數(shù)學(xué)自我小測(cè)：空間中的垂直關(guān)系第課時(shí)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自我小測(cè)1．直線a與平面α內(nèi)的兩條直線垂直，則直線a與平面α的位置關(guān)系是（）A．相交B．平行C．直線a在平面α內(nèi)D．以上均有可能2．設(shè)α表示平面，a，b，l表示直線，給出下列四種說(shuō)法：①?l⊥α；②?b⊥α；③?b⊥α；④?a⊥α．其中正確的是(）A．①②B．②③C．③④D．②3．如圖所示，PA⊥平面ABC,BC⊥AC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為(）A．4B．3C．2D．14．設(shè)a,b是異面直線,下列命題正確的是(）A．過(guò)不在a，b上的一點(diǎn)P一定可以作一條直線和a，b都相交B．過(guò)不在a，b上的一點(diǎn)P一定可以作一個(gè)平面和a，b都垂直C．過(guò)a一定可以作一個(gè)平面與b垂直D．過(guò)a一定可以作一個(gè)平面與b平行5．在正方形SG1G2G3中,E，F(xiàn)分別是G1G2和G2G3的中點(diǎn)，D是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿SE，SF和EF把這個(gè)正方形折起，使點(diǎn)G1，G2,G3重合,重合后的點(diǎn)記為G，那么下列結(jié)論成立的是（）A．SD⊥平面EFGB．SG⊥平面EFGC．GF⊥平面SEFD．GD⊥平面SEF6．如圖所示，正方體ABCD。A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF＝，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱錐A.BEF的體積為定值D．△AEF的面積與△BEF的面積相等7．對(duì)于四面體ABCD，給出下列四種說(shuō)法：①若AB＝AC，BD＝CD，則BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD,則BC⊥AD;③若AB⊥AC，BD⊥CD，則BC⊥AD；④若AB⊥CD，BD⊥AC,則BC⊥AD．其中正確的序號(hào)是__________．8．在矩形ABCD中,AB＝3，BC＝4,PA⊥平面ABCD,且PA＝1,取對(duì)角線BD上一點(diǎn)E,連接PE，PE⊥DE，則PE的長(zhǎng)為_(kāi)_______．9．如果一條直線與一個(gè)平面垂直,那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”．在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是__________．10．如圖所示,已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑,C是⊙O上任意一點(diǎn)，過(guò)A作AE⊥PC于點(diǎn)E．求證：AE⊥平面PBC．11．如圖所示,四棱錐P。ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD＝60°,已知PB＝PD＝2,PA＝．12．如圖，在多面體ABCDEF中，G為底面正方形ABCD的中心，AB＝2EF＝2,EF∥AB，EF⊥FB,∠BFC＝90°，BF＝FC,H為BC的中點(diǎn)．(1）求證：FH∥平面EDB；（2)求證：AC⊥平面EDB．

參考答案1．解析：借助于正方體模型,得直線a與平面α平行或相交或直線a在平面α內(nèi)，故選D．答案:D2．解析：①中當(dāng)a，b相交時(shí)才成立；③中由a∥α，b⊥a知b∥α或b?α或b⊥α或b與α相交不垂直；④中當(dāng)a?α?xí)r，能找到滿足條件的b，從而不正確．答案：D3．解析：??BC⊥平面PAC?BC⊥PC，所以直角三角形有△PAB,△PAC，△ABC，△PBC．故選A．答案：A4．解析：過(guò)a上一點(diǎn)作直線b′使b′∥b，則a與b′確定的平面與直線b平行．答案：D5．解析：折起后SG⊥GE，SG⊥GF，又GF與GE相交于G,故SG⊥平面EFG．答案：B6．答案:D7．解析：對(duì)于命題①,取BC的中點(diǎn)E．連接AE，DE，則BC⊥AE，BC⊥DE，所以BC⊥AD．對(duì)于命題④,過(guò)A向平面BCD作垂線AO，如圖所示，連接BO并延長(zhǎng)與CD交于點(diǎn)G，則CD⊥BG,連接CO并延長(zhǎng)與BD交于點(diǎn)H，則CH⊥BD．所以O(shè)為△BCD的垂心，連接DO，則BC⊥DO，BC⊥AO，所以BC⊥AD．答案：①④8．解析：如圖所示，連接AE．因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD．又因?yàn)锽D⊥PE,PA∩PE＝P,所以BD⊥平面PAE，所以BD⊥AE．所以AE＝＝．所以在Rt△PAE中，由PA＝1，AE＝，得PE＝．答案：9．解析：在正方體中，一個(gè)面有四條棱與之垂直，六個(gè)面，共構(gòu)成24個(gè)“正交線面對(duì)”；而正方體的六個(gè)對(duì)角面中，每個(gè)對(duì)角面又有兩條面對(duì)角線與之垂直，共構(gòu)成12個(gè)“正交線面對(duì)"，所以共有36個(gè)“正交線面對(duì)”．答案：3610．證明：由于AB是⊙O的直徑,所以AC⊥BC．又由于PA⊥⊙O所在的平面，BC在⊙O所在的平面內(nèi)，所以PA⊥BC．因?yàn)镻A∩AC＝A,所以BC⊥平面PAC．又因?yàn)锳E?平面PAC,所以BC⊥AE．又因?yàn)锳E⊥PC，且PC∩CB＝C，所以AE⊥平面PBC．11．(1)證明:PC⊥BD;(2)若E為PA的中點(diǎn),求三棱錐P。BCE的體積．(1）證明：連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接PO．因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，所以AC⊥BD，BO＝DO．由PB＝PD知,PO⊥BD．又因?yàn)镻O∩AC＝O,所以BD⊥平面APC，因此BD⊥PC．（2）解：因?yàn)镋是PA的中點(diǎn)，所以V三棱錐P。BCE＝V三棱錐C.PEB＝V三棱錐C.PAB＝V三棱錐B。APC．由PB＝PD＝AB＝AD＝2知，△ABD≌△PBD．因?yàn)椤螧AD＝60°，所以PO＝AO＝，AC＝，BO＝1．又PA＝，所以PO2＋AO2＝PA2,所以PO⊥AC,故S△APC＝PO·AC＝3．由（1）知，BO⊥平面APC，因此V三棱錐P。BCE＝V三棱錐B.APC＝··BO·S△APC＝．12．分析：（1)證明點(diǎn)E與底面中心G的連線和FH平行即可；(2）先證FH是平面ABCD的垂線，再說(shuō)明AC⊥BD與AC⊥EG即可得證．證明：（1）連EG，GH，由于H為BC的中點(diǎn)，G為底面正方形ABCD的中心，故GHAB．又EFAB，所以EFGH．所以四邊形EFHG為平行四邊形．所以EG∥FH．而EG?平面EDB,所以FH∥平面EDB．(2)由四邊形ABCD為正方形，有AB⊥BC．