2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第6章第05講數(shù)列求和(九大題型)(練習(xí))(學(xué)生版+解析)

第05講數(shù)列求和目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：通項(xiàng)分析法 2題型二：公式法 2題型三：錯位相減法 3題型四：分組求和法 4題型五：裂項(xiàng)相消法 5題型六：倒序相加法 6題型七：分段數(shù)列求和 7題型八：并項(xiàng)求和法 8題型九：先放縮后裂項(xiàng)求和 802重難創(chuàng)新練 903真題實(shí)戰(zhàn)練 13題型一：通項(xiàng)分析法1．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為.2．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和.3．年意大利數(shù)學(xué)家列昂那多斐波那契以兔子繁殖為例，引人“兔子數(shù)列”，又稱斐波那契數(shù)列，即該數(shù)列中的數(shù)字被人們稱為神奇數(shù)，在現(xiàn)代物理，化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用若此數(shù)列各項(xiàng)被除后的余數(shù)構(gòu)成一新數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)的和為.4．（2024·湖南株洲·一模）數(shù)列的首項(xiàng)為1，其余各項(xiàng)為1或2，且在第個1和第個1之間有個2，即數(shù)列為：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則．（用數(shù)字作答）題型二：公式法5．（2024·高三·河南鄭州·期中）數(shù)列，，，，，，，，，，，，前項(xiàng)的和是.6．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，在中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入2個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)插入的數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列，求該數(shù)列前項(xiàng)的和．7．（2024·海南?？凇つM預(yù)測）已知函數(shù)是高斯函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，.若數(shù)列滿足，且，記.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.題型三：錯位相減法8．（2024·吉林·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求實(shí)數(shù)的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.9．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）數(shù)列滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前項(xiàng)和．10．（2024·浙江紹興·三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，設(shè)．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．題型四：分組求和法11．（2024·廣東·二模）在等差數(shù)列中，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.12．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．13．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．14．已知數(shù)列為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且滿足(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)令求數(shù)列的前n項(xiàng)和；15．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．題型五：裂項(xiàng)相消法16．（2024·江蘇鹽城·一模）已知正項(xiàng)數(shù)列中，，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)，證明：.17．（2024·廣東茂名·一模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列為等差數(shù)列，各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列為等比數(shù)列，成等比數(shù)列.成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若的前項(xiàng)和為，求證：.19．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的各項(xiàng)均不小于1，前項(xiàng)和為是公差為1的等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．20．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知．(1)若，證明：是等比數(shù)列；(2)若是和的等差中項(xiàng)，設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為．21．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前10項(xiàng)和.題型六：倒序相加法22．對于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對稱中心.給定函數(shù)，請你根據(jù)上面的探究結(jié)果，解答以下問題：①函數(shù)的對稱中心坐標(biāo)為；②計(jì)算.23．（2024·上海寶山·一模）已知函數(shù)，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則24．已知正數(shù)數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，且，試用推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法探求：若，則.25．（2024·湖北·模擬預(yù)測）“數(shù)學(xué)王子”高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，他的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，并且高斯研究出很多數(shù)學(xué)理論，比如高斯函數(shù)?倒序相加法?最小二乘法?每一個階代數(shù)方程必有個復(fù)數(shù)解等.若函數(shù)，設(shè)，則.題型七：分段數(shù)列求和26．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，等比數(shù)列的公比為，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前10項(xiàng)和．27．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足當(dāng)時，(1)求和，并證明當(dāng)為偶數(shù)時是等比數(shù)列；(2)求28．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，為的前n項(xiàng)和，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，求.29．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測）已知數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)和.題型八：并項(xiàng)求和法30．已知數(shù)列滿足，則前48項(xiàng)之和為.31．（2024·高三·廣東深圳·期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，，是數(shù)列的前項(xiàng)和.求32．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)，則前10項(xiàng)的和33．若數(shù)列的通項(xiàng)為，前n項(xiàng)和為，則.34．?dāng)?shù)列{}的前項(xiàng)和為，若，則{}的前2019項(xiàng)和.題型九：先放縮后裂項(xiàng)求和35．已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，數(shù)列滿足，，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)將數(shù)列的所有公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個新的數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.36．已知數(shù)列滿足，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．37．已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，且，，成等差數(shù)列，，，（）成等比數(shù)列，．(1)求的值及的通項(xiàng)公式；(2)令，，求證：．1．（2024·福建泉州·一模）記數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，若是等差數(shù)列，且，則（

）A． B． C． D．2．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知數(shù)列各項(xiàng)為正數(shù)，滿足，，若，，則（）A． B． C． D．3．（2024·江西吉安·模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，若，記表示不超過的最大整數(shù)，則（

）A．37 B．38 C．39 D．404．（2024·天津北辰·模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列滿足，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．5．（2024·河南·三模）已知等差數(shù)列的公差大于0且，若，則（

）A． B． C． D．6．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，若表示不超過的最大整數(shù)，則（

）A．615 B．620 C．625 D．6307．（2024·江西·模擬預(yù)測）在學(xué)習(xí)完“錯位相減法”后，善于觀察的同學(xué)發(fā)現(xiàn)對于“等差等比數(shù)列”此類數(shù)列求和，也可以使用“裂項(xiàng)相消法”求解．例如，故數(shù)列的前n項(xiàng)和．記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，利用上述方法求（

）A． B． C． D．8．（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項(xiàng)的積為，，則使得成立的n的最大值為（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．20249．（多選題）（2024·江西·三模）已知數(shù)列滿足，則（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為 D．能被3整除10．（多選題）（2024·貴州畢節(jié)·三模）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（

）A． B．C．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為 D．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為11．（多選題）（2024·安徽淮北·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，若，則（

）A． B．C．的前10項(xiàng)和為 D．的前10項(xiàng)和為12．（2024·山西陽泉·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的前100項(xiàng)和．13．（2024·四川·三模）在數(shù)列中，已知，，則數(shù)列的前2024項(xiàng)和．14．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）定義：表示不大于的最大整數(shù)，表示不小于的最小整數(shù)，如，.設(shè)函數(shù)在定義域上的值域?yàn)椋浿性氐膫€數(shù)為，則，15．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且也是等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的公差；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．16．（2024·安徽安慶·模擬預(yù)測）已知.(1)求；(2)證明：是等差數(shù)列，并求出；(3)設(shè)，求的前項(xiàng)和.17．（2024·山西·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，數(shù)列也為等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．19．（2024·四川涼山·三模）如圖，點(diǎn)均在軸的正半軸上，，，…，分別是以為邊長的等邊三角形，且頂點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上．(1)求第個等邊三角形的邊長；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．1．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．2．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．3．（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時，．7．（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．8．（2018年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（天津卷））設(shè)是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項(xiàng)和為，是等差數(shù)列.已知，，，.（I）求和的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，（i）求；（ii）證明.9．（2020年天津市高考數(shù)學(xué)試卷）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，求證：；（Ⅲ）對任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．10．（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅲ））設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，．（1）計(jì)算a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn．11．（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅰ））設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．第05講數(shù)列求和目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：通項(xiàng)分析法 2題型二：公式法 3題型三：錯位相減法 5題型四：分組求和法 7題型五：裂項(xiàng)相消法 9題型六：倒序相加法 13題型七：分段數(shù)列求和 15題型八：并項(xiàng)求和法 18題型九：先放縮后裂項(xiàng)求和 2002重難創(chuàng)新練 2203真題實(shí)戰(zhàn)練 34題型一：通項(xiàng)分析法1．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為.【答案】【解析】觀察數(shù)列得到，所以前n項(xiàng)和.故答案為：.2．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】【解析】由題意，，所以故答案為：3．年意大利數(shù)學(xué)家列昂那多斐波那契以兔子繁殖為例，引人“兔子數(shù)列”，又稱斐波那契數(shù)列，即該數(shù)列中的數(shù)字被人們稱為神奇數(shù)，在現(xiàn)代物理，化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用若此數(shù)列各項(xiàng)被除后的余數(shù)構(gòu)成一新數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)的和為.【答案】【解析】由數(shù)列，，，，，，，，，，各項(xiàng)除以的余數(shù)，可得數(shù)列為，，，，，，，，，，，，，，1，，所以數(shù)列是周期為的數(shù)列，一個周期中八項(xiàng)和為，又因?yàn)?，所以?shù)列的前項(xiàng)的和.故答案為：.4．（2024·湖南株洲·一模）數(shù)列的首項(xiàng)為1，其余各項(xiàng)為1或2，且在第個1和第個1之間有個2，即數(shù)列為：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則．（用數(shù)字作答）【答案】3993【解析】第個1為數(shù)列第項(xiàng)，當(dāng)時；當(dāng)時；所以前2019項(xiàng)有45個1和個2，因此題型二：公式法5．（2024·高三·河南鄭州·期中）數(shù)列，，，，，，，，，，，，前項(xiàng)的和是.【答案】【解析】由題意可知，該數(shù)列中，有項(xiàng)，且這項(xiàng)的和為，令，，則的最大值為，所以，該數(shù)列第項(xiàng)為，且的項(xiàng)數(shù)為，因此，該數(shù)列的前項(xiàng)的和是.故答案為.6．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，在中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入2個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)插入的數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列，求該數(shù)列前項(xiàng)的和．【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由題意知：，，所以，所以的通項(xiàng)公式是.（2）數(shù)列的通項(xiàng)公式為，記數(shù)列與前項(xiàng)的和分別為，則.7．（2024·海南?？凇つM預(yù)測）已知函數(shù)是高斯函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，.若數(shù)列滿足，且，記.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，將兩式相減，得：，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)分別單獨(dú)構(gòu)成等差數(shù)列.當(dāng)為奇數(shù)時，，，……，且，則，當(dāng)為偶數(shù)時，則，所以.（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以.題型三：錯位相減法8．（2024·吉林·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求實(shí)數(shù)的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）當(dāng)時，，，，當(dāng)時，，整理得，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，；（2）法一：，①，②，①②得；法二：，設(shè)，且，解得，，即，其中，，.9．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）數(shù)列滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前項(xiàng)和．【解析】（1）數(shù)列滿足，當(dāng)時，，兩式相減可得，，所以，當(dāng)時，也滿足上式，所以；（2）由（1）得，所以，則，兩式相減的，，所以．10．（2024·浙江紹興·三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，設(shè)．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1），即，即，則，即，即，又，故數(shù)列是以為首項(xiàng)、以為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）易得，即，則，則，有，則，故.題型四：分組求和法11．（2024·廣東·二模）在等差數(shù)列中，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）設(shè)的公差為，則解得所以.（2）（方法一）.（方法二）當(dāng)為偶數(shù)時，當(dāng)為奇數(shù)時，.綜上，12．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1），兩式相減得，又當(dāng)時，，滿足上式，所以；（2）由（1）得，.13．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）設(shè)公差為，由得，，解得，∴；（2）由得，∴.14．已知數(shù)列為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且滿足(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)令求數(shù)列的前n項(xiàng)和；【解析】（1）設(shè)的公差為,由已知,有解得，所以的通項(xiàng)公式為,的通項(xiàng)公式為.（2），分組求和，分別根據(jù)等比數(shù)列求和公式與等差數(shù)列求和公式得到：.15．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為d，首項(xiàng)為a1，由題意，有，解得，所以；（2），所以．題型五：裂項(xiàng)相消法16．（2024·江蘇鹽城·一模）已知正項(xiàng)數(shù)列中，，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)，證明：.【解析】（1）由，，得，又，則是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，.（2）證明：因?yàn)?，所?17．（2024·廣東茂名·一模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）數(shù)列是等差數(shù)列，記其公差為，由題意知所以.（2），.，.18．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列為等差數(shù)列，各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列為等比數(shù)列，成等比數(shù)列.成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若的前項(xiàng)和為，求證：.【解析】（1）由題意知，為等差數(shù)列，設(shè)的公差為為等比數(shù)列，設(shè)的公比為，由成等比數(shù)列，所以，化簡得，解得（舍），所以.又因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，即，解得（舍），所以.（2）由于，所以19．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的各項(xiàng)均不小于1，前項(xiàng)和為是公差為1的等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）由，得．因?yàn)槭枪顬?的等差數(shù)列，所以．當(dāng)時，．兩式相減，得，所以，又，所以，則，所以是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以．（2）由（1）可知，，則，所以數(shù)列的前項(xiàng)和．20．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知．(1)若，證明：是等比數(shù)列；(2)若是和的等差中項(xiàng)，設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為．【解析】（1）對①，當(dāng)時，有②，：，即，

經(jīng)整理，可得，

，故是以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）知，有，，題設(shè)知，即，則，故．

而，

故.21．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前10項(xiàng)和.【解析】（1）由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，化簡整理，得，解得，.（2）由（1）可得，，則，數(shù)列的前10項(xiàng)和為：.題型六：倒序相加法22．對于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對稱中心.給定函數(shù)，請你根據(jù)上面的探究結(jié)果，解答以下問題：①函數(shù)的對稱中心坐標(biāo)為；②計(jì)算.【答案】2023【解析】①因?yàn)?，所以，所以，由得，此時，由題意可得，即為函數(shù)的對稱中心；②由①知，函數(shù)關(guān)于中心對稱，所以，即，因此；記，則，所以.故答案為：；.23．（2024·上海寶山·一模）已知函數(shù)，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則【答案】【解析】函數(shù)，可看成向左平移1個單位，向上平移1個單位得到,因?yàn)榈膶ΨQ中心為，所以的對稱中心為，所以，因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列滿足，所以，所以，所以，①，②，則①②相加得：即，所以.故答案為：.24．已知正數(shù)數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，且，試用推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法探求：若，則.【答案】4038【解析】正數(shù)數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，，則，由，當(dāng)時，，于是，令，則因此，所以.故答案為：403825．（2024·湖北·模擬預(yù)測）“數(shù)學(xué)王子”高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，他的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，并且高斯研究出很多數(shù)學(xué)理論，比如高斯函數(shù)?倒序相加法?最小二乘法?每一個階代數(shù)方程必有個復(fù)數(shù)解等.若函數(shù)，設(shè)，則.【答案】46【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，設(shè)是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，其中，且，則有，從而當(dāng)時，有：，當(dāng)時，，，相加得所以，又，所以對一切正整數(shù)，有；故有.故答案為：46.題型七：分段數(shù)列求和26．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，等比數(shù)列的公比為，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前10項(xiàng)和．【解析】（1）當(dāng)時，，，，等比數(shù)列的公比為，則有，由，可得．當(dāng)時，．經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時，滿足上式，所以．（2），設(shè)的前10項(xiàng)和為，．27．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足當(dāng)時，(1)求和，并證明當(dāng)為偶數(shù)時是等比數(shù)列；(2)求【解析】（1）因?yàn)楫?dāng)時，，所以，.，，又，當(dāng)為偶數(shù)時，是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）知，，設(shè)，則

為偶數(shù)時，當(dāng)為奇數(shù)時，；設(shè)，為奇數(shù)時，，.28．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，為的前n項(xiàng)和，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，求.【解析】（1）設(shè)的公比為，由且可得：當(dāng)時，，當(dāng)時，，解得或（舍去），故，故（2），由于，則數(shù)列的前項(xiàng)和29．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測）已知數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】【解析】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)，，解得：，當(dāng)時，，當(dāng)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以.故答案為：題型八：并項(xiàng)求和法30．已知數(shù)列滿足，則前48項(xiàng)之和為.【答案】1176【解析】由，則，，，，，，，…可知相鄰奇數(shù)項(xiàng)的和為2，偶數(shù)項(xiàng)中，每隔一項(xiàng)構(gòu)成公差為8的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的求和公式計(jì)算即可得到所求值.因，，而，，所以數(shù)列前48項(xiàng)之和為.故答案為：1176.31．（2024·高三·廣東深圳·期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，，是數(shù)列的前項(xiàng)和.求【解析】（1）為等差數(shù)列，設(shè)公差為，，，，，成等比數(shù)列，，即，整理得，解得或，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，數(shù)列的通項(xiàng)公式為或；（2），由（1）知，，，，.故.32．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)，則前10項(xiàng)的和【答案】5【解析】的周期，當(dāng)時的值為1,0，-1,0,則前10項(xiàng)的和，故答案為：533．若數(shù)列的通項(xiàng)為，前n項(xiàng)和為，則.【答案】400【解析】當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，且；當(dāng)為奇數(shù)時，且；不妨以四項(xiàng)為一個整體，則：故故答案為：40034．?dāng)?shù)列{}的前項(xiàng)和為，若，則{}的前2019項(xiàng)和.【答案】1009【解析】根據(jù)題意，的值以為循環(huán)周期，=1009故答案為1009.題型九：先放縮后裂項(xiàng)求和35．已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，數(shù)列滿足，，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)將數(shù)列的所有公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個新的數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【解析】（1）由題意可知，即，故，由，可得，所以數(shù)列的公差，所以，由，疊加可得，整理可得，當(dāng)時，滿足上式，所以；（2）不妨設(shè)，即，可得，當(dāng)時，，不合題意，當(dāng)時，，所以在數(shù)列中均存在公共項(xiàng)，又因?yàn)?，所?（3）當(dāng)時，，結(jié)論成立，當(dāng)時，，所以，綜上所述，.36．已知數(shù)列滿足，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【解析】（1）由，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，滿足條件，故的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）得，故．37．已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，且，，成等差數(shù)列，，，（）成等比數(shù)列，．(1)求的值及的通項(xiàng)公式；(2)令，，求證：．【解析】（1）設(shè)的公差為，∵，，成等差數(shù)列，∴，即，考慮到，化簡得，即∴，∵，，（）成等比數(shù)列，∴，即，即，解得．∵，∴，解得．∴，∵，解得，．∴．（2）由（1）可知，當(dāng)時，所以．1．（2024·福建泉州·一模）記數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，若是等差數(shù)列，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，可設(shè)公差為，由，可得，解得：，所以，再由得：，則數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，即，所以，故選：A.2．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知數(shù)列各項(xiàng)為正數(shù)，滿足，，若，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，，即，所以?shù)列是等差數(shù)列，又，，所以，所以數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為，所以，所以，所以，則，所以.故選：C.3．（2024·江西吉安·模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，若，記表示不超過的最大整數(shù)，則（

）A．37 B．38 C．39 D．40【答案】B【解析】因?yàn)?，?dāng)時，，，.當(dāng)時，由及，即，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)?1為公差的等差數(shù)列，因此，則，，又當(dāng)時，，，對于，，即，.故選：B.4．（2024·天津北辰·模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列滿足，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，，，兩式相減可得：，所以，又時，，所以不滿足，所以，設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和，所以，設(shè)數(shù)列的前5項(xiàng)和為：.故選：D.5．（2024·河南·三模）已知等差數(shù)列的公差大于0且，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，,解得.故選：B．6．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，若表示不超過的最大整數(shù)，則（

）A．615 B．620 C．625 D．630【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，可得是?為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，因?yàn)?，?dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，則.故選：C.7．（2024·江西·模擬預(yù)測）在學(xué)習(xí)完“錯位相減法”后，善于觀察的同學(xué)發(fā)現(xiàn)對于“等差等比數(shù)列”此類數(shù)列求和，也可以使用“裂項(xiàng)相消法”求解．例如，故數(shù)列的前n項(xiàng)和．記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，利用上述方法求（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則解得，所以，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為．故．故選：B8．（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項(xiàng)的積為，，則使得成立的n的最大值為（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】B【解析】令，則得，當(dāng)時，因?yàn)?，所以，所以，即，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，故，所以，當(dāng)時，，所以，所以，結(jié)合選項(xiàng)，將n的值代入檢驗(yàn)，則使得成立的n的最大值為2022.故選：B9．（多選題）（2024·江西·三模）已知數(shù)列滿足，則（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為 D．能被3整除【答案】BCD【解析】由可得：，所以數(shù)列是等比數(shù)列，即，則顯然有，所以不成等比數(shù)列，故選項(xiàng)A是錯誤的；由數(shù)列是等比數(shù)列可得：，即，故選項(xiàng)B是正確的；由可得：前項(xiàng)和，故選項(xiàng)C是正確的；由，故選項(xiàng)D是正確的；方法二：由，1024除以3余數(shù)是1，所以除以3的余數(shù)還是1，從而可得能補(bǔ)3整除，故選項(xiàng)D是正確的；故選：BCD．10．（多選題）（2024·貴州畢節(jié)·三模）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（

）A． B．C．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為 D．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為【答案】ABD【解析】對于A，設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差為，所以，化簡可得：，又因?yàn)?，則，所以，所以，所以，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為，故C錯誤；對于D，令，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為：，故D正確.故選：ABD.11．（多選題）（2024·安徽淮北·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，若，則（

）A． B．C．的前10項(xiàng)和為 D．的前10項(xiàng)和為【答案】ABD【解析】，所以是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，，故選項(xiàng)A正確.令，則，，又，，，故選項(xiàng)C錯誤.又，，又，，，是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列，，故選項(xiàng)B正確.又，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.12．（2024·山西陽泉·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的前100項(xiàng)和．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，故時，兩式相減得，即，因?yàn)?，即，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，所以，

故答案為:.13．（2024·四川·三模）在數(shù)列中，已知，，則數(shù)列的前2024項(xiàng)和．【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以，因此，故答案為?14．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）定義：表示不大于的最大整數(shù)，表示不小于的最小整數(shù)，如，.設(shè)函數(shù)在定義域上的值域?yàn)椋浿性氐膫€數(shù)為，則，【答案】3【解析】由函數(shù)在定義域上的值域?yàn)?，記中元素的個數(shù)為，當(dāng)時，，可得，，，即，當(dāng)時，，可得或，或，或1或2，即，當(dāng)時，，可得或1或2，或或，或1或2或4或5或6，即，當(dāng)時，函數(shù)在定義域上的值域?yàn)?，記中元素的個數(shù)為，當(dāng)時，函數(shù)在定義域上的值域?yàn)?，記中元素的個數(shù)為，設(shè)，則，，所以，則可得遞推關(guān)系：，所以,當(dāng)時，成立，則，則，所以，故答案為：3；15．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且也是等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的公差；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，則．因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以為常數(shù)．，所以，解得（2）因?yàn)?，所以．，故?6．（2024·安徽安慶·模擬預(yù)測）已知.(1)求；(2)證明：是等差數(shù)列，并求出；(3)設(shè)，求的前項(xiàng)和.【解析】（1）.（2），故是以1為首項(xiàng)1為公差的等差數(shù)列.故.（3）因?yàn)?，所?7．（2024·山西·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）因?yàn)椋?dāng)時有，兩式相減得，所以，當(dāng)時，，所以，此時仍然成立，所以，當(dāng)時，，又也滿足，所以.（2）由（1）知，所以.18．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，數(shù)列也為等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，結(jié)合，得數(shù)列的前三項(xiàng)分別為，由題意，得，所以，解得或，因?yàn)閿?shù)列是單調(diào)遞增的，所以，所以．（2）由（1）知，，所以，故

，故數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（2024·四川涼山·三模）如圖，點(diǎn)均在軸的正半軸上，，，…，分別是以為邊長的等邊三角形，且頂點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上．(1)求第個等邊三角形的邊長；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）記數(shù)列前項(xiàng)和為，則頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)上，所以，，則，，兩式相減得，，因?yàn)?，所以，，第一個等邊三角形頂點(diǎn)代入得，代入得，所以，故是以為首項(xiàng)為公差的等差數(shù)列，所以．（2）由（1）得，，所以．1．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）當(dāng)時，，解得．當(dāng)時，，所以即，而，故，故，∴數(shù)列是以4為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.（2）,所以故所以，.2．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【解析】（1）因?yàn)?，?dāng)時，，即；當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，所以，化簡得：，當(dāng)時，，即，當(dāng)時都滿足上式，所以．（2）因?yàn)?，所以，，兩式相減得，，，即，．3．（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時，．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）方法1：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時，，，當(dāng)時，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)時，，因此，所以當(dāng)時，.方法2：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)時，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時，若，則，顯然滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)時，，因此，所以當(dāng)時，.4．（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，求證：；(3)求．【解析】（1）設(shè)公差為d，公比為，則，由可得（舍去），所以；（2）證明：因?yàn)樗砸C，即證，即證，即證，而顯然成立，所以；（3）因?yàn)?，所以，設(shè)所以，則，作差得，所以，所以.5．（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【解析】（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時，，∴,整理得：,即,∴，顯然對于也成立，∴的通項(xiàng)公式；（2）∴6．（2021年天津高考數(shù)學(xué)試題）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．（I）求和的通項(xiàng)公式；（II）記，（i）證明是等比數(shù)列；（ii）證明【解析】（I）因?yàn)槭枪顬?的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．所以，所以，所以；設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以，解得（負(fù)值舍去），所以；