立體幾何專題

#/12一一 1一CD=2%6,EF=—CD=%6,DF=、：2,SC=22.1 11 11：y-22_2x3,?V 二—,—,EF?DF,SC=一?—?v6?v2,2= S-CEF32 32 3在RtNSCE中，SE=JSC2+CE2=2V3在RtASCF中，SF=1SC2+CF2=、；4+24+2=.<30_ 1 1 2於 2...：3又?:EF=.16,,S-3由于V=V=_?S-h,即丁3-h=,解得h=——ASEF C-SEFS-CEF3 ASEF 3 3 32<3故CD與SE間的距離為—考點(diǎn)3直線到平面的距離例3.如圖，在棱長為2的正方體AC1中，G是AA1的中點(diǎn)求BD到平面GB1D1的距離.思路啟迪：把線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離,再用點(diǎn)到平面距離的方法求解。解答過程：解析一:BD〃平面GB1D1,?BD上任意一點(diǎn)到平面GB1D1的距離皆為所求,以下求點(diǎn)O平面GB1D1的距離，BD±AC,BD±AA,?BD±平面AACC,TOC\o"1-5"\h\z11 11 11 1 11 1 1又「B1Du平面GB1D1,平面A1ACC11GB1D，兩個(gè)平面的交線是O1G,作OH±O1G于H,則有OH1平面GB1D1,即oh是O點(diǎn)到平面GB1D1的距離。1 1 --在AOOG中，S=-OO-AO2?工2-%2。1 A010G21 2又S ---OH-OG---v/3-OH=v2,OH=竺AO1OG2 1 2 32.6即BD到平面GB1D1的距離等于三一。小結(jié):當(dāng)直線與平面平行時(shí),直線上的每一點(diǎn)到平面的距離都相等，都是線面距離.所以求線面距離關(guān)鍵是選準(zhǔn)恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離.本例解析一是根據(jù)選出的點(diǎn)直接作出距離；解析二是等體積法求出點(diǎn)面距離?？键c(diǎn)4異面直線所成的角例4如圖，在Rt△AOB中,/OAB=n,斜邊AB=4.Rt△aoc可以通過Rt△AOB6以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B—AO—C的直二面角.D是AB的中點(diǎn).(I)求證：平面COD1平面AOB；(II)求異面直線AO與CD所成角的大小.解答過程：(I)由題意，CO1AO,BO1AO,??.ZBOC是二面角B—AO—C是直二面角，A???CO1BO，又?.?A0060=O,CO1平面AOB,又COu平面COD.???平面COD1平面AOB.(此作DE1OB，垂足為E，連結(jié)CE(如圖)，則DE//AO,ZCDE是異面直線AO與CD所成的角.在Rt△COE中，CO=BO=2,OE=1BO=1，.CE=\CO2+OE2=<5

2又DE=1AO="3?.在Rt△CDE中，tanCDE=CE=亙=2?2 DE%3 3???異面直線AO與CD所成角的大小為@「皿口正.3解法2：(I)同解法1.(II)建立空間直角坐標(biāo)系O—肛z，如圖，則O(0,0,0)，A(0Q2y3)，C(2,0,0).OA=(0,0,2<3),CD=(-2,1,3),...cos<OA,CD〉=OA?CDCA^CD6 _丫6.2V3?2Y2―4異面直線AO與CD所成角的大小為23手.D(01,小結(jié)：求異面直線所成的角常常先作出所成角的平面圖形，作法有：①平移法：在異面直線中的一條直線上選擇“特殊點(diǎn)”，作另一條直線的平行線，如解析一，或利用中位線，如解析二；②補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的幾何體,其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系,如解析三。一般來說,平移法是最常用的,應(yīng)作為求異面直線所成的角的首選方法。同時(shí)要特別注意異面直線所成的角的范圍：考點(diǎn)5直線和平面所成的角例5.四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC1底面c?！?，5ABCD.已知/ABC=45°,AB=2,BC=ABCD.已知/ABC=45°,(1)證明SA1BC;（II）求直線SD與平面SAB所成角的大小.解答過程：（I）作SO±BC，垂足為O，連結(jié)AO(1)證明SA1BC;（II）求直線SD與平面SAB所成角的大小.解答過程：（I）作SO±BC，垂足為O，連結(jié)AO，由側(cè)面SBC，底面ABCD^SO，底面ABCD.因?yàn)镾A=SB，所以AO=BO,又NABC_45。，故△AOB為等腰直角形,AO±BO,由三垂線定理，得SA±BC.(II)由(I)知SA±BC,依題設(shè)AD//BC,故SA±AD,由AD_BC_2J2,SA_%3,AO_,/2,得SO=1,SD=ar.△SAB的面積S_1AB.i2連結(jié)DB，得△DAB的面積S_1AB.ADsin135。_222設(shè)D到平面SAB的距離為h，由于V _V ，得1hS_1SO-S，解得h_22.D-SAB S-ABD 3 13 2設(shè)SD與平面SAB所成角為a，則sina_A_亙_至.sinSD<11 11所以，直線SD與平面SBC所成的我為arcsin巨2.arcsn11解法二:（I）作SO±BC,垂足為O,連結(jié)AO,由側(cè)面SBC，底面ABCD，得SO，平面ABCD.因?yàn)镾A=SB，所以AO=BO.又NABC=45。,△AOB為等腰直角三角形，AO±OB.如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸正向，建立直角坐標(biāo)系O-xyz,AG/2,0,0),B(0,2,0),C(0,-V2,0),S(0,0,1),SA=G/2,0,D1)G,ACB=(0,2J2,0),SA^CB=0，所以SA±BC.(II)取AB中點(diǎn)E,連結(jié)SE，取SE中點(diǎn)G,連結(jié)OG,Gf定正1].[4,4,27OG二SEOG二SE=AB=(—%/2,2,0).SE-OG=0,AB.OG=0,OG與平面SAB內(nèi)兩條相交直線SE,AB垂直.所以O(shè)G1平面SAB,OG與DS的夾角記為a,SD與平面SAB所成的角記為B，則a與B互余.D(<2,2<2,0)，DS=~’2,2%2,1).OGDScosaOGDScosa=? j""? ?=10GH詞叵，sinP=①，

11 11CA=CBCA=CB所以，直線SD與平面SAB所成的角為arcsin蟲2?11小結(jié):求直線與平面所成的角時(shí)，應(yīng)注意的問題是(1)先判斷直線和平面的位置關(guān)系；(2)當(dāng)直線和平面斜交時(shí)，常用以下步驟：①構(gòu)造一一作出斜線與射影所成的角，②證明--論證作出的角為所求的角，③計(jì)算一-常用解三角形的方法求角，④結(jié)論-一點(diǎn)明直線和平面所成的角的值.考點(diǎn)6二面角例6.如圖，已知直二面角a-PQ-P,AePQ,Bea,/BAP=45。，直線CA和平面a所成的角為30。.(I)證明BC±PQ(11)求二面角B-AC-P的大小.過程指引：(I)在平面P內(nèi)過點(diǎn)C作CO±PQ于點(diǎn)O,連結(jié)OB.因?yàn)閍±P,anP=PQ，所以CO±a,又因?yàn)镃A=CB，所以O(shè)A=OB.而/BAO=45°,所以/ABO=45°,/AOB=90°,從而BO±PQ又CO±PQ,所以PQ，平面OBC.因?yàn)锽Cu平面OBC,故PQ±BC.(II)由(I)知，BO±PQ，又a±P,anP=PQ,BOua，所以BO±P.過點(diǎn)O作OH±AC于點(diǎn)H，連結(jié)BH，由三垂線定理知，BH±AC.故

/BHO是二面角B—AC—P的平面角.由(I)知，CO±a，所以ZCAO是CA和平面a所成的角，則/CAO=30不妨設(shè)AC=2，則AO=<3,OH=AOsin30;亙^2在Rt△OAB中，/ABO=/BAO=45°,所以BO=AO=<3,于是在Rt△BOH中,tan/BHO='0=上士=2.故二面角B—AC—P的大小為arctan2.OH,3小結(jié):本題是一個(gè)無棱二面角的求解問題.解法一是確定二面角的棱，進(jìn)而找出二面角的平面角.無棱二面角棱的確定有以下三種途徑：①由二面角兩個(gè)面內(nèi)的兩條相交直線確定棱，②由二面角兩個(gè)平面內(nèi)的兩條平行直線找出棱，③補(bǔ)形構(gòu)造幾何體發(fā)現(xiàn)棱；解法二則是利用平面向量計(jì)算的方法，這也是解決無棱二面角的一種常用方法，即當(dāng)二面角的平面角不易作出時(shí)，可由平面向量計(jì)算的方法求出二面角的大小.考點(diǎn)7利用空間向量求空間距離和角例7.如圖，已知ABCD—ABCD是棱長為3的正方體，1111點(diǎn)E在AA上，點(diǎn)F在CC上，且AE=FC=1.11 1(1)求證:E，B,F，D四點(diǎn)共面；12(2)若點(diǎn)G在BC上，BG=-，點(diǎn)M在BB上，GM±BF，垂足為H，31求證:EM,平面BCCB(3)用6表示截面EBFD和側(cè)面BCCB所成的銳二面角的大小，求tan9.1 11過程指引：(1)如圖,在DD1上取點(diǎn)N，使DN=1，連結(jié)EN，CN,則AE=DN=1，CF=ND=2.M1因?yàn)锳E〃DN，ND〃CF，所以四邊形ADNE，CFDN都為平行四邊形.從11而EN//AD，F(xiàn)D〃CN.= i又因?yàn)锳D/BC，所以EN/BC，故四邊形BCNE是平行四邊形，由此推知CN/BE，從而FD/BE.因此，E，B，F(xiàn)，D四點(diǎn)共面.

(2)如圖，GM±BF，又BM±BC,所以NBGM=/CFB,BC3.3BM=BG.tnZBGM=BG.tanZCFB=BG.-C=-x3=1.CF32因?yàn)锳E"BM，所以ABME為平行四邊形，從而AB//EM.TOC\o"1-5"\h\z又AB，平面BCCB，所以EM，平面BCCB.11 11(3)如圖，連結(jié)EH.因?yàn)镸H±BF,EM±BF，所以BF，平面EMH,得EH±BF.于是ZEHM是所求的二面角的平面角，即ZEHM=0.因?yàn)閆MBH=ZCFB，所以MH=BM.sinZMBH=BM.sinZCFBBCBC3 3 3 EM=BM? ==1x = ,tan0= =丫13?BCC2+CF2 '32+22<13 MH解法二：,(1)建立如圖所示的坐標(biāo)系，則BE=(3,01),BF=,又它們有公共點(diǎn)B，所以E,B,F/四點(diǎn)共面.所以BD1=BE+BF,故嗎又它們有公共點(diǎn)B，所以E,B,F/四點(diǎn)共面. . < 2(2)如圖，設(shè)M(0,0 z)，則GM = 0,-1 32一一一而BF=(0,3,2)，由題設(shè)得GM.BF=--.3+z?2=0^3因?yàn)镸(0,0,1),E(3,0,1)，有ME=(3,0,0),又BB=(0,0,3)BC=(0,3,0)，所以MEBB=0,MEBC=0，從而ME±BBME±BC.1 ' 1 1