2022年北京市豐臺初三（上）期末數(shù)學試卷及答案

1/12022北京豐臺初三（上）期末數(shù)學一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1—8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1.下列是圍繞2022年北京冬奧會設計的剪紙圖案，其中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.2.如圖，A，B，C是⊙O上的點，如果∠BOC＝120°，那么∠BAC的度數(shù)是（）A.90° B.60° C.45° D.30°3.拋物線的對稱軸是（）A. B. C. D.4.把一副普通撲克牌中13張黑桃牌洗勻后正面向下放在桌子上．從中隨機抽取一張，抽出的牌上的數(shù)小于6的概率為（）A. B. C. D.5.若關于x的一元二次方程有一個解為，那么m的值是（）A.-1 B.0 C.1 D.1或-16.二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么下列說法正確的是（）A. B.C. D.7.如圖所示，邊長為1的正方形網(wǎng)格中，O，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點，若與所在圓的圓心都為點O，那么陰影部分的面積為（）A. B. C. D.8.如圖所示，有一個容器水平放置，往此容器內(nèi)注水，注滿為止．若用h（單位：cm）表示容器底面到水面高度，用V（單位：）表示注入容器內(nèi)的水量，則表示V與h的函數(shù)關系的圖象大致是（）A. B. C. D.二、填空題（本題共16分，每小題2分）9.如果點與點B關于原點對稱，那么點B的坐標是______．10.如圖，把分成相等六段弧，依次連接各分點得到正六邊形ABCDEF，如果的周長為，那么該正六邊形的邊長是______．11.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，E為直徑AB延長線上一點，且，若，則的度數(shù)為______．12.如圖所示，繞點P順時針旋轉(zhuǎn)得到，則旋轉(zhuǎn)的角度是______．

13.數(shù)學活動課上，小東想測算一個圓形齒輪內(nèi)圈圓的半徑．如圖所示，小東首先在內(nèi)圈圓上取點A，B，再作弦AB的垂直平分線，垂足為C，交于點D，連接CD，經(jīng)測量cm，cm，那么這個齒輪內(nèi)圈圓的半徑為______cm．

14.已知拋物線上部分點的橫坐標x，縱坐標y的對應值如下表：x…-2-10123…y…50-3-4-30…那么該拋物線的頂點坐標是______．15.小紅利用計算機模擬“投針試驗”：在一個平面上畫一組間距為cm的平行線，將一根長度為cm的針任意投擲在這個平面上，針可能與某一直線相交，也可能與任一直線都不相交．下圖顯示了小紅某次實驗的結(jié)果，那么可以估計出針與直線相交的概率是______（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）．16.中國跳水隊在第三十二屆夏季奧林匹克運動會上獲得7金5銀12枚獎牌的好成績．某跳水運動員從起跳至人水的運動路線可以看作是拋物線的一部分．如圖所示，該運動員起跳點A距離水面10m，運動過程中的最高點B距池邊2.5m，入水點C距池邊4m，根據(jù)上述信息，可推斷出點B距離水面______m．三、解答題（本題共68分，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題6分，第27，28題，每小題7分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17.計算：．18.解方程：.19.下面是小亮設計的“過圓上一點作已知圓的切線”的尺規(guī)作圖過程．已知：點A在上．求作：直線PA和相切．作法：如圖，①連接AO；②以A為圓心，AO長為半徑作弧，與一個交點為B；③連接BO；④以B為圓心，BO長為半徑作圓；⑤作的直徑OP；⑥作直線PA．所以直線PA就是所求作的切線．根據(jù)小亮設計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明：證明：在中，連接BA．∵，，∴．∴點A在上．∵OP是的直徑，∴（______）（填推理的依據(jù)）．∴．又∵點A在上，∴PA是的切線（______）（填推理的依據(jù)）．20.已知關于x的一元二次方程．（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；（2）若，且該方程的兩個實數(shù)根的差為1，求k的值．21.在平面直角坐標系xOy中，拋物線經(jīng)過點，．（1）求拋物線的解析式；（2）設拋物線與y軸交點為C，求的面積．22.小宇和小偉玩“石頭、剪刀、布”的游戲．這個游戲的規(guī)則是：“剪刀”勝“布”，“布”勝“石頭”，“石頭”勝“剪刀”，手勢相同不分勝負．如果二人同時隨機出手（分別出三種手勢中的一種手勢）一次，那么小宇獲勝的概率是多少？23.某校舉辦了“冰雪運動進校園”活動，計劃在校園一塊矩形的空地上鋪設兩塊完全相同的矩形冰場．如下圖所示，已知空地長27m，寬12m，矩形冰場的長與寬的比為4：3，如果要使冰場的面積是原空地面積的，并且預留的上、下通道的寬度相等，左、中、右通道的寬度相等，那么預留的上、下通道的寬度和左、中、右通道的寬度分別是多少米？

24.如圖，AB是的直徑，PA，PC是的切線，A，C是切點，連接AC，PO，交點為D．（1）求證：；（2）延長PO交于點E，連接BE，CE．若，，求AB的長．25.小朋在學習過程中遇到一個函數(shù)．下面是小朋對其探究的過程，請補充完整：（1）觀察這個函數(shù)的解析式可知，x的取值范圍是全體實數(shù)，并且y有______值（填“最大”或“最小”），這個值是______；（2）進一步研究，當時，y與x的幾組對應值如下表：x01234…y02102…結(jié)合上表，畫出當時，函數(shù)的圖象；

（3）結(jié)合（1）（2）的分析，解決問題：若關于x的方程有一個實數(shù)根為2，則該方程其它的實數(shù)根約為______（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）．26.在平面直角坐標系xOy中，，是拋物線上任意兩點．（1）求拋物線的頂點坐標（用含m的式子表示）；（2）若，，比較與的大小，并說明理由；（3）若對于，，都有，直接寫出m的取值范圍．27.如圖，在中，，，D是邊BC上一點，作射線AD，滿足，在射線AD取一點E，且．將線段AE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段AF，連接BE，F(xiàn)E，連接FC并延長交BE于點G．（1）依題意補全圖形；（2）求的度數(shù)；（3）連接GA，用等式表示線段GA，GB，GC之間的數(shù)量關系，并證明．28.對于平面直角坐標系xOy中的圖形M，N，給出如下定義：若圖形M和圖形N有且只有一個公共點P，則稱點P是圖形M和圖形N的“關聯(lián)點”．已知點，，，．（1）直線l經(jīng)過點A，的半徑為2，在點A，C，D中，直線l和的“關聯(lián)點”是______；（2）G為線段OA中點，Q為線段DG上一點（不與點D，G重合），若和有“關聯(lián)點”，求半徑r的取值范圍；（3）的圓心為點，半徑為t，直線m過點A且不與x軸重合．若和直線m的“關聯(lián)點”在直線上，請直接寫出b的取值范圍．

參考答案一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1—8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的特征逐個判斷即可．【詳解】解：A、既不是中心對稱圖形又不是軸對稱圖形，不符合題意；B、既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，符合題意；C、既不是中心對稱圖形又不是軸對稱圖形，不符合題意；D、既不是中心對稱圖形又不是軸對稱圖形，不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．2.【答案】B【解析】【分析】直接根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論．【詳解】∵∠BOC與∠BAC是同弧所對的圓心角與圓周角，∠BOC＝120°，∴∠BAC＝∠BOC＝60°．故選B．【點睛】本題考查了圓周角定理，掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解題的關鍵．3.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)頂點式求解即可．【詳解】解：拋物線的對稱軸是直線，故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的對稱軸，解題關鍵是明確頂點式二次函數(shù)的對稱軸為直線．4.【答案】D【解析】【分析】共有13種等可能結(jié)果，小于6的有5種，利用概率公式計算即可．【詳解】解：一副普通撲克牌中13張黑桃牌洗勻后正面向下放在桌子上．從中隨機抽取一張，共有13種等可能結(jié)果，小于6的有5種，抽出的牌上的數(shù)小于6的概率為，故選：D．【點睛】本題考查了概率的求法，解題關鍵是熟記概率公式，準確列出所有可能．5.【答案】A【解析】【分析】將代入方程，得到關于的一元二次方程，解方程求解即可，注意二次項系數(shù)不為0．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有一個解為，∴故選A【點睛】本題考查了一元二次方程的解的定義，一元二次方程的定義，解一元二次方程，掌握一元二次方程解的定義是解題的關鍵．一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值稱為一元二次方程的解．一元二次方程定義，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)項的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程．6.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象性質(zhì)解題．【詳解】解：A.由圖可知，二次函數(shù)圖象的對稱軸為：x=1，即，故A不符合題意；B.二次函數(shù)圖象與y軸交于負半軸，即c<0，故B不符合題意；C.由圖象可知，當x=1時，y=，故C不符合題意，D.由圖象的對稱性可知，拋物線與x軸的另一個交點為（-2，0），當x=-2時，，，故D符合題意，故選：D．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．7.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)勾股定理分別求出OC、OD，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠COD＝90°，根據(jù)弧長公式計算，得到答案．【詳解】解：由勾股定理得，OC＝OD＝＝2，則OC2+OD2＝CD2，∴∠COD＝90°，∵四邊形OACB是正方形，∴∠COB＝45°，∴，，，陰影部分的面積為故選：C．【點睛】本題考查的是扇形面積的計算，掌握扇形面積公式，求出對應的圓心角和半徑是解題的關鍵．8.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)容器的形狀可知當液面高度越高時，體積的變化越小，即隨著的增大，增大的速度變緩，結(jié)合選項即可求解【詳解】解：容器的形狀可知，底部最大，剛開始當增大時，體積增大較快，但隨著的增大，增大的速度變緩，表現(xiàn)出的函數(shù)圖象即為：函數(shù)圖象先陡，后緩，結(jié)合選項只有B選項符合題意；故選B【點睛】本題考查了函數(shù)圖象的判斷，根據(jù)容器的形狀以及題意判斷函數(shù)圖象先陡，后緩是解題的關鍵．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9.【答案】【解析】【分析】關于原點對稱的點坐標特征為：橫坐標、縱坐標都互為相反數(shù)；進而求出點B坐標．【詳解】解：由題意知點B橫坐標為；縱坐標為；故答案為：．【點睛】本題考查了關于原點對稱的點的坐標知識．解題的關鍵在于熟練記憶關于原點對稱的點坐標中相對應的坐標互為相反數(shù)．10.【答案】6【解析】【分析】如圖，連接OA、OB、OC、OD、OE、OF，證明△AOB、△BOC、△DOC、△EOD、△EOF、△AOF都是等邊三角形，再求出圓的半徑即可．詳解】解：如圖，連接OA、OB、OC、OD、OE、OF．∵正六邊形ABCDEF，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝60°，∴△AOB、△BOC、△DOC、△EOD、△EOF、△AOF都是等邊三角形，∵的周長為，∴的半徑為，正六邊形的邊長是6；【點睛】本題考查正多邊形與圓的關系、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，明確正六邊形的邊長和半徑相等是解題的關鍵．11.【答案】110°##110度【解析】【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)求出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出的度數(shù)即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于，∴，∵，∴，∵，∴；故答案為：110°．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題關鍵是根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出．12.【答案】##90度【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，點與點對應，則旋轉(zhuǎn)的角度是，勾股定理證明是直角三角形，即可求得，即可求解．【詳解】如圖，連接，是直角三角形，且繞點P順時針旋轉(zhuǎn)得到，點與點對應，則旋轉(zhuǎn)的角度是故答案為：【點睛】本題考查了求旋轉(zhuǎn)角，勾股定理以及勾股定理的逆定理，找到旋轉(zhuǎn)角是解題的關鍵．13.【答案】5【解析】【分析】由垂徑定理，可得出BC的長；連接OB，在Rt△OBC中，可用半徑OB表示出OC的長，進而可根據(jù)勾股定理求出得出輪子的半徑，即可得出輪子的直徑長．【詳解】解：設圓心為O，連接OB．Rt△OBC中，BC＝AB＝4cm，根據(jù)勾股定理得：OC2＋BC2＝OB2，即：（OB?2）2＋42＝OB2，解得：OB＝5；故輪子的半徑為5cm．故答案為：5．【點睛】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．14.【答案】【解析】【分析】觀察表格可知該拋物線的對稱軸為直線，根據(jù)二次函數(shù)圖像的頂點坐標在對稱軸上，在表格中查取點坐標即可．【詳解】解：觀察表格并由拋物線的圖像與性質(zhì)可知該拋物線的對稱軸為直線∵頂點坐標在對稱軸上∴由表格可知該拋物線的頂點坐標為故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)．解題的關鍵在于正確把握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)．15.【答案】【解析】【分析】利用大量重復試驗下事件發(fā)生的頻率可以估計該事件發(fā)生的概率直接回答即可．【詳解】解：由實驗可得：針與直線相交的頻率穩(wěn)定在附近，而所以估計出針與直線相交的概率是故答案為：【點睛】本題考查了利用頻率估計概率，從表格中的數(shù)據(jù)確定出針與直線相交的頻率穩(wěn)定在附近是解本題的關鍵．16.【答案】【解析】【分析】如圖建立平面直角坐標系，求出拋物線解析式，再求頂點坐標即可．【詳解】解：建立平面直角坐標系如圖：根據(jù)題意可知，點A的坐標為（3，10），點C的坐標為（5，0），拋物線的對稱軸為直線x=3.5，設拋物線的的解析式為y＝ax2+bx+c，把上面信息代入得，，解得，，拋物線解析式為：，把代入得，；故答案為：【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應用，解題關鍵是建立平面直角坐標系，求出二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)解析式的性質(zhì)求解．三、解答題（本題共68分，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題6分，第27，28題，每小題7分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，化簡絕對值，進行實數(shù)的混合運算即可【詳解】解：原式【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算，掌握二次根式的性質(zhì)化簡，化簡絕對值是解題的關鍵．18.【答案】【解析】【分析】將方程的左邊因式分解后即可求得方程的解【詳解】解：因式分解得：（x+1）（x-3）=0，即x+1=0或x-3=0，解得：x1=-1，x2=3【點睛】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右邊變形為0，然后把方程左邊進行因式分解，這樣把一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．19.【答案】（1）見解析（2）直徑所對的圓周角是直角；經(jīng)過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線【解析】【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形即可；（2）根據(jù)圓周角定理得到∠OAP＝90°，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論．【小問1詳解】解：補全的圖形如圖所示；【小問2詳解】證明：在中，連接BA．∵，，∴．∴點A在上．∵OP是的直徑，∴（直徑所對的圓周角是直角）（填推理的依據(jù)）．∴．又∵點A在上，∴PA是的切線（經(jīng)過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線）（填推理的依據(jù)）．故答案為：直徑所對的圓周角是直角；經(jīng)過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線【點睛】本題考查了作圖，切線的判定，圓周角定理，正確的作出圖形是解題的關鍵．20.【答案】（1）見解析；（2）．【解析】【分析】（1）計算，證明即可解題；（2）利用韋達定理，結(jié)合解題．【小問1詳解】證明：該方程總有兩個實數(shù)根；【小問2詳解】又【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式、韋達定理等知識，是重要考點，難度一般，掌握相關知識是解題關鍵．21.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可；（2）根據(jù)（1）中的解析式求得的坐標，進而根據(jù)三角形的面積公式計算即可．小問1詳解】解：將，代入，得解得：【小問2詳解】解：由，令，得【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，求二次函數(shù)與軸的交點，掌握待定系數(shù)法求解析式是解題的關鍵．22.【答案】小宇獲勝的概率是，見解析．【解析】【分析】根據(jù)題意畫樹狀圖表示出所有等可能的情況，繼而解題．【詳解】解：畫樹狀圖如下，所有機會均等的情況共9種，小宇獲勝的概率為：，答：小宇獲勝的概率是．【點睛】本題考查用列表法或畫樹狀圖表示概率，是基礎考點，掌握相關知識是解題關鍵．23.【答案】：預留的上、下通道的寬度和左、中、右通道的寬度分別是1.5米和1米．【解析】【分析】設矩形冰場的長與寬分別為4x米、3x米，根據(jù)冰場的面積是原空地面積的列出方程，解方程后再求通道的寬度即可．【詳解】解：設矩形冰場的長與寬分別為4x米、3x米，根據(jù)題意列方程得，，解得，，（舍去），則上、下通道的寬度為（米），左、中、右通道的寬度（米），答：預留的上、下通道的寬度和左、中、右通道的寬度分別是1.5米和1米．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，解題關鍵是準確把握題目中的數(shù)量關系，列出方程求解．24.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）如圖，連接先證明再證明可得從而可得結(jié)論；（2）如圖，先求解結(jié)合求解再利用建立方程求解即可.【小問1詳解】證明：如圖，連接為的切線，【小問2詳解】解：如圖，而

【點睛】本題考查的是圓的的切線的性質(zhì)，切線長定理的應用，圓周角定理的應用，銳角三角函數(shù)的應用，熟練的運用切線長定理解題是解本題的關鍵.25.【答案】（1）最小；0（2）見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)解析式，即可求解；（2）根據(jù)描點法畫函數(shù)圖象；（3）根據(jù)圖像法求解即可，作經(jīng)過點的直線，與的另一個交點的橫坐標即為方程的解【小問1詳解】解：∵，∴y有最小值，這個值是0；故答案為：最??；0【小問2詳解】根據(jù)列表，描點連線，如圖，【小問3詳解】依題意，有一個實數(shù)根為2，則過點的解即為與的交點的橫坐標，且過點如圖，作過點的直線，與交于點根據(jù)函數(shù)圖象的交點可知點的橫坐標約為則該方程其它的實數(shù)根約為故答案為：【點睛】本題考查了絕對值與平方的非負性，根據(jù)列表描點連線畫函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象的交點求方程的解，數(shù)形結(jié)合是解題的關鍵．26.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用配方法把拋物線化為從而可得頂點坐標；（2）由拋物線的對稱軸為：直線可得關于直線對稱，從而可得答案；（3）分三種情況討論：當畫出圖形結(jié)合拋物線的對稱性可得答案.【小問1詳解】解：所以拋物線的頂點坐標為：【小問2詳解】解：拋物線的對稱軸為：直線，，而關于直線對稱，【小問3詳解】解：當拋物線的對稱軸時，如圖，始終在的上方，滿足所以