湖南省長沙市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷

Page8湖南省長沙市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共8頁．時(shí)量120分鐘．滿分100分．第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知向量，則向量的模為（）A．1 B．2 C． D．2．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列，若，則（）A．1 B．2 C．3 D．43．雙曲線的離心率是（）A．1 B． C．2 D．4．直線在軸上的截距為（）A．2 B． C． D．35．已知圓錐的軸截面是邊長為8的等邊三角形，則該圓錐的側(cè)面積是（）A． B． C． D．6．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)M滿意，則的最大值為（）A． B．0 C．1 D．27．如圖所示，在正方體中，點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G是棱的中點(diǎn)，則異面直線GB與所成的角為（）A．120° B．90° C．60° D．30°8．對任一實(shí)數(shù)序列，定義序列，它的第項(xiàng)為．假定序列的全部項(xiàng)都為1，且，則（）A．1000 B．2000 C．2003 D．4006二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題4分，共16分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得4分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對得2分）9．?dāng)?shù)列滿意，對隨意，都有，數(shù)列前n項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．10．已知直線，A（1，2），B（3，3），則下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為45° B當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在C．直線恒過定點(diǎn) D．當(dāng)時(shí)，直線與直線垂直11．若函數(shù)的圖象與直線有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的可能取值為（）A． B．1 C． D．012．已知拋物線C：（）的焦點(diǎn)為，直線的斜率為，且經(jīng)過點(diǎn)F，直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)D，若，則以下結(jié)論正確的是（）A． B．F為AD中點(diǎn)C． D．第Ⅱ卷三、填空題（本題共4小題，每小題3分，共12分）13．已知是橢圓上的一點(diǎn)，則點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和是．14．正四棱錐的底面邊長和高都等于2，則該四棱錐的體積為．15．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何．”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列．問五人各得多少錢？”（“錢”是古代的一種質(zhì)量單位）．這個(gè)問題中，戊所得為錢．16．2024年11月，我國用長征五號遙五運(yùn)載火箭勝利放射探月工程嫦娥五號探測器，探測器在進(jìn)入近圓形的環(huán)月軌道后，將實(shí)施著陸器和上升器組合體與軌道器和返回器組合體分別．我們模擬以下情景：如圖，假設(shè)月心位于坐標(biāo)原點(diǎn)，探測器在處以12km/s的速度勻速直線飛向距月心2000km的圓形軌道上的某一點(diǎn)P，在點(diǎn)P處分別出著陸器和上升器組合體后，軌道器和返回器組合體馬上以18km/s的速度勻速直線飛至，這一過程最少用時(shí)s．四、解答題（本題共6小題，每小題8分，共48分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（6分）已知三個(gè)頂點(diǎn)是，，．（1）求BC邊上的垂直平分線的直線方程；（2）求點(diǎn)A到BC邊所在直線的距離．18．（8分）已知雙曲線C與橢圓有公共焦點(diǎn)，且它的一條漸近線為．（1）求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．19．（8分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)在直線上．（1）求數(shù)列的前項(xiàng)和，以及數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿意：，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的最小值．20．（8分）已知，直線和圓．（1）求直線斜率的取值范圍；（2）直線能否將圓分割成弧長的比值為的兩段圓?。繛槭裁?？21．（8分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，．（1）求證：平面；（2）若直線與底面所成的角的正切值為，求二面角的正切值．22．（10分）設(shè)拋物線（）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知，．（1）求拋物線的方程；（2）過焦點(diǎn)作直線交于，兩點(diǎn)，為上異于，的隨意一點(diǎn)，直線，分別與的準(zhǔn)線相交于，兩點(diǎn)，證明：以線段為直徑的圓經(jīng)過軸上的兩個(gè)定點(diǎn)．長郡中學(xué)2024—2024學(xué)年度高二第一學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)參考答案題號123456789101112答案CBDBCCBDADCDABCDABC一、單項(xiàng)選擇題1.C2.B3.D4.B5.C6.C易知的軌跡為橢圓，其方程為，設(shè)，則，∴，因?yàn)椋?，即，?故選C.7.B8.D【解析】依題意知是公差為1的等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，通項(xiàng)為，則，于是.由于，即，解得，.故.故選D.二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題4分，共16分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得4分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對得2分）9.AD10.CD11.ABCD12.ABC【解析】如圖，，直線的斜率為，則直線方程為，聯(lián)立，得.解得，，由，得.∴拋物線方程為.，則；，∴，，則為中點(diǎn).∴運(yùn)算結(jié)論正確的是A、B、C.故選：ABC.三、填空題13.614.【解析】：∵正四棱錐的底面邊長和高都等于2，∴該四棱錐的體積.15.【解析】設(shè)甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為，，，，則依據(jù)題意有，解得，所以戊所得為.16.【解析】設(shè)，，飛行過程所用時(shí)間，令，即，設(shè)點(diǎn)在圓形軌道內(nèi)，取點(diǎn)坐標(biāo)為，而，由得，，即，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，即，化簡整理得，即滿意的動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是給定的圓形軌道，所以距月心2000km的圓形軌道上的隨意點(diǎn)均有成立，如圖，連，于是有，當(dāng)且僅當(dāng)為線段與圓形軌道交點(diǎn)時(shí)取“＝”，即有，所以這一過程最少用時(shí).四、解答題17.【解析】（1）∵，，∴，則所求直線的斜率為：.又的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以邊上的中垂線所在的直線方程為：.（2）直線的方程為：，則點(diǎn)到直線的距離為：.18.【解析】（1）橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）設(shè)的方程為，即，依題意，解得，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.19.【解析】（1）由題意知：，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；而，∴，.（2），當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故.20.【解析】（1）∵，∴（*），（求出斜率表達(dá)式給2分）∵，∴當(dāng)時(shí)，，解得且，又當(dāng)時(shí)，，方程（*）有解，綜上所述，.（2）假設(shè)直線能將圓分割成弧長的比值為的兩段圓弧.設(shè)直線與圓交于、兩點(diǎn)，則.∵圓，∴圓心到的距離為1.故有，整理得∵，∴無實(shí)數(shù)解.因此直線不行能將圓分割成弧長的比值為的兩段圓弧.21.【解析】（1）證明：在四邊形中，，，，所以，都為等腰直角三角形，即，又因?yàn)槠矫嫫矫?，，平面平面，所以直線平面，又平面，所以，又，所以平面.（2）以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，，則，，因?yàn)橹本€與底面所成角的正切值為，所以在中，，∴.設(shè)平面和平面法向量分別為，，易知可取，，因?yàn)?，，所以，即，令，解?設(shè)所求二面角為，所以，∴.22.【解析】