上海市金山區(qū)2024屆高三上學(xué)期一模試題 數(shù)學(xué) 含解析

2023學(xué)年第一學(xué)期質(zhì)量監(jiān)控高三數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果．1已知集合，，則________．2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的共軛復(fù)數(shù)=________.3.不等式的解集為_________．4.雙曲線的離心率為____．5.已知角，的終邊關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，則______．6.已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，若它們的中位數(shù)相同，則圖中的值______．7.設(shè)圓臺(tái)的上底面和下底面的半徑分別為和，母線長為，則該該圓臺(tái)的高為_________.8.從1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取兩個(gè)不同數(shù)，則所抽到的兩個(gè)數(shù)的和大于6的概率為__________（結(jié)果用數(shù)值表示）．9.已知函數(shù)()在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，且其圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則的值為________．10.若，則________．11.若函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，且該函數(shù)有且僅有7個(gè)零點(diǎn)，則的值為________．12.已知平面向量、、滿足，且，則的取值范圍是________．二、選擇題（本題共有4題，滿分18分，13、14每題4分，15、16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑．13.對(duì)于實(shí)數(shù)，“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件14.已知事件A和B相互獨(dú)立，且，則（）A B. C. D.15.如圖，在正方體中，E、F為正方體內(nèi)（含邊界）不重合的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）．A.若，，則B.若，，則平面平面C.若，，則面D.若，，則16.設(shè)集合，、均為的非空子集（允許）．中的最大元素與中的最小元素分別記為，則滿足的有序集合對(duì)的個(gè)數(shù)為（）．A. B. C. D.三、解答題（本大題滿分76分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．17.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，為中點(diǎn)，為與的交點(diǎn)．（1）證明：//平面；（2）求三棱錐體積．18.已知數(shù)列滿足，且．（1）求的值；（2）若數(shù)列為嚴(yán)格增數(shù)列，其中是常數(shù)，求的取值范圍．19.網(wǎng)絡(luò)購物行業(yè)日益發(fā)達(dá)，各銷售平臺(tái)通常會(huì)配備送貨上門服務(wù)．小金正在配送客戶購買的電冰箱，并獲得了客戶所在小區(qū)門戶以及建筑轉(zhuǎn)角處的平面設(shè)計(jì)示意圖．圖1圖2（1）為避免冰箱內(nèi)部制冷液逆流，要求運(yùn)送過程中發(fā)生傾斜時(shí)，外包裝的底面與地面的傾斜角不能超過，且底面至少有兩個(gè)頂點(diǎn)與地面接觸．外包裝看作長方體，如圖1所示，記長方體的縱截面為矩形，，，而客戶家門高度為米，其他過道高度足夠．若以傾斜角的方式進(jìn)客戶家門，小金能否將冰箱運(yùn)送入客戶家中？計(jì)算并說明理由．（2）由于客戶選擇以舊換新服務(wù)，小金需要將客戶長方體形狀的舊冰箱進(jìn)行回收．為了省力，小金選擇將冰箱水平推運(yùn)(冰箱背面水平放置于帶滾輪的平板車上，平板車長寬均小于冰箱背面）．推運(yùn)過程中遇到一處直角過道，如圖2所示，過道寬為米．記此冰箱水平截面為矩形，．設(shè)，當(dāng)冰箱被卡住時(shí)(即點(diǎn)、分別在射線、上，點(diǎn)在線段上），嘗試用表示冰箱高度的長，并求出的最小值，最后請(qǐng)幫助小金得出結(jié)論：按此種方式推運(yùn)的舊冰箱，其高度的最大值是多少？（結(jié)果精確到）20.已知三條直線（）分別與拋物線交于點(diǎn)、，為軸上一定點(diǎn)，且，記點(diǎn)到直線的距離為，△的面積為．（1）若直線的傾斜角為，且過拋物線的焦點(diǎn)，求直線的方程；（2）若，且，證明：直線過定點(diǎn)；（3）當(dāng)時(shí)，是否存在點(diǎn)，使得，，成等比數(shù)列，，，也成等比數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．21.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋o定區(qū)間，若存在，使得，則稱函數(shù)為區(qū)間上的“均值函數(shù)”，為函數(shù)的“均值點(diǎn)”．（1）試判斷函數(shù)是否為區(qū)間上的“均值函數(shù)”，如果是，請(qǐng)求出其“均值點(diǎn)”；如果不是，請(qǐng)說明理由；（2）已知函數(shù)是區(qū)間上的“均值函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)（常數(shù)）是區(qū)間上的“均值函數(shù)”，且為其“均值點(diǎn)”．將區(qū)間任意劃分成（）份，設(shè)分點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為，記，，．再將區(qū)間等分成（）份，設(shè)等分點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為，記．求使得的最小整數(shù)的值．2023學(xué)年第一學(xué)期質(zhì)量監(jiān)控高三數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果．1.已知集合，，則________．【答案】【解析】分析】根據(jù)交集直接計(jì)算即可.【詳解】由題可知：，，所以故答案為：2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的共軛復(fù)數(shù)=________.【答案】##

【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】由題意知，該復(fù)數(shù)為，則.故答案為：.3.不等式的解集為_________．【答案】或【解析】【分析】將分式不等式轉(zhuǎn)化成整式不等式，再利用一元二次不等式解法即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)分式不等式解法可知等價(jià)于，由一元二次不等式解法可得或；所以不等式的解集為或.故答案為：或4.雙曲線的離心率為____．【答案】【解析】【詳解】試題分析：由題意得：考點(diǎn)：雙曲線離心率5.已知角，的終邊關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)角，的終邊關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱得，即可得到的值.【詳解】角，的終邊關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，，.故答案為：.6.已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，若它們的中位數(shù)相同，則圖中的值______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)莖葉圖可求得兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，進(jìn)而構(gòu)造方程求得的值.【詳解】由莖葉圖可知：乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同，甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，即，解得：.

故答案為：.7.設(shè)圓臺(tái)的上底面和下底面的半徑分別為和，母線長為，則該該圓臺(tái)的高為_________.【答案】【解析】【分析】作出圓臺(tái)軸截面，求出軸截面的高，即得答案.【詳解】作出圓臺(tái)的軸截面，如圖示為等腰梯形，梯形的高即為圓臺(tái)的高，即高為，故答案為：8.從1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取兩個(gè)不同的數(shù)，則所抽到的兩個(gè)數(shù)的和大于6的概率為__________（結(jié)果用數(shù)值表示）．【答案】##0.4【解析】【分析】求出所有的基本事件個(gè)數(shù)以及符合題意的基本事件個(gè)數(shù)，利用古典概型求概率即可.【詳解】根據(jù)題意，從1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取兩個(gè)不同的數(shù)共有，所抽到兩個(gè)數(shù)的和大于6共有，，，共4種，所以所抽到的兩個(gè)數(shù)的和大于6的概率為.故答案為：9.已知函數(shù)()在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，且其圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則的值為________．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)增函數(shù)和對(duì)稱中心特征，求出范圍，進(jìn)而得到答案.【詳解】因?yàn)?，則，函數(shù)()在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以，即；又因?yàn)榈膱D像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則（），則（），所以（），解得（），結(jié)合，所以或.故答案為：或.10.若，則________．【答案】【解析】【分析】采用賦值法，令即可求得結(jié)果.【詳解】令，則，所以，故答案為：.11.若函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，且該函數(shù)有且僅有7個(gè)零點(diǎn)，則的值為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，求得的圖形過點(diǎn)，得到的圖象過點(diǎn)，結(jié)合，，聯(lián)立方程組，求得的值，得出，再根據(jù)題意，得到必為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合，求得的值，即可求解.【詳解】由函數(shù)，則函數(shù)的圖形過點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，則函數(shù)的圖象過點(diǎn)，可得，且，可得，又由，且，可得，聯(lián)立方程組，解得，所以，因?yàn)楹瘮?shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱，且該函數(shù)有且僅有7個(gè)零點(diǎn)，則必為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，即，可得，解得，所以.故答案為：.12.已知平面向量、、滿足，且，則的取值范圍是________．【答案】.【解析】【分析】利用平面向量坐標(biāo)表示與數(shù)量積計(jì)算，結(jié)合雙曲線的定義與性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)題意不妨設(shè)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，即點(diǎn)到的距離比到點(diǎn)的距離大2，根據(jù)雙曲線的定義可知的軌跡為雙曲線的一支，以2為長軸，4為焦距，則，又，易知C點(diǎn)軌跡為，顯然C點(diǎn)軌跡為點(diǎn)軌跡雙曲線的漸近線，如上圖所示，由圖形的對(duì)稱性不妨設(shè)，則，由題意，當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)橫坐標(biāo)最小，由點(diǎn)到直線的距離公式可知，而雙曲線在漸近線下方，則，與雙曲線方程聯(lián)立，即，則，聯(lián)立，即，由雙曲線的性質(zhì)可知滿足的點(diǎn)橫坐標(biāo)無上限，故的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題難點(diǎn)在于利用平面向量的坐標(biāo)表示及數(shù)量積的運(yùn)算判定向量終點(diǎn)軌跡，再利用雙曲線的性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)到直線的距離計(jì)算即可.二、選擇題（本題共有4題，滿分18分，13、14每題4分，15、16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑．13.對(duì)于實(shí)數(shù)，“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【詳解】試題分析：由于不等式的基本性質(zhì)，“a＞b”?“ac＞bc”必須有c＞0這一條件．解：主要考查不等式的性質(zhì)．當(dāng)c=0時(shí)顯然左邊無法推導(dǎo)出右邊，但右邊可以推出左邊．故選B考點(diǎn)：不等式的性質(zhì)點(diǎn)評(píng)：充分利用不等式的基本性質(zhì)是推導(dǎo)不等關(guān)系的重要條件．14.已知事件A和B相互獨(dú)立，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由相互獨(dú)立事件的概率乘法公式可得答案.【詳解】依題意可．故選：A15.如圖，在正方體中，E、F為正方體內(nèi)（含邊界）不重合的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）．A.若，，則B.若，，則平面平面C.若，，則面D.若，，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正方體特征及線面垂直的判定與性質(zhì)、面面垂直的判定可判定A、B選項(xiàng)；利用正方體的特征及面面平行的判定與性質(zhì)可判定C、D選項(xiàng).【詳解】如圖所示，對(duì)于選項(xiàng)A，易知，底面，底面，所以，又平面，所以平面，平面，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，易知，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，顯然平面即平面，故B正確；如上圖所示，對(duì)于C項(xiàng)，由正方體的特征可知，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理平面，平面，所以平面，顯然平面，所以平面平面，由平面可得平面，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，顯然時(shí)，與不平行，故D不正確.故選：D16.設(shè)集合，、均為的非空子集（允許）．中的最大元素與中的最小元素分別記為，則滿足的有序集合對(duì)的個(gè)數(shù)為（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)子集的個(gè)數(shù)，先求解的有序集合對(duì)的個(gè)數(shù)，然后用總個(gè)數(shù)減去即可求解.【詳解】對(duì)于給定的,集合是集合的任意一個(gè)子集與的并，故有種不同的取法，又,所以的任意一個(gè)非空子集，共有種取法，因此，滿足的有序集合對(duì)的個(gè)數(shù)為，由于有序?qū)τ袀€(gè)，因此滿足的有序集合對(duì)的個(gè)數(shù)為故選：B三、解答題（本大題滿分76分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．17.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，為的中點(diǎn)，為與的交點(diǎn)．（1）證明：//平面；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由中位線定理證明，再由判定證明即可；（2）求出點(diǎn)到平面的距離，再由體積公式求解.【小問1詳解】證明：四邊形為正方形，為與的交點(diǎn)，是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，，又平面平面，//平面．【小問2詳解】平面是的中點(diǎn)，到平面的距離，四邊形是正方形，，三棱錐的體積．18.已知數(shù)列滿足，且．（1）求的值；（2）若數(shù)列為嚴(yán)格增數(shù)列，其中是常數(shù)，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可得，即可判斷為等比數(shù)列，即可根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)求解，（2）利用作差法可得對(duì)正整數(shù)恒成立，即可求解.小問1詳解】由，得，故，即.又，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.從而，.所以.【小問2詳解】設(shè)數(shù)列滿足，因?yàn)閿?shù)列為嚴(yán)格增數(shù)列，故對(duì)正整數(shù)恒成立，即對(duì)正整數(shù)恒成立，當(dāng)時(shí)，取到最小值.所以.19.網(wǎng)絡(luò)購物行業(yè)日益發(fā)達(dá)，各銷售平臺(tái)通常會(huì)配備送貨上門服務(wù)．小金正在配送客戶購買的電冰箱，并獲得了客戶所在小區(qū)門戶以及建筑轉(zhuǎn)角處的平面設(shè)計(jì)示意圖．圖1圖2（1）為避免冰箱內(nèi)部制冷液逆流，要求運(yùn)送過程中發(fā)生傾斜時(shí)，外包裝的底面與地面的傾斜角不能超過，且底面至少有兩個(gè)頂點(diǎn)與地面接觸．外包裝看作長方體，如圖1所示，記長方體的縱截面為矩形，，，而客戶家門高度為米，其他過道高度足夠．若以傾斜角的方式進(jìn)客戶家門，小金能否將冰箱運(yùn)送入客戶家中？計(jì)算并說明理由．（2）由于客戶選擇以舊換新服務(wù)，小金需要將客戶長方體形狀的舊冰箱進(jìn)行回收．為了省力，小金選擇將冰箱水平推運(yùn)(冰箱背面水平放置于帶滾輪的平板車上，平板車長寬均小于冰箱背面）．推運(yùn)過程中遇到一處直角過道，如圖2所示，過道寬為米．記此冰箱水平截面為矩形，．設(shè)，當(dāng)冰箱被卡住時(shí)(即點(diǎn)、分別在射線、上，點(diǎn)在線段上），嘗試用表示冰箱高度的長，并求出的最小值，最后請(qǐng)幫助小金得出結(jié)論：按此種方式推運(yùn)的舊冰箱，其高度的最大值是多少？（結(jié)果精確到）【答案】19.冰箱能夠按要求運(yùn)送入客戶家中，理由見解析；20.最小值為米，此情況下能推運(yùn)冰箱高度的最大值為米.【解析】【分析】（1）過A，D作水平線，作，由可得；（2）延長與直角走廊的邊相交于、，由表示出，設(shè)進(jìn)行換元，利用單調(diào)性即可求解.【小問1詳解】過A，D作水平線，作如圖，當(dāng)傾斜角時(shí)，冰箱傾斜后實(shí)際高度（即冰箱最高點(diǎn)到地面的距離），故冰箱能夠按要求運(yùn)送入客戶家中．【小問2詳解】延長與直角走廊的邊相交于、，則，，，又，則，．設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，則，再令，則，易知，在上單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞減，故當(dāng)，即，時(shí)，取得最小值.由實(shí)際意義需向下取，此情況下能順利通過過道的冰箱高度的最大值為米．20.已知三條直線（）分別與拋物線交于點(diǎn)、，為軸上一定點(diǎn)，且，記點(diǎn)到直線的距離為，△的面積為．（1）若直線的傾斜角為，且過拋物線的焦點(diǎn)，求直線的方程；（2）若，且，證明：直線過定點(diǎn)；（3）當(dāng)時(shí)，是否存在點(diǎn)，使得，，成等比數(shù)列，，，也成等比數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）證明見解析（3）存在點(diǎn)滿足題意【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線交點(diǎn)，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式即可求解，（2）聯(lián)立直線與拋物線方程得韋達(dá)定理，即可根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解，（3）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)弦長公式求解，根據(jù)點(diǎn)到直線距離求解，進(jìn)而根據(jù)等比中項(xiàng)即可代入化簡(jiǎn)求解.【小問1詳解】焦點(diǎn)，斜率，故直線的方程為．【小問2詳解】聯(lián)立消去，整理，得．易，即，設(shè)、，則，.由，即，得，由于，所以，直線，故直線過定點(diǎn).【小問3詳解】當(dāng)時(shí)，．由于，所以，設(shè)，則.由，得，即．①聯(lián)立消去，整理，得.由，得．于是．由，，且，得，從而，即，化簡(jiǎn)，得．②①②相減，整理，得．而，即，故，即．又當(dāng)時(shí)，比如取，，滿足題意，故存在點(diǎn)滿足題意．.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法（1）引進(jìn)參數(shù)法：先引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，找到定點(diǎn).（2）特殊到一般法：先根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).技巧：若直線方程為,則直線過定點(diǎn);若直線方程為(為定值),則直線過定點(diǎn)21.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，給定區(qū)間，若存在，使得，則稱函數(shù)為區(qū)間上的“均值函數(shù)”，為函數(shù)的“均值點(diǎn)”．（1）試判斷函數(shù)是否為區(qū)間上的“均值函數(shù)”，如果是，請(qǐng)求出其“均值點(diǎn)”；如果不是，請(qǐng)說明理由；（2）已知函數(shù)是區(qū)間上的“均值函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)（常數(shù)）是區(qū)間上的“均值函數(shù)”，且為其“均值點(diǎn)”．將區(qū)間任意劃分成（）份，設(shè)分點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小