性非齊次微分方程有兩個線性無關的解，若也是該方程的解，則應有1.三、設由方程組確定了，是，的函數(shù)，求及與.解：方程兩邊取全微分，則解出從而四、已知點及點，求函數(shù)在點處沿方向的方向導數(shù).解：

，從而五、計算累次積分）.解：依據(jù)上下限知，即分區(qū)域為作圖可知，該區(qū)域也可以表示為從而六、計算，其中是由柱面及平面圍成的區(qū)域.解：先二后一比較方便，七．計算，其中是拋物面被平面所截下的有限部分.解：由對稱性從而八、計算，是點到點在上半平面上的任意逐段光滑曲線.解：在上半平面上且連續(xù)，從而在上半平面上該曲線積分與路徑無關，取九、計算，其中為半球面上側.解：補取下側，則構成封閉曲面的外側十、設二階連續(xù)可導函數(shù)，適合，求．解：

由已知即十一、求方程的通解.解：解：對應齊次方程特征方程為非齊次項，與標準式比較得,對比特征根，推得，從而特解形式可設為代入方程得十二、在球面的第一卦限上求一點，使以為一個頂點、各面平行于坐標面的球內接長方體的表面積最小.解：設點的坐標為，則問題即在求最小值。

令，則由推出，的坐標為附加題：1．判別級數(shù)是否收斂？如果是收斂的，是絕對收斂還是條件收斂？解：由于，該級數(shù)不會絕對收斂，顯然該級數(shù)為交錯級數(shù)且一般項的單調減少趨于零，從而該級數(shù)條件收斂2．求冪級數(shù)的收斂區(qū)間及和函數(shù).解：

從而收斂區(qū)間為，3．將展成以為周期的傅立葉級數(shù).解：已知該函數(shù)為奇函數(shù)，周期延拓后可展開為正弦級數(shù)。

《高等數(shù)學》測試題二一、選擇題1．設，且可導，則為A．；

；

B．；

C．；

D．．2．從點到一個平面引垂線，垂足為點，則這個平面的方程是A．；

B．；

C．；

D．．3．微分方程的通解是A．；

B．；

C．；

D．．4．設平面曲線為下半圓周，則曲線積分等于A．；

B．；

C．；

D．．5．累次積分＝A．；

B．；

C．；

D．．二．填空題1．曲面在點處的切平面方程是；

.2．微分方程的待定特解形式是；

3．設是球面的外測，則曲面積分＝．三、一條直線在平面：上，且與另兩條直線L1：及L2：都相交，求該直線方程．解：先求兩已知直線與平面的交點，由由由兩點式方程得該直線：

四、求函數(shù)在點處的梯度及沿梯度方向上函數(shù)的方向導數(shù)．解：

沿梯度方向上函數(shù)的方向導數(shù)五、做一個容積為1立方米的有蓋圓柱形桶，問尺寸應如何，才能使用料最??？解：設底圓半徑為，高為，則由題意，要求的是在條件下的最小值。

由實際問題知，底圓半徑和高分別為才能使用料最省六、設積分域D為所圍成，試計算二重積分．解：觀察得知該用極坐標，七、計算三重積分，式中為由所確定的固定的圓臺體．解：解：觀察得知該用先二后一的方法八、設在上有連續(xù)的一階導數(shù)，求曲線積分，其中曲線L是從點到點的直線段．解：在上半平面上且連續(xù)，從而在上半平面上該曲線積分與路徑無關，取折線九、計算曲面積分，其中，為上半球面：．解：由于，故為上半球面，則原式十、求微分方程的解．解：

由，得十一、試證在點處不連續(xù)，但存在有一階偏導數(shù)．解：沿著直線，依賴而變化，從而二重極限不存在，函數(shù)在點處不連續(xù)。

而十二、設二階常系數(shù)線性微分方程的一個特解為，試確定常數(shù)，并求該方程的通解．解：由解的結構定理可知，該微分方程對應齊次方程的特征根應為，否則不能有這樣的特解。從而特征方程為因此為非齊次方程的另一個特解，故，，通解為附加題：1．求無窮級數(shù)的收斂域及在收斂域上的和函數(shù)．解：

由于在時發(fā)散，在時條件收斂，故收斂域為看，則從而2．求函數(shù)在處的冪級數(shù)展開式．解：

3．將函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)，并指明展開式成立的范圍．解：作周期延拓，從而《高等數(shù)學》測試題三一、填空題1．若函數(shù)在點處取得極值，則常數(shù)．2．設，則．3．設S是立方體的邊界外側，則曲面積分3．4．設冪級數(shù)的收斂半徑為，則冪級數(shù)的收斂區(qū)間為．5．微分方程用待定系數(shù)法確定的特解的形式為．二、選擇題1．函數(shù)在點處．無定義；

無極限；

有極限但不連續(xù)；

連續(xù)．2．設，則．；

；

；

．3．兩個圓柱體，公共部分的體積為．；

；

；

．4．若，，則數(shù)列有界是級數(shù)收斂的．充分必要條件；

充分條件，但非必要條件；

必要條件，但非充分條件；

既非充分條件，又非必要條件．5．函數(shù)是微分方程的．通解；

特解；

是解，但既非通解也非特解；

不是解．三、求曲面上點處的切平面和法線方程．解：

切平面為法線為四、求通過直線的兩個互相垂直的平面，其中一個平面平行于直線．解：設過直線的平面束為即第一個平面平行于直線，即有從而第一個平面為第二個平面要與第一個平面垂直，也即從而第二個平面為五、求微分方程的解，使得該解所表示的曲線在點處與直線相切．解：直線為，從而有定解條件，特征方程為方程通解為，由定解的初值條件，由定解的初值條件從而，特解為六、設函數(shù)有二階連續(xù)導數(shù)，而函數(shù)滿足方程試求出函數(shù)．解：因為特征方程為七、計算曲面積分，其中是球體與錐體的公共部分的表面，，，是其外法線方向的方向余弦．解：兩表面的交線為原式，投影域為，用柱坐標原式另解：用球坐標原式八、試將函數(shù)展成的冪級數(shù)．解：

九、判斷級數(shù)的斂散性．解：

當，級數(shù)收斂；

當，級數(shù)發(fā)散；

當