2025年新高考數(shù)學一輪復習第7章第04講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)(七大題型)(練習)(學生版+解析)

第04講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎練 2題型一：垂直性質(zhì)的簡單判定 2題型二：證明線線垂直 2題型三：證明線面垂直 4題型四：證明面面垂直 5題型五：面面垂直的性質(zhì)定理 7題型六：垂直關系的綜合應用 8題型七：鱉臑幾何體中的垂直 1102重難創(chuàng)新練 1303真題實戰(zhàn)練 19題型一：垂直性質(zhì)的簡單判定1．設、是兩個平面，、是兩條直線，且．下列四個命題：①若，則或

②若，則，③若，且，則

④若與和所成的角相等，則其中所有真命題的編號是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④2．（2024·四川成都·三模）已知直線、、與平面、，下列命題正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，，則3．（2024·陜西安康·模擬預測）已知，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，下列命題為真命題的是（

）A．若，，則 B．若，，，則C．若，，則 D．，，，則題型二：證明線線垂直4．（2024·四川宜賓·三模）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，，，，點E為線段的中點，點F在線段AB上，且．(1)求證：；(2)求三棱錐的體積．5．（2024·福建龍巖·三模）如圖，在四棱臺中，底面四邊形ABCD為菱形，平面ABCD.

證明：；6．如圖，三棱柱中，側(cè)面是邊長為2的正方形，，．證明：；7．（2024·陜西商洛·模擬預測）如圖1，在平面四邊形中，，，垂足為，將沿翻折到的位置，使得平面平面，如圖2所示.

(1)設平面與平面的交線為，證明：.題型三：證明線面垂直8．如圖所示，是的直徑，點是上異于，平面ABC，、分別為，的中點，求證：EF⊥平面PBC；9．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在直三棱柱中，是上的點，且平面．求證：平面；10．（2024·全國·模擬預測）如圖，已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，是的中點.

(1)求該圓柱體的體積；(2)證明：平面；11．（2024·寧夏銀川·一模）如圖，在四棱錐中，已知是的中點.(1)證明：平面；(2)若，點是的中點，求點到平面的距離.題型四：證明面面垂直12．（2024·四川資陽·二模）如圖，在四面體ABCD中，，，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點.(1)證明：平面平面BCD；(2)求點A到平面BDF的距離.13．（2024·四川成都·模擬預測）如圖，在四棱錐中，，，，，．

(1)證明：平面平面；(2)若，，為中點，求三棱錐的體積．14．（2024·廣西·模擬預測）在長方體中，點E，F(xiàn)分別在，上，且，．求證：平面平面AEF；15．（2024·安徽馬鞍山·模擬預測）如圖，在平行四邊形中，，，為邊上的點，，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且三棱柱的體積為.證明：平面平面；題型五：面面垂直的性質(zhì)定理16．如圖，在四邊形中，是邊長為2的正三角形，.現(xiàn)將沿邊折起，使得平面平面，點是的中點.求證：平面；17．（2024·四川成都·模擬預測）如圖所示，斜三棱柱的各棱長均為，側(cè)棱與底面所成角為，且側(cè)面底面．

證明：點在平面上的射影為的中點；18．如圖1，在矩形中，點在邊上，，將沿進行翻折，翻折后點到達點位置，且滿足平面平面，如圖2．(1)若點在棱上，平面，求證：；(2)求點到平面的距離．19．（2024·甘肅張掖·模擬預測）在三棱柱中，側(cè)面平面，，側(cè)面為菱形，且為中點．證明：平面；題型六：垂直關系的綜合應用20．如圖，在直三棱柱：中，，，是的中點，在上，為中點.

(1)求證：平面；(2)在下列給出的三個條件中選取哪兩個條件可使平面？并證明你的結論.①為的中點；②；③.21．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，，為的中點．(1)求證：；(2)若為邊的中點，能否在棱上找到一點，使？請證明你的結論．22．已知正方體的棱長為，分別是的中點．(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在點，使得平面？若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由；(3)求到平面的距離．23．（2024·江西贛州·模擬預測）如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，側(cè)面是菱形，，、分別為棱、的中點，為線段的中點.

(1)證明：平面；(2)在棱上是否存在一點，使平面平面？若存在，請指出點的位置，并證明你的結論；若不存在，請說明理由.24．（2024·高三·山西大同·期末）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，且分別為棱的中點，平面與平面交于直線.(1)求證：；(2)若與底面所成角為，當滿足什么條件時，平面.題型七：鱉臑幾何體中的垂直25．（2024·全國·模擬預測）如圖，在直角梯形中，，，是上一點，，，，將沿著翻折，使運動到點處，得到四棱錐．證明：；26．國家主席習近平指出：中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化有著豐富的哲學思想、人文精神、教化思想、道德理念等，可以為人們認識和改造世界提供有益啟迪.我們要善于把弘揚優(yōu)秀傳統(tǒng)文化和發(fā)展現(xiàn)實文化有機統(tǒng)一起來，在繼承中發(fā)展，在發(fā)展中繼承.《九章算術》作為中國古代數(shù)學專著之一，在其“商功”篇內(nèi)記載：“斜解立方,得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑”.劉徽注解為：“此術臑者，背節(jié)也，或曰半陽馬，其形有似鱉肘，故以名云”.鱉臑，是我國古代數(shù)學對四個面均為直角三角形的四面體的統(tǒng)稱.在四面體中，PA⊥平面ACB.(1)如圖1，若D、E分別是PC、PB邊的的中點，求證：DE平面ABC；(2)如圖2，若，垂足為C，且，求直線PB與平面APC所成角的大?。?3)如圖2，若平面APC⊥平面BPC，求證：四面體為鱉臑.27．《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.在如圖所示的陽馬中，側(cè)棱底面ABCD，且，點E是PC的中點，連接DE、BD、BE.

證明：平面.試判斷四面體是否為鱉臑.若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，請說明理由；28．《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖，在陽馬中，側(cè)棱底面，且，過棱的中點，作交于點，連接.

證明：平面；1．（2024·陜西商洛·模擬預測）如圖，四邊形是圓柱的軸截面，是底面圓周上異于，的一點，則下面結論中錯誤的是（

）A．B．平面C．平面平面D．平面2．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）已知，是空間內(nèi)兩條不同的直線，，，是空間內(nèi)三個不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，則或3．（2024·山東泰安·模擬預測）已知直線，和平面，，，，則的必要不充分條件是（

）A． B． C． D．4．（2024·四川綿陽·模擬預測）如圖所示，在正方體中，M是棱上一點，平面與棱交于點N.給出下面幾個結論，其中所有正確的結論是（

）①四邊形是平行四邊形；②四邊形可能是正方形；③存在平面與直線垂直；④任意平面都與平面垂直.

A．①② B．③④ C．①④ D．①②④5．（2024·重慶·模擬預測）已知兩條直線m，n和三個平面α，β，γ，下列命題正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，，則6．（2024·江蘇常州·模擬預測）已知，為異面直線，直線與，都垂直，則下列說法不正確的是（

）A．若平面，則，B．存在平面，使得，，C．有且只有一對互相平行的平面和，其中，D．至少存在兩對互相垂直的平面和，其中，7．（2024·廣東·一模）已知點分別在平面的兩側(cè)，四棱錐與四棱錐的所有側(cè)棱長均為2，則下列結論正確的是（

）A．四邊形可能是的菱形B．四邊形一定是正方形C．四邊形不可能是直角梯形D．平面不一定與平面垂直8．（2024·全國·模擬預測）我國古代數(shù)學名著《九章算術》將兩底面為直角三角形的直三棱柱稱為塹堵．如圖，已知直三棱柱是塹堵，其中，則下列說法中不一定正確的是（

）A．平面 B．平面平面C． D．為銳角三角形9．（多選題）（2024·浙江·模擬預測）如圖，在三棱錐的平面展開圖中，，分別是，的中點，正方形的邊長為2，則在三棱錐中（

）A．的面積為 B．C．平面平面 D．三棱錐的體積為10．（多選題）（2024·江蘇·二模）設m，n是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，下列命題中正確的有（

）A．若，，，則B．，，，則C．若，，，則D．若，，，則11．（多選題）（2024·山西呂梁·二模）如圖，在平行六面體中，底面是正方形，為與的交點，則下列條件中能成為“”的必要條件有（

）

A．四邊形是矩形B．平面平面C．平面平面D．直線所成的角與直線所成的角相等12．（2024·陜西·三模）如圖，四邊形是圓柱的軸截面，是底面圓周上異于的一點，則下面結論中正確的序號是．（填序號）①；②；③平面；④平面平面．13．（2024·黑龍江·模擬預測）已知矩形，其中，，點D沿著對角線進行翻折，形成三棱錐，如圖所示，則下列說法正確的是（填寫序號即可）．①點D在翻折過程中存在的情況；②三棱錐可以四個面都是直角三角形；③點D在翻折過程中，三棱錐的表面積不變；④點D在翻折過程中，三棱錐的外接球的體積不變．14．如圖，在平行四邊形中，，，且交于點，現(xiàn)沿折痕將折起，直至折起后的，此時的面積為．15．（2024·四川·一模）如圖，在矩形中，，，點為線段的中點，沿直線將翻折，點運動到點的位置．當平面平面時，三棱錐的體積為．16．（2024·廣東·二模）如圖，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，側(cè)面是菱形，，平面平面．(1)證明：；(2)求點到平面的距離．17．（2024·河南鄭州·二模）如圖，已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，點，分別為和的中點．(1)證明：平面；(2)設，當為何值時，平面？試證明你的結論．18．（2024·全國·模擬預測）如圖，在四棱柱中，平面和平面均垂直于平面．(1)求證：平面平面；(2)若為的中點，底面是正方形，，求三棱錐的體積．19．（2024·四川成都·三模）如圖，在三棱臺中，在邊上，平面平面，，，，，.(1)證明：；(2)若的面積為，求三棱錐的體積.1．（多選題）（2022年新高考全國I卷數(shù)學真題）已知正方體，則（

）A．直線與所成的角為 B．直線與所成的角為C．直線與平面所成的角為 D．直線與平面ABCD所成的角為2．（2024年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．(1)證明：；3．（2023年北京高考數(shù)學真題）如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面PAB；4．（2023年高考全國甲卷數(shù)學（文）真題）如圖，在三棱柱中，平面．

(1)證明：平面平面；(2)設，求四棱錐的高．5．（2023年高考全國乙卷數(shù)學（理）真題）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點分別為D，E，O，，點F在AC上，.

(1)證明：平面；(2)證明：平面平面BEF；6．（2023年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點．(1)證明：；7．（2022年新高考浙江數(shù)學高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設M，N分別為的中點．(1)證明：；8．（2022年高考全國乙卷數(shù)學（文）真題）如圖，四面體中，，E為AC的中點．(1)證明：平面平面ACD；(2)設，點F在BD上，當?shù)拿娣e最小時，求三棱錐的體積．，所以，9．（2022年高考全國甲卷數(shù)學（理）真題）在四棱錐中，底面．(1)證明：；10．（2022年高考全國乙卷數(shù)學（理）真題）如圖，四面體中，，E為的中點．(1)證明：平面平面；11．（2021年全國新高考II卷數(shù)學試題）在四棱錐中，底面是正方形，若．（1）證明：；14．（2021年全國高考乙卷數(shù)學（文）試題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點，且PB⊥AM．（1）證明：平面PAM⊥平面；（2）若PD=DC=1，求四棱錐的體積．15．（2021年全國新高考I卷數(shù)學試題）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點.（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.第04講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎練 2題型一：垂直性質(zhì)的簡單判定 2題型二：證明線線垂直 4題型三：證明線面垂直 6題型四：證明面面垂直 9題型五：面面垂直的性質(zhì)定理 12題型六：垂直關系的綜合應用 15題型七：鱉臑幾何體中的垂直 2102重難創(chuàng)新練 2503真題實戰(zhàn)練 41題型一：垂直性質(zhì)的簡單判定1．設、是兩個平面，、是兩條直線，且．下列四個命題：①若，則或

②若，則，③若，且，則

④若與和所成的角相等，則其中所有真命題的編號是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④【答案】A【解析】對于①：若，因為，，則，若，因為，，則，若不在也不在內(nèi)，因為，，，所以且，故①正確；對于②：若，則與，不一定垂直，也有可能相交但不垂直，故②錯誤；對于③：過直線分別作平面，與，分別相交于直線，直線，因為，過直線的平面與平面相交于直線，所以，同理可得，所以，因為，，則，因為，，則，又因為，則，故③正確；對于④：與和所成的角相等，則和不一定垂直，比如：正方體中，平面平面，與平面所成角為，與平面所成角為，又，所以，但與不垂直，故④錯誤；綜上只有①③正確．故選：A．2．（2024·四川成都·三模）已知直線、、與平面、，下列命題正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，，則【答案】B【解析】對于A，若，，則平行、相交或異面；對于B，若，則存在，使得，又因為，，而，所以，故B正確；對于C，若，，則或，故C錯誤；對于D，若，，，且如果不在內(nèi)，則不會有，故D錯誤.故選：B.3．（2024·陜西安康·模擬預測）已知，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，下列命題為真命題的是（

）A．若，，則 B．若，，，則C．若，，則 D．，，，則【答案】C【解析】A：若，則與可能相交，可能平行，故A錯誤；B：若，則與可能相交，可能平行，故B錯誤；C：若，由線面垂直的性質(zhì)知，故C正確；D：若，則與可能相交，可能平行，故D錯誤.故選：C題型二：證明線線垂直4．（2024·四川宜賓·三模）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，，，，點E為線段的中點，點F在線段AB上，且．(1)求證：；(2)求三棱錐的體積．【解析】（1）證明：在正方形中，，又，∴在中，點E為線段PC的中點，，DE平分，在中，，過E作交CD于H，連接FH，則，在正方形中，，∴四邊形AFHD是矩形，∴，又，，平面，∴平面，又平面，∴．（2）法一：在中，∵，，∴，在正方形中，，而，CD，平面，∴平面，平面，∴平面平面，平面平面，過P作交CD于Q，∴平面，∵，∴，，，法二：在中，∵，，∴，在正方形中，，而，CD，平面，∴平面，，．5．（2024·福建龍巖·三模）如圖，在四棱臺中，底面四邊形ABCD為菱形，平面ABCD.

證明：；【解析】在四棱臺中，延長后必交于一點，故四點共面，因為平面，平面，故，連接，因為底面四邊形為菱形，故，平面，故平面，因為平面，所以.6．如圖，三棱柱中，側(cè)面是邊長為2的正方形，，．證明：；【解析】側(cè)面是邊長為2的正方形，，，，側(cè)面是平行四邊形，，在中，由余弦定理有，解得，是直角三角形，，，，平面，平面，又平面，；7．（2024·陜西商洛·模擬預測）如圖1，在平面四邊形中，，，垂足為，將沿翻折到的位置，使得平面平面，如圖2所示.

(1)設平面與平面的交線為，證明：.【解析】由題意可知.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面平面，所以平面，則.題型三：證明線面垂直8．如圖所示，是的直徑，點是上異于，平面ABC，、分別為，的中點，求證：EF⊥平面PBC；【解析】證明：因為平面ABC，平面。所以，因為是的直徑，知，因為，且平面，所以平面，由分別是的中點，所以，所以平面．9．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在直三棱柱中，是上的點，且平面．求證：平面；【解析】因為平面，面，所以，又，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以，又易知與相交，面，所以平面.10．（2024·全國·模擬預測）如圖，已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，是的中點.

(1)求該圓柱體的體積；(2)證明：平面；【解析】（1）由已知可得圓柱的底面半徑，高，

故該圓柱體體積為.（2）∵是弧中點，∴由題可知平面，且平面，∴又因為，平面，平面所以平面.11．（2024·寧夏銀川·一模）如圖，在四棱錐中，已知是的中點.(1)證明：平面；(2)若，點是的中點，求點到平面的距離.【解析】（1）是的中點，連接，，，在和中，，，平面，平面.（2）因為是的中點，所以點到平面的距離就是點到平面的距離的一半，設點到平面的距離為，因為，所以，故，設點為的中點，則，所以，，因為，所以，故，所以點到平面的距離為.題型四：證明面面垂直12．（2024·四川資陽·二模）如圖，在四面體ABCD中，，，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點.(1)證明：平面平面BCD；(2)求點A到平面BDF的距離.【解析】（1）取CD的中點O，連接OA，OB，因為，，所以，且，又，，，，所以，可得，又，平面，所以平面BCD，又平面ACD，所以平面平面BCD；（2）因為，所以由（1）可得，，，，又F為AC的中點，所以，在△BDF中，，，，則，所以，則.設點A到平面BDF的距離為d，則，解得，即點A到平面BDF的距離為.13．（2024·四川成都·模擬預測）如圖，在四棱錐中，，，，，．

(1)證明：平面平面；(2)若，，為中點，求三棱錐的體積．【解析】（1）在中，由余弦定理得．由，得，而，，則，又平面EDB，因此平面EDB，而平面ABCD，所以平面平面ABCD．（2）由F是EC中點，得．由（1）知平面EDB，平面EDB，則，而，平面ABCD，則平面ABCD，因此．即，所以三棱錐的體積為．14．（2024·廣西·模擬預測）在長方體中，點E，F(xiàn)分別在，上，且，．求證：平面平面AEF；【解析】為長方體

平面平面∴

又，且，平面，平面平面AEF

平面平面15．（2024·安徽馬鞍山·模擬預測）如圖，在平行四邊形中，，，為邊上的點，，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且三棱柱的體積為.證明：平面平面；【解析】證明：由，，為正三角形.設的中點為，連接，則，則.易知，，所以.所以，，，故平面，平面，所以.又易知中，，，又平面，所以平面.又平面，所以平面平面.題型五：面面垂直的性質(zhì)定理16．如圖，在四邊形中，是邊長為2的正三角形，.現(xiàn)將沿邊折起，使得平面平面，點是的中點.求證：平面；【解析】（1）因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又因為平面，所以，因為為中點，為正三角形，所以，又因為平面，，所以平面.17．（2024·四川成都·模擬預測）如圖所示，斜三棱柱的各棱長均為，側(cè)棱與底面所成角為，且側(cè)面底面．

證明：點在平面上的射影為的中點；【解析】過作于，由平面平面，平面平面，平面，，得平面，因此，又，從而為等邊三角形，為中點．18．如圖1，在矩形中，點在邊上，，將沿進行翻折，翻折后點到達點位置，且滿足平面平面，如圖2．(1)若點在棱上，平面，求證：；(2)求點到平面的距離．【解析】（1）因為，平面，平面，所以平面，又平面，平面，所以平面平面，平面，所以.（2）取的中點，連接，依題意，所以且，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，連接、，則，所以，又，，，，所以，又平面，平面，所以，所以，則，則，所以，設點到平面的距離為，則，解得，即點到平面的距離為.19．（2024·甘肅張掖·模擬預測）在三棱柱中，側(cè)面平面，，側(cè)面為菱形，且為中點．證明：平面；【解析】（根據(jù)題意，即，又側(cè)面平面，面平面，平面，所以面，而面，所以，側(cè)面為菱形，為中點，所以，平面，所以平面；題型六：垂直關系的綜合應用20．如圖，在直三棱柱：中，，，是的中點，在上，為中點.

(1)求證：平面；(2)在下列給出的三個條件中選取哪兩個條件可使平面？并證明你的結論.①為的中點；②；③.【解析】（1）連接，由于是的中點，為中點，則且，故四邊形為平行四邊形，所以，又平面,平面，故平面，（2）若選①②，由于，則,故四邊形為矩形，此時與不垂直，為的中點，為的中點，故，故與不垂直，因此不可能得到平面若選②③由于，，所以,由于三棱柱為直三棱柱，所以,此時不可能滿足，，，故無法得到平面選①③能證明平面連接，，，在中，，，則，又，則，又，，由于平面平面，且兩平面的交線為，平面所以平面，平面，，又平面，平面．21．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，，為的中點．(1)求證：；(2)若為邊的中點，能否在棱上找到一點，使？請證明你的結論．【解析】（1）連接，四邊形為菱形，，又，為等邊三角形，為中點，；，為中點，，又，平面，平面，平面，.（2）當為中點時，，證明如下：分別為中點，，又平面，平面，平面；分別為中點，，，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面，又，平面，平面平面，由（1）知：平面，平面，平面，.22．已知正方體的棱長為，分別是的中點．(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在點，使得平面？若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由；(3)求到平面的距離．【解析】（1）連接，，，四邊形為平行四邊形，；分別為中點，，，平面，平面，平面.（2）取中點為，，，，，又，，，又，，則，，平面，平面，此時，則線段上存在點，為中點，使得平面，此時.（3）平面，到平面的距離即為點到平面的距離，由（2）知：當為中點時，平面，則點到平面的距離即為，又，直線到平面的距離為.23．（2024·江西贛州·模擬預測）如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，側(cè)面是菱形，，、分別為棱、的中點，為線段的中點.

(1)證明：平面；(2)在棱上是否存在一點，使平面平面？若存在，請指出點的位置，并證明你的結論；若不存在，請說明理由.【解析】（1）證明：取的中點，連接、、，因為且，故四邊形為平行四邊形，所以，且，因為為的中點，則且，因為、分別為、的中點，所以，且，所以，且，故四邊形為平行四邊形，所以，，因為平面，平面，所以，平面，因為、分別為、的中點，所以，，因為平面，平面，所以，平面，因為，、平面，所以，平面平面，因為平面，故平面.（2）當點為的中點時，平面平面，因為四邊形為矩形，則，因為，則，因為四邊形為菱形，則，因為，則為等邊三角形，因為為的中點，所以，，因為，、平面，所以，平面，因為平面，所以，平面平面，因此，當點為的中點時，平面平面.24．（2024·高三·山西大同·期末）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，且分別為棱的中點，平面與平面交于直線.(1)求證：；(2)若與底面所成角為，當滿足什么條件時，平面.【解析】（1）證明：取的中點，連接，分別為的中點，，為的中點，且為矩形，，，四邊形為平行四邊形，，平面平面，平面，又平面，平面平面，.（2）底面，為與底面所成角，當時，由（1）有，，且，平面，平面，因為平面，，，面，面，由（1）有，平面.題型七：鱉臑幾何體中的垂直25．（2024·全國·模擬預測）如圖，在直角梯形中，，，是上一點，，，，將沿著翻折，使運動到點處，得到四棱錐．證明：；【解析】（依題意得，，因為，，所以四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形為菱形，如圖，取的中點，連接，，由，得，，又，且，平面，所以平面，因為平面，所以．26．國家主席習近平指出：中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化有著豐富的哲學思想、人文精神、教化思想、道德理念等，可以為人們認識和改造世界提供有益啟迪.我們要善于把弘揚優(yōu)秀傳統(tǒng)文化和發(fā)展現(xiàn)實文化有機統(tǒng)一起來，在繼承中發(fā)展，在發(fā)展中繼承.《九章算術》作為中國古代數(shù)學專著之一，在其“商功”篇內(nèi)記載：“斜解立方,得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑”.劉徽注解為：“此術臑者，背節(jié)也，或曰半陽馬，其形有似鱉肘，故以名云”.鱉臑，是我國古代數(shù)學對四個面均為直角三角形的四面體的統(tǒng)稱.在四面體中，PA⊥平面ACB.(1)如圖1，若D、E分別是PC、PB邊的的中點，求證：DE平面ABC；(2)如圖2，若，垂足為C，且，求直線PB與平面APC所成角的大??；(3)如圖2，若平面APC⊥平面BPC，求證：四面體為鱉臑.【解析】（1）由D、E分別是PC、PB邊的的中點，可得，又平面ABC，平面ABC則DE平面ABC（2）由PA⊥平面ACB，平面ABC，可得又，,平面APC，平面APC則平面APC，則為直線PB與平面APC所成角.又，可得則中，，，則則直線PB與平面APC所成角為（3）在中，過點A作于G，又平面APC⊥平面BPC，平面APC平面BPC則平面BPC，又平面PBC，則，由PA⊥平面ACB，平面ABC，可得又，平面APC，平面APC則平面APC，又平面APC，平面APC則,，則為直角三角形又為直角三角形，則四面體為鱉臑.27．《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.在如圖所示的陽馬中，側(cè)棱底面ABCD，且，點E是PC的中點，連接DE、BD、BE.

證明：平面.試判斷四面體是否為鱉臑.若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，請說明理由；【解析】因為底面，平面所以，因為為長方形，所以，因為，平面所以平面，因為平面，所以，因為，點E是PC的中點，所以，因為，平面，所以平面，由平面PCD，平面PBC，可知四面體的四個面都是直角三角形，即四面體是一個鱉臑，其四個面的直角分別是，，，；28．《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖，在陽馬中，側(cè)棱底面，且，過棱的中點，作交于點，連接.

證明：平面；【解析】因為底面，底面，所以，由底面為長方形，有，而，，面，所以平面，而平面，所以，又因為，點是的中點，所以，而，，面，所以平面，而平面，所以.又，，，面，所以平面.1．（2024·陜西商洛·模擬預測）如圖，四邊形是圓柱的軸截面，是底面圓周上異于，的一點，則下面結論中錯誤的是（

）A．B．平面C．平面平面D．平面【答案】D【解析】因為四邊形是圓柱的軸截面，則線段是直徑，都是母線．又是底面圓周上異于的一點，于是得.而平面，平面，則.因為，平面，則平面，因為平面，因此得，A正確；因為,平面，平面，所以平面，B正確；因為平面，而平面，所以平面平面，C正確．點不在底面內(nèi)，而直線在底面內(nèi)，即是兩條不同直線，若平面，因平面，則，與矛盾，D不正確；故選：D.2．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）已知，是空間內(nèi)兩條不同的直線，，，是空間內(nèi)三個不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，則或【答案】C【解析】對于A，由，，設，當時，可得，故A錯誤；對于B，由，可得或，故B錯誤；對于C，如圖，設，，在平面作不與重合的直線，使，因，則，因，，則，因，則，于是，故C正確；對于D，當，，時，若且，則可以和平面成任意角度，故D錯誤.故選：C.3．（2024·山東泰安·模擬預測）已知直線，和平面，，，，則的必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，當時，由線面垂直的性質(zhì)定理可知；只有當且時才能得到.所以的必要不充分條件是.故選：.4．（2024·四川綿陽·模擬預測）如圖所示，在正方體中，M是棱上一點，平面與棱交于點N.給出下面幾個結論，其中所有正確的結論是（

）①四邊形是平行四邊形；②四邊形可能是正方形；③存在平面與直線垂直；④任意平面都與平面垂直.

A．①② B．③④ C．①④ D．①②④【答案】C【解析】對于①，因為平面與棱交于點，所以四點共面，在正方體中，由平面平面，又平面平面，平面平面，所以，同理可得，故四邊形一定是平行四邊形，故①正確對于②，在正方體中，面，因為面，所以，若是正方形，有，，若不重合，則與矛盾，若重合，則不成立，故②錯誤；對于③，因為平面，，若直線與平面垂直，則直線，顯然矛盾，所以平面與直線不可能垂直，故③錯誤對于④，因為平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，同理：，又平面，平面，，所以平面，因為平面，所以平面平面，故④正確.綜上所述，正確的有①④.故選：C.5．（2024·重慶·模擬預測）已知兩條直線m，n和三個平面α，β，γ，下列命題正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，，則【答案】C【解析】對于A，當，時，兩平面α，β可能平行可能相交，所以A錯誤；對于B，，，兩平面β，γ可能平行可能相交，所以B錯誤；對于C，當，，時，設，，在γ取一點O，過O分別作于B，于C，則，，因為，所以，，所以，，因為，，所以，所以C正確；對于D，當，，，時，可得或，所以D錯誤.故選：C.6．（2024·江蘇常州·模擬預測）已知，為異面直線，直線與，都垂直，則下列說法不正確的是（

）A．若平面，則，B．存在平面，使得，，C．有且只有一對互相平行的平面和，其中，D．至少存在兩對互相垂直的平面和，其中，【答案】A【解析】對于A，如下圖所示，在正方體中取為，為，為，平面為平面，則，，故A錯誤；對于B，在正方體中取為，為，為，平面為平面，此時，，，故B正確；對于C，由線面垂直的判定可知，，，過直線且與垂直的平面只有一個，過直線且與垂直的平面只有一個，則有且只有一對互相平行的平面和，其中，，故C正確；對于D，在正方體中取為，為，為，此時平面平面，平面平面，即至少存在兩對互相垂直的平面和，其中，，故D正確；故選：A.7．（2024·廣東·一模）已知點分別在平面的兩側(cè)，四棱錐與四棱錐的所有側(cè)棱長均為2，則下列結論正確的是（

）A．四邊形可能是的菱形B．四邊形一定是正方形C．四邊形不可能是直角梯形D．平面不一定與平面垂直【答案】C【解析】因為四棱錐與四棱錐的所有側(cè)棱長均為2，可得點在底面上的投影都是四邊形的外心，所以兩射影重合，即有面，且四邊形有外接圓，對于選項A，當四邊形是的菱形時，此時四邊形沒有有外接圓，所以選項A錯誤，對于選項B，當四邊形是矩形時，顯然滿足題意，所以選項B錯誤，對于選項C，因為直角梯形沒有外接圓，一定不合題意，所以選項C正確，對于選項D，因為面，又面，所以平面，所以選項D錯誤，故選：C.8．（2024·全國·模擬預測）我國古代數(shù)學名著《九章算術》將兩底面為直角三角形的直三棱柱稱為塹堵．如圖，已知直三棱柱是塹堵，其中，則下列說法中不一定正確的是（

）A．平面 B．平面平面C． D．為銳角三角形【答案】C【解析】選項A：易知，又平面平面，所以平面，故A正確．選項B：因為，所以，又，平面,所以平面，而平面，所以平面平面，故B正確．選項C：設的中點分別為，連接，則為異面直線與所成的角或其補角，，．假設，則，即，化簡可得，故只有當時，所以C不一定正確．選項D：設，則，所以為銳角．同理可得均為銳角，故D正確．故選：C9．（多選題）（2024·浙江·模擬預測）如圖，在三棱錐的平面展開圖中，，分別是，的中點，正方形的邊長為2，則在三棱錐中（

）A．的面積為 B．C．平面平面 D．三棱錐的體積為【答案】ABD【解析】對于A，易知，故A正確；對于B，連接交于G，根據(jù)正方形的性質(zhì)易知，所以有，又平面，所以平面，平面，所以，故B正確；對于C，由上可知為平面與平面的夾角，易知，則不垂直，故C錯誤；對于D，由題意可知兩兩垂直，則，故D正確.故選：ABD10．（多選題）（2024·江蘇·二模）設m，n是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，下列命題中正確的有（

）A．若，，，則B．，，，則C．若，，，則D．若，，，則【答案】BCD【解析】A.若，，，不能推出或，則不能推出，故A錯誤；B.若，，則，又，所以，故B正確；C.若，，則，又，所以，故C正確；D.若，，，說明與和垂直的法向量互相垂直，則，故D正確.故選：BCD11．（多選題）（2024·山西呂梁·二模）如圖，在平行六面體中，底面是正方形，為與的交點，則下列條件中能成為“”的必要條件有（

）

A．四邊形是矩形B．平面平面C．平面平面D．直線所成的角與直線所成的角相等【答案】ACD【解析】要成為“”的必要條件，則該條件可由“”推出，對于A，因為在平行六面體中，，所以四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形為矩形，故A正確；對于B，假設平面平面，由選項A，可知四邊形為矩形，則，又平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，與四邊形為正方形矛盾，故B錯誤；對于C，因為四邊形是正方形，所以，因為，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故C正確；對于D，因為四邊形為矩形，為的中點，易得，又正方形中，是公共邊，所以，則，又，所以分別為直線所成的角與直線，所成的角（或其補角），則直線所成的角與直線所成的角相等，故D正確.故選：ACD.12．（2024·陜西·三模）如圖，四邊形是圓柱的軸截面，是底面圓周上異于的一點，則下面結論中正確的序號是．（填序號）①；②；③平面；④平面平面．【答案】①②④【解析】因為四邊形是圓柱的軸截面，則線段是底面圓的直徑，都是母線．又是底面圓周上異于的一點，于是得，而平面，平面，則．因為平面，則平面，因為平面，所以，①正確：同理可證，②正確：點不在底面內(nèi)，而直線在底面內(nèi)，即是兩條不同直線，若平面，因平面，與過一點有且只有一條直線垂直于已知平面矛盾，③不正確；因為平面，而平面，于是得平面平面，④正確．故答案為：①②④13．（2024·黑龍江·模擬預測）已知矩形，其中，，點D沿著對角線進行翻折，形成三棱錐，如圖所示，則下列說法正確的是（填寫序號即可）．①點D在翻折過程中存在的情況；②三棱錐可以四個面都是直角三角形；③點D在翻折過程中，三棱錐的表面積不變；④點D在翻折過程中，三棱錐的外接球的體積不變．【答案】②④【解析】對于①：如圖所示，過點B作的垂線，垂足為E，連接，若成立，由，與都在平面內(nèi)且相交，則面，則，又因為，所以在原矩形中，，因為矩形的長寬不等，所以顯然不可能，①錯誤；對于②：當面面時，，，此時四個面都是直角三角形，②正確；對于③：由于在翻折過程中與都為銳角，且逐漸變小，所以變小，同理也同時變小，而另兩個三角形和為矩形面積，③錯誤；對于④：由于，都為直角三角形，所以外接球的球心就是中點，點D在翻折過程中，其外接球的直徑始終為，④正確.故答案為：②④14．如圖，在平行四邊形中，，，且交于點，現(xiàn)沿折痕將折起，直至折起后的，此時的面積為．【答案】【解析】如圖所示，折起前，，所以，在直角中，可得，又由，因為，又因為，則，由，所以，因為，平面，則平面，又因為平面，則平面平面，分別過點作的垂線，垂足分別為點，則，因為平面平面，且平面，所以平面，又因為平面，所以由，可得，所以，在中，可得，因為，所以，所以．故答案為：.15．（2024·四川·一模）如圖，在矩形中，，，點為線段的中點，沿直線將翻折，點運動到點的位置．當平面平面時，三棱錐的體積為．【答案】/【解析】如圖，取的中點，連接交于點，連接．易知四邊形為正方形，則，由翻折前后的不變性可知，，當平面平面時，又平面平面，平面，所以平面．由題意可知，，，所以．故答案為：16．（2024·廣東·二模）如圖，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，側(cè)面是菱形，，平面平面．(1)證明：；(2)求點到平面的距離．【解析】（1）連接，由四邊形為菱形，得，由，得，又平面平面，平面平面，面ABC，則平面，又平面，于是，而，則，又，平面，因此平面，又平面，所以（2）點到平面的距離，即三棱錐的底面上的高，由（1）知平面，則三棱錐的底面上的高為，設點到平面的距離為d，由，得，而，，則的面積，由，，得，又，，則，又，，由余弦定理得，則，的面積，則，即，所以點到平面的距離為.17．（2024·河南鄭州·二模）如圖，已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，點，分別為和的中點．(1)證明：平面；(2)設，當為何值時，平面？試證明你的結論．【解析】（1）取的中點，的中點，連接，，，則有，，，所以，則與共面，又平面，平面，所以平面，又平面，平面，所以平面，又，平面，平面平面，又平面，∴平面；（2）連接，不妨設，則，所以，∵三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，∴平面平面，∵，∴，又點是的中點，所以，又平面平面，平面，∴平面，平面，∴，要使平面，只需即可，又∵，∴，即，∴（負值舍去），即時，平面.18．（2024·全國·模擬預測）如圖，在四棱柱中，平面和平面均垂直于平面．(1)求證：平面平面；(2)若為的中點，底面是正方形，，求三棱錐的體積．【解析】（1）在平面內(nèi)，過點分別作于點，于點，因為平面平面，平面平面，又平面，所以平面，又平面，所以．同理可得，因為，平面，所以平面．因為平面，所以平面平面．（2）由已知得四棱柱，為正四棱柱，連接，所以，，，所以，所以．同理可得，且，平面，所以平面．因為，所以，所以三棱錐的體積為．19．（2024·四川成都·三模）如圖，在三棱臺中，在邊上，平面平面，，，，，.(1)證明：；(2)若的面積為，求三棱錐的體積.【解析】（1）在中，，，，由余弦定理得，則，即，而平面平面，平面平面，平面，于是平面，又平面，則，又，，平面，平面，因此平面，而平面，則，又，所以.（2）在中，，，，則，，由，解得，由，得，因此，所以三棱錐的體積是.1．（多選題）（2022年新高考全國I卷數(shù)學真題）已知正方體，則（

）A．直線與所成的角為 B．直線與所成的角為C．直線與平面所成的角為 D．直線與平面ABCD所成的角為【答案】ABD【解析】如圖，連接、，因為，所以直線與所成的角即為直線與所成的角，因為四邊形為正方形，則，故直線與所成的角為，A正確；連接，因為平面，平面，則，因為，，所以平面，又平面，所以，故B正確；連接，設，連接，因為平面，平面，則，因為，，所以平面，所以為直線與平面所成的角，設正方體棱長為，則，，，所以，直線與平面所成的角為，故C錯誤；因為平面，所以為直線與平面所成的角，易得，故D正確.故選：ABD2．（2024年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．(1)證明：；【解析】（1）由，得，又，在中，由余弦定理得,所以，則，即，所以，又平面，所以平面，又平面，故；3．（2023年北京高考數(shù)學真題）如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面PAB；【解析】（1）因為平面平面，所以，同理，所以為直角三角形，又因為，，所以，則為直角三角形，故，又因為，，所以平面.4．（2023年高考全國甲卷數(shù)學（文）真題）如圖，在三棱柱中，平面．

(1)證明：平面平面；(2)設，求四棱錐的高．【解析】（1）證明：因為平面，平面,所以,又因為，即，平面，,所以平面，又因為平面,所以平面平面.（2）如圖，過點作，垂足為.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以四棱錐的高為.因為平面，平面,所以,,又因為，為公共邊，所以與全等，所以.設，則，所以為中點，,又因為,所以,即，解得，所以，所以四棱錐的高為．5．（2023年高考全國乙卷數(shù)學（理）真題）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點分別為D，E，O，，點F在AC上，.

(1)證明：平面；(2)證明：平面平面BEF；【解析】（1）連接，設，則，，，則，解得，則為的中點，由分別為的中點，于是，即，則四邊形為平行四邊形，，又平面平面，所以平面.（2）法一：由（1）可知，則，得，因此，則，有，又，平面，則有平面，又平面，所以平面平面.法二：因為，過點作軸平面，建立如圖所示的空間直角坐標系，，在中，，在中，，設，所以由可得：，可得：，所以，則，所以，，設平面的法向量為n1=則，得，令，則，所以，設平面的法向量為，則，得，令，則，所以，，所以平面平面BEF；6．（2023年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點．(1)證明：；【解析】（1）連接，因為E為BC中點，，所以①，因為，，所以與均為等邊三角形，，從而②，由①②，，平面，所以，平面，而平面，所以．7．（2022年新高考浙江數(shù)學