數(shù)學(xué)課堂探究：系統(tǒng)抽樣

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究系統(tǒng)抽樣的操作要領(lǐng)剖析:系統(tǒng)抽樣操作的要領(lǐng)是先將個體數(shù)較多的總體分成均衡的若干部分，然后按照預(yù)先制定的規(guī)則，從每一部分中抽取一個個體，得到所需樣本．由于抽樣的間隔相等,因此系統(tǒng)抽樣也被稱作等距抽樣(或稱機(jī)械抽樣）．所以系統(tǒng)抽樣中必須對總體中的每個個體進(jìn)行合理（即等距）分段．若從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，系統(tǒng)抽樣時，應(yīng)先將總體中的各個個體編號,再確定分段間隔k，以便對總體進(jìn)行分段．當(dāng)eq\f（N，n)是整數(shù)時,取k＝eq\f(N,n)為分段間隔即可，如N＝100，n＝20,則分段間隔k＝eq\f(100，20)＝5．當(dāng)eq\f（N,n）不是整數(shù)時，應(yīng)先從總體中隨機(jī)剔除一些個體，使剩余個體數(shù)N′能被n整除，這時分段間隔k＝eq\f(N′，n)，如N＝101，n＝20，則應(yīng)先在總體中剔除一個個體，使剩余的總體容量(即100）能被20整除，從而得出分段間隔k＝eq\f（100，20）＝5．一般地,用簡單隨機(jī)抽樣從總體中剔除部分個體，其個數(shù)為總體中的個體數(shù)除以樣本容量所得的余數(shù)．上述過程中，總體中的每個個體被取出（或被剔除）的可能性相等,也就是每個個體不被選取（或不被剔除）的可能性也相等,所以在整個抽樣過程中每個個體被抽取的機(jī)會仍然都相等，這說明使用系統(tǒng)抽樣抽取樣本的過程是公平的．題型一系統(tǒng)抽樣的概念【例1】下列抽樣中不是系統(tǒng)抽樣的是（）A．從標(biāo)有1～15號的15個球中,任選三個作樣本,按從小號到大號排序,隨機(jī)選起點i0（1≤i0≤5),以后選i0＋5，i0＋10號入選B．工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品，用傳送帶將產(chǎn)品送入包裝車間前，檢驗人員從傳送帶上每隔五分鐘抽一件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗C．進(jìn)行某一市場調(diào)查,規(guī)定在商場門口隨機(jī)抽一個人進(jìn)行詢問調(diào)查，直到調(diào)查到事先規(guī)定的調(diào)查人數(shù)為止D．在報告廳對與會聽眾進(jìn)行調(diào)查，通知每排(每排人數(shù)相等)座位號為14的觀眾留下來座談解析：選項C不是系統(tǒng)抽樣，因事先不知道總體，抽樣方法不能保證每個個體等可能入選,其余3個間隔都相同，符合系統(tǒng)抽樣的特征．答案:C反思（1）系統(tǒng)抽樣最明顯的特征是“分組抽取”，否則不是系統(tǒng)抽樣，系統(tǒng)抽樣適用于總體中的個數(shù)較多時，因此此種情況應(yīng)用簡單隨機(jī)抽樣不方便．（2）系統(tǒng)抽樣中，抽樣的間隔相同，因此系統(tǒng)抽樣也稱作等距抽樣．題型二系統(tǒng)抽樣的應(yīng)用【例2】某工廠有1001名工人，從中抽取10人參加體檢，試寫出系統(tǒng)抽樣的具體實施步驟．分析：由于總體容量不能被樣本容量整除，需先剔除1名工人,使得總體容量能被樣本容量整除,取k＝eq\f(1000，10)＝100，然后再利用系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行．解：(1）將每名工人編一個號由0001至1001；(2)利用隨機(jī)數(shù)表法找到1個號將這1個號所對應(yīng)的工人剔除；(3)將剩余的1000名工人重新編號0001至1000；（4)分段，取間隔k＝eq\f（1000,10）＝100,將總體均分為10組，每組含100名工人；（5）從第一段即0001號到0100號中隨機(jī)抽取一個號l;(6)按編號將l,100＋l，200＋l，…，900＋l共10個號選出．這10個號所對應(yīng)的工人即組成樣本．反思當(dāng)總體容量不能被樣本容量整除時，可以先從總體中隨機(jī)地剔除幾個個體，使得總體中剩余的個體數(shù)能被樣本容量整除．題型三易錯辨析【例3】從容量為111的總體中抽取容量為10的樣本，每個個體入樣的可能性為多少？若采用系統(tǒng)抽樣的方法抽樣，則抽樣間隔k是多少？錯解1：采用系統(tǒng)抽樣的方法，先將個體編號：001,002，…，111，然后確定抽樣間隔為eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f(N，n)）)＝k，即k＝11，每段11個個體，在第一段內(nèi)，將編號為001，002，…，011的這11個個體采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取一個個體的可能性是eq\f（1，11），故每個個體入樣的可能性是eq\f(1,11)，抽樣間隔k＝11．錯解2：由系統(tǒng)抽樣的概念可知，每個個體入樣的可能性均為eq\f(n,N)，故每個個體入樣的可能性是eq\f（10，111）．抽樣間隔k＝eq\f(N，n)＝eq\f(111，10）＝11．1．錯因分析：對個體入樣的可能性與eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f(N,n)））的理解不準(zhǔn)確．正解：由系統(tǒng)抽樣的概念可知，每個個體入樣的可能性均為eq\f(n，N)，故每個個體入樣的可能性是eq\f(10,111)