浙江專用2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)收官卷03含解析

Page12024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)收官卷03（浙江專用）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．（2024·浙江·慈溪市滸山中學(xué)高一期中）已知集合，則的子集有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【詳解】解：∵集合，∴的子集有：.則的子集有4個.故選：D.2．（2024·浙江·高考真題）已知（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，而為實數(shù)，故，故選：B.3．（2024·浙江·高三專題練習(xí)）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的改變．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”，如圖就是一重卦．在全部重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題知，每一爻有2種狀況，一重卦的6爻有狀況，其中6爻中恰有3個陽爻狀況有，所以該重卦恰有3個陽爻的概率為=，故選A．4．（2024·浙江省富陽中學(xué)高三階段練習(xí)）已知，那么（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，可得，又由.故選：A.5．（2024·浙江·杭州市余杭高級中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）在矩形中，，，點為邊的中點，點為邊上的動點，則的取值范圍是（

）\A． B． C． D．【答案】B【詳解】以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示平面直角坐標系，則，，設(shè)，，，，，，即的取值范圍為.故選：B.6．（2024·浙江·高二階段練習(xí)）甲盒中有4個紅球，2個白球和3個黑球，乙盒中有3個紅球，2個白球和2個黑球（球除顏色不同外，大小質(zhì)地均相同）．先從甲盒中隨機取出一球放入乙盒，分別以事務(wù)和表示從甲盒中取出的球是紅球、白球和黑球；再從乙盒中隨機取出一球，以事務(wù)B表示從乙盒中取出的球是紅球．下列結(jié)論正確的個數(shù)是（

）①事務(wù)與相互獨立；②是兩兩互斥事務(wù)；③；④．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】依題意，，和是兩兩互斥事務(wù)，②正確；，，，又，事務(wù)，不獨立，故①錯誤，，，，，故③正確，，④正確，綜上，正確的有3個，故選：C.7．（2024·浙江省蒼南中學(xué)高三階段練習(xí)）直三棱柱的各個頂點都在同一球面上，若，則此球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖所示，三角形的外心是，外接圓半徑，在中，，，可得，由正弦定理，，可得外接圓半徑，設(shè)球心為，連接，，，在中，求得球半徑，此球的表面積為．故選：B．8．（2024·浙江·高三專題練習(xí)）若直線與兩曲線分別交于兩點，且曲線在點處的切線為，曲線在點處的切線為，則下列結(jié)論：①，使得；②當(dāng)時，取得最小值；③的最小值為2；④最小值小于．其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】解：由直線與兩曲線分別交于兩點可知：曲線上點坐標，可求導(dǎo)數(shù)，則切線斜率，可知切線：.曲線上點坐標，可求導(dǎo)數(shù)，則切線斜率.令，則，令，，由零點存在定理，使，即，使，即，故①正確.，令，由同理可知有，使，令，在處取最小值，即當(dāng)時，取得最小值，故②正確.是對勾函數(shù)，在上是減函數(shù)，，故③錯誤，④正確.故選：C二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9．（2024·浙江溫州·高二期末）某學(xué)校組織了一次勞動技能大賽，共有100名學(xué)生參賽，經(jīng)過評判，這100名參賽者的得分都在內(nèi)，得分60分以下為不及格，其得分的頻率分布直方圖如圖所示（按得分分成，，，，這五組），則下列結(jié)論正確的是（

）A．直方圖中B．此次競賽得分及格的共有55人C．以頻率為概率，從這100名參賽者中隨機選取1人，其得分在[50，80）的概率為0.75D．這100名參賽者得分的第80百分位數(shù)為75【答案】AD【詳解】由圖可知，，解得a=0.005，故A正確；競賽及格的人數(shù)為：，故B錯誤；成果在內(nèi)的頻率為，即概率為0.85，故C錯誤；設(shè)第80百分位數(shù)為70+x分，則有，解得x=5，所以第80百分位數(shù)為75分，故D正確；故選：AD.10．（2024·浙江杭州·高二開學(xué)考試）已知直線，其中，下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，直線與直線垂直B．若直線與直線平行，則C．直線的傾斜角肯定大于D．當(dāng)時，直線在兩坐標軸上的截距相等【答案】AC【詳解】A：當(dāng)時，直線的方程為，可化為：，所以該直線的斜率為1，直線的斜率為，因為，所以這兩條直線相互垂直，因此本選項說法正確；B：由直線與直線平行，可得或，因此本選項說法不正確；C：直線方程可化為：，設(shè)直線的傾斜角為，所以，所以本選項說法正確；D：當(dāng)時，直線的方程為，當(dāng)時，；當(dāng)時，，因為，所以直線在兩坐標軸上的截距不相等，因此本選項說法不正確，故選：AC11．（2024·浙江杭州·高一期末）已知實數(shù)為函數(shù)的兩個零點，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【詳解】令則，分別作圖與如圖所示：由圖可得，所以，故A正確；由于，，所以，所以，故B正確，C、D錯誤.故選：AB.12．（2024·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高三期中）如圖，在直三棱柱中，是直角三角形，且，，為的中點，點是棱上的動點，點是線段上的動點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．異面直線與所成角的余弦值是B．三棱柱的外接球的球面積是C．當(dāng)點是線段的中點時，三棱錐的體積是D．的最小值是【答案】ACD【詳解】解：對于A，如下圖，連接在直三棱柱中，有，則為異面直線與所成角或其補角又是直角三角形，且，則，所以，則，在直三棱柱中，平面，平面，則，所以，同理得則于是異面直線與所成角的余弦值是，故A正確；對于B，由于直三棱柱中，平面，平面，則，且，故該三棱柱可以與以為頂點，為棱的長方體的各頂點重合所以三棱柱的外接球的球半徑則三棱柱的外接球的球面積是，故B錯誤；對于C，如下圖，連接在三棱柱中，四邊形為平行四邊形，當(dāng)點是線段的中點時，也是線段的中點，又，平面，平面，所以平面則點到平面的距離與點到平面的距離相同所以，故C正確；對于D，在三棱柱中，四邊形為矩形，又為的中點，則為的中點，則均在平面上在中，，，且如圖，在平面，以為軸，為軸，建立平面直角坐標系，其中點關(guān)于直線對稱的點為則又，則當(dāng)三點共線時最小，點是棱上的動點，則可得最小值設(shè)，又，所以直線方程為所以，則，所以時，在線段上，且所以的最小值是，故D正確.故選：ACD.三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，其次空3分．）13．（2024·浙江·紹興魯迅中學(xué)高三階段練習(xí)）在的綻開式中，含項的系數(shù)為__________.【答案】80【詳解】由題設(shè)，，所以項的系數(shù)為.故答案為：8014．（2024·浙江·慈溪市滸山中學(xué)高一期中）已知函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，且關(guān)于x的方程有兩個相等的實根，寫出滿意上述條件的一個函數(shù)______.【答案】（答案不唯一，只需滿意即可）【詳解】解：已知，∵的圖象關(guān)于y軸對稱，∴對稱軸，∴，則方程即為，即，∴，∴，當(dāng)時，，∴滿意條件的二次函數(shù)可以為.故答案為：.（答案不唯一，只需滿意即可）15．（2024·浙江溫州·高二期中）幾何學(xué)史上有一個聞名的米勒問題：“如圖，點M，N是銳角∠AQB的一邊QA上的兩點，試在QB邊上找一點P，使得∠MPN最大”.如圖，其結(jié)論是：點P為過M，N兩點且和射線QB相切的圓的切點.依據(jù)以上結(jié)論解決以下問題：在平面直角坐標系xOy中，給定兩點M（1，2），N（3，4），點P在x軸上移動，當(dāng)∠MPN取最大值時，點P的橫坐標為_________.【答案】3【詳解】設(shè)直線MN與x軸交于Q，易得，過點M，N的圓且與軸相切于點P即為所求.則由圓冪定理得，所以，易得或，而過點的圓的半徑大于過點的圓的半徑，所以，故點P的橫坐標為3.故答案為：3.16．（2024·浙江衢州·高三階段練習(xí)）已知一個質(zhì)子在隨機外力作用下，從原點動身在數(shù)軸上運動，每隔一秒等可能地向數(shù)軸正方向或向負方向移動一個單位.若移動n次，則當(dāng)n＝6時，質(zhì)子位于原點的概率為___________；當(dāng)n＝___________時，質(zhì)子位于5對應(yīng)點處的概率最大.【答案】

##0.3125

23或25【詳解】設(shè)第n次移動時向左移動的概率為，事務(wù)n＝6時質(zhì)子位于原點等價于事務(wù)前6次移動中有且只有3次向左移動，所以事務(wù)n＝6時質(zhì)子位于原點的概率為,事務(wù)第次移動后質(zhì)子位于5對應(yīng)點處等價于事務(wù)質(zhì)子在次移動中向右移了次，所以第次移動后質(zhì)子位于5對應(yīng)點處的概率，設(shè)，則，令可得，化簡可得，所以，，所以令可得，，所以，又，所以m=9或m=10，即或時，質(zhì)子位于5對應(yīng)點處的概率最大.故答案為：；23或25.四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第16題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．）17．（2024·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)料）已知向量，記函數(shù)．(1)求的對稱軸和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在銳角中，角A，B，C的對邊為a，b，c，若，求的取值范圍．【答案】(1)對稱軸為，(2)【詳解】（1）由題意，所以的對稱軸為，即，單調(diào)遞增區(qū)間滿意，解得，所以單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）由得，，所以，所以，因為為銳角三角形，故，得，所以，即的取值范圍為．18．（2024·浙江嘉興·模擬預(yù)料）已知公差不為零的等差數(shù)列滿意成等比數(shù)列．?dāng)?shù)列的前n項和為，且滿意(1)求和的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿意，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)；(2)(1)由題：，∵，即得：，即當(dāng)時，，當(dāng)時，，，兩式相減整理得，即數(shù)列是以首項，公比的等比數(shù)列∴(2)當(dāng)n為奇數(shù)時，當(dāng)n為偶數(shù)時，，兩式相減得：得：19．（2024·浙江杭州·高二期中）已知四棱錐的底面是平行四邊形、側(cè)棱平面，點在棱上，且，點N是在棱上的動點(不為端點).(1)若N是棱中點，完成:(i)畫出的重心G（在圖中作出虛線），并指出點G與線段的關(guān)系；(ii)求證:平面；(2)若四邊形是正方形，且，當(dāng)點在何處時，直線與平面所成角的正弦值取得最大值，并求出最大值.【答案】(1)作圖見解析,點在線段上；證明見解析；(2)當(dāng)點在線段靠點的三等分點處時，直線與平面所成角的正弦值最大，最大值為．【詳解】（1）設(shè)與的交點為，連接與交于點，點為中點，點為中點，與的交點為的重心，，又為在邊上的中線，點也為的重心，即重心點在線段上．證明：連接并延長交于點，連接，點為的重心，，又，即，又平面，平面，所以平面．（2）四邊形是正方形，且平面，、、兩兩垂直，以為坐標原點，、、的方向為軸、軸、軸正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，則點，0，，，0，，，3，，，1，，則，，，設(shè)則，，設(shè)平面的法向量為，則有，化簡得：，取則，，設(shè)直線與平面所成角為，則，當(dāng)時的值最大，即當(dāng)點在線段靠點的三等分點處時，直線與平面所成角的正弦值最大，最大值為．20．（2024·浙江浙江·高三期中）自主招生和強基安排是高校選拔錄用工作改革的重要環(huán)節(jié).自主招生是學(xué)生通過高校組織的筆試和面試之后，可以得到相應(yīng)的降分政策.2024年1月，教化部確定2024年起不再組織開展高校自主招生工作，而是在部分一流高校建設(shè)高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點（也稱強基安排）.下表是某高校從2024年起至2024年通過自主招生或強基安排在部分專業(yè)的招生人數(shù)：年份數(shù)學(xué)物理化學(xué)總計202447617202458518202469520202487621202498623請依據(jù)表格回答下列問題：(1)統(tǒng)計表明招生總數(shù)和年份間有較強的線性關(guān)系.記為年份與的差，為當(dāng)年數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)的招生總?cè)藬?shù)，試用最小二乘法建立關(guān)于的線性回來方程，并以此預(yù)料年的數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)的招生總?cè)藬?shù)（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；(2)在強基安排實施的首年，為了保證招生錄用結(jié)果的公允公正，該校招生辦對年強基安排錄用結(jié)果進行抽檢.此次抽檢從這名學(xué)生中隨機選取位學(xué)生進行評審.記選取到數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生人數(shù)為，求隨機變量的數(shù)學(xué)期望；(3)經(jīng)統(tǒng)計該校學(xué)生的本科學(xué)習(xí)年限占比如下：四年畢業(yè)的占，五年畢業(yè)的占，六年畢業(yè)的占.現(xiàn)從到年間通過上述方式被該校錄用的學(xué)生中隨機抽取1名，若該生是數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，求該生恰好在年畢業(yè)的概率.附：為回來方程，，．【答案】(1)，24(2)(3)【詳解】（1）由題意，的取值集合為，的取值集合為，,干脆依據(jù)公式求得，，因此回來方程為：，當(dāng)時，可得，因此預(yù)料2024年的招生總?cè)藬?shù)為人.（2）由已知，可取0,1,2,3.，，，，故.（3）因為2025年畢業(yè)，則入學(xué)年份可能為2024年，2024年，2024年,由條件概率公式可知，該生被數(shù)學(xué)系錄用的條件下，其在第年入學(xué)的概率為：，故，，，由全概率公式：.21．（2024·浙江·溫州中學(xué)高三期末）已知拋物線上一點到其焦點的距離為5.(1)求與的值；(2)過點作斜率存在的直線與拋物線交于兩點（異于原點），為在軸上的投影，連接與分別交拋物線于，問：直線是否過定點，若存在，求出該定點，若不存在，請說明理由.【答案】(1)，(2)過定點，【詳解】（1）解：（1）依據(jù)拋物線的定義得：，，將點代入拋物線方程得：，；（2）解：設(shè)，，，，直線的方程為.代入拋物線方程得：.得，由題得，設(shè)過點的直線方程為，代入拋物線方程得：，∴，，又由己知可得直線的方程為：，整理得：，將和代入直線方程得：，代入上式可得：，即，得，所以直線過定點.22．（2024·浙江·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若在單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若不等式在上恒成立，推斷函數(shù)在上的零點個數(shù)，并說明理由.【答案】(1)(2)1個，理由見解析.（1）解：因為，所以，因