2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第3章拔高點(diǎn)突破04多元函數(shù)最值與雙重變量最值問(wèn)題(十三大題型)(學(xué)生版+解析)

拔高點(diǎn)突破04多元函數(shù)最值與雙重變量最值問(wèn)題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 2題型一：消元法 2題型二：判別式法 2題型三：基本不等式法 2題型四：輔助角公式法 3題型五：柯西不等式法 3題型六：權(quán)方和不等式法 3題型七：拉格朗日乘數(shù)法 4題型八：三角換元法 4題型九：構(gòu)造齊次式 5題型十：數(shù)形結(jié)合法 5題型十一：向量法 5題型十二：琴生不等式法 6題型題型十三：雙重變量最值問(wèn)題 603過(guò)關(guān)測(cè)試 7

解決多元函數(shù)的最值問(wèn)題不僅涉及到函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、均值不等式等知識(shí)，還涉及到消元法、三角代換法、齊次式等解題技能．題型一：消元法【典例1-1】已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值為_(kāi)_____.【典例1-2】已知實(shí)數(shù)滿足：，則的最大值為_(kāi)__________.【變式1-1】對(duì)任給實(shí)數(shù),不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的最大值為_(kāi)_________.題型二：判別式法【典例2-1】（2024·廣東茂名·二模）已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值是.【典例2-2】已知，且，則的取值范圍是.【變式2-1】（2024·浙江·二模）設(shè)，，若，且的最大值是，則.【變式2-2】設(shè)非零實(shí)數(shù)a，b滿足，若函數(shù)存在最大值M和最小值m，則.題型三：基本不等式法【典例3-1】已知，則的最小值為.【典例3-2】已知正實(shí)數(shù)，，滿足，則的最小值為．【變式3-1】已知，則的最大值為．【變式3-2】（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則的最小值為．題型四：輔助角公式法【典例4-1】設(shè)是一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角，則的最小值為.【典例4-2】曲線上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值等于．【變式4-1】已知，則的最小值為．題型五：柯西不等式法【典例5-1】實(shí)數(shù)x、y滿足，則的最大值是【典例5-2】函數(shù)的最大值與最小值之積為．【變式5-1】已知?jiǎng)t的最大值為【變式5-2】已知，，，則的最大值是.題型六：權(quán)方和不等式法【典例6-1】已知為銳角，則的最小值為.【典例6-2】求的最大值為【變式6-1】已知，求的最小值為【變式6-2】（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）“權(quán)方和不等式”是由湖南理工大學(xué)楊克昌教授于上世紀(jì)80年代初命名的．其具體內(nèi)容為：設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．根據(jù)權(quán)方和不等式，若，當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為（

）A． B． C． D．題型七：拉格朗日乘數(shù)法【典例7-1】，，，求的最小值．，，，【典例7-2】設(shè)為實(shí)數(shù)，若，則的最大值是．【變式7-1】已知為非負(fù)數(shù),,求的最值.題型八：三角換元法【典例8-1】函數(shù)的值域?yàn)?【典例8-2】函數(shù)的值域是．【變式8-1】函數(shù)的值域是區(qū)間．【變式8-2】若，且，則二元函數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．題型九：構(gòu)造齊次式【典例9-1】已知，，則的最大值是______.【典例9-2】已知實(shí)數(shù)，若，則的最小值為（

）A．12 B． C． D．8【變式9-1】（2024·天津南開(kāi)·高三統(tǒng)考期中）已知正實(shí)數(shù)a，b，c滿足，則的最大值為_(kāi)___________．題型十：數(shù)形結(jié)合法【典例10-1】的最小值為（

）A．5 B． C．6 D．【典例10-2】（2024·高三·山西太原·期末）已知函數(shù)的最大值為，最小值為，則的值為A． B． C． D．【變式10-1】（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，其中，則的最小值為（）A． B． C． D．【變式10-2】已知點(diǎn)在直線，點(diǎn)在直線上，且，的最小值為（

）A． B． C． D．5題型十一：向量法【典例11-1】（2024·上海金山·二模）已知平面向量、、滿足：，，則的最小值為．【變式13-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為實(shí)數(shù)中最大的數(shù)．若，，則的最小值為．1．已知直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，若，則的最小值為（

）A．4 B． C．8 D．162．函數(shù)的值域?yàn)?3．函數(shù)的值域?yàn)椋?．已知正數(shù)，，滿足，則的最小值為5．（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）已知x，y，z均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為.6．已知實(shí)數(shù)，，滿足，則的最大值為7．（2024·貴州·三模）以表示數(shù)集中最大（小）的數(shù).設(shè)，已知，則.8．已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為．9．向量滿足，，，則的最大值為.10．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知單位向量，向量與不共線，且，則的最大值為．11．已知兩個(gè)非零向量滿足，則的最大值是．12．設(shè)為正數(shù)，，則的最大值是13．函數(shù)的最大值為.14．已知實(shí)數(shù)滿足：，則的最大值是．15．已知圓是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.設(shè)，，則的最大值為.16．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值和最小值分別為和．17．函數(shù)的最小值為.（其中表示中較大者）18．（2024·湖北·一模）記，分別表示函數(shù)在上的最大值和最小值．則．19．記表示x、y、z中的最小值.若x，，，則M的最大值為.20．已知將中最小數(shù)記為，最大數(shù)記為，若，則．拔高點(diǎn)突破04多元函數(shù)最值與雙重變量最值問(wèn)題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 2題型一：消元法 2題型二：判別式法 4題型三：基本不等式法 5題型四：輔助角公式法 6題型五：柯西不等式法 8題型六：權(quán)方和不等式法 9題型七：拉格朗日乘數(shù)法 11題型八：三角換元法 12題型九：構(gòu)造齊次式 13題型十：數(shù)形結(jié)合法 15題型十一：向量法 18題型十二：琴生不等式法 21題型題型十三：雙重變量最值問(wèn)題 2303過(guò)關(guān)測(cè)試 26

解決多元函數(shù)的最值問(wèn)題不僅涉及到函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、均值不等式等知識(shí)，還涉及到消元法、三角代換法、齊次式等解題技能．題型一：消元法【典例1-1】已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值為_(kāi)_____.【答案】/【解析】由得，所以，則，因?yàn)?，，，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以由，即，得，所以，所以，令，則，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即的最大值為．故答案為：．【典例1-2】已知實(shí)數(shù)滿足：，則的最大值為_(kāi)__________.【答案】【解析】由已知得，，令，則，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，，令所以，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以.故答案為：.【變式1-1】對(duì)任給實(shí)數(shù),不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的最大值為_(kāi)_________.【答案】【解析】因?yàn)閷?duì)任給實(shí)數(shù),不等式恒成立，所以，令，則，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，，所以實(shí)數(shù)的最大值為故答案為：題型二：判別式法【典例2-1】（2024·廣東茂名·二模）已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值是.【答案】【解析】因?yàn)閷?shí)數(shù)a，b滿足，所以，且.令，則，所以，代入，則有，所以關(guān)于b的一元二次方程有正根，只需，解得：.此時(shí)，關(guān)于b的一元二次方程的兩根，所以兩根同號(hào)，只需，解得.綜上所述：.即的最小值是（此時(shí)，解得：）.故答案為：.【典例2-2】已知，且，則的取值范圍是.【答案】【解析】因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所以，解?故答案為：.【變式2-1】（2024·浙江·二模）設(shè)，，若，且的最大值是，則.【答案】4【解析】令=d，由消去a得：，即，而，，則，，，依題意，解得.故答案為：4【變式2-2】設(shè)非零實(shí)數(shù)a，b滿足，若函數(shù)存在最大值M和最小值m，則.【答案】2【解析】化簡(jiǎn)得到，根據(jù)和得到，解得答案.，則，則，即，，故，，即，即，.故答案為：2.題型三：基本不等式法【典例3-1】已知，則的最小值為.【答案】【解析】，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.，的最小值為.故答案為：【典例3-2】已知正實(shí)數(shù)，，滿足，則的最小值為．【答案】10【解析】解析：易知恒等式，而，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立．故答案為：10.【變式3-1】已知，則的最大值為．【答案】【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)．故答案為：.【變式3-2】（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則的最小值為．【答案】/【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為．故答案為：．題型四：輔助角公式法【典例4-1】設(shè)是一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角，則的最小值為.【答案】【解析】，令，所以，要想有最小值，顯然為鈍角，即，于是有，設(shè)，因?yàn)?，所以令，即，?dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，所以的最小值為，此時(shí)，，即存在，顯然存在，使得，即的最小值為，故答案為：【典例4-2】曲線上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值等于．【答案】【解析】由已知，設(shè)，，則，,∴，∴.故答案為：.【變式4-1】已知，則的最小值為．【答案】/【解析】設(shè)，，則，而，顯然，因此，其中銳角由確定，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，即有，所以的最小值為.故答案為：題型五：柯西不等式法【典例5-1】實(shí)數(shù)x、y滿足，則的最大值是【答案】42【解析】注意，，，這三者相加即得.當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值是42.也可以直接用柯西（Cauchy）不等式，得到最大值為42.故答案為42【典例5-2】函數(shù)的最大值與最小值之積為．【答案】【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，一方面，，等?hào)當(dāng)時(shí)取得；另一方面，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，于是最大值為，最小值為，所求乘積為．故答案為：.【變式5-1】已知?jiǎng)t的最大值為【答案】【解析】由柯西不等式，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.故答案為：.【變式5-2】已知，，，則的最大值是.【答案】2【解析】由柯西不等式得所以，當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.所以，即的最大值是2題型六：權(quán)方和不等式法【典例6-1】已知為銳角，則的最小值為.【答案】【解析】當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)取“”.故答案為：【典例6-2】求的最大值為【答案】【解析】當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)取等號(hào)故答案為：.【變式6-1】已知，求的最小值為【答案】【解析】當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)故答案為：60【變式6-2】（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）“權(quán)方和不等式”是由湖南理工大學(xué)楊克昌教授于上世紀(jì)80年代初命名的．其具體內(nèi)容為：設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．根據(jù)權(quán)方和不等式，若，當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以．故選：C．題型七：拉格朗日乘數(shù)法【典例7-1】，，，求的最小值．【解析】令，，，聯(lián)立解得，，，故最小為12．【典例7-2】設(shè)為實(shí)數(shù)，若，則的最大值是．【答案】【解析】令，由，解得，所以的最大值是．【變式7-1】已知為非負(fù)數(shù),,求的最值.【解析】設(shè),當(dāng)時(shí),取最值且.又為非負(fù)數(shù),且故或?yàn)榭赡苋∽钪堤?，則.綜上可知.題型八：三角換元法【典例8-1】函數(shù)的值域?yàn)?【答案】【解析】令，由得，則，，所以.故答案為：.【典例8-2】函數(shù)的值域是．【答案】【解析】，令，則，由此，，當(dāng)時(shí)兩邊分別取得等號(hào)．故答案為：.【變式8-1】函數(shù)的值域是區(qū)間．【答案】

【解析】顯然函數(shù)定義域?yàn)?，在此區(qū)間內(nèi)，由于，即，故有角使得，．于是，因?yàn)?，則．在此范圍內(nèi)，則有．因此．（當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，）故答案為【變式8-2】若，且，則二元函數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】配方得令，，則，從而，，其中，由此易知的值域?yàn)?選A.題型九：構(gòu)造齊次式【典例9-1】已知，，則的最大值是______.【答案】【解析】由題意，，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，又由在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，即，所以，所以的最大值是.故答案為：.【典例9-2】已知實(shí)數(shù)，若，則的最小值為（

）A．12 B． C． D．8【答案】A【解析】由，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為：12，故選：A.【變式9-1】（2024·天津南開(kāi)·高三統(tǒng)考期中）已知正實(shí)數(shù)a，b，c滿足，則的最大值為_(kāi)___________．【答案】/0.25【解析】由，得，∵正實(shí)數(shù)a，b，c∴則則，當(dāng)且僅當(dāng)，且a，b>0，即a=3b時(shí)，等號(hào)成立則所以，的最大值為.故答案為：.題型十：數(shù)形結(jié)合法【典例10-1】的最小值為（

）A．5 B． C．6 D．【答案】C【解析】設(shè)，則，則曲線為拋物線的右半部分．拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)到準(zhǔn)線l：的距離為d，點(diǎn)P為拋物線的右半部分上一點(diǎn)，設(shè)P到準(zhǔn)線l：的距離為，則．故選：C【典例10-2】（2024·高三·山西太原·期末）已知函數(shù)的最大值為，最小值為，則的值為A． B． C． D．【答案】B【解析】由解得為函數(shù)的定義域.令，消去得，圖像為橢圓的一部分，如下圖所示.，即直線，由圖可知，截距在點(diǎn)處取得最小值，在與橢圓相切的點(diǎn)處取得最大值.而，故最小值為.聯(lián)立，消去得，其判別式為零，即，解得（負(fù)根舍去），即，故.【變式10-1】（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，其中，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，，則點(diǎn)在函數(shù)圖象上，在函數(shù)的圖象上，容易知道圖象是拋物線圖象的上半部分，記拋物線焦點(diǎn)為，過(guò)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，如圖所示：則，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時(shí)，取最小值.設(shè)這時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為，又，所以有，解得，即該點(diǎn)為，所以，因此.故選：A.【變式10-2】已知點(diǎn)在直線，點(diǎn)在直線上，且，的最小值為（

）A． B． C． D．5【答案】D【解析】由已知表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，所以，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)橹本€的方程為，，所以，又直線與直線平行，，所以，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)點(diǎn)為線段與直線的交點(diǎn)時(shí)，取最小值，最小值為，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)與直線垂直的直線的方程為，聯(lián)立，可得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以的最小值為，故選：D.題型十一：向量法【典例11-1】（2024·上海金山·二模）已知平面向量、、滿足：，，則的最小值為．【答案】【解析】因，由可得，即在方向上的投影數(shù)量等于在方向上的投影數(shù)量，且等于，又由可得，不妨設(shè)，則，，于是，因，則，因，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：.【典例11-2】如圖，圓是的外接圓，，，，若，則的最大值是．【答案】【解析】如圖，分別取的中點(diǎn)，連接，則，故，，又，，所以，解得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最大值是.故答案為：.【變式11-1】（2024·浙江杭州·二模）已知都是單位向量，且，則的最小值為；最大值為【答案】【解析】因?yàn)槎际菃挝幌蛄?，且，設(shè)，則取當(dāng)取時(shí)，即，則有，，此時(shí)有：，同理當(dāng)時(shí)，有，，此時(shí)有：故的最小值為；最大值為故答案為：；【變式11-2】（2024·四川成都·二模）已知向量，向量，則的最大值是．【答案】4【解析】因?yàn)橄蛄浚蛄?，所以，則，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最大值，故答案為：.題型十二：琴生不等式法【典例12-1】在內(nèi)，求的最大值．【答案】/【解析】在中，，設(shè)函數(shù)，則在上為凸函數(shù)，由琴生不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為.故答案為：.【典例12-2】已知函數(shù)，則的最小值是.【答案】【解析】定義域?yàn)镽，，故為奇函數(shù)，又，故是周期函數(shù)，周期，先考慮，函數(shù)，在上恒成立，故在上是上凸函數(shù)，由琴生不等式得.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以.故答案為：【變式12-1】半徑為的球的內(nèi)接三棱錐的體積的最大值為.【答案】【解析】設(shè)三棱錐為，的外接圓半徑為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立，若球心到平面的距離為，則，當(dāng)且僅當(dāng)三棱錐為正四面體時(shí)，上式等號(hào)成立.【變式12-2】半徑為的圓的內(nèi)接三角形的面積的最大值是．【答案】【解析】設(shè)的內(nèi)接三角形為．顯然當(dāng)是銳角或直角三角形時(shí)，面積可以取最大值（因?yàn)槿羰氢g角三角形，可將鈍角（不妨設(shè)為）所對(duì)邊以圓心為對(duì)稱中心作中心對(duì)稱成為）．因此，．下面設(shè)，，，．則．由討論知可設(shè)、、，而在上是上凸函數(shù)．則由琴生不等式知．所以，．當(dāng)且僅當(dāng)是正三角形時(shí)，上式等號(hào)成立．故答案為題型題型十三：雙重變量最值問(wèn)題【典例13-1】規(guī)定表示取、中的較大者，例如，，則函數(shù)的最小值為.【答案】【解析】在同一直角坐標(biāo)系中分別畫(huà)出與的圖象如圖，兩個(gè)函數(shù)的圖象有四個(gè)交點(diǎn)A，B，C，D．由圖可知，B為函數(shù)圖象的最低點(diǎn)，聯(lián)立方程組，解得或（舍去），所以的最小值為．故答案為：．【典例13-2】（2024·廣東韶關(guān)·二模）定義，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，則的值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，得，設(shè)，則，令，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即，得，所以，得，即.故選：A【變式13-1】設(shè)，則.【答案】.【解析】設(shè)，則，所以.設(shè)給定的正實(shí)數(shù)，，令，解得，，所以.則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)均成立，故的最大值為,故答案為：.【變式13-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為實(shí)數(shù)中最大的數(shù)．若，，則的最小值為．【答案】【解析】設(shè)，則，，，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，只需考慮，，又因?yàn)?，，兩式相乘得，可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，，只需考慮，，兩式相乘得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因?yàn)椋?，綜上所述，的最小值為．故答案為：.1．已知直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，若，則的最小值為（

）A．4 B． C．8 D．16【答案】B【解析】由題意可知，直線的斜率不可能為0，設(shè)直線的方程為，由，消去，得設(shè)，則，所以.因?yàn)?，所以，解得，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取的最小值為,所以的最小值為.故選：B.2．函數(shù)的值域?yàn)?【答案】【解析】解法一：.設(shè)，則.由，得.所以f(x)的值域?yàn)?解法二：.因?yàn)闀r(shí)，f'(x)>0；時(shí)，f'(x)<0.所以f(x)在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù).所以f(x)的值域?yàn)?故答案為：．3．函數(shù)的值域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥恳驗(yàn)榈亩x域?yàn)椋?，．令，則．因?yàn)椋?，?．已知正數(shù)，，滿足，則的最小值為【答案】【解析】因?yàn)檎龜?shù)，滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).故答案為：.5．（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）已知x，y，z均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為.【答案】【解析】因?yàn)閤，y，z均為正實(shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以的最大值為.故答案為：.6．已知實(shí)數(shù)，，滿足，則的最大值為【答案】【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以，令，解得或（舍去），因此，即，?dāng)且時(shí)取等號(hào)，故的最大值為.故答案為：7．（2024·貴州·三模）以表示數(shù)集中最大（?。┑臄?shù).設(shè)，已知，則.【答案】【解析】由，得，設(shè)，則，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以.故答案為：.8．已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為．【答案】【解析】由，得，即，得，，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，的最小值為故答案為：9．向量滿足，，，則的最大值為.【答案】【解析】因?yàn)?，，所以，則，則，所以，又因?yàn)?，所以，則可設(shè)，則，又因?yàn)?，所以，故又可設(shè)的坐標(biāo)