2023-2024學(xué)年湖南省邵陽市綏寧一中八年級（上）競賽數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2023-2024學(xué)年湖南省邵陽市綏寧一中八年級（上）競賽數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.）1．（4分）若＝1.442，＝0.6694等于（）A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.5522．（4分）已知x2+x＝1，那么x4+2x3﹣x2﹣2x+2020的值為（）A．2019 B．2020 C．2021 D．20223．（4分）若兩個角的兩邊分別平行，而其中一個角比另一個角的3倍少40°，那么這兩個角的度數(shù)是（）A．20°或55° B．20°或160° C．20°、20°或55°、125° D．20°、125°或20°、70°4．（4分）已知二元一次方程組的解為，請問方程組（）A． B． C． D．5．（4分）若a＝（﹣1）（+1）+|1﹣|，b＝（+）2﹣，則a與b的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＜b C．a(chǎn)＝b D．不能確定6．（4分）甲、乙兩農(nóng)戶各有兩塊地，如圖所示，今年，他們準(zhǔn)備將這4塊土地?fù)Q成一塊地，那塊地的寬為（a+b）米，交換之后的土地的長應(yīng)該是（）米．A．a(chǎn)+c B．b+c C．a(chǎn)+b D．a(chǎn)+b+c7．（4分）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝4，CD＝7（）A．3 B．11 C．15 D．98．（4分）分式方程無解，則a的值是（）A．3或2 B．﹣2或3 C．﹣3或3 D．﹣2或29．（4分）如圖，在△ABC中，∠BAC、∠BCA的平分線相交于點I，BC＝AI+AC，則∠BAC的度數(shù)為（）A．60° B．70° C．80° D．90°10．（4分）如圖，陰影部分是邊長是a的大正方形剪去一個邊長是b的小正方形后所得到的圖形，將陰影部分通過割、拼，給出下列4幅圖割拼方法：其中能夠驗證平方差公式有（）A．①②③④ B．①③ C．①④ D．①③④二、填空題（本題共6小題，每小題4分，共24分）11．（4分）某班體育委員統(tǒng)計了全班同學(xué)一周的體育鍛煉時間（單位：小時），并繪制了如圖所示的折線統(tǒng)計圖，則該班同學(xué)的平均鍛煉時間為．12．（4分）已知a＝2020（x+y）+2019，b＝2020（x+y），c＝2020（x+y）+20212+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝．13．（4分）定義新運算：a⊕b＝a（a﹣b）．例如：3⊕2＝3×（3﹣2）＝3（﹣1﹣4）＝5．若M＝ab⊕b，N＝b⊕ab，則M，N的大小關(guān)系為MN．14．（4分）如圖，在△ABC中，BD和CD分別平分∠ABC和∠ACB，則∠D的大小為．15．（4分）如圖，AD是△ABC的中線，E為線段AD的中點△ABC＝16，BD＝4，則EF長為．16．（4分）同學(xué)們學(xué)過分式方程，分式方程有一步必不可少的一驗根．下面給出一些分式方程，它們都有一個共同的特點：若，則方程的解為2或；若，則方程的解為3或；若，則方程的解為4或；請你用觀察出的特點解決以下問題：（1）若，則此方程的解為；（2）若，則此方程的解為（用含有a的代數(shù)式表示）．三、解答題（本小題共5小題，共56分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．（8分）先化簡，再求值：，其中a＝﹣．18．（12分）先閱讀下列材料，再解答下列問題：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：將“x+y”看成整體，令x+y＝A，則原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再將“A”還原，得原式＝（x+y+1）2．上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法，請你解答下列問題：（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝；（2）因式分解：（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81；（3）求證，若n為正整數(shù)，則式子（n+1）（n+2）2+3n）+1的值一定是某一個整數(shù)的平方．19．（12分）已知關(guān)于x的方程．（1）已知m＝4，求方程的解；（2）若該方程無解，試求m的值．20．（12分）某學(xué)校響應(yīng)政策號召，開設(shè)了“1小時體育鍛煉”活動，學(xué)生參加體育運用的熱情高漲，現(xiàn)有的足球和籃球不夠用了．為解決這一問題，學(xué)校準(zhǔn)備從體育用品商店一次性購買若干個足球和籃球（每個足球的價格相同，每個籃球的價格相同），購買10個足球和30個籃球共需4400元．（1）求購買一個足球、一個籃球各需多少元；（2）學(xué)校準(zhǔn)備購買足球和籃球共50個，且籃球數(shù)量不少于足球數(shù)量的，預(yù)算經(jīng)費不超過4600元，并說明理由．21．（12分）△ABC與△BDE均為等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°．（1）如圖1，當(dāng)D，B，C在同一直線時；（2）當(dāng)△ABC與△BDE的位置如圖2時，CE的延長線與AD交于點F，猜想∠CFA的大小并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，當(dāng)A，E，D在同一直線時（A，D在點E的異側(cè)），∠BAD＝∠ACE，求證：BG+AB＝AC．

2023-2024學(xué)年湖南省邵陽市綏寧一中八年級（上）競賽數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析題號12345678910答案CACBBABABA一、單選題（本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.）1．（4分）若＝1.442，＝0.6694等于（）A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552【解答】解：∵＝0.6694，∴＝4，故選：C．2．（4分）已知x2+x＝1，那么x4+2x3﹣x2﹣2x+2020的值為（）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【解答】解：∵x2+x＝1，∴x6+2x3﹣x7﹣2x+2020＝x4+x4+x3﹣x2﹣5x+2020＝x2（x2+x）+x6﹣x2﹣2x+2020＝x8+x3﹣x2﹣7x+2020＝x（x2+x）﹣x2﹣7x+2020＝x﹣x2﹣2x+2020＝﹣x6﹣x+2020＝﹣（x2+x）+2020＝﹣1+2020＝2019．故選：A．3．（4分）若兩個角的兩邊分別平行，而其中一個角比另一個角的3倍少40°，那么這兩個角的度數(shù)是（）A．20°或55° B．20°或160° C．20°、20°或55°、125° D．20°、125°或20°、70°【解答】解：∵兩個角的兩邊分別平行，∴這兩個角大小相等或互補，①這兩個角大小相等，如圖所示，由題意得，∠B＝∠E，∴∠B＝∠E＝20°，②這兩個角互補，如圖所示，由題意得，∠B+∠E＝180°，∴∠B＝55°，∠E＝125°，綜上所述，這兩個角的度數(shù)為20°，125°，故選：C．4．（4分）已知二元一次方程組的解為，請問方程組（）A． B． C． D．【解答】解：方程組變形為，∵二元一次方程組的解為，∴，解得．故選：B．5．（4分）若a＝（﹣1）（+1）+|1﹣|，b＝（+）2﹣，則a與b的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＜b C．a(chǎn)＝b D．不能確定【解答】解：∵a＝（﹣1）（|＝3﹣5+﹣1＝8+，b＝（+）2﹣＝5+3﹣2＝5，又∵1+＜5，∴a＜b，故選：B．6．（4分）甲、乙兩農(nóng)戶各有兩塊地，如圖所示，今年，他們準(zhǔn)備將這4塊土地?fù)Q成一塊地，那塊地的寬為（a+b）米，交換之后的土地的長應(yīng)該是（）米．A．a(chǎn)+c B．b+c C．a(chǎn)+b D．a(chǎn)+b+c【解答】解：∵原來4塊地的總面積＝a2+bc+ac+ab，∴將這8塊土地?fù)Q成一塊地后面積為（a2+bc+ac+ab）平方米，而此塊地的寬為（a+b）米，∴此塊地的長＝（a2+bc+ac+ab）÷（a+b）＝（a7+ac+bc+ab）÷（a+b）＝[a（a+c）+b（a+c）]÷（a+b）＝（a+b）（a+c）÷（a+b）＝a+c．故選：A．7．（4分）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝4，CD＝7（）A．3 B．11 C．15 D．9【解答】解：在AC上截取AE＝AB，連接DE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠B＝∠AED，∠ADB＝∠ADE，又∠B＝2∠ADB，∴∠AED＝2∠ADB，而∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝5∠ADB，∴∠BDE＝∠AED，∴∠CED＝∠EDC，∴CD＝CE，∴AC＝AE+CE＝AB+CD＝4+7＝11．故選：B．8．（4分）分式方程無解，則a的值是（）A．3或2 B．﹣2或3 C．﹣3或3 D．﹣2或2【解答】解：分式方程化為整式方程得，即（a﹣2）x＝3，由于原分式方程無解，所以a﹣2＝0，解得a＝4，如果分式方程有增根x＝1，當(dāng)x＝1時，a﹣6＝1，解得a＝3，綜上所述，a＝8或a＝3，故選：A．9．（4分）如圖，在△ABC中，∠BAC、∠BCA的平分線相交于點I，BC＝AI+AC，則∠BAC的度數(shù)為（）A．60° B．70° C．80° D．90°【解答】解：方法一：如圖1，在BC上取CD＝AC、DI，∵CI平分∠ACB，∴∠ACI＝∠BCI，在△ACI與△DCI中，，∴△ACI≌△DCI（SAS），∴AI＝DI，∠CAI＝∠CDI，∵BC＝AI+AC，∴BD＝AI，∴BD＝DI，∴∠IBD＝∠BID，∴∠CDI＝∠IBD+∠BID＝2∠IBD，又∵AI、CI分別是∠BAC，∴BI是∠ABC的平分線，∴∠ABC＝8∠IBD，∠BAC＝2∠CAI，∴∠CDI＝∠ABC，∴∠BAC＝2∠CAI＝8∠CDI＝2∠ABC，∵∠B＝35°，∴∠BAC＝35°×2＝70°；方法二：如圖6，延長CA到D，∴∠D＝∠AID，∵BC＝AI+AC，∴BC＝CD，在△BCI與△DCI中，，∴△BCI≌△DCI（SAS），∴∠D＝∠CBI，∵AI、CI分別是∠BAC，∴BI是∠ABC的平分線，∴∠ABC＝2∠CBI，又∵∠CAI＝∠D+∠AID＝2∠D，∠BAC＝8∠CAI＝2∠ABC，∵∠B＝35°，∴∠BAC＝2×35°＝70°．故選：B．10．（4分）如圖，陰影部分是邊長是a的大正方形剪去一個邊長是b的小正方形后所得到的圖形，將陰影部分通過割、拼，給出下列4幅圖割拼方法：其中能夠驗證平方差公式有（）A．①②③④ B．①③ C．①④ D．①③④【解答】解：圖①，左邊圖形的陰影部分的面積＝a2﹣b2，右邊圖形陰影部分的面積＝（a+b）（a﹣b），∴a3﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故①可以驗證平方差公式；圖②，陰影部分面積相等2﹣b8，右邊圖形陰影部分的面積＝（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故②可以驗證平方差公式；圖③，陰影部分面積相等4﹣b2，右邊圖形陰影部分的面積＝（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故③可以驗證平方差公式；圖④，陰影部分面積相等2﹣b5，右邊圖形陰影部分的面積＝（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故④可以驗證平方差公式．∴正確的有①②③④．故選：A．二、填空題（本題共6小題，每小題4分，共24分）11．（4分）某班體育委員統(tǒng)計了全班同學(xué)一周的體育鍛煉時間（單位：小時），并繪制了如圖所示的折線統(tǒng)計圖，則該班同學(xué)的平均鍛煉時間為9小時．【解答】解：由折線統(tǒng)計圖可得，全班人數(shù)為5+5+19+7+4＝40（人），所以該班同學(xué)平均鍛煉時間為：（小時），故答案為：9小時．12．（4分）已知a＝2020（x+y）+2019，b＝2020（x+y），c＝2020（x+y）+20212+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝3．【解答】解：∵a＝2020（x+y）+2019，b＝2020（x+y）+2020，∴a﹣b＝2019﹣2020＝﹣1，b﹣c＝2020﹣2021＝﹣1，∵a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝（2a6+2b2+4c2﹣2ab﹣7ac﹣2bc）＝（a2﹣2ab+b6+a2'﹣2ac+c5+b2﹣2bc+c3）＝[（a﹣b）4+（a﹣c）2+（b﹣c）2]∴a3+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝[（﹣1）4+（﹣2）2+（﹣5）2]＝3．13．（4分）定義新運算：a⊕b＝a（a﹣b）．例如：3⊕2＝3×（3﹣2）＝3（﹣1﹣4）＝5．若M＝ab⊕b，N＝b⊕ab，則M，N的大小關(guān)系為M≥N．【解答】解：M﹣N＝ab⊕b﹣b⊕ab＝ab（ab﹣b）﹣b（b﹣ab），＝a2b2﹣ab7﹣b2+ab2＝a6b2﹣b2，∵a＞5，∴原式＝b2（a2﹣3）≥0，即M﹣N≥0，∴M≥N．故答案為：≥．14．（4分）如圖，在△ABC中，BD和CD分別平分∠ABC和∠ACB，則∠D的大小為110°．【解答】解：∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°，∵BD和CD分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠CBD＝∠ABC∠ACB，∴∠CBD+∠BCD＝（∠ABC+∠ACB）＝70°，∴∠D＝180°﹣（∠CBD+∠BCD）＝110°．故答案為：110°．15．（4分）如圖，AD是△ABC的中線，E為線段AD的中點△ABC＝16，BD＝4，則EF長為2．【解答】解：連接BE，∵線段AD是△ABC的中線，∴，∵S△ABC＝16，∴S△ABD＝4，∵E為線段AD的中點，∴線段BE是△ABD的中線，∴S，∴EF＝4，故答案為：2．16．（4分）同學(xué)們學(xué)過分式方程，分式方程有一步必不可少的一驗根．下面給出一些分式方程，它們都有一個共同的特點：若，則方程的解為2或；若，則方程的解為3或；若，則方程的解為4或；請你用觀察出的特點解決以下問題：（1）若，則此方程的解為x＝9或；（2）若，則此方程的解為或（用含有a的代數(shù)式表示）．【解答】解：（1）原方程變形得：，即，令t＝x+1，則，那么方程的解為10或，則x+1＝10或，解得：x＝9或，經(jīng)檢驗，x＝9或，故答案為：x＝3或；（2）原方程變形得：，則，即，令s＝5x﹣2，那么，則方程的解為a或，即3x﹣2＝a或，解得：或，故答案為：或．三、解答題（本小題共5小題，共56分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．（8分）先化簡，再求值：，其中a＝﹣．【解答】解：原式＝．故答案為﹣．18．（12分）先閱讀下列材料，再解答下列問題：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：將“x+y”看成整體，令x+y＝A，則原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再將“A”還原，得原式＝（x+y+1）2．上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法，請你解答下列問題：（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝（x﹣y+1）2；（2）因式分解：（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81；（3）求證，若n為正整數(shù)，則式子（n+1）（n+2）2+3n）+1的值一定是某一個整數(shù)的平方．【解答】解：（1）1+2（x﹣y）+（x﹣y）7＝（x﹣y+1）2；（2）令A(yù)＝x5﹣6x，則原式變?yōu)锳（A+18）+81＝A2+18A+81＝（A+2）2，故（x2﹣7x）（x2﹣6x+18）+81＝（A+4）2＝（x﹣3）7．（3）（n+1）（n+2）（n6+3n）+1＝（n3+3n）[（n+1）（n+2）]+1＝（n2+6n）（n2+3n+8）+1＝（n2+7n）2+2（n2+3n）+1＝（n2+3n+1）3，∵n為正整數(shù)，∴n2+3n+7也為正整數(shù)，∴代數(shù)式（n+1）（n+2）（n7+3n）+1的值一定是某一個整數(shù)的平方．19．（12分）已知關(guān)于x的方程．（1）已知m＝4，求方程的解；（2）若該方程無解，試求m的值．【解答】解：（1）把m＝4代入方程得：﹣＝，方程兩邊都乘以（x﹣5）（x+2）得：2（x+6）﹣4x＝x﹣1，解方程得：x＝，檢驗：當(dāng)x＝時，（x﹣1）（x+2）≠6，所以x＝是原方程的解，即原方程的解是x＝；（2），方程兩邊都乘以（x﹣1）（x+6）得：2（x+2）﹣mx＝x﹣8①，整理得：（1﹣m）x＝﹣5②，有三種情況：第一種情況：當(dāng)x﹣2＝0時，方程無解，把x＝1代入①得：6﹣m＝1﹣1，解得：m＝7；第二種情況：當(dāng)x+2＝0時，方程無解，把x＝﹣2代入①得：2m＝﹣2﹣6，解得：m＝﹣；第三種情況：∵（7﹣m）x＝﹣5②，∴當(dāng)1﹣m＝4時，方程無解，即此時m＝1；所以m＝6或﹣或1．20．（12分）某學(xué)校響應(yīng)政策號召，開設(shè)了“1小時體育鍛煉”活動，學(xué)生參加體育運用的熱情高漲，現(xiàn)有的足球和籃球不夠用了．為解決這一問題，學(xué)校準(zhǔn)備從體育用品商店一次性購買若干個足球和籃球（每個足球的價格相同，每個籃球的價格相同），購買10個足球和30個籃球共需4400元．（1）求購買一個足球、一個籃球各需多少元；（2）學(xué)校準(zhǔn)備購買足球和籃球共50個，且籃球數(shù)量不少于足球數(shù)量的，預(yù)算經(jīng)費不超過4600元，并說明理由．【解答】解：（1）設(shè)購買一個足球需要x元，一