2025屆新疆克拉瑪依市第十三中學(xué)高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題含解析

2025屆新疆克拉瑪依市第十三中學(xué)高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．空氣質(zhì)量指數(shù)是反映空氣狀況的指數(shù)，指數(shù)值趨小，表明空氣質(zhì)量越好，下圖是某市10月1日-20日指數(shù)變化趨勢(shì)，下列敘述錯(cuò)誤的是（）A．這20天中指數(shù)值的中位數(shù)略高于100B．這20天中的中度污染及以上（指數(shù)）的天數(shù)占C．該市10月的前半個(gè)月的空氣質(zhì)量越來(lái)越好D．總體來(lái)說(shuō)，該市10月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好2．已知i為虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A． B． C． D．4．若兩個(gè)非零向量、滿足，且，則與夾角的余弦值為（）A． B． C． D．5．已知集合，則（）A． B． C． D．6．若數(shù)列為等差數(shù)列，且滿足，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A． B． C． D．7．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．8．《周易》是我國(guó)古代典籍，用“卦”描述了天地世間萬(wàn)象變化．如圖是一個(gè)八卦圖，包含乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八卦（每一卦由三個(gè)爻組成，其中“”表示一個(gè)陽(yáng)爻，“”表示一個(gè)陰爻）若從八卦中任取兩卦，這兩卦的六個(gè)爻中恰有兩個(gè)陽(yáng)爻的概率為（）A． B． C． D．9．生活中人們常用“通五經(jīng)貫六藝”形容一個(gè)人才識(shí)技藝過(guò)人，這里的“六藝”其實(shí)源于中國(guó)周朝的貴族教育體系，具體包括“禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù)”.為弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化，某校在周末學(xué)生業(yè)余興趣活動(dòng)中開(kāi)展了“六藝”知識(shí)講座，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，則滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂(lè)”必須分開(kāi)安排的概率為（）A． B． C． D．10．已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，其中是實(shí)數(shù)，則等于（）A． B． C． D．11．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則“”是“”的（）A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要12．復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，其中為虛部單位，則實(shí)數(shù)()A．3 B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如果函數(shù)（,且,）在區(qū)間上單調(diào)遞減,那么的最大值為_(kāi)_________．14．已知數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，，，則_________，_________.15．已知數(shù)列滿足，，若，則數(shù)列的前n項(xiàng)和______．16．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若，則____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知，，，.（1）求的值；（2）求的值.18．（12分）如圖，⊙的直徑的延長(zhǎng)線與弦的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，為⊙上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)．求證：~．19．（12分）已知函數(shù)的定義域?yàn)?（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)實(shí)數(shù)為的最小值，若實(shí)數(shù)，，滿足，求的最小值.20．（12分）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且（1）求；（2）若，且面積的最大值為，求周長(zhǎng)的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）若的圖象在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的值；（2）若不等式恒成立，求正整數(shù)的最小值.22．（10分）已知，均為給定的大于1的自然數(shù)，設(shè)集合，．（Ⅰ）當(dāng)，時(shí)，用列舉法表示集合；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，且集合滿足下列條件：①對(duì)任意，；②．證明：（?。┤?，則（集合為集合在集合中的補(bǔ)集）；（ⅱ）為一個(gè)定值（不必求出此定值）；（Ⅲ）設(shè)，，，其中，，若，則．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

結(jié)合題意，根據(jù)題目中的天的指數(shù)值，判斷選項(xiàng)中的命題是否正確.【詳解】對(duì)于，由圖可知天的指數(shù)值中有個(gè)低于，個(gè)高于，其中第個(gè)接近，第個(gè)高于，所以中位數(shù)略高于，故正確.對(duì)于，由圖可知天的指數(shù)值中高于的天數(shù)為，即占總天數(shù)的，故正確.對(duì)于，由圖可知該市月的前天的空氣質(zhì)量越來(lái)越好，從第天到第天空氣質(zhì)量越來(lái)越差，故錯(cuò)誤.對(duì)于，由圖可知該市月上旬大部分指數(shù)在以下，中旬大部分指數(shù)在以上，所以該市月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好，故正確.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)折線圖數(shù)據(jù)的分析，讀懂題意是解題關(guān)鍵，并能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)對(duì)命題進(jìn)行判斷，本題較為基礎(chǔ).2、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算法則，即可求解.【詳解】.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題題.3、A【解析】

首先求得時(shí)，的取值范圍.然后求得時(shí)，的單調(diào)性和零點(diǎn)，令，根據(jù)“時(shí)，的取值范圍”得到，利用零點(diǎn)存在性定理，求得函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間.【詳解】當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，且，則是唯一零點(diǎn).由于“當(dāng)時(shí)，.”，所以令，得，因?yàn)?，，所以函?shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì)，考查符合函數(shù)零點(diǎn)，考查零點(diǎn)存在性定理，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.4、A【解析】

設(shè)平面向量與的夾角為，由已知條件得出，在等式兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律可求得的值，即為所求.【詳解】設(shè)平面向量與的夾角為，，可得，在等式兩邊平方得，化簡(jiǎn)得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用平面向量的模求夾角的余弦值，考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.5、A【解析】

考慮既屬于又屬于的集合，即得.【詳解】.故選：【點(diǎn)睛】本題考查集合的交運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

利用等差數(shù)列性質(zhì)，若，則求出，再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式得【詳解】解：因?yàn)?，由等差?shù)列性質(zhì)，若，則得，．為數(shù)列的前項(xiàng)和，則．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)與等差數(shù)列前項(xiàng)和.(1)如果為等差數(shù)列，若，則．(2)要注意等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的靈活應(yīng)用，如.7、D【解析】

結(jié)合三視圖可知,該幾何體的上半部分是半個(gè)圓錐,下半部分是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4,高為4的正三棱柱,分別求出體積即可.【詳解】由三視圖可知該幾何體的上半部分是半個(gè)圓錐,下半部分是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4,高為4的正三棱柱,則上半部分的半個(gè)圓錐的體積,下半部分的正三棱柱的體積,故該幾何體的體積.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖,考查空間幾何體的體積,考查空間想象能力與運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.8、C【解析】

分類(lèi)討論，僅有一個(gè)陽(yáng)爻的有坎、艮、震三卦，從中取兩卦；從僅有兩個(gè)陽(yáng)爻的有巽、離、兌三卦中取一個(gè)，再取沒(méi)有陽(yáng)爻的坤卦，計(jì)算滿足條件的種數(shù)，利用古典概型即得解.【詳解】由圖可知，僅有一個(gè)陽(yáng)爻的有坎、艮、震三卦，從中取兩卦滿足條件，其種數(shù)是；僅有兩個(gè)陽(yáng)爻的有巽、離、兌三卦，沒(méi)有陽(yáng)爻的是坤卦，此時(shí)取兩卦滿足條件的種數(shù)是，于是所求的概率．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，分類(lèi)討論，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

分情況討論，由間接法得到“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂(lè)”必須分開(kāi)的事件個(gè)數(shù)，不考慮限制因素，總數(shù)有種，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)“數(shù)”位于第一位時(shí)，禮和樂(lè)相鄰有4種情況，禮和樂(lè)順序有2種，其它剩下的有種情況，由間接法得到滿足條件的情況有當(dāng)“數(shù)”在第二位時(shí)，禮和樂(lè)相鄰有3種情況，禮和樂(lè)順序有2種，其它剩下的有種，由間接法得到滿足條件的情況有共有：種情況，不考慮限制因素，總數(shù)有種，故滿足條件的事件的概率為：故答案為：C.【點(diǎn)睛】解排列組合問(wèn)題要遵循兩個(gè)原則：①按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)；②按事情發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步．具體地說(shuō)，解排列組合問(wèn)題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．10、A【解析】

對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，由于為純虛數(shù)，則化簡(jiǎn)后的復(fù)數(shù)形式中，實(shí)部為0，得到的值，從而得到復(fù)數(shù).【詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，得所以.故選A項(xiàng)【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，純虛數(shù)的概念，屬于簡(jiǎn)單題.11、A【解析】

首先根據(jù)等比數(shù)列分別求出滿足，的基本量，根據(jù)基本量的范圍即可確定答案.【詳解】為等比數(shù)列，若成立，有，因?yàn)楹愠闪ⅲ士梢酝瞥銮?，若成立，?dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有，因?yàn)楹愠闪?，所以有，故可以推出，，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解，充分必要條件的集合關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

利用乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)即可得到答案.【詳解】由已知，，所以，解得.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道容易題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、18【解析】

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),分一次函數(shù)和一元二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和單調(diào)區(qū)間的關(guān)系建立不等式,利用基本不等式求解即可.【詳解】解:①當(dāng)時(shí),,在區(qū)間上單調(diào)遞減,則,即,則.②當(dāng)時(shí),,函數(shù)開(kāi)口向上,對(duì)稱(chēng)軸為,因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減,則,因?yàn)?則,整理得,又因?yàn)?則.所以即,所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.綜上所述,的最大值為18.故答案為:18【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性和均值不等式.利用均值不等式求解要注意”一定,二正,三相等”.14、8（寫(xiě)為也得分）【解析】

由，得，.當(dāng)時(shí)，，所以，所以的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列；其偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列.則，.15、【解析】

,求得的通項(xiàng)，進(jìn)而求得,得通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列求和即可.【詳解】由題為等差數(shù)列，∴,∴,∴,∴,故答案為【點(diǎn)睛】本題考查求等差數(shù)列數(shù)列通項(xiàng)，等比數(shù)列求和，熟記等差等比性質(zhì)，熟練運(yùn)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.16、【解析】

由，，成等差數(shù)列，代入可得的值.【詳解】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，，成等差數(shù)列，可得：，代入，可得：，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，相對(duì)不難.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）先利用同角的三角函數(shù)關(guān)系解得和,再由,利用正弦的差角公式求解即可；（2）由（1）可得和,利用余弦的二倍角公式求得,再由正切的和角公式求解即可.【詳解】解:（1）因?yàn)?所以又,故,所以,所以（2）由（1）得,,,所以,所以,因?yàn)榍?即,解得,因?yàn)?所以,所以,所以,所以【點(diǎn)睛】本題考查已知三角函數(shù)值求值,考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn),考查和角公式,二倍角公式,同角的三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用,考查運(yùn)算能力.18、證明見(jiàn)解析【解析】

根據(jù)相似三角形的判定定理,已知兩個(gè)三角形有公共角,題中未給出線段比例關(guān)系,故可根據(jù)判定定理一需找到另外一組相等角,結(jié)合平面幾何的知識(shí)證得即可.【詳解】證明：∵，所以，又因?yàn)?，所以．在與中，，，故~.【點(diǎn)睛】本題考查平面幾何中同弧所對(duì)的圓心角與圓周角的關(guān)系、相似三角形的判定定理;考查邏輯推理能力和數(shù)形結(jié)合思想;分析圖形，找出角與角之間的關(guān)系是證明本題的關(guān)鍵;屬于基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）【解析】

（1）首先通過(guò)對(duì)絕對(duì)值內(nèi)式子符號(hào)的討論，將不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組，再分別解各不等式組，最后求各不等式組解集的并集，得到所求不等式的解集；(2)首先確定m的值，然后利用柯西不等式即可證得題中的不等式.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，即恒成立，所以恒成立由單調(diào)性可知當(dāng)時(shí)，有最大值為4，即；（2）由（1）知，，由柯西不等式知所以，即的最小值為.當(dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)，等號(hào)成立【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，柯西不等式及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.20、（1）（2）【解析】

（1）利用二倍角公式及三角形內(nèi)角和定理，將化簡(jiǎn)為，求出的值，結(jié)合，求出A的值；（2）寫(xiě)出三角形的面積公式，由其最大值為求出.由余弦定理，結(jié)合，，求出的范圍，注意.進(jìn)而求出周長(zhǎng)的范圍.【詳解】解：（1）整理得解得或(舍去)又；（2）由題意知，又，，又周長(zhǎng)的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角余弦公式，三角形面積公式，余弦定理的應(yīng)用，求三角形的周長(zhǎng)的范圍問(wèn)題.屬于中檔題.21、（1）e；（2）2.【解析】

（1）根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)，得出，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出曲線在點(diǎn)處的切線為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性，即可得出的值；（2）設(shè)，求導(dǎo)，求出的單調(diào)性，從而得出最大值為，結(jié)合恒成立的性質(zhì)，得出正整數(shù)的最小值.【詳解】（1）根據(jù)題意，與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)的圖象與互為反函數(shù)，則,，設(shè)點(diǎn)，，又，當(dāng)時(shí)，，曲線在點(diǎn)處的切線為，即，代入點(diǎn)，得，即，構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，而，故存在唯一的實(shí)數(shù)根.（2）由于不等式恒成立，可設(shè)，所以，令，得.所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在是增函數(shù)，在是減函數(shù).故函數(shù)的最大值為.令，因?yàn)椋?，又因?yàn)樵谑菧p函數(shù).所以當(dāng)時(shí)，.所以正整數(shù)的最小值為2.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問(wèn)題，涉及到單調(diào)性、構(gòu)造函數(shù)法等，考查函數(shù)思想和計(jì)算能力.22、（Ⅰ）；（