2025屆八省高三部分重點(diǎn)中學(xué)12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)T8聯(lián)盟·2025屆高三部分重點(diǎn)中學(xué)12月聯(lián)合測(cè)試評(píng)數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)集合A={x|ln(x?1)≤0}，B={x|0≤2x?1≤2}，則A∪B=(

)A.{x|1<x≤32} B.{x|x≤2} C.{x|2.已知復(fù)數(shù)z滿足(1?i)z=4+i，則z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知變量x和變量y的一組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)為(xi,yi)(i=1,2,3,?,8)，其中x=98，其回歸直線方程為y=2x?14A.?3 B.?2 C.?1 D.14.若正整數(shù)a，b滿足等式20232025=2024a+b，且b<2024，則b=(

)A.1 B.2 C.2022 D.20235.已知a，b均為非零向量，其夾角為θ，則“cosθ=1”是“|a?bA.充要條件 B.充分不必要條件

C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件6.已知等比數(shù)列{an}滿足1a1+1a2+1A.78 B.74 C.727.已知直線l經(jīng)過拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若使得OP=OA+OB成立的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為A.25 B.35 C.8.如圖，在三棱錐P?ABC中，PA=PB=CA=CB=2，∠APB=∠ACB=π2，E，F(xiàn)，G分別為PA，PB，PC上靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)，若此時(shí)恰好存在一個(gè)小球與三棱錐P?ABC的四個(gè)面均相切，且小球同時(shí)還與平面EFG相切，則PC=(

)

A.6+B.6C.13D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列結(jié)論正確的是(

)A.若x>0，則2xx2+1≤1 B.若x>y>0，z>0，則yx>y+zx+z

C.若xy≠0且x<y10.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,0<φ<2π)的部分圖象如圖所示，則(

)

A.f(x)在區(qū)間[?π3,π6]上單調(diào)遞增 B.f(x)圖象的一條對(duì)稱軸方程為x=2π3

C.f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為點(diǎn)11.甲同學(xué)想用一支鉛筆從如下的直三棱柱的頂點(diǎn)C1出發(fā)沿三棱柱的棱逐步完成“一筆畫”，即每一步均沿著某一條棱從一個(gè)端點(diǎn)到達(dá)另一個(gè)端點(diǎn)，緊接著從上一步的終點(diǎn)出發(fā)隨機(jī)選擇下一條棱再次畫出，進(jìn)而達(dá)到該棱的另一端點(diǎn)，按此規(guī)律一直進(jìn)行，其中每經(jīng)過一條棱稱為一次移動(dòng)，并隨機(jī)選擇某個(gè)頂點(diǎn)處停止得到一條“一筆畫”路徑，比如“一筆畫”路徑C1→B1→A1→A→CA.若“一筆畫”路徑為完美路徑，則甲不可能6次移動(dòng)后回到點(diǎn)C1

B.經(jīng)過4次移動(dòng)后仍在點(diǎn)C1的概率為1981

C.若“一筆畫”路徑為完美路徑，則5次移動(dòng)后回到點(diǎn)C1有5條不同筆跡

D.經(jīng)過3次移動(dòng)后，到達(dá)點(diǎn)A三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.設(shè)F為雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)，α，β分別為雙曲線C的兩條漸近線的傾斜角，已知點(diǎn)F到其中一條漸近線的距離為13.某流水線上生產(chǎn)的一批零件,其規(guī)格指標(biāo)X可以看作一個(gè)隨機(jī)變量,且X~N(98,σ2),對(duì)于X≥100的零件即為不合格,不合格零件出現(xiàn)的概率為0.05,現(xiàn)從這批零件中隨機(jī)抽取500個(gè),用Y表示這500個(gè)零件的規(guī)格指標(biāo)X位于區(qū)間(96,100)的個(gè)數(shù),則隨機(jī)變量Y的方差是

.14.已知函數(shù)f(x)=ax?1?loga(x?1)(其中a>0，且a≠1)為其定義域上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且1+sin(1)判斷△ABC的形狀;(2)設(shè)AB=2，且D是邊BC的中點(diǎn)，求當(dāng)∠CAD最大時(shí)△ABC的面積．16.(本小題12分)

在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD/?/BC，AB⊥AD，PA⊥平面ABCD，AP?=AD=2AB=4BC．

(1)求證：平面PAC⊥平面PBD;(2)AM⊥平面PCD于點(diǎn)M，求二面角M?AD?P的余弦值．17.(本小題12分)設(shè)函數(shù)f(x)=(x?π(1)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π]上的單調(diào)性;(2)判斷并證明函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[π218.(本小題12分)已知過A(?1,0)，B(1,0)兩點(diǎn)的動(dòng)拋物線的準(zhǔn)線始終與圓x2+y2=9(1)求曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)已知點(diǎn)C(?3,0)，D(2,0)，過點(diǎn)D的動(dòng)直線與曲線E交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)△CMN的外心為Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，問：直線OQ與直線MN的斜率之積是否為定值，如果是定值，求出該定值;如果不是定值，說明理由．19.(本小題12分)n為不小于3的正整數(shù)，對(duì)整數(shù)數(shù)列S0:a1，a2?①將a1，a2，?，an中的a1減1，a2加1，其余項(xiàng)不變，稱此變換為對(duì)?②取i∈{2,?,n?1}，將a1，a2，?，an中的ai減2，ai?1，ai+1均加1?③將a1，a2，?，an中的an減1，an?1加1將數(shù)列S0做一次變換得到S1，將數(shù)列S例如：n=4時(shí)，對(duì)數(shù)列S0:0，?1，1，0依次做A3先對(duì)S0做A3變換得到數(shù)列S1:0，0，?1，1，再對(duì)S1做A4變換得到數(shù)列S2(1)n=5時(shí)，給定數(shù)列S0:0，?1，1，0，0，求證：可以對(duì)S0做若干次變換得到數(shù)列0，0，0，(2)n=5時(shí)，求證：對(duì)任意整數(shù)數(shù)列S0:a1，a2，a3，a4，a5，若a1+a2(3)若將變換?①中的a2改為a3，將變換?③中的an?1改為an?2，在n=10時(shí)，求證：對(duì)任意整數(shù)數(shù)列S0:a1，a2，?，a10，若a1參考答案1.C

2.D

3.B

4.D

5.C

6.A

7.A

8.B

9.AD

10.ABC

11.BD

12.8

13.45

14.[e15.解：(1)由二倍角公式得(sin?A2+cos?A2)2cos2?A2?sin2?A2=(sinB2+cosB2)2cos2B2?sin2B2，

∴sinA2+cosA2cosA2?sinA2=sinB216.解：(1)在Rt△ABC和Rt△ABD中，tan∠BAC=BCAB=12，tan∠ABD=ADAB=2，

∴∠BAC與∠ABD互余，即AC⊥BD．

又PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD．

又AC，PA?平面PAC，AC∩PA=A，

∴BD⊥平面PAC．

又BD?平面PBD，

∴平面PAC⊥平面PBD．

(2)∵AB，AD，AP兩兩互相垂直，

∴分別以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

不妨設(shè)BC=1，則A(0,0,0)，C(2,1,0)，D(0,4,0)，P(0,0,4)，

∴PC=(2,1,?4)，PD=(0,4,?4)，

∵點(diǎn)M在平面PCD內(nèi)，∴設(shè)PM=xPC+yPD，

則AM=AP+xPC+yPD=(0,0,4)+x(2,1,?4)+y(0,4,?4)=(2x,x+4y,4?4x?4y)，

∵AM⊥平面PCD，PC、PD?平面PCD，

∴AM⊥PC，AM⊥PD，

∴AM?PC=21x+20y?16=0AM?PD=20x+32y?16=0,解得x=1217,y=117,

∴AM=(241717.解：(1)f′(x)=cosx?(x?π2)sinx，且f′(π2)=0，

當(dāng)0?x?π2時(shí)，cosx?0，(x?π2)sinx?0，

從而f′(x)=cosx?(x?π2)sinx?0，即此時(shí)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π2]上單調(diào)遞增；

當(dāng)π2<x?π時(shí)，cosx<0，(x?π2)sinx?0，

從而f′(x)=cosx?(x?π2)sinx<0，即此時(shí)函數(shù)f(x)在區(qū)間(π2,π]上單調(diào)遞減，

所以綜上所述，函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π2]上單調(diào)遞增，在區(qū)間(π2,π]上單調(diào)遞減；

(2)因?yàn)閒(π2)=1>0，又f(π)=?π2+1<0，且函數(shù)f(x)在區(qū)間[π2,π]上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[π2,π]上存在唯一的零點(diǎn)，

當(dāng)x∈[π,3π2]時(shí)，記g(x)=f′(x)=cosx?(x?π2)18.解：(1)由題意知拋物線的焦點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，B的距離之和等于點(diǎn)A，B到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和，

等于AB的中點(diǎn)O到準(zhǔn)線的距離的2倍，即等于圓x2+y2=9的半徑的2倍，

∴|PA|+|PB|=6>|AB|=2，

∴點(diǎn)P在以A，B為焦點(diǎn)的橢圓E上，

設(shè)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0)，則2a=6，2c=2，

∴a=3，c=1，∴b2=a2?c2=8，

∴曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29+y28=1．

(2)設(shè)直線MN:x=my+2(m≠0)，

由x=my+2,8x2+9y2=72,得(8m2+9)y2+32my?40=0．

設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，則y1+y2=?32m8m2+9，y1y219.證明：(1)先對(duì)S0做A3變換得到數(shù)列S1：0，0，?1，1，0；

對(duì)S1做A4變換得到數(shù)列S2：0，0，0，?1，1；

對(duì)S2做A5變換得到數(shù)列S3：0，0，0，0，0，

因此對(duì)S0依次作A3、A4、A5變換得到數(shù)列0，0，0，0，0．

(2)首先，若對(duì)數(shù)列S0:a1，a2，a3，a4，a5依次做Ai+1，Ai+2，?，A5(i∈{1,2,3,4})變換，

得到的數(shù)列ai加1，ai+1減1，其余項(xiàng)不變；

若對(duì)數(shù)列中S0:a1，a2，a3，a4，a5依次做Ai，Ai?1，?，A1(i∈{1,2,3,4})變換，

得到的數(shù)列中ai減1，ai+1加1，其余項(xiàng)不變．

因此可以通過若干次變換使得相鄰兩數(shù)一個(gè)加1，另一個(gè)減1，

所以可以通