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文檔簡介

江西省白鷺洲中學2025屆高三下第一次測試數(shù)學試題注意事項1.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知棱錐的三視圖如圖所示,其中俯視圖是等腰直角三角形,則該三棱錐的四個面中,最大面積為()A. B. C. D.2.已知函數(shù),不等式對恒成立,則的取值范圍為()A. B. C. D.3.已知傾斜角為的直線與直線垂直,則()A. B. C. D.4.已知四棱錐中,平面,底面是邊長為2的正方形,,為的中點,則異面直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.5.復數(shù)滿足,則復數(shù)在復平面內所對應的點在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.2019年10月17日是我國第6個“扶貧日”,某醫(yī)院開展扶貧日“送醫(yī)下鄉(xiāng)”醫(yī)療義診活動,現(xiàn)有五名醫(yī)生被分配到四所不同的鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院中,醫(yī)生甲被指定分配到醫(yī)院,醫(yī)生乙只能分配到醫(yī)院或醫(yī)院,醫(yī)生丙不能分配到醫(yī)生甲、乙所在的醫(yī)院,其他兩名醫(yī)生分配到哪所醫(yī)院都可以,若每所醫(yī)院至少分配一名醫(yī)生,則不同的分配方案共有()A.18種 B.20種 C.22種 D.24種7.將函數(shù)圖象上每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,再將圖像向左平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,則函數(shù)圖象的一個對稱中心為()A. B. C. D.8.設等差數(shù)列的前項和為,若,,則()A.21 B.22 C.11 D.129.已知,且,則的值為()A. B. C. D.10.洛書,古稱龜書,是陰陽五行術數(shù)之源,在古代傳說中有神龜出于洛水,其甲殼上心有此圖象,結構是戴九履一,左三右七,二四為肩,六八為足,以五居中,五方白圈皆陽數(shù),四角黑點為陰數(shù).如圖,若從四個陰數(shù)和五個陽數(shù)中分別隨機選取1個數(shù),則其和等于11的概率是().A. B. C. D.11.已知偶函數(shù)在區(qū)間內單調遞減,,,,則,,滿足()A. B. C. D.12.已知點P在橢圓τ:=1(a>b>0)上,點P在第一象限,點P關于原點O的對稱點為A,點P關于x軸的對稱點為Q,設,直線AD與橢圓τ的另一個交點為B,若PA⊥PB,則橢圓τ的離心率e=()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,直線平面,垂足為,三棱錐的底面邊長和側棱長都為4,在平面內,是直線上的動點,則點到平面的距離為_______,點到直線的距離的最大值為_______.14.在的展開式中,所有的奇數(shù)次冪項的系數(shù)和為-64,則實數(shù)的值為__________.15.在中,角的平分線交于,,,則面積的最大值為__________.16.若,則的最小值是______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;(2)求在上的最大值和最小值.18.(12分)已知曲線C的極坐標方程是.以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標系,直線l的參數(shù)方程是:(是參數(shù)).(1)若直線l與曲線C相交于A、B兩點,且,試求實數(shù)m值.(2)設為曲線上任意一點,求的取值范圍.19.(12分)設函數(shù).(1)時,求的單調區(qū)間;(2)當時,設的最小值為,若恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.20.(12分)新型冠狀病毒肺炎疫情發(fā)生以來,電子購物平臺成為人們的熱門選擇.為提高市場銷售業(yè)績,某公司設計了一套產品促銷方案,并在某地區(qū)部分營銷網(wǎng)點進行試點.運作一年后,對“采用促銷”和“沒有采用促銷”的營銷網(wǎng)點各選取了50個,對比上一年度的銷售情況,分別統(tǒng)計了它們的年銷售總額,并按年銷售總額增長的百分點分成5組:,分別統(tǒng)計后制成如圖所示的頻率分布直方圖,并規(guī)定年銷售總額增長10個百分點及以上的營銷網(wǎng)點為“精英店”.(1)請你根據(jù)題中信息填充下面的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認為“精英店與采用促銷活動有關”;采用促銷沒有采用促銷合計精英店非精英店合計5050100(2)某“精英店”為了創(chuàng)造更大的利潤,通過分析上一年度的售價(單位:元)和日銷量(單位:件)的一組數(shù)據(jù)后決定選擇作為回歸模型進行擬合.具體數(shù)據(jù)如下表,表中的:①根據(jù)上表數(shù)據(jù)計算的值;②已知該公司成本為10元/件,促銷費用平均5元/件,根據(jù)所求出的回歸模型,分析售價定為多少時日利潤可以達到最大.附①:附②:對應一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為.21.(12分)在銳角中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知.(1)求的值;(2)當,且時,求的面積.22.(10分)如圖所示,直角梯形中,,,,四邊形為矩形,.(1)求證:平面平面;(2)在線段上是否存在點,使得直線與平面所成角的正弦值為,若存在,求出線段的長,若不存在,請說明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由三視圖可知,該三棱錐如圖,其中底面是等腰直角三角形,平面,結合三視圖求出每個面的面積即可.【詳解】由三視圖可知,該三棱錐如圖所示:其中底面是等腰直角三角形,平面,由三視圖知,因為,,所以,所以,因為為等邊三角形,所以,所以該三棱錐的四個面中,最大面積為.故選:B【點睛】本題考查三視圖還原幾何體并求其面積;考查空間想象能力和運算求解能力;三視圖正確還原幾何體是求解本題的關鍵;屬于中檔題、??碱}型.2、C【解析】

確定函數(shù)為奇函數(shù),且單調遞減,不等式轉化為,利用雙勾函數(shù)單調性求最值得到答案.【詳解】是奇函數(shù),,易知均為減函數(shù),故且在上單調遞減,不等式,即,結合函數(shù)的單調性可得,即,設,,故單調遞減,故,當,即時取最大值,所以.故選:.【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)單調性和奇偶性解不等式,參數(shù)分離求最值是解題的關鍵.3、D【解析】

傾斜角為的直線與直線垂直,利用相互垂直的直線斜率之間的關系,同角三角函數(shù)基本關系式即可得出結果.【詳解】解:因為直線與直線垂直,所以,.又為直線傾斜角,解得.故選:D.【點睛】本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關系,同角三角函數(shù)基本關系式,考查計算能力,屬于基礎題.4、B【解析】

由題意建立空間直角坐標系,表示出各點坐標后,利用即可得解.【詳解】平面,底面是邊長為2的正方形,如圖建立空間直角坐標系,由題意:,,,,,為的中點,.,,,異面直線與所成角的余弦值為即為.故選:B.【點睛】本題考查了空間向量的應用,考查了空間想象能力,屬于基礎題.5、B【解析】

設,則,可得,即可得到,進而找到對應的點所在象限.【詳解】設,則,,,所以復數(shù)在復平面內所對應的點為,在第二象限.故選:B【點睛】本題考查復數(shù)在復平面內對應的點所在象限,考查復數(shù)的模,考查運算能力.6、B【解析】

分兩類:一類是醫(yī)院A只分配1人,另一類是醫(yī)院A分配2人,分別計算出兩類的分配種數(shù),再由加法原理即可得到答案.【詳解】根據(jù)醫(yī)院A的情況分兩類:第一類:若醫(yī)院A只分配1人,則乙必在醫(yī)院B,當醫(yī)院B只有1人,則共有種不同分配方案,當醫(yī)院B有2人,則共有種不同分配方案,所以當醫(yī)院A只分配1人時,共有種不同分配方案;第二類:若醫(yī)院A分配2人,當乙在醫(yī)院A時,共有種不同分配方案,當乙不在A醫(yī)院,在B醫(yī)院時,共有種不同分配方案,所以當醫(yī)院A分配2人時,共有種不同分配方案;共有20種不同分配方案.故選:B【點睛】本題考查排列與組合的綜合應用,在做此類題時,要做到分類不重不漏,考查學生分類討論的思想,是一道中檔題.7、D【解析】

根據(jù)函數(shù)圖象的變換規(guī)律可得到解析式,然后將四個選項代入逐一判斷即可.【詳解】解:圖象上每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,得到再將圖像向左平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,故選:D【點睛】考查三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律以及其有關性質,基礎題.8、A【解析】

由題意知成等差數(shù)列,結合等差中項,列出方程,即可求出的值.【詳解】解:由為等差數(shù)列,可知也成等差數(shù)列,所以,即,解得.故選:A.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質,考查了等差中項.對于等差數(shù)列,一般用首項和公差將已知量表示出來,繼而求出首項和公差.但是這種基本量法計算量相對比較大,如果能結合等差數(shù)列性質,可使得計算量大大減少.9、A【解析】

由及得到、,進一步得到,再利用兩角差的正切公式計算即可.【詳解】因為,所以,又,所以,,所以.故選:A.【點睛】本題考查三角函數(shù)誘導公式、二倍角公式以及兩角差的正切公式的應用,考查學生的基本計算能力,是一道基礎題.10、A【解析】

基本事件總數(shù),利用列舉法求出其和等于11包含的基本事件有4個,由此能求出其和等于11的概率.【詳解】解:從四個陰數(shù)和五個陽數(shù)中分別隨機選取1個數(shù),基本事件總數(shù),其和等于11包含的基本事件有:,,,,共4個,其和等于的概率.故選:.【點睛】本題考查概率的求法,考查古典概型等基礎知識,考查運算求解能力,屬于基礎題.11、D【解析】

首先由函數(shù)為偶函數(shù),可得函數(shù)在內單調遞增,再由,即可判定大小【詳解】因為偶函數(shù)在減,所以在上增,,,,∴.故選:D【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調性,不同類型的數(shù)比較大小,應找一個中間數(shù),通過它實現(xiàn)大小關系的傳遞,屬于中檔題.12、C【解析】

設,則,,,設,根據(jù)化簡得到,得到答案.【詳解】設,則,,,則,設,則,兩式相減得到:,,,即,,,故,即,故,故.故選:.【點睛】本題考查了橢圓的離心率,意在考查學生的計算能力和轉化能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

三棱錐的底面邊長和側棱長都為4,所以在平面的投影為的重心,利用解直角三角形,即可求出點到平面的距離;,可得點是以為直徑的球面上的點,所以到直線的距離為以為直徑的球面上的點到的距離,最大距離為分別過和的兩個平行平面間距離加半徑,即可求出結論.【詳解】邊長為,則中線長為,點到平面的距離為,點是以為直徑的球面上的點,所以到直線的距離為以為直徑的球面上的點到的距離,最大距離為分別過和的兩個平行平面間距離加半徑.又三棱錐的底面邊長和側棱長都為4,以下求過和的兩個平行平面間距離,分別取中點,連,則,同理,分別過做,直線確定平面,直線確定平面,則,同理,為所求,,,所以到直線最大距離為.故答案為:;.【點睛】本題考查空間中的距離、正四面體的結構特征,考查空間想象能力,屬于較難題.14、3或-1【解析】

設,分別令、,兩式相減即可得,即可得解.【詳解】設,令,則①,令,則②,則①-②得,則,解得或.故答案為:3或-1.【點睛】本題考查了二項式定理的應用,考查了運算能力,屬于中檔題.15、15【解析】

由角平分線定理得,利用余弦定理和三角形面積公式,借助三角恒等變化求出面積的最大值.【詳解】畫出圖形:因為,,由角平分線定理得,設,則由余弦定理得:即當且僅當,即時取等號所以面積的最大值為15故答案為:15【點睛】此題考查解三角形面積的最值問題,通過三角恒等變形后利用均值不等式處理,屬于一般性題目.16、8【解析】

根據(jù),利用基本不等式可求得函數(shù)最值.【詳解】,,當且僅當且,即時,等號成立.時,取得最小值.故答案為:【點睛】本題考查基本不等式,構造基本不等式的形式是解題關鍵.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)見解析【解析】

將函數(shù)解析式化簡即可求出函數(shù)的最小正周期根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質即可求出函數(shù)在定義域上的最大值和最小值【詳解】(Ⅰ)由題意得原式的最小正周期為.(Ⅱ),.當,即時,;當,即時,.綜上,得時,取得最小值為0;當時,取得最大值為.【點睛】本題主要考查了兩角和與差的余弦公式展開,輔助角公式,三角函數(shù)的性質等,較為綜合,也是??碱}型,需要計算正確,屬于基礎題18、(1)或;(2).【解析】

(1)將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程,在直角坐標條件下求出曲線的圓心坐標和半徑,將直線的參數(shù)方程化為普通方程,由勾股定理列出等式可求的值;(2)將圓化為參數(shù)方程形式,代入由三角公式化簡可求其取值范圍.【詳解】(1)曲線C的極坐標方程是化為直角坐標方程為:直線的直角坐標方程為:圓心到直線l的距離(弦心距)圓心到直線的距離為:或(2)曲線的方程可化為,其參數(shù)方程為:為曲線上任意一點,的取值范圍是19、(1)的增區(qū)間為,減區(qū)間為;(2).【解析】

(1)求出函數(shù)的導數(shù),由于參數(shù)的范圍對導數(shù)的符號有影響,對參數(shù)分類,再研究函數(shù)的單調區(qū)間;(2)由(1)的結論,求出的表達式,由于恒成立,故求出的最大值,即得實數(shù)的取值范圍的左端點.【詳解】解:(1)解:,當時,,解得的增區(qū)間為,解得的減區(qū)間為.(2)解:若,由得,由得,所以函數(shù)的減區(qū)間為,增區(qū)間為;,因為,所以,,令,則恒成立,由于,當時,,故函數(shù)在上是減函數(shù),所以成立;當時,若則,故函數(shù)在上是增函數(shù),即對時,,與題意不符;綜上,為所求.【點睛】本題考查導數(shù)在最大值與最小值問題中的應用,求解本題關鍵是根據(jù)導數(shù)研究出函數(shù)的單調性,由最值的定義得出函數(shù)的最值,本題中第一小題是求出函數(shù)的單調區(qū)間,第二小題是一個求函數(shù)的最值的問題,此類題運算量較大,轉化靈活,解題時極易因為變形與運算出錯,故做題時要認真仔細.20、(1)列聯(lián)表見解析,有把握;(2)①;②元時【解析】

(1)直接由題意列出列聯(lián)表,通過計算,可判斷精英店與采用促銷活動是否有關.(2)①代入表中數(shù)據(jù),結合公式求出;②由①中所得的線性回歸方程,若售價為,單價利潤為,日銷售量為,進而可求出日利潤,結合導數(shù)可求最值.【詳解】解:(1)由題意知,采用促銷中精英店的數(shù)量為,采用促銷中非精英店的數(shù)量為;沒有采用促銷中精英店的數(shù)量為,沒有采用促銷中非精英店的數(shù)量為,列聯(lián)表為采用促銷沒有采用促銷合計精英店352055非精英店153045合計5050100因為有的把握認為“精英店與采用促銷活動有關”.(2)①由公式可得:所以回歸方程為②若售價為,單件利潤為,日銷售為,故日利潤,解得.當時,單調遞增;當時,單調遞減.故當售

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