統(tǒng)考版2025屆高考數(shù)學(xué)全程一輪復(fù)習(xí)第十二章復(fù)數(shù)推理與證明算法第三節(jié)直接證明和間接證明學(xué)生用書

第三節(jié)干脆證明和間接證明·最新考綱·1．了解干脆證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思索過(guò)程、特點(diǎn)．2．了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思索過(guò)程、特點(diǎn)．·考向預(yù)料·考情分析：干脆證明與間接證明是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要推理方法，它們?nèi)允歉呖嫉目键c(diǎn)，題型將是選擇或填空題．學(xué)科素養(yǎng)：通過(guò)干脆證明和間接證明的應(yīng)用考查邏輯推理的核心素養(yǎng)．積累必備學(xué)問(wèn)——基礎(chǔ)落實(shí)贏得良好開(kāi)端一、必記3個(gè)學(xué)問(wèn)點(diǎn)1．干脆證明內(nèi)容綜合法分析法定義從已知條件動(dòng)身，經(jīng)過(guò)逐步的推理，最終達(dá)到待證結(jié)論的方法，是一種從____推導(dǎo)到____的思維方法從待證結(jié)論動(dòng)身，一步一步尋求結(jié)論成立的充分條件，最終達(dá)到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實(shí)的方法，是一種從____追溯到產(chǎn)生這一結(jié)果的____的思維方法特點(diǎn)從“____”看“____”，逐步推向“未知”，其逐步推理，事實(shí)上是要找尋它的____條件從“____”看“____”，逐步靠攏“____”，其逐步推理，事實(shí)上是要找尋它的____條件2.間接證明——反證法要證明某一結(jié)論Q是正確的，但不干脆證明，而是先去____________(即Q的反面非Q是正確的)，經(jīng)過(guò)正確的推理，最終得出________，因此說(shuō)明非Q是________的，從而斷定結(jié)論Q是________的，這種證明方法叫做反證法．3．?dāng)?shù)學(xué)歸納法一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取________(n0∈N*)時(shí)命題成立．(2)(歸納遞推)假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)________時(shí)命題也成立．只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)____________________都成立，上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法．二、必明2個(gè)常用結(jié)論1．分析法與綜合法的應(yīng)用特點(diǎn)：對(duì)較困難的問(wèn)題，經(jīng)常先從結(jié)論進(jìn)行分析，尋求結(jié)論與條件的關(guān)系，找到解題思路，再運(yùn)用綜合法證明；或兩種方法交叉運(yùn)用．2．利用反證法證明的特點(diǎn)：要假設(shè)結(jié)論錯(cuò)誤，并用假設(shè)的命題進(jìn)行推理，假如沒(méi)有用假設(shè)命題推理而推出沖突結(jié)果，其推理過(guò)程是錯(cuò)誤的．三、必練2類基礎(chǔ)題(一)推斷正誤1．推斷下列說(shuō)法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)．(1)綜合法是干脆證明，分析法是間接證明．()(2)分析法是從要證明的結(jié)論動(dòng)身，逐步找尋使結(jié)論成立的充要條件．()(3)反證法是指將結(jié)論和條件同時(shí)否定，推出沖突．()(二)教材改編2．[選修1－2·P42練習(xí)T2改編]若P＝a+6+a+7，Q＝a+8+a+5(a≥0)，則A．P＞QB．P＝QC.P＜QD．不能確定3．[選修1－2·P52T2改編]6－22與5-提升關(guān)鍵實(shí)力——考點(diǎn)突破駕馭類題通法考點(diǎn)一綜合法的應(yīng)用[綜合性][例1]設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，證明：(1)ab＋bc＋ca≤13(2)a2聽(tīng)課筆記：一題多變(變問(wèn)題)若例1條件不變，證明：a2＋b2＋c2≥13反思感悟綜合法證題的思路與方法【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.(1)求證：a，b，c成等差數(shù)列；(2)若C＝2π3，求證：5a＝3b考點(diǎn)二分析法的應(yīng)用[綜合性][例2]已知a＞0，證明：a2+1a2聽(tīng)課筆記：反思感悟分析法的證題思路分析法的證題思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”或本身已經(jīng)成立的定理、性質(zhì)或已經(jīng)證明成立的結(jié)論等．通常采納“欲證—只需證—已知”的格式，在表達(dá)中要留意敘述形式的規(guī)范．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】設(shè)x≥1，y≥1，證明：x＋y＋1xy≤1考點(diǎn)三反證法的應(yīng)用[綜合性][例3]已知非零實(shí)數(shù)a，b，c構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列，求證：1a，聽(tīng)課筆記：反思感悟反證法證明問(wèn)題的一般步驟(1)反設(shè)——假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)原結(jié)論的反面為真；(2)歸謬——把“反設(shè)”作為條件，經(jīng)過(guò)一系列正確的推理，得出沖突；(3)存真——由沖突結(jié)堅(jiān)決定反設(shè)錯(cuò)誤，從而確定原結(jié)論成立．應(yīng)用反證法時(shí)，當(dāng)原命題的結(jié)論的反面有多種狀況時(shí)，要對(duì)結(jié)論的反面的每一種狀況都進(jìn)行探討，從而達(dá)到否定結(jié)論的目的．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】設(shè)a＞0，b＞0，且a＋b＝1a(1)a＋b≥2；(2)a2＋a＜2與b2＋b＜2不行能同時(shí)成立．考點(diǎn)四數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用[綜合性]角度1用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式[例4]用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋n2≤1＋12+13＋…＋12n≤聽(tīng)課筆記：反思感悟數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的適用范圍及關(guān)鍵(1)適用范圍：當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí)，若用其他方法不易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法．(2)關(guān)鍵：由n＝k時(shí)命題成立證n＝k＋1時(shí)命題也成立，在歸納假設(shè)運(yùn)用后可運(yùn)用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來(lái)加以證明，充分應(yīng)用基本不等式、不等式的性質(zhì)等放縮技巧，使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化.角度2歸納——猜想——證明[例5]設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)．(1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N*，求gn(x)的表達(dá)式；(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．聽(tīng)課筆記：反思感悟歸納—猜想—證明問(wèn)題的一般步驟第一步：計(jì)算數(shù)列前幾項(xiàng)或特別狀況，視察規(guī)律揣測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)或一般結(jié)論；其次步：驗(yàn)證一般結(jié)論對(duì)第一個(gè)值n0(n0∈N*)成立；第三步：假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥n0，k∈N*)時(shí)結(jié)論成立，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立；第四步：下結(jié)論，由上可知結(jié)論對(duì)隨意n≥n0，n∈N*成立．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一切大于1的自然數(shù)，不等式(1＋13)(1＋15)·…·(1＋12n-12．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}中，對(duì)于一切的n∈N*均有an2≤an－an(1)證明：數(shù)列{an}中的隨意一項(xiàng)都小于1；(2)探究an與1n第三節(jié)干脆證明和間接證明積累必備學(xué)問(wèn)一、1．緣由結(jié)果結(jié)果緣由已知可知必要未知需知已知充分2．假設(shè)Q不成立沖突錯(cuò)誤正確3．(1)第一個(gè)值n0(2)n＝k＋1從n0起先的全部正整數(shù)n三、1．答案：(1)×(2)×(3)×2．解析：假設(shè)P＞Q，只需P2＞Q2，即2a＋13＋2a+6a+7＞2a＋13＋2a+8a+5，只需a2＋13a＋42＞a2＋13a＋40.因?yàn)?2＞40成立，所以P＞答案：A3．解析：假設(shè)6－22＞5-要證6－22＞5-7，只需證6+7＞即證13＋242＞13＋410，即42＞210.因?yàn)?2＞40，所以6－22＞5-答案：6－22＞5提升關(guān)鍵實(shí)力考點(diǎn)一例1證明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由題設(shè)得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤13當(dāng)且僅當(dāng)“a＝b＝c”時(shí)等號(hào)成立．(2)因?yàn)閍2b＋b≥2a，b2c＋c≥2b，c2當(dāng)且僅當(dāng)“a2＝b2＝c2”時(shí)等號(hào)成立，故a2b+b2c+c2a＋(a＋即a2b+b2c+c2一題多變證明：因?yàn)閍＋b＋c＝1，所以1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac.因?yàn)?ab≤a2＋b2，2bc≤b2＋c2，2ac≤a2＋c2，當(dāng)且僅當(dāng)“a＝b＝c”時(shí)等號(hào)成立，所以2ab＋2bc＋2ac≤2(a2＋b2＋c2)，所以1≤a2＋b2＋c2＋2(a2＋b2＋c2)，即a2＋b2＋c2≥13對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練證明：(1)由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，因?yàn)閟inB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB，由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差數(shù)列．(2)由C＝2π3，c＝2b－a(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，所以ab＝35，即5a＝3考點(diǎn)二例2證明：要證a2+1a2只需證a2+1a2因?yàn)閍＞0，故只需證(a2+1a2＋2)2≥(a＋1a+2)2，即a2＋1a2＋4a2+1a2＋4≥a2＋2＋1a2＋22(a＋1a)＋2，從而只需證2a2+1a對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練證明：由于x≥1，y≥1，所以要證明x＋y＋1xy≤1只要證明xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2，只要證明(xy)2－1＋(x＋y)－xy(x＋y)≥0，只要證明(xy－1)(xy＋1－x－y)≥0，只要證明(xy－1)(x－1)(y－1)≥0.由于x≥1，y≥1，上式明顯成立，所以原命題成立．考點(diǎn)三例3證明：假設(shè)1a則2b＝1所以2ac＝bc＋ab，①又a，b，c成等差數(shù)列且公差d≠0，所以2b＝a＋c，②所以把②代入①，得2ac＝b(a＋c)＝b·2b，所以b2＝ac，③由②平方，得4b2＝(a＋c)2，④把③代入④，得4ac＝(a＋c)2，所以(a－c)2＝0，所以a＝c.代入②，得b＝a，故a＝b＝c，所以數(shù)列a，b，c的公差為0，這與已知沖突，所以1a，對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練證明：由a＋b＝1a+1b＝a+bab，a(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2ab＝2，即a＋b≥2.(2)假設(shè)a2＋a＜2與b2＋b＜2同時(shí)成立，則由a2＋a＜2及a＞0，得0＜a＜1；同理，0＜b＜1，從而ab＜1，這與ab＝1沖突．故a2＋a＜2與b2＋b＜2不行能同時(shí)成立．考點(diǎn)四例4證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1＋12，右邊＝1所以32≤1＋1②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)命題成立，即1＋k2≤1＋12+13則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋12+13＋…＋12k+12k+1又1＋12+13＋…＋12k+12k+1+12k即n＝k＋1時(shí)，命題成立．由①②可知，命題對(duì)全部n∈N*都成立．例5解析：由題設(shè)得g(x)＝x1+x(x(1)由已知，g1(x)＝x1+xg2(x)＝g(g1(x))＝x1+x1+xg3(x)＝x1+3x，…，可猜想gn(x)＝x下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，g1(x)＝x1+x②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)結(jié)論成立，即gk(x)＝x1+kx則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，gk＋1(x)＝g(gk(x))＝gkx1+gk即n＝k＋1時(shí)結(jié)論成立．由①②可知，結(jié)論對(duì)n∈N*都成立．(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥ax1+x設(shè)φ(x)＝ln(1＋x)－ax1+x(x則φ′(x)＝11+x-a當(dāng)a≤1時(shí)，φ′(x)≥0(當(dāng)且僅當(dāng)x＝0，a＝1時(shí)等號(hào)成立)，所以φ(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增．又φ(0)＝0，所以φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，所以當(dāng)a≤1時(shí)，ln(1＋x)≥ax1+x恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)x當(dāng)a＞1時(shí)，對(duì)x∈[0，a－1]，有φ′(x)≤0，所以φ(x)在[0，a－1]上單調(diào)遞減，所以φ(a－1)＜φ(0)＝0.即當(dāng)a＞1時(shí)，存在x＞0，使φ(x)＜0，所以ln(1＋x)≥ax1+x綜上可知，a的取值范圍是(－∞，1].對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1．證明：①當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝1＋13＝43，右邊＝因?yàn)樽筮叄居疫?，所以不等式成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，且k∈N*)時(shí)不等式成立，即(1＋13)(1＋15)·…·(1＋12k-1則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，(1＋13)(1＋15)·…·(1＋12k-1)·1+12k+1-1＞2k+12＝2k+32k+122k+1所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立．由①②知對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立．2