湖南省2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次大練習(xí)試題含解析

Page23湖南省2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期其次次大練習(xí)試題一?選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式，以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，逐項(xiàng)推斷，即可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤．故選：B．2.已知平面內(nèi)有一點(diǎn)，平面的一個(gè)法向量為，則下列點(diǎn)P中，在平面內(nèi)的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】可設(shè)出平面內(nèi)內(nèi)一點(diǎn)坐標(biāo)，求出與平面平行的向量，利用數(shù)量積為0可得到，，的關(guān)系式，代入各選項(xiàng)的數(shù)據(jù)可得結(jié)果．【詳解】解：設(shè)平面內(nèi)一點(diǎn)，則：，是平面的法向量，，，由得把各選項(xiàng)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)代入上式驗(yàn)證可知適合．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查空間向量點(diǎn)的坐標(biāo)的概念，法向量的概念，向量數(shù)量積的概念．3.已知為遞增的等差數(shù)列，，若，則（）A.10 B.11 C.12 D.13【答案】C【解析】【分析】求出等差數(shù)列的兩個(gè)基本量進(jìn)而依據(jù)通項(xiàng)公式求得的值.【詳解】設(shè)公差，依據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可知，又，且遞增，解得：，又，即，解得.故選：C.4.人們用分貝(dB)來劃分聲音的等級(jí)，聲音的等級(jí)d(x)(單位：dB)與聲音強(qiáng)度(單位:)滿意d(x)＝9lg.一般兩人小聲交談時(shí)，聲音的等級(jí)約為54dB，在有50人的課堂上講課時(shí)，老師聲音的等級(jí)約為63dB，那么老師上課時(shí)聲音強(qiáng)度約為一般兩人小聲交談時(shí)聲音強(qiáng)度的（）A.1倍 B.10倍C.100倍 D.1000倍【答案】B【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算即可求解.【詳解】設(shè)老師上課時(shí)聲音強(qiáng)度，一般兩人小聲交談時(shí)聲音強(qiáng)度分別為，依據(jù)題意得＝，解得，，解得，所以因此，老師上課時(shí)聲音強(qiáng)度約為一般兩人小聲交談時(shí)聲音強(qiáng)度的10倍.故選:B.5.若直線與圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，劣弧的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡(jiǎn)直線方程化為，得到直線恒過定點(diǎn)，結(jié)合圓的性質(zhì)和圓的弦長(zhǎng)公式，即可求解.【詳解】由題意，直線可化為，當(dāng)且，即且時(shí)，等式恒成立，所以直線恒過定點(diǎn)，設(shè)圓的圓心為，半徑，當(dāng)直線時(shí)，取得最小值，且最小值為，此時(shí)弦長(zhǎng)對(duì)的圓心角為，所以劣弧長(zhǎng)為.故選：B.6.已知正項(xiàng)等比數(shù)列中的是函數(shù)的極值點(diǎn)，則（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】求導(dǎo)依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，依據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)得到，計(jì)算得到答案.【詳解】是的極值點(diǎn)，則是的兩個(gè)根，故，是正項(xiàng)等比數(shù)列，所以，因此.故選：B7.已知實(shí)數(shù)分別滿意，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將變形為，視察可發(fā)覺這與形式相同，且易知，.構(gòu)造，求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞增.從而可推出，代入即可得到結(jié)果.【詳解】由可得，，則，即，又，所以，且，.令，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，在上單調(diào)遞增.又，，，所以.所以，.故選：C.8.已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且，點(diǎn)為線段上靠近的四等分點(diǎn).若對(duì)于線段上的隨意一點(diǎn)，都有成立，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由結(jié)合極化恒等式得，從而得，結(jié)合橢圓定義可得在和中由余弦定理建立關(guān)系得離心率.【詳解】取的中點(diǎn)，連接.則有.同理，因此.所以，取的中點(diǎn)，連接，則，由三線合一得，設(shè)，故，解得，則，在和中，由余弦定理得，，解得，故選：.【點(diǎn)睛】橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只須要依據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．本題關(guān)鍵是在在和中由余弦定理建立關(guān)系式，也可以在和中同樣的方法求解.二?多選題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，滿分20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知拋物線的焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，若，則（）A.的坐標(biāo)為 B.C. D.以為直徑的圓與軸相切【答案】BCD【解析】【分析】由拋物線的方程求出焦點(diǎn)的坐標(biāo)，可推斷A選項(xiàng)；利用拋物線的定義可求得的值，可推斷B選項(xiàng)；先依據(jù)拋物線的方程求的值，再利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式可推斷C選項(xiàng)；求出的中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得該點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系推斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于拋物線，可得，且焦點(diǎn)在y軸正半軸上，則點(diǎn)錯(cuò)誤；由拋物線的定義可得，可得正確；由可知，，可得，C正確；∵的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離，∴以為直徑的圓與軸相切，D正確.故選：BCD.10.如圖是常見的一種滅火器消防箱，抽象成數(shù)學(xué)模型為如圖所示的六面體，其中四邊形和為直角梯形，，為直角頂點(diǎn)，其他四個(gè)面均為矩形，，下列說法正確的是（）A.該幾何體是四棱臺(tái)B.C.D.平面與平面的夾角為【答案】BD【解析】【分析】四邊形和為直角梯形，其他四個(gè)面均為矩形,可知：，且四直線相等，故這是一個(gè)以平面和平面是底面的直四棱柱，又過的三條棱兩兩垂直，可以建立空間直角坐標(biāo)系易得答案.【詳解】因?yàn)樗倪呅魏蜑橹苯翘菪?，為直角頂點(diǎn)，其他四個(gè)面均為矩形可知：，且四直線相等，所以這個(gè)六面體是四棱柱，平面和平面是底面，故錯(cuò)誤；由題意可知兩兩垂直，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，故.故正確；，所以不垂直，故C錯(cuò)誤；依據(jù)題意可知平面，所以為平面的一個(gè)法向量，，設(shè)為平面的法向量，則有則可取，則，所以平面與平面的夾角為，故正確.故選：BD.11.傳聞古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來探討數(shù)，他們依據(jù)沙粒或小石子所排列的形態(tài)把數(shù)分成很多類，如圖中第一行圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：稱為三角形數(shù)，其次行圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：稱為正方形數(shù)，記三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則下列說法正確的是（）A.B.1225既是三角形數(shù)，又是正方形數(shù)C.D.，總存在，使得成立【答案】ABD【解析】【分析】利用等差數(shù)列求和，分別求出，，進(jìn)而結(jié)合裂項(xiàng)求和法逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行推斷即可得到答案.【詳解】三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，易得；正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，，易得；對(duì)于A：，故A正確；對(duì)于B：令，解得；令，解得.故B正確；對(duì)于：∵，∴，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：取，且，則，即，故，總存在，使得成立，故D正確.故選：ABD.12.若，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】分別構(gòu)造、、，利用導(dǎo)數(shù)探討它們?cè)谏系膯握{(diào)性比較大小即可，應(yīng)用特別值法推斷D.【詳解】A：令且，則，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故導(dǎo)函數(shù)恒大于0，故在定義域上遞增，則，即，所以，錯(cuò)誤；B：令且，則，故在定義域上遞增，則，即，所以，則，即，正確；C：令且，則，故在定義域上遞增，則，即，所以，則，正確；D：當(dāng)時(shí)，，錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：依據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性，進(jìn)而比較大小關(guān)系.三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知數(shù)列滿意，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為___________.【答案】【解析】【分析】把，看成的前項(xiàng)和，記為，利用求解.【詳解】時(shí)，時(shí)，，時(shí)，不滿意上式，故答案：14.三棱錐中，，則三棱錐的外接球表面積為___________.【答案】【解析】【分析】證明，，，得出棱中點(diǎn)為外接球球心，進(jìn)而得出外接球半徑，即可計(jì)算出三棱錐外接球表面積.【詳解】解：由題意，如圖，在△中，，∴，∵，面，，∴⊥面，又面，∴在△中，同理可得，，∵面，，∴面，又面，∴∴棱中點(diǎn)為外接球球心，外接球半徑為，∴外接球表面積為.故答案為：.15.直線與曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【解析】【分析】直線恒過點(diǎn)，分和兩種狀況分析曲線方程所表示的曲線，數(shù)形結(jié)合，求得m的取值范圍.【詳解】直線，斜率為m，恒過點(diǎn)，時(shí)，曲線為，表示雙曲線位于x軸上及x軸上方的部分，如圖，一條漸近線方程為，直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則，時(shí)，曲線為，表示單位圓位于x軸下方的部分（半圓），如圖，直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則，解得，綜上所述，.故答案為：.16.已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】利用轉(zhuǎn)化法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合思想、分類探討思想進(jìn)行求解即可.【詳解】由于，方程等價(jià)于，即依題意與圖象有四個(gè)交點(diǎn)，令，若，令，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)，取最大值，，若，，當(dāng)當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)，的最小值，，函數(shù)的圖象如下圖所示：所以與的圖象有四個(gè)交點(diǎn)時(shí)，.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用轉(zhuǎn)化法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù)的全部正的零點(diǎn)構(gòu)成遞增數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先利用協(xié)助角公式化簡(jiǎn)，再求出全部正的零點(diǎn)，利用等差數(shù)列即可求解通項(xiàng).（2）首先求出，再利用錯(cuò)位相減法求解即可.【小問1詳解】，由題意令，解得.又函數(shù)的全部正的零點(diǎn)構(gòu)成遞增數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，因此.【小問2詳解】由（1）知，則，①，②由①-②得，所以.18.已知，動(dòng)點(diǎn)滿意，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)為，則直線是否過定點(diǎn)？若經(jīng)過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）過定點(diǎn)，定點(diǎn)【解析】【分析】（1）點(diǎn)點(diǎn)距離，列等量，化簡(jiǎn)即可求解軌跡方程，（2）依據(jù)四點(diǎn)共圓得方程，進(jìn)而依據(jù)兩圓方程得相交弦方程，進(jìn)而可求定點(diǎn).【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)，依題意知，整理得，曲線的方程為.【小問2詳解】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，由題意可知：四點(diǎn)共圓且在以為直徑的圓上（對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四頂點(diǎn)共圓），設(shè)該圓為圓,設(shè)，則圓心，半徑，于是圓的方程為：即，又在圓上，即，（直線是兩圓的公共弦所在直線，故兩圓方程相減便得其方程）.由得所以直線過定點(diǎn)..19.如圖：直三棱柱中，側(cè)面，均為邊長(zhǎng)為2的正方形，且面面分別為正方形對(duì)角線的中點(diǎn).（1）求點(diǎn)到面的距離；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將點(diǎn)到面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離，運(yùn)用等積法求解.（2）方法一：幾何法，取的中點(diǎn)，可證得為二面角的平面角，在中由余弦定理可求得的值.方法二：建立空間坐標(biāo)系運(yùn)用向量法求解.【小問1詳解】面面，故直三棱柱可以看作為正方體沿對(duì)角面截取的一半，因?yàn)榉謩e為正方形對(duì)角線的中點(diǎn)，故點(diǎn)到面的距離即點(diǎn)到面的距離.△為邊長(zhǎng)為的等邊三角形.設(shè)點(diǎn)到面的距離為，則由，得，即.【小問2詳解】（方法一）取的中點(diǎn)，連接，均是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，可得，且為二面角的平面角，在等腰中，，由余弦定理可求得，平面與平面夾角的余弦值為.（方法二）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸如圖建系，，，設(shè)平面的法向量為，由得令，有，，又，設(shè)平面的法向量為，由得，令，有，則，因?yàn)?，所以平面與平面夾角的余弦值為.20.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若對(duì)隨意的，均有是常數(shù)且成立，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.（1）若數(shù)列為“（1）數(shù)列”，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列為“數(shù)列”，且，設(shè)，證明.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用新定義和，可得答案；（2）利用新定義和可得，所以，，兩式相減得化簡(jiǎn)計(jì)算可得答案.【小問1詳解】數(shù)列為“（1）數(shù)列”，則，故，兩式相減得：，.又時(shí)，，所以，故對(duì)隨意的恒成立，即（常數(shù)），故數(shù)列為等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為；【小問2詳解】因?yàn)閿?shù)列為“（2）數(shù)列”，所以，所以，故有，又時(shí)，，故，滿意：，所以對(duì)隨意正整數(shù)恒成立，數(shù)列的前幾項(xiàng)為：，且，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，且是遞增數(shù)列，所以，，兩式相減得：，，因?yàn)?，故，?21.已知雙曲線，其虛軸長(zhǎng)為，直線與曲線的左支相交于相異兩點(diǎn).（1）求的取值范圍；（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)，使（其中），求的面積的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)已知可得雙曲線方程為.聯(lián)立直線與雙曲線的方程可得，依據(jù)題意可推斷方程有兩個(gè)不相等的負(fù)數(shù)根，由韋達(dá)定理以及兩根的符號(hào)，即可求出的取值范圍；（2）由可得到，代入雙曲線即可得到的關(guān)系.然后表示出弦長(zhǎng)以及到直線的距離，可表示出的面積，令換元可得.對(duì)求導(dǎo)即可得到在上單調(diào)遞增，即可求出最值.【小問1詳解】因?yàn)殡p曲線的虛軸長(zhǎng)為，所以，故雙曲線方程為.聯(lián)立消去整理得，因?yàn)橹本€與曲線的左支相交于相異兩點(diǎn)，所以該方程有兩個(gè)不相等的負(fù)數(shù)根，設(shè).，解得.實(shí)數(shù)的取值范圍是.【小問2詳解】設(shè)，由得：.所以，，故，，.點(diǎn)在雙曲線上，，整理得，因，，所以，即.，又點(diǎn)到直線的距離為，，由于，，，令，則，.令，.，且設(shè)，則，因?yàn)?，，所以，所以有，所以，所以，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，有最小值；當(dāng)時(shí)，有最大值.故.22.已知函數(shù)(，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).（1）探討的單調(diào)性；（2）當(dāng)，恒成立，求整數(shù)的最大值.【答案】（1）見解析；（2）1.【解析】【分析】（1）依據(jù)、分類，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可得解；（2）轉(zhuǎn)化條