中值定理練習題

中值定理練習題一、基本概念題1.判斷下列命題是否正確，并說明理由：若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得f(ξ)=(f(b)f(a))/(ba)。若函數(shù)f(x)在[a,b]上可導，且f'(x)=0，則f(x)在[a,b]上恒為常數(shù)。2.設函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，證明至少存在一點ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=(f(b)f(a))/(ba)。3.設函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，且f(a)=f(b)，證明至少存在一點ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。二、應用題1.利用羅爾定理證明下列等式：sinπ=sin2πe^a=e^b，其中a=b2.設函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，且f(a)=0，f(b)=1。證明至少存在一點ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=1/(ba)。3.設函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導，且f(0)=0，f(1)=1。證明至少存在一點ξ∈(0,1)，使得f'(ξ)=1。三、綜合題1.設函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，且f(a)=f(b)。證明至少存在一點ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=f'(η)，其中η∈(a,b)。2.設函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，且f'(x)>0。證明至少存在一點ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=(f(b)f(a))/(ba)。3.設函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，且f'(x)≤0。證明至少存在一點ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=(f(b)f(a))/(ba)。四、拓展題1.設函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，且f'(x)≠0。證明至少存在一點ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=(f(b)f(a))/(ba)。2.設函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，且f'(x)>0。證明至少存在一點ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=e^(f(b)f(a))/(ba)。3.設函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，且f(a)=f(b)。證明至少存在一點ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=f'(η)，其中η∈(a,b)。五、計算題1.設函數(shù)f(x)=x^33x，求證在區(qū)間[1,2]上存在至少一個點ξ，使得f'(ξ)=3。2.設函數(shù)f(x)=x^24x+3，求證在區(qū)間[1,3]上存在至少一個點ξ，使得f'(ξ)=2。3.設函數(shù)f(x)=e^xx1，求證在區(qū)間[0,1]上存在至少一個點ξ，使得f'(ξ)=e^ξ。六、證明題1.設函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，且f'(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增。證明：對于任意x∈(a,b)，有f(x)>f(a)+(xa)f'(a)。2.設函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，且存在常數(shù)M>0，使得|f'(x)|≤M。證明：|f(b)f(a)|≤M(ba)。3.設函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，且f'(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減。證明：存在點ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=(f(b)f(a))/(ba)。七、實際應用題1.一物體在直線軌道上運動，其速度v(t)=2t+3（t為時間，單位：秒）。求證在時間區(qū)間[1,4]內(nèi)，存在至少一個時刻ξ，使得物體的瞬時加速度a(ξ)等于物體在時間t=1時的瞬時速度。2.設某商品的需求函數(shù)為p(x)=100x（p為價格，x為需求量），求證在價格區(qū)間[60,90]內(nèi)，存在至少一個價格點ξ，使得需求量的變化率等于價格變化率。3.一輛汽車在直線道路上行駛，其位移函數(shù)為s(t)=t^22t+1（s為位移，t為時間）。求證在時間區(qū)間[0,3]內(nèi)，存在至少一個時刻ξ，使得汽車的瞬時速度等于時間t=2時的瞬時速度。八、極限與連續(xù)性結合題1.設函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，且lim(x→a+)f'(x)=L。證明：存在點ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=L。2.設函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，且f'(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增，lim(x→b)f'(x)=M。證明：存在點ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=M。3.設函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，且f(a)=0，lim(x→b)f'(x)=0。證明：存在點ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=(ξa)f'(ξ)。答案一、基本概念題1.錯誤。這是積分中值定理的內(nèi)容，不是羅爾定理。正確。根據(jù)羅爾定理，如果一個函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，并且在開區(qū)間內(nèi)可導，且兩端點的函數(shù)值相等，那么至少存在一個點使得導數(shù)為零。2.這是羅爾定理的直接應用，證明略。3.這是羅爾定理的直接應用，證明略。二、應用題1.由于sinπ=sin2π，根據(jù)羅爾定理，存在ξ使得cosξ=cos2ξ，由于cos函數(shù)的周期性，可以取ξ=π。a=b，所以等式顯然成立。2.根據(jù)拉格朗日中值定理，存在ξ使得f'(ξ)=(f(b)f(a))/(ba)=1/(ba)，證明略。3.根據(jù)拉格朗日中值定理，存在ξ使得f'(ξ)=(f(1)f(0))/(10)=1，證明略。三、綜合題1.根據(jù)羅爾定理，存在ξ使得f'(ξ)=0，又因為f'(x)>0，所以存在η使得f'(η)=0，故f'(ξ)=f'(η)，證明略。2.根據(jù)拉格朗日中值定理，存在ξ使得f'(ξ)=(f(b)f(a))/(ba)，證明略。3.根據(jù)拉格朗日中值定理，存在ξ使得f'(ξ)=(f(b)f(a))/(ba)，由于f'(x)≤0，ξ可以在[a,b]的端點取到，證明略。四、拓展題1.根據(jù)拉格朗日中值定理，存在ξ使得f'(ξ)=(f(b)f(a))/(ba)，證明略。2.根據(jù)拉格朗日中值定理，存在ξ使得f'(ξ)=(f(b)f(a))/(ba)，又因為f'(x)>0，所以f'(ξ)=e^(f(b)f(a))/(ba)，證明略。3.根據(jù)羅爾定理，存在ξ使得f'(ξ)=0，由于f'(x)>0，所以存在η使得f'(η)=0，故f'(ξ)=f'(η)，證明略。五、計算題1.f'(x)=3x^23，在區(qū)間[1,2]上，f'(1)=0，滿足條件。2.f'(x)=2x4，在區(qū)間[1,3]上，f'(3)=2，滿足條件。3.f'(x)=e^x，在區(qū)間[0,1]上，f'(ξ)=e^ξ，對于任意ξ∈[0,1]，都滿足條件。六、證明題1.根據(jù)拉格朗日中值定理，對于任意x∈(a,b)，存在ξ使得f'(ξ)=(f(x)f(a))/(xa)，由于f'(x)單調(diào)遞增，所以f'(ξ)>f'(a)，故f(x)>f(a)+(xa)f'(a)，證明略。2.由拉格朗日中值定理，對于任意x∈(a,b)，存在ξ使得|f(x)f(a)|=|f'(ξ)||xa|≤M|xa|，故|f(b)f(a)|≤M(ba)，證明略。3.由于f'(x)單調(diào)遞減，且f(a)=f(b)，根據(jù)羅爾定理，存在ξ使得f