湖南省長沙市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期月考試題一含解析

Page22湖南省長沙市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期月考試題（一）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共8頁.時(shí)量120分鐘，滿分150分.第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】干脆解出集合，再求交集即可.【詳解】，，則.故選：D.2.記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a6＝16，S5＝35，則{an}的公差為（）A.3 B.2 C.－2 D.－3【答案】A【解析】【分析】由題得a3＝7，設(shè)等差數(shù)列的公差為，解方程組即得解.【詳解】解：由等差數(shù)列性質(zhì)可知，S5＝×5＝5a3＝35，解得a3＝7，設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以，解之得.故選：A.3.已知，是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根.若，則（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】由，是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理求出，再由復(fù)數(shù)的模長公式求解即可.【詳解】法一：由，是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，得，所以，所以.法二：由，是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，得，所以，所以.故選：C.4.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分析函數(shù)的奇偶性及其在上的函數(shù)值符號(hào)，結(jié)合解除法可得出合適的選項(xiàng).【詳解】令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以，函?shù)為偶函數(shù)，解除AB選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，解除C選項(xiàng).故選：D.5.已知的解集為，則的值為（）A.1 B.2 C.-1 D.-2【答案】B【解析】【分析】由題知為方程的一個(gè)根，由韋達(dá)定理即可得出答案.【詳解】因?yàn)榈慕饧癁?，所以為方程的一個(gè)根，所以．故選:B．6.古代數(shù)學(xué)家劉徽編撰的《重差》是中國最早的一部測(cè)量學(xué)著作，也為地圖學(xué)供應(yīng)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，依據(jù)劉徽的《重差》測(cè)量一個(gè)球體建筑的高度，已知點(diǎn)A是球體建筑物與水平地面的接觸點(diǎn)（切點(diǎn)），地面上B，C兩點(diǎn)與點(diǎn)A在同一條直線上，且在點(diǎn)A的同側(cè)，若在B，C處分別測(cè)量球體建筑物的最大仰角為60°和20°，且BC=100，則該球體建筑物的高度約為（）（cos10°≈0.985）A.45.25 B.50.76 C.56.74 D.58.60【答案】B【解析】【分析】數(shù)形結(jié)合，依據(jù)三角函數(shù)解三角形求解即可；【詳解】設(shè)球的半徑為R，，，故選:B.7.已知定義域是R的函數(shù)滿意：，，為偶函數(shù)，，則（）A.1 B.-1 C.2 D.-3【答案】B【解析】【分析】依據(jù)對(duì)稱性可得函數(shù)具有周期性，依據(jù)周期可將.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，又由，得，所以，所以，所以，故的周期為4，所以．故選:B．8.如今中國被譽(yù)為基建狂魔，可謂是逢山開路，遇水架橋.馬路里程?高鐵里程雙雙都是世界第一.建設(shè)過程中研制出用于基建的大型龍門吊?平衡盾構(gòu)機(jī)等國之重器更是世界領(lǐng)先.如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球?yàn)檎拿骟w的內(nèi)切球，中等球與最大球和正四面體三個(gè)面均相切，最小球與中等球和正四面體三個(gè)面均相切，已知正四面體棱長為，則模型中九個(gè)球的表面積和為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出協(xié)助線，先求出正四面體的內(nèi)切球半徑，再利用三個(gè)球的半徑之間的關(guān)系得到另外兩個(gè)球的半徑，得到答案.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，，則，，過點(diǎn)作⊥底面，垂足在上，且，所以，故，點(diǎn)為最大球的球心，連接并延長，交于點(diǎn)，則⊥，設(shè)最大球的半徑為，則，因?yàn)椤祝?，即，解得，即，則，故設(shè)最小球的球心為，中間球的球心為，則兩球均與直線相切，設(shè)切點(diǎn)分別為，連接，則分別為最小球和中間球的半徑，長度分別設(shè)為，則，則，又，所以，解得，又，故，解得，所以，模型中九個(gè)球的表面積和為.故選：B【點(diǎn)睛】解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時(shí)，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對(duì)于外切的問題要留意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對(duì)于球的內(nèi)接幾何體的問題，留意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題為真命題的是（）A.若，則B.函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象C.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為D.的最小正周期為【答案】AC【解析】【分析】利用二倍角公式和誘導(dǎo)公式可求得，知A正確；依據(jù)三角函數(shù)平移變換可求得，知B錯(cuò)誤；利用三角恒等變換公式化簡得到解析式，利用整體對(duì)應(yīng)的方式可求得單調(diào)遞增區(qū)間，知C正確；利用特別值推斷D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，向右平移個(gè)單位長度得：，即，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則由，得：，，的單調(diào)遞增區(qū)間為，C正確；對(duì)于D，無意義，不是函數(shù)的周期，D錯(cuò)誤.故選：AC.10.如圖所示，該幾何體由一個(gè)直三棱柱和一個(gè)四棱錐組成，，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若平面與平面的交線為，則AC//lC.三棱柱的外接球的表面積為D.當(dāng)該幾何體有外接球時(shí)，點(diǎn)到平面的最大距離為【答案】BD【解析】【分析】依據(jù)空間線面關(guān)系，結(jié)合題中空間幾何體，逐項(xiàng)分析推斷即可得解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，若，又因?yàn)槠矫?，但是不肯定在平面上，所以A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以平面，平面平面，所以，所以B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，取的中心，的中心，的中點(diǎn)為該三棱柱外接球的球心，所以外接球的半徑，所以外接球的表面積為，所以C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D，該幾何體的外接球即為三棱柱的外接球，的中點(diǎn)為該外接球的球心，該球心到平面的距離為，點(diǎn)到平面的最大距離為，所以D正確.故選：BD11.同學(xué)們，你們是否留意到，自然下垂的鐵鏈；空曠的田野上，兩根電線桿之間的電線；峽谷的上空，橫跨深洞的觀光索道的鋼索.這些現(xiàn)象中都有相像的曲線形態(tài).事實(shí)上，這些曲線在數(shù)學(xué)上經(jīng)常被稱為懸鏈線.懸鏈線的相關(guān)理論在工程、航海、光學(xué)等方面有廣泛的應(yīng)用.在恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，這類函數(shù)的表達(dá)式可以為（其中，是非零常數(shù)，無理數(shù)），對(duì)于函數(shù)以下結(jié)論正確的是（）A.是函數(shù)為偶函數(shù)的充分不必要條件；B.是函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件；C.假如，那么為單調(diào)函數(shù)；D.假如，那么函數(shù)存在極值點(diǎn).【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)奇偶函數(shù)的定義、充分條件和必要條件的定義即可推斷AB；利用導(dǎo)數(shù)，分類探討函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)的概念即可推斷CD.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，故函數(shù)為偶函數(shù)；當(dāng)函數(shù)為偶函數(shù)時(shí)，，故，即，又，故，所以是函數(shù)為偶函數(shù)充要條件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，故函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)函數(shù)為奇函數(shù)時(shí)，，因?yàn)?，，?所以是函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件，故B正確；對(duì)于C，，因?yàn)?，若，則恒成立，則為單調(diào)遞增函數(shù)，若則恒成立，則為單調(diào)遞減函數(shù)，故，函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，，令得，又，若，當(dāng)，，函數(shù)為單調(diào)遞減.當(dāng)，，函數(shù)為單調(diào)遞增.函數(shù)存在唯一的微小值.若，當(dāng)，，函數(shù)為單調(diào)遞增.當(dāng)，，函數(shù)為單調(diào)遞減.故函數(shù)存在唯一的極大值.所以函數(shù)存在極值點(diǎn)，故D正確.故答案為：BCD.12.設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且滿意條件，，，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.為遞減數(shù)列 B.C.是數(shù)列中的最大項(xiàng) D.【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)題意先推斷出數(shù)列前2024項(xiàng)大于1，而從第2024項(xiàng)起先都小于1.再對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證：對(duì)于A：利用公比的定義干脆推斷；對(duì)于B：由及前n項(xiàng)和的定義即可推斷；對(duì)于C：前項(xiàng)積為的定義即可推斷；對(duì)于D：先求出，由即可推斷.【詳解】由可得：和異號(hào)，即或.而，，可得和同號(hào)，且一個(gè)大于1，一個(gè)小于1.因?yàn)?，全部，，即?shù)列的前2024項(xiàng)大于1，而從第2024項(xiàng)起先都小于1.對(duì)于A：公比，因?yàn)?，所以為減函數(shù)，所以為遞減數(shù)列.故A正確；對(duì)于B：因?yàn)椋?，所?故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，且數(shù)列的前2024項(xiàng)大于1，而從第2024項(xiàng)起先都小于1，所以是數(shù)列中的最大項(xiàng).故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，所以，?故D錯(cuò)誤.故選：AC第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，若，則______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意求得，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式求得的值，得到的坐標(biāo)，利用向量模的公式，即可求解．【詳解】因?yàn)?，可得，又因?yàn)?，可得，解得，所以，所?故答案為：.14.已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為______.【答案】3【解析】【分析】令得，依據(jù)分段函數(shù)性質(zhì)可在同始終角坐標(biāo)系中作出，的大致圖象，由圖象可知，函數(shù)與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，即可得出答案．【詳解】令得，可知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，在同始終角坐標(biāo)系中作出，的大致圖象如下：由圖象可知，函數(shù)與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，故答案為：3.15.已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則平面截此正方體所得截面面積的最大值為______.【答案】【解析】【分析】利用正方體的結(jié)構(gòu)特征，推斷平面?所在的位置，然后求得截面面積的最大值即可.【詳解】依據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的，可知在正方體中，平面與直線，，所成的角是相等的，所以平面與平面平行，由正方體的對(duì)稱性：要求截面面積最大，則截面的位置為過棱的中點(diǎn)的正六邊形（過正方體的中心），邊長為，所以其面積為.故答案為：.16.如圖1所示，古箏有多根弦，每根弦下有一個(gè)雁柱，雁柱用于調(diào)整音高和音質(zhì).圖2是依據(jù)圖1繪制的古箏弦及其雁柱的簡易平面圖.在圖2中，每根弦都垂直于x軸，相鄰兩根弦間的距離為1，雁柱所在曲線的方程為，第n根弦（，從左數(shù)首根弦在y軸上，稱為第0根弦）分別與雁柱曲線和直線l：交于點(diǎn)和，則______.（參考數(shù)據(jù)：取.）【答案】914【解析】【分析】依據(jù)題意可得，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：，則，可得，兩式相減可得：，所以.故答案為：914.四、解答題：本題共6小題，共70分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.如圖，在直三棱柱中，，，，M為中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)A到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】(1)利用線面平行的判定定理證明；(2)利用等體積法求解.【小問1詳解】連接交于點(diǎn)，連接，則有為的中點(diǎn)，M為的中點(diǎn)，所以，且平面，平面，所以平面.【小問2詳解】連接,因?yàn)?，所?又因?yàn)槠矫?，平面，所以?所以平面,又因?yàn)槠矫?所以,又，所以是等腰直角三角形，,所以,,設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為，因?yàn)?所以,所以.18.記銳角的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求證：；（2）若，求的最大值．【答案】（1）見解析；（2）.【解析】【分析】（1）運(yùn)用兩角和與差正弦進(jìn)行化簡即可；（2）依據(jù)（1）中結(jié)論運(yùn)用正弦定理得，然后等量代換出，再運(yùn)用降次公式化簡，結(jié)合內(nèi)角取值范圍即可求解【小問1詳解】證明：由題知，所以，所以,所以因?yàn)闉殇J角，即，所以，所以，所以.【小問2詳解】由（1）知：，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)橛烧叶ɡ淼茫?，所?所以，因?yàn)?，所以，所以因?yàn)槭卿J角三角形，且，所以，所以，所以，當(dāng)時(shí)，取最大值為，所以最大值為：.19.甲、乙足球愛好者為了提高球技，兩人輪番進(jìn)行點(diǎn)球訓(xùn)練（每人各踢一次為一輪），在相同條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，一人踢球另一人撲球，甲先踢，每人踢一次球，兩人有1人進(jìn)球另一人不進(jìn)球，進(jìn)球者得1分，不進(jìn)球者得分；兩人都進(jìn)球或都不進(jìn)球，兩人均得0分，設(shè)甲、乙每次踢球命中的概率均為，甲撲到乙踢出球的概率為，乙撲到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影響．（1）經(jīng)過1輪踢球，記甲的得分為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）求經(jīng)過3輪踢球累計(jì)得分后，甲得分高于乙得分的概率．【答案】（1）分布列見解析；期望為（2）【解析】【分析】（1）先分別求甲、乙進(jìn)球的概率，進(jìn)而求甲得分的分布列和期望；（2）依據(jù)題意得出甲得分高于乙得分的全部可能狀況，結(jié)合（1）中的數(shù)據(jù)分析運(yùn)算.【小問1詳解】記一輪踢球，甲進(jìn)球?yàn)槭聞?wù)A，乙進(jìn)球?yàn)槭聞?wù)B，A，B相互獨(dú)立，由題意得：，，甲的得分X的可能取值為，，，所以X的分布列為：X01p.【小問2詳解】經(jīng)過三輪踢球，甲累計(jì)得分高于乙有四種狀況：甲3輪各得1分；甲3輪中有2輪各得1分，1輪得0分；甲3輪中有2輪各得1分，1輪得分；甲3輪中有1輪得1分，2輪各得0分，甲3輪各得1分的概率為，甲3輪中有2輪各得1分，1輪得0分的概率為，甲3輪中有2輪各得1分，1輪得分的概率為，甲3輪中有1輪得1分，2輪各得0分的概率為，所以經(jīng)過三輪踢球，甲累計(jì)得分高于乙的概率.20.已知數(shù)列中，，.（1）令，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）令，當(dāng)取得最大值時(shí)，求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）求得，，利用遞推公式計(jì)算得出，由此可證得結(jié)論成立；（2）由（1）可知，利用累加法可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得出，利用定義法推斷數(shù)列的單調(diào)性，進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】（1）在數(shù)列中，，，則，，則，則，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，所以，；（2）由（1）可知，即，可得，累加得，.，，，令，則，所以，.，，，所以，當(dāng)時(shí)，.所以，，.所以，數(shù)列中，最大，故.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求數(shù)列通項(xiàng)公式常用的七種方法：（1）公式法：依據(jù)等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式或進(jìn)行求解；（2）前項(xiàng)和法：依據(jù)進(jìn)行求解；（3）與的關(guān)系式法：由與的關(guān)系式，類比出與的關(guān)系式，然后兩式作差，最終檢驗(yàn)出是否滿意用上面的方法求出的通項(xiàng)；（4）累加法：當(dāng)數(shù)列中有，即第項(xiàng)與第項(xiàng)的差是個(gè)有規(guī)律的數(shù)列，就可以利用這種方法；（5）累乘法：當(dāng)數(shù)列中有，即第項(xiàng)與第項(xiàng)的商是個(gè)有規(guī)律的數(shù)列，就可以利用這種方法；（6）構(gòu)造法：①一次函數(shù)法：在數(shù)列中，（、均為常數(shù)，且，）.一般化方法：設(shè)，得到，，可得出數(shù)列是以的等比數(shù)列，可求出；②取倒數(shù)法：這種方法適用于（、、為常數(shù)，），兩邊取倒數(shù)后，得到一個(gè)新的特別（等差或等比）數(shù)列或類似于的式子；⑦（、為常數(shù)且不為零，）型的數(shù)列求通項(xiàng)，方法是在等式的兩邊同時(shí)除以，得到一個(gè)型的數(shù)列，再利用⑥中的方法求解即可.21.已知雙曲線的焦距為10，且經(jīng)過點(diǎn)．A，B為雙曲線E的左、右頂點(diǎn)，P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PB交雙曲線E于點(diǎn)C，D（不同于A，B）．（1）求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）直線CD是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）直線CD過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為．【解析】【分析】（1）方法一：將代入方程，結(jié)合求得得雙曲線方程；方法二：依據(jù)雙曲線定義求得得雙曲線方程.（2）方法一：設(shè)CD的方程為，與雙曲線聯(lián)立，由A點(diǎn)與C點(diǎn)寫出AC方程，求出，由B點(diǎn)與D點(diǎn)寫出BD方程，求出，利用兩個(gè)相等建立關(guān)系式，代入韋達(dá)定理可求得為定值.方法二：設(shè)CD的方程為，與雙