自動(dòng)控制原理 課件 第6章 控制系統(tǒng)的校正

第6章控制系統(tǒng)的校正自動(dòng)控制原理第6章控制系統(tǒng)的根軌跡分析6.1系統(tǒng)校正設(shè)計(jì)基礎(chǔ)6.2常用校正裝置及其特性6.3串聯(lián)校正6.4反饋校正6.5復(fù)合校正6.6習(xí)題⑴理解線性系統(tǒng)的基本控制規(guī)律。⑵理解超前校正、滯后校正、滯后-超前校正裝置的特性及對系統(tǒng)的影響。⑶理解并掌握串聯(lián)超前、串聯(lián)滯后和串聯(lián)滯后-超前的頻域設(shè)計(jì)原理及方法；理解串聯(lián)綜合設(shè)計(jì)法的特點(diǎn)及方法。⑷理解反饋校正和復(fù)合校正的特點(diǎn)和作用，掌握運(yùn)用反饋校正和復(fù)合校正提高系統(tǒng)性能的方法。學(xué)習(xí)目標(biāo)：⑴了解PID控制規(guī)律的特點(diǎn)。⑵熟練掌握超前校正、滯后校正、滯后-超前校正裝置的適用場合和參數(shù)的選擇原則。⑶熟練掌握串聯(lián)校正的頻域法設(shè)計(jì)步驟和方法。⑷掌握反饋校正和復(fù)合校正的特點(diǎn)，能采用電器元件實(shí)現(xiàn)校正裝置。本章重點(diǎn)：第3章-第5章的內(nèi)容主要是研究線性控制系統(tǒng)的分析方法，即運(yùn)用這些方法對控制系統(tǒng)性能進(jìn)行定性分析和定量計(jì)算。在實(shí)際工程控制問題中，當(dāng)控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)不能滿足要求時(shí)，就必須在系統(tǒng)原有結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上引入附加裝置，使控制系統(tǒng)的性能得到改善。根據(jù)預(yù)先給定的性能指標(biāo)，去設(shè)計(jì)滿足性能要求的控制系統(tǒng)，這類問題稱為控制系統(tǒng)的校正，引入的附加裝置稱為校正裝置。本章討論僅限于單輸入、單輸出線性定常連續(xù)控制系統(tǒng)。6.1系統(tǒng)校正設(shè)計(jì)基礎(chǔ)控制系統(tǒng)的校正就是從實(shí)際工程出發(fā)，提出系統(tǒng)要達(dá)到的各項(xiàng)性能指標(biāo)，然后根據(jù)控制對象合理選擇控制方案及結(jié)構(gòu)形式，計(jì)算參數(shù)和選擇元器件，通過仿真和實(shí)驗(yàn)研究，設(shè)計(jì)同時(shí)滿足穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的實(shí)用系統(tǒng)?？刂葡到y(tǒng)的校正問題常常可以歸結(jié)為設(shè)計(jì)適當(dāng)類型和適當(dāng)參數(shù)值的校正裝置。校正裝置可以補(bǔ)償系統(tǒng)不可變動(dòng)部分(由控制對象、執(zhí)行機(jī)構(gòu)和測量部件組成的部分)在特性上的缺陷，使校正后的控制系統(tǒng)能滿足事先要求的性能指標(biāo)。6.1.1性能指標(biāo)7在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，采用的設(shè)計(jì)方法一般依據(jù)性能指標(biāo)的提出形式而定。一般系統(tǒng)校正常用的性能指標(biāo)如下。1.時(shí)域指標(biāo)時(shí)域指標(biāo)包括穩(wěn)態(tài)誤差ess、靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp、靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv、靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka、超調(diào)量σ%、上升時(shí)間tr、峰值時(shí)間tp和調(diào)節(jié)時(shí)間ts等。2.頻域指標(biāo)頻域指標(biāo)包括截止頻率ωc、相角裕度h、幅值裕度γ、諧振頻率ωr、諧振峰值Mp及帶寬頻率ωb等。3.頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)的關(guān)系在頻域中對系統(tǒng)進(jìn)行分析設(shè)計(jì)時(shí)，通常以頻域指標(biāo)為依據(jù)，但是頻域指標(biāo)不如時(shí)域指標(biāo)直觀、準(zhǔn)確。因此，需進(jìn)一步探討頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)的關(guān)系。由本書第五章可知，對于典型二階系統(tǒng)，時(shí)域指標(biāo)和頻域指標(biāo)之間的關(guān)系可以準(zhǔn)確地用以下數(shù)學(xué)公式表示出來。諧振峰值：諧振頻率：帶寬頻率：截止頻率：相角裕度：超調(diào)量：調(diào)節(jié)時(shí)間：對于高階系統(tǒng)，工程實(shí)際中，常用以下經(jīng)驗(yàn)公式實(shí)現(xiàn)兩種指標(biāo)的轉(zhuǎn)換。諧振峰值：超調(diào)量：調(diào)節(jié)時(shí)間：

正確選擇各項(xiàng)性能指標(biāo)，是控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中一項(xiàng)重要工作。實(shí)際系統(tǒng)對性能指標(biāo)的要求應(yīng)有所側(cè)重，如調(diào)速系統(tǒng)對平穩(wěn)性和穩(wěn)態(tài)精度要求嚴(yán)格，而隨動(dòng)系統(tǒng)則對快速性要求很高。另外，性能指標(biāo)的提出不能脫離實(shí)際，性能指標(biāo)既要滿足設(shè)計(jì)需要，又不能過于苛刻，以便容易實(shí)現(xiàn)。6.1.2校正方式按照校正裝置在系統(tǒng)中的連接方式，控制系統(tǒng)校正方式通常有串聯(lián)校正、反饋校正和復(fù)合校正等。以Gc(s)表示校正裝置的傳遞函數(shù)，G(s)表示被控對象的傳遞函數(shù)，可以得到以下幾種校正連接方式。1.串聯(lián)校正2.反饋校正3.復(fù)合校正圖6-1-3復(fù)合校正控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中采用哪種校正方式，通常取決于性能指標(biāo)要求、信號性質(zhì)、系統(tǒng)各點(diǎn)功率、可選用的元件和經(jīng)濟(jì)性等因素。一般來說，串聯(lián)校正比反饋校正簡單，且易實(shí)現(xiàn)，但是串聯(lián)校正裝置常有嚴(yán)重的增益衰減，因此采用串聯(lián)校正往往同時(shí)需要引入附加放大器，以提高增益并起隔離作用。為了避免功率損耗，串聯(lián)校正通常安裝在前向通路中能量最低的點(diǎn)上。對于反饋校正，信號總是從功率較高的點(diǎn)傳輸?shù)焦β瘦^低的點(diǎn)，無須引入附加放大器，所需元件數(shù)目常比串聯(lián)校正要少。在性能指標(biāo)要求較高的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，例如要求穩(wěn)態(tài)誤差小、同時(shí)又要求動(dòng)態(tài)特性好的系統(tǒng)，復(fù)合校正方式尤為適用。6.1.3基本控制規(guī)律確定校正裝置的具體形式時(shí)，應(yīng)先了解校正裝置所需提供的控制規(guī)律，以便選擇相應(yīng)的元件。校正裝置中最常采用的是PID控制規(guī)律。PID控制器是比例-積分-微分控制器的簡稱，在工業(yè)過程領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用。設(shè)控制器的輸出信號為u(t)，輸入信號為e(t)，則基本的PID控制規(guī)律可描述為式（6-1-1）中，Kp為比例系數(shù)；Ki為積分系數(shù)；Kd為微分系數(shù)；Ti為積分時(shí)間常數(shù)；Td為微分時(shí)間常數(shù)。在控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中，往往采用比例、積分、微分等基本控制規(guī)律，或者將這些控制規(guī)律進(jìn)行線性組合，使校正后的控制系統(tǒng)滿足性能指標(biāo)的要求。（6-1-1）1.比例控制P控制器的傳遞函數(shù)為

其對數(shù)頻率特性曲線如圖6-1-4所示。從控制作用看，通過Kp可以調(diào)整系統(tǒng)的開環(huán)增益，對輸入信號的相位無影響。在串聯(lián)校正中，與原系統(tǒng)相比，適當(dāng)提高Kp，可以增大開環(huán)增益，減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，提高系統(tǒng)的控制精度，但也會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性變差，甚至不穩(wěn)定。（6-1-2）圖6-1-4P控制對數(shù)頻率特性曲線2.比例-微分控制PD控制器的傳遞函數(shù)為

其對數(shù)頻率特性曲線如圖6-1-5所示。在1/Td-+∞頻段，PD控制器對輸入信號有微分作用，具有正相位，能對系統(tǒng)進(jìn)行相位補(bǔ)償，提高了相角裕度，從而可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性；當(dāng)頻率ω>1/Td時(shí)，校正裝置的幅值也在增加，放大了可能存在于系統(tǒng)內(nèi)部的高頻噪聲。微分作用能反應(yīng)輸入信號的變化趨勢，只對動(dòng)態(tài)過程起作用，而對穩(wěn)態(tài)過程沒有影響。所以在系統(tǒng)校正設(shè)計(jì)中，一般不單獨(dú)使用微分控制。（6-1-3）圖6-1-5PD控制對數(shù)頻率特性曲線例6-1已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，試分析PD控制器對系統(tǒng)的影響。解：無PD控制器時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為s2+1=0系統(tǒng)在校正前是不穩(wěn)定的，閉環(huán)特征根為一對共軛純虛根±j，阻尼比ζ=0，階躍響應(yīng)為不衰減的等幅振蕩形式，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。在串聯(lián)校正中加入PD控制器，相當(dāng)于使系統(tǒng)增加了一個(gè)位于s平面負(fù)實(shí)軸的開環(huán)零點(diǎn)z=-1/Td，系統(tǒng)的相角裕度提高，因而有助于改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能。此時(shí)系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為s2+KpTds+Kp=0。其阻尼比，因此閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。PD控制器提高系統(tǒng)的阻尼程度，可通過參數(shù)Kp

和Td來調(diào)整。3.比例-積分控制PI控制器的傳遞函數(shù)為

其對數(shù)頻率特性曲線如圖6-1-6所示。在0-1/Ti頻段，PI控制器對輸入信號有積分作用，具有負(fù)相位，同時(shí)對系統(tǒng)的中頻和高頻特性影響較小，使系統(tǒng)基本能保持原來的響應(yīng)速度和穩(wěn)定裕度；當(dāng)頻率ω<1/Ti時(shí)，PI控制器在零頻率具有無窮大增益，改善了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。（6-1-4）圖6-1-6PI控制對數(shù)頻率特性曲線例6-2已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，試分析PI控制器對系統(tǒng)性能的改善作用。解：原系統(tǒng)與PI控制器串聯(lián)后，其開環(huán)傳遞函數(shù)為

加入PI作用，相當(dāng)于給系統(tǒng)增加了1個(gè)位于原點(diǎn)的開環(huán)極點(diǎn)p=0和1個(gè)位于負(fù)實(shí)軸的開環(huán)零點(diǎn)z=-1/Ti。增加的開環(huán)極點(diǎn)提高了系統(tǒng)的型別，由原來的0型提高到Ⅰ型，有利于減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差，但也使信號產(chǎn)生90°的相位滯后，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利。增加的負(fù)實(shí)零點(diǎn)緩和了PI控制器極點(diǎn)對系統(tǒng)穩(wěn)定性及動(dòng)態(tài)過程產(chǎn)生的不利影響。參數(shù)Ti影響積分作用的強(qiáng)弱，Ti過小會(huì)使系統(tǒng)超調(diào)加大，甚至使系統(tǒng)出現(xiàn)振蕩，穩(wěn)定性變差。因此，在系統(tǒng)校正設(shè)計(jì)中，一般不單獨(dú)使用積分控制。采用PI控制器后，系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

由于參數(shù)Kp和Ti都是正數(shù)，由勞斯穩(wěn)定判據(jù)可知閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。因此，通過調(diào)整PI控制器參數(shù)Kp和Ti可以對系統(tǒng)的性能有所改善。4.比例-積分-微分控制PID控制器的傳遞函數(shù)為

其對數(shù)頻率特性曲線如圖6-1-7所示。在系統(tǒng)頻率特性的低頻段，主要是積分控制起作用，提高系統(tǒng)的型別，改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能；在系統(tǒng)頻率特性的中頻段，主要是微分控制起作用，改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。因此，PID控制器可以全面地提高系統(tǒng)的性能。（6-1-5）圖6-1-7PID控制對數(shù)頻率特性曲線6.2常用校正裝置及其特性根據(jù)校正裝置的頻率特性，校正裝置分為超前校正裝置、滯后校正裝置和滯后-超前校正裝置。本節(jié)主要研究常用校正裝置及其特性，以便在控制系統(tǒng)校正時(shí)使用。6.2.1超前校正裝置超前校正裝置可以用RC無源網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)，其電路連接圖如圖6-2-1所示。無源超前網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為其中，a為超前網(wǎng)絡(luò)的分度系數(shù)，T為時(shí)間常數(shù)。加補(bǔ)償放大器后，無源超前網(wǎng)絡(luò)其傳遞函數(shù)為（6-2-1）（6-2-2）式（6-2-2）所對應(yīng)的對數(shù)頻率特性曲線如圖6-2-2（a）所示。顯然，超前網(wǎng)絡(luò)對頻段1/(aT)-1/T的輸入信號有微分作用，相當(dāng)于比例-微分（PD）控制。由于該校正裝置的相角總是超前的，故稱為超前網(wǎng)絡(luò)。(a)對數(shù)頻率特性曲線

圖6-2-2無源超前網(wǎng)絡(luò)特性a與的關(guān)系曲線如圖6-2-2（b）所示。(b)分度系數(shù)與最大超前角關(guān)系圖6-2-2無源超前網(wǎng)絡(luò)特性為了保持系統(tǒng)較高的信噪比，實(shí)際選用一般a≤20°，超前網(wǎng)絡(luò)的最大超前角一般不大于65°。如果需要大于65°的相位超前角，則要將兩個(gè)超前網(wǎng)絡(luò)串聯(lián)來實(shí)現(xiàn)，并在所串聯(lián)的兩個(gè)超前網(wǎng)絡(luò)之間加一隔離放大器，以消除它們之間的負(fù)載效應(yīng)。最大超前角頻率最大超前角最大超前角頻率ωm處的對數(shù)幅頻值為超前網(wǎng)絡(luò)的相頻特性為（6-2-3）（6-2-4）（6-2-5）（6-2-6）從對數(shù)頻率特性看，超前網(wǎng)絡(luò)相當(dāng)于一個(gè)高通濾波器。當(dāng)ω>1/T時(shí)，幅頻特性上移了20lgadB，這會(huì)削弱系統(tǒng)抗高頻干擾的能力，因此在高頻干擾比較嚴(yán)重的情況下，一般不用超前校正。小結(jié)：6.2.2滯后校正裝置滯后校正裝置可以用RC無源網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)，其電路連接圖如圖6-2-3所示。無源滯后網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為其中，b為滯后網(wǎng)絡(luò)的分度系數(shù)，T為時(shí)間常數(shù)。（6-2-7）式（6-2-7）對應(yīng)的對數(shù)頻率特性曲線如圖6-2-4(a)所示。顯然，無源滯后網(wǎng)絡(luò)對頻段在1/T-1/(bT)的輸入信號有積分作用，相當(dāng)于比例-積分（PI）控制。由于該校正裝置的相角總是滯后的，故稱為滯后網(wǎng)絡(luò)。(a)對數(shù)頻率特性曲線圖6-2-4無源滯后網(wǎng)絡(luò)特性最大滯后角頻率最大滯后角為為避免相角滯后對系統(tǒng)有較大的影響，選擇校正參數(shù)時(shí)，應(yīng)盡量使滯后網(wǎng)絡(luò)第二個(gè)轉(zhuǎn)折頻率1/(bT)遠(yuǎn)離系統(tǒng)校正后的截止頻率。一般取無源滯后網(wǎng)絡(luò)的相頻特性為（6-2-8）（6-2-9）（6-2-10）（6-2-11）此時(shí)，滯后網(wǎng)絡(luò)在處產(chǎn)生的相角滯后量為隨b變化的關(guān)系曲線如圖6-2-4（b）所示。可見，滯后網(wǎng)絡(luò)的第二個(gè)轉(zhuǎn)折頻率10倍頻處的相位滯后不超過6°。(a)對數(shù)頻率特性曲線圖6-2-4無源滯后網(wǎng)絡(luò)特性（6-2-12）滯后網(wǎng)絡(luò)幅值的衰減使得有可能調(diào)大開環(huán)增益，從而提高穩(wěn)態(tài)精度。缺點(diǎn)是使頻帶變窄，降低了快速性。一般適用于穩(wěn)態(tài)精度要求較高或穩(wěn)定性要求嚴(yán)格的系統(tǒng)。小結(jié)：6.2.3滯后-超前校正裝置滯后-超前校正裝置可以用無源RC網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)，電路連接圖如圖6-2-5所示。無源滯后-超前網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為其中，圖6-2-5無源滯后-超前網(wǎng)絡(luò)為網(wǎng)絡(luò)的滯后部分，

為網(wǎng)絡(luò)的超前部分。（6-2-13）圖6-2-6無源滯后-超前網(wǎng)絡(luò)頻率特性曲線對應(yīng)的對數(shù)頻率特性曲線如圖6-2-6所示。由圖6-2-6可見，無源滯后-超前網(wǎng)絡(luò)在低頻段和高頻段的幅頻特性曲線均為零分貝。當(dāng)0<ω<ω0時(shí)，相角為負(fù)，起到滯后校正的作用；當(dāng)ω0<ω<+∞時(shí)，相角為正，起到超前校正的作用。滯后-超前網(wǎng)絡(luò)綜合了滯后網(wǎng)絡(luò)和超前網(wǎng)絡(luò)的特點(diǎn)，可以同時(shí)提高穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)特性，相當(dāng)于比例-積分-微分（PID）作用，故稱為滯后-超前網(wǎng)絡(luò)。滯后-超前網(wǎng)絡(luò)的零相角頻率為表6-2-1同樣給出了有源滯后-超前網(wǎng)絡(luò)的電路連接形式、傳遞函數(shù)及對數(shù)頻率特性曲線。6.3串聯(lián)校正頻率法是分析設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)最常用的方法。應(yīng)用頻率法對系統(tǒng)進(jìn)行校正，其目的是改變頻率特性的形狀，使校正后的系統(tǒng)頻率特性具有合適的低頻、中頻和高頻特性以及足夠的穩(wěn)定裕量，從而滿足所要求的性能指標(biāo)。當(dāng)系統(tǒng)的期望性能指標(biāo)是時(shí)域指標(biāo)時(shí)，需要將其轉(zhuǎn)化為頻域指標(biāo)。本節(jié)主要應(yīng)用超前校正裝置、滯后校正裝置和滯后-超前校正裝置實(shí)現(xiàn)串聯(lián)校正，介紹串聯(lián)校正綜合法的設(shè)計(jì)思想，并給出相應(yīng)的串聯(lián)校正示例。6.3.1頻率法校正設(shè)計(jì)從第五章的內(nèi)容可知，一個(gè)合理的控制系統(tǒng)，其開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線有如下特點(diǎn)：低頻段應(yīng)具有-20dB/dec或-40dB/dec的斜率，并有一定的高度，以滿足系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的要求；中頻段應(yīng)以-20dB/dec的斜率穿過零分貝線，并占有足夠?qū)挼闹蓄l寬度，以滿足動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)要求；高頻段的頻率特性應(yīng)該盡快衰減，以削減噪聲影響。頻域法串聯(lián)校正的實(shí)質(zhì)是利用校正裝置改變系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性，使之符合三頻段的要求，從而達(dá)到改善系統(tǒng)性能的目的。6.3.2串聯(lián)超前校正頻率法串聯(lián)超前校正的設(shè)計(jì)思想是利用超前網(wǎng)絡(luò)的相角超前特性，只要正確地將超前網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)折頻率1/(aT)和1/T置于待校正系統(tǒng)截止頻率的兩旁，并適當(dāng)選擇超前網(wǎng)絡(luò)參數(shù)a和T，就可以提高校正后系統(tǒng)的相角裕度和截止頻率，從而改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。用頻域法設(shè)計(jì)無源超前網(wǎng)絡(luò)的步驟如下。⑴根據(jù)給定的穩(wěn)態(tài)誤差要求，確定開環(huán)增益K。⑵根據(jù)已確定的開環(huán)增益K，繪制待校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線L(ω)，并計(jì)算截止頻率ωc和相角裕度γ。當(dāng)，時(shí)，首先考慮超前校正。⑶根據(jù)給定的相角裕度，確定超前網(wǎng)絡(luò)的最大超前角為式（6-3-1）中，ε為補(bǔ)償角，用于補(bǔ)償因超前網(wǎng)絡(luò)的引入，使校正后系統(tǒng)截止頻率增大而導(dǎo)致的待校正系統(tǒng)的相角損失量。若待校正系統(tǒng)中頻段的斜率為-40dB/dec時(shí)，一般取ε=5°-10°，若待校正系統(tǒng)中頻段的斜率為-60dB/dec時(shí)，一般取ε=15°-20°。（6-3-1）⑷根據(jù)所確定的最大超前角，由式（6-2-5）求得超前網(wǎng)絡(luò)參數(shù)a為⑸確定超前網(wǎng)絡(luò)最大超前角對應(yīng)的最大超前角頻率。為充分利用超前網(wǎng)絡(luò)相角超前特性，選擇作為校正后系統(tǒng)的截止頻率。此時(shí)根據(jù)式（6-2-6）可得⑹由式（6-2-4）確定超前網(wǎng)絡(luò)參數(shù)T為

（6-3-3）（6-3-2）（6-3-4）⑺根據(jù)已求得的超前網(wǎng)絡(luò)參數(shù)a和T，由式（6-2-2）確定超前網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)Gc(s)。⑻驗(yàn)算校正后系統(tǒng)的性能。校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為相應(yīng)的相角裕度為若驗(yàn)算結(jié)果不滿足性能指標(biāo)要求，返回步驟⑶，適當(dāng)增大補(bǔ)償角ε，重新設(shè)計(jì)直到系統(tǒng)滿足性能指標(biāo)要求。設(shè)計(jì)中也可以根據(jù)截止頻率的要求，選擇校正后系統(tǒng)的截止頻率。通過計(jì)算待校正系統(tǒng)在處的對數(shù)幅頻值，依據(jù)步驟⑸-步驟⑹，求出超前網(wǎng)絡(luò)參數(shù)a和T。例6-3已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖6-3-1所示，要求設(shè)計(jì)串聯(lián)無源超前網(wǎng)絡(luò)，使得系統(tǒng)滿足如下指標(biāo)：⑴在單位斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差；⑵截止頻率；⑶相角裕度。解：⑴根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能要求，確開環(huán)增益K。由,取K=10，則待校正系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

⑵根據(jù)已確定的開環(huán)增益K，繪制待校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線L(ω)，并計(jì)算截止頻率ωc和相角裕度γ。繪制待校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-3-2中L(ω)所示。根據(jù)截止頻率定義，應(yīng)有可求出待校正系統(tǒng)的截止頻率ωc=3.16rad/s（在ω≥1頻段內(nèi)）。待校正系統(tǒng)的相角裕度為

顯然，，，系統(tǒng)不滿足性能指標(biāo)要求。⑶確定超前網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)。方法一由于待校正系統(tǒng)中頻段斜率為-40dB/dec，故取ε=10°。由式（6-3-1）得代入式（6-3-2），解得超前網(wǎng)絡(luò)參數(shù)a為

根據(jù)式（6-3-3），可求得校正后系統(tǒng)的截止頻率，即解得。顯然，截止頻率滿足性能指標(biāo)要求。根據(jù)式（6-3-4），可得超前網(wǎng)絡(luò)參數(shù)T為

因此，串聯(lián)無源超前網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為

其對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-3-2中Lc(ω)所示。⑷驗(yàn)算系統(tǒng)性能指標(biāo)。校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

其對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-3-2中所示。

校正后系統(tǒng)相角裕度為綜上，校正后系統(tǒng)截止頻率，相角裕度，穩(wěn)態(tài)誤差，滿足系統(tǒng)性能指標(biāo)要求。校正后系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為校正后系統(tǒng)相角裕度顯然，利用方法二所計(jì)算參數(shù)也滿足系統(tǒng)性能指標(biāo)要求。方法二根據(jù)系統(tǒng)截止頻率的要求，直接選取校正后系統(tǒng)截止頻率由式（6-3-3），可求得超前網(wǎng)絡(luò)參數(shù)a，即解得a=3.75，則超前網(wǎng)絡(luò)參數(shù)因此串聯(lián)無源超前網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為通過例6-3可以看出，校正后曲線以-20dB/dec斜率穿過0dB線，并且在處具有較寬的頻段，相角裕度相對于校正前系統(tǒng)有了明顯的提高。在L(ω)的上方，對高頻信號的幅值衰減能力降低。由此可見，串聯(lián)超前校正主要用來改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，但以犧牲系統(tǒng)的抗擾性能為代價(jià)。由于無源超前網(wǎng)絡(luò)最大超前角（a≤20），當(dāng)待校正系統(tǒng)的中頻段斜率為-60dB/dec（相角裕度γ<0，系統(tǒng)不穩(wěn)定）時(shí)，采用一級串聯(lián)超前校正將無法實(shí)現(xiàn)性能指標(biāo)的要求。另外，若待校正系統(tǒng)的截止頻率附近存在多個(gè)慣性環(huán)節(jié)，導(dǎo)致截止頻率滯后的相位迅速減小，不宜采用串聯(lián)超前校正。6.3.2串聯(lián)滯后校正頻率法串聯(lián)滯后校正的設(shè)計(jì)思想是利用滯后網(wǎng)絡(luò)的高頻幅值衰減特性，使校正后系統(tǒng)截止頻率下降，從而使系統(tǒng)獲得足夠的相角裕度。因此，在設(shè)計(jì)滯后網(wǎng)絡(luò)時(shí)應(yīng)避免最大滯后角發(fā)生在系統(tǒng)截止頻率附近。由于滯后網(wǎng)絡(luò)的高頻幅值衰減特性，減小了系統(tǒng)帶寬，降低了系統(tǒng)的快速性。因此，串聯(lián)滯后校正適用于快速性要求不高而抑制噪聲要求較高的系統(tǒng)。若待校正系統(tǒng)僅穩(wěn)態(tài)性能不滿足指標(biāo)要求時(shí)，也可以采用串聯(lián)滯后校正以提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。用頻域法設(shè)計(jì)無源滯后網(wǎng)絡(luò)的步驟如下。⑴根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差要求，確定開環(huán)增益K。⑵根據(jù)已確定的開環(huán)增益K，繪制待校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線L(ω)，并計(jì)算截止頻率ωc和相角裕度γ。⑶根據(jù)系統(tǒng)相角裕度的要求，確定校正后系統(tǒng)的截止頻率，即滿足（6-3-5）式（6-3-5）中，為待校正系統(tǒng)在處的相角值，為滯后網(wǎng)絡(luò)在處引起的相位滯后量，一般取-6°。⑷確定滯后網(wǎng)絡(luò)參數(shù)b和T。

⑷確定滯后網(wǎng)絡(luò)參數(shù)b和T。由于滯后網(wǎng)絡(luò)在處的幅值衰減量為20lgb，要保證校正后系統(tǒng)的截止頻率為，則待校正系統(tǒng)在處的對數(shù)幅頻值應(yīng)滿足（6-3-6）由式（6-3-6）可確定滯后網(wǎng)絡(luò)參數(shù)b。由已確定的b值可根據(jù)式（6-2-11）計(jì)算滯后網(wǎng)絡(luò)參數(shù)T。若求得的T值過大而難以實(shí)現(xiàn)，則可將式（6-2-11）中的系數(shù)適當(dāng)增大，即（6-3-7）相應(yīng)的的估計(jì)值應(yīng)在范圍內(nèi)確定。⑸校驗(yàn)校正后系統(tǒng)的性能指標(biāo)。例6-4已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)要求設(shè)計(jì)串聯(lián)滯后網(wǎng)絡(luò)，使得系統(tǒng)滿足如下指標(biāo)：⑴穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)；⑵相角裕度。解：⑴根據(jù)系統(tǒng)靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv要求，確定開環(huán)增益K。因?yàn)?/p>

取K

=5，則待校正系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為⑵根據(jù)已確定的K值，繪制待校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-3-3中L(ω)所示。根據(jù)截止頻率定義，應(yīng)有求得待校正系統(tǒng)的截止頻率ωc=2.24rad/s（在1≤ω<4頻段范圍內(nèi)）待校正系統(tǒng)相角裕度為

顯然，待校正系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，且相角裕度不滿足性能指標(biāo)的要求。

⑶根據(jù)系統(tǒng)相角裕度的要求，確定校正后系統(tǒng)的截止頻率。由式（6-3-5）可得

根據(jù)待校正系統(tǒng)在處的相角可求得（在ω<1頻段范圍內(nèi)）。⑷確定滯后網(wǎng)絡(luò)參數(shù)b和T。根據(jù)式（6-3-6）可得

解得b=0.136。將和b=0.136帶入式（6-2-11），即

解得T=108.131s。因此串聯(lián)滯后網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為

其對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-3-3中Lc(ω)所示。⑸校驗(yàn)校正后系統(tǒng)的性能指標(biāo)。校正后系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

其對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-3-3中所示。校正后系統(tǒng)的相角裕度為

綜上所述，校正后系統(tǒng)截止頻率，相角裕度，穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)Kv

=5，滿足系統(tǒng)性能指標(biāo)要求。由圖6-3-3可以看出，校正前L(ω)曲線以-40dB/dec的斜率穿過0dB線，相角裕度不足，系統(tǒng)不穩(wěn)定；校正后曲線則以-20dB/dec的斜率穿過0dB線，相角裕度明顯增加，系統(tǒng)相對穩(wěn)定性得到顯著改善。然而校正后比校正前ωc降低，因此,串聯(lián)滯后校正以犧牲截止頻率換取了相角裕度的提高。另外，由于滯后網(wǎng)絡(luò)高頻幅值衰減特性，使校正后系統(tǒng)曲線高頻段降低，抗高頻干擾能力提高。6.3.2串聯(lián)滯后-超前校正如果校正前系統(tǒng)不穩(wěn)定，且要求校正后系統(tǒng)有較高的響應(yīng)速度、相角裕度和穩(wěn)態(tài)精度，一般需采用串聯(lián)滯后-超前校正。頻率法串聯(lián)滯后-超前校正的設(shè)計(jì)思想是利用超前部分提高相角裕度，同時(shí)利用滯后部分改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，具有超前校正和滯后校正的優(yōu)點(diǎn)。用頻域法設(shè)計(jì)無源滯后-超前網(wǎng)絡(luò)的步驟如下。⑴根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的要求，確定開環(huán)增益K。⑵根據(jù)已確定的開環(huán)增益K，繪制待校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線L(ω)，并計(jì)算截止頻率ωc、相角裕度γ和幅值裕度h(dB)。⑶選擇待校正系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性曲線斜率從-20dB/dec變?yōu)?40dB/dec的轉(zhuǎn)折頻率，作為校正網(wǎng)絡(luò)超前部分的轉(zhuǎn)折頻率ωb（ωb=1/Tb）。這里選擇ωb的原因，一是降低校正后系統(tǒng)的階次，二是保證校正后系統(tǒng)的中頻段斜率為-20dB/dec，且具有一定的寬度。⑷根據(jù)響應(yīng)速度的要求，選擇系統(tǒng)的截止頻率和校正網(wǎng)絡(luò)參數(shù)α。要保證校正后系統(tǒng)的截止頻率為所選的，應(yīng)滿足（6-3-8）式（6-3-8）中，為待校正系統(tǒng)在處的對數(shù)幅頻值，-20lgα為校正網(wǎng)絡(luò)最大幅值衰減值，為校正網(wǎng)絡(luò)超前部分在處的對數(shù)幅頻值。由式（6-3-8）可計(jì)算校正網(wǎng)絡(luò)參數(shù)α。⑸根據(jù)系統(tǒng)相角裕度的要求，估算校正網(wǎng)絡(luò)滯后部分的轉(zhuǎn)折頻率ωa（ωa=1/Ta）。⑹校驗(yàn)校正后系統(tǒng)的性能指標(biāo)。例6-5已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)要求設(shè)計(jì)串聯(lián)校正裝置，使得系統(tǒng)滿足如下指標(biāo)：⑴最大指令速度為180°/s時(shí)，位置滯后誤差不超過1°；⑵相角裕度；⑶幅值裕度；⑷動(dòng)態(tài)過程調(diào)節(jié)時(shí)間。解：⑴根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的要求，確定開環(huán)增益K。當(dāng)系統(tǒng)輸入信號r(t)=180t時(shí)，其穩(wěn)態(tài)誤差。由題意，取K=180

則待校正系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

⑵根據(jù)已確定的開環(huán)增益K，繪制待校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-3-4中L(ω)所示。根據(jù)截止頻率定義，應(yīng)有求出待校正系統(tǒng)的截止頻率ωc=12.93rad/s（在ω≥6頻段內(nèi)）。待校正系統(tǒng)的相角裕度為

顯然，待校正系統(tǒng)不穩(wěn)定。分析：如果采用串聯(lián)超前校正，要將待校正系統(tǒng)的相角裕度從-56°提高到45°，至少需要選用兩級無源超前網(wǎng)絡(luò)，并且還需要附加前置放大器，從而使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜化。另外，校正后系統(tǒng)的截止頻率將過大，響應(yīng)速度將過快，伺服電機(jī)來不及動(dòng)作而出現(xiàn)飽和效應(yīng)。同時(shí)系統(tǒng)過大的帶寬，也會(huì)造成輸出噪聲電平過高。如果采用串聯(lián)滯后校正，可以使系統(tǒng)的相角裕度提高到45°左右，但是對于該例題要求的高性能系統(tǒng)，由于滯后網(wǎng)絡(luò)時(shí)間常數(shù)太大而無法實(shí)現(xiàn)，此外滯后網(wǎng)絡(luò)極大地減小了系統(tǒng)的截止頻率，使得系統(tǒng)的響應(yīng)遲緩。通過上述分析表明，超前校正和滯后校正都不宜采用，因此，應(yīng)當(dāng)選用串聯(lián)滯后-超前校正。⑶由待校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線L(ω)可知，其斜率從-20dB/dec變?yōu)?40dB/dec的轉(zhuǎn)折頻率為2rad/s，此頻率作為校正網(wǎng)絡(luò)超前部分的轉(zhuǎn)折頻率ωb，即ωb=2rad/s，相應(yīng)Tb=1/ωb=0.5s。⑷選擇系統(tǒng)的截止頻率和校正網(wǎng)絡(luò)參數(shù)α。根據(jù)系統(tǒng)相角裕度及調(diào)節(jié)時(shí)間的要求，代入

解得截止頻率考慮到要求中頻段斜率為-20dB/dec，故校正后系統(tǒng)截止頻率應(yīng)在3.2-6rad/s范圍內(nèi)選取。這里取由式（6-3-8）計(jì)算α，即解得α=51。因此串聯(lián)無源滯后-超前網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)可寫為

⑸根據(jù)系統(tǒng)相角裕度的要求，估算校正網(wǎng)絡(luò)滯后部分的轉(zhuǎn)折頻率ωa（ωa=1/Ta）。校正后系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為校正后系統(tǒng)的相角裕度為

根據(jù)相角裕度的要求，取校正后系統(tǒng)的相角裕度，上式可寫為解得Ta=1.24（ωa=1/Ta=0.8065）則串聯(lián)無源滯后-超前網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為

其對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-3-4中Lc(ω)所示。

⑹校驗(yàn)校正后系統(tǒng)的性能指標(biāo)校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

其對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-3-4中所示，校正后系統(tǒng)的相角裕度為

最后，驗(yàn)算系統(tǒng)的幅值裕度，得到。綜上所述，校正后系統(tǒng)截止頻率，相角裕量，穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)，幅值裕度，滿足系統(tǒng)性能指標(biāo)要求。

由以上對串聯(lián)校正的三種校正方式的分析可知，串聯(lián)超前校正可提高系統(tǒng)的截止頻率和相角裕度，從而減小階躍響應(yīng)的調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量；串聯(lián)滯后校正可以提高系統(tǒng)的相角裕度，降低系統(tǒng)的截止頻率，從而使系統(tǒng)的階躍響應(yīng)超調(diào)量下降并提高系統(tǒng)的抗干擾能力；串聯(lián)滯后-超前校正兼有兩者的優(yōu)點(diǎn)，即可提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度、降低超調(diào)量，又能抑制高頻噪聲。6.3.5串聯(lián)綜合法校正串聯(lián)綜合法校正的設(shè)計(jì)思想是根據(jù)給定的性能指標(biāo)，確定系統(tǒng)期望的開環(huán)頻率特性，然后與未校正系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性進(jìn)行比較，最后確定校正裝置的形式及參數(shù)。由于綜合法校正的主要依據(jù)是期望特性，因此又稱為期望特性法。應(yīng)當(dāng)指出，該方法一般僅適用于最小相位系統(tǒng)。設(shè)原系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)，串聯(lián)校正裝置的傳遞函數(shù)為Gc(s)，具有期望性能的開環(huán)傳遞函數(shù)為

，則相應(yīng)的對數(shù)幅頻特性為即為滿足給定性能指標(biāo)的“期望特性”。下面分析將頻域性能指標(biāo)轉(zhuǎn)化為期望頻率特性的方法。通常，具有較好性能的控制系統(tǒng)應(yīng)具有的期望開環(huán)頻率特性如圖6-3-5所示。由圖6-3-5可知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

相頻特性為則（6-3-9）

由，解得產(chǎn)生的角頻率（6-3-10）顯然ωm是轉(zhuǎn)折頻率ω1和ω2的幾何中心。將式（6-3-10）代入式（6-3-9），求得（6-3-11）

令中頻段的寬度為H，即，則式（6-3-11）可寫為

考慮到通常在極大值附近相角變化較小，特別是在開環(huán)截止頻率接近兩個(gè)轉(zhuǎn)折頻率的幾何中心時(shí)誤差很小，近似有。由諧振峰值和相角裕度之間的近似關(guān)系，可得由相角裕度與阻尼比的關(guān)系可知，Mr和H均是體現(xiàn)系統(tǒng)阻尼比的頻域指標(biāo)。

（6-3-11）當(dāng)ω2和ω3與滿足系統(tǒng)的閉環(huán)諧振峰值最小。由于中頻段對系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能起決定性作用，通常采用綜合法進(jìn)行系統(tǒng)校正時(shí)要留出一定的裕量，取由此可得期望頻率特性的兩個(gè)參數(shù)ω2和ω3，結(jié)合就可以確定期望頻率特性的中頻段。通常，為保證有足夠的相角裕度，一般取中頻寬度H≥10。為了使校正裝置較為簡單，需要結(jié)合原系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性曲線確定期望頻率特性的低頻段和高頻段?？刹捎孟旅娴牟襟E按期望特性對系統(tǒng)進(jìn)行串聯(lián)校正。⑴根據(jù)系統(tǒng)對穩(wěn)態(tài)性能的要求，確定系統(tǒng)的型別v和開環(huán)增益K，繪制期望特性的低頻段。⑵根據(jù)系統(tǒng)性能指標(biāo)確定期望截止頻率、期望相角裕度以及期望諧振峰值Mr。根據(jù)和Mr確定參數(shù)H、ω2和ω3，繪制期望特性的中頻段，使中頻段的斜率為-20dB/dec，并有足夠?qū)挾然驗(yàn)?40dB/dec，且比較窄，以保證系統(tǒng)具有足夠的相角裕度。⑶繪制期望特性低、中頻段之間的銜接頻段，其斜率一般為-40dB/dec或-60dB/dec，為了簡化校正裝置，應(yīng)使直線的斜率盡量接近相鄰線段的斜率，以減少對系統(tǒng)性能的影響。⑷根據(jù)系統(tǒng)幅值裕度及高頻段抗擾能力的要求，繪制期望特性的高頻段。通常為了使校正裝置較為簡單且便于實(shí)現(xiàn)，一般期望特性的高頻段與原系統(tǒng)的高頻段斜率一致或完全重合。⑸繪制期望特性的中、高頻段之間的銜接頻段，其斜率一般取-40dB/dec。

⑹根據(jù)期望對數(shù)幅頻特性與原系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性之差，繪制校正裝置的對數(shù)幅頻特性Lc(ω)，求出校正裝置的傳遞函數(shù)Gc(s)。⑺校驗(yàn)校正后系統(tǒng)的性能指標(biāo)。例6-6已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

要求設(shè)計(jì)串聯(lián)校正裝置，使得系統(tǒng)滿足如下指標(biāo)：⑴當(dāng)r(t)=t時(shí)，穩(wěn)態(tài)誤差；⑵相角裕度；⑶開環(huán)截止頻率。解：由穩(wěn)態(tài)誤差，得開環(huán)增益K≥126，取K=126。繪制待校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-3-6中L(ω)所示。根據(jù)截止頻率定義，應(yīng)有可求出待校正系統(tǒng)的截止頻率ωc=35.5rad/s（在10≤ω<60頻段內(nèi)）待校正系統(tǒng)相角裕度為

顯然，原系統(tǒng)不穩(wěn)定，不滿足性能指標(biāo)要求。下面繪制期望頻率特性。⑴低頻段系統(tǒng)為Ⅰ型，當(dāng)ω=1rad/s時(shí)，20lgK=42dB，過點(diǎn)(1,42)作斜率為-20dB/dec的直線與原系統(tǒng)的低頻段重合。⑵中頻段及銜接段根據(jù)的要求，可得，取Mr=1.7。由的要求，可以確定中頻段兩個(gè)轉(zhuǎn)折頻率的范圍，即求得ω2≤8.24rad/s，ω3≥31.76rad/s。為使期望頻率特性簡單，取ω2=5rad/s，ω3=50rad/s，則中頻段寬度H=ω2/ω3=10。在處作斜率為-20dB/dec的直線。為連接中頻段和低頻段，在中頻段ω2=5rad/s處作斜率為-40dB/dec的直線，其與低頻段的交點(diǎn)ω1，可由下式

解得ω1=0.79rad/s。⑶高頻段及銜接段為簡化校正裝置，在中頻段ω3=50rad/s處作斜率為-40dB/dec的直線，并與原系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性曲線L(ω)的高頻段交于ω4。ω>ω4時(shí)，取期望特性高頻段與原系統(tǒng)高頻特性一致。高頻段的交點(diǎn)ω4可由

解得ω4=75.6rad/s。繪制期望對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-3-6中所示。根據(jù)，求出校正裝置的對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-3-6中Lc(ω)所示。

校正裝置傳遞函數(shù)為顯然校正裝置為滯后-超前網(wǎng)絡(luò)。最后校驗(yàn)系統(tǒng)性能指標(biāo)。校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

其對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-3-6中所示。校正后系統(tǒng)截止頻率，相角裕度為

綜上所述，校正后系統(tǒng)截止頻率，相角裕度，穩(wěn)態(tài)誤差，滿足系統(tǒng)性能指標(biāo)要求。6.3.6MATLAB實(shí)現(xiàn)借助MATLAB強(qiáng)大的計(jì)算功能，可以進(jìn)一步討論控制系統(tǒng)校正裝置的設(shè)計(jì)問題，以獲得滿意的系統(tǒng)性能。下面通過具體實(shí)例，說明MATLAB在控制系統(tǒng)校正中的應(yīng)用。1.超前校正的MATLAB實(shí)現(xiàn)例6-7針對例6-3所給系統(tǒng)和要求，試?yán)肕ATLAB確定串聯(lián)超前校正裝置，并比較校正前后系統(tǒng)的性能指標(biāo)。解：MATLAB程序如下：clc;clearexp_gama=45;%期望相角裕度γ=45°epsilon=10;%補(bǔ)償角取ε=10°K=10;%開環(huán)增益G0=K*tf(1,[110]);%待校正系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)[Gm0,Pm0,wcg0,wcp0]=margin(G0)%待校正系統(tǒng)幅值裕度、相角裕度及對應(yīng)的穿越頻率和截止頻率GmdB=20*log10(Gm0);%待校正系統(tǒng)幅值裕度的對數(shù)值(dB)[mag0,phase0,w0]=bode(G0);%待校正系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的幅值、相位值和對應(yīng)頻率magdB=20*log10(mag0);%幅值的對數(shù)值phim=exp_gama-Pm0+epsilon;%最大超前角φma=(1+sind(phim))/(1-sind(phim));%求校正參數(shù)aadB=-10*log10(a);%a的對數(shù)值wc=spline(magdB,w0,adB);%校正后系統(tǒng)的截止頻率T=1/wc/sqrt(a);%校正參數(shù)TGc=tf([a*T1],[T1])%超前校正網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)G=Gc*G0;%校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)[Gm,Pm,wcg,wcp]=margin(G)%校正后系統(tǒng)幅值裕度、相角裕度及對應(yīng)的穿越頻率和截止頻率figure(1)bode(G0)gridholdonbode(G)figure(2)G1=feedback(G0,1);step(G1)holdonG2=feedback(G,1);step(G2)校正前后系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線如圖6-3-7所示。系統(tǒng)校正前后的單位階躍響應(yīng)曲線如圖6-3-8所示。圖6-3-8例6-7的單位階躍響應(yīng)曲線由運(yùn)行結(jié)果可知，待校正系統(tǒng)的相角裕度γ=17.9642°，截止頻率ωc=3.0842rad/s，顯然不滿足要求。采用串聯(lián)超前校正，得到超前網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為

校正后系統(tǒng)的相角裕度，截止頻率，滿足性能指標(biāo)要求。校正前系統(tǒng)超調(diào)量σ%=60.4%，調(diào)節(jié)時(shí)間ts=7.31s，校正后系統(tǒng)的超調(diào)量σ%=22.4%，調(diào)節(jié)時(shí)間ts=1.23s。可見，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能得到了明顯改善。2.滯后校正的MATLAB實(shí)現(xiàn)例6-8針對例6-4所給系統(tǒng)和要求，試?yán)肕ATLAB確定串聯(lián)滯后校正裝置，并求出系統(tǒng)校正后的性能指標(biāo)。解：MATLAB程序如下：clc;clearexp_gama=40;%期望相角裕度γ=40°phic=-6;%滯后角取φc(wc’)=-6°K=5;%開環(huán)增益G0=K*tf(1,conv([110],[0.251]));%待校正系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)[Gm0,Pm0,wcg0,wcp0]=margin(G0)%待校正系統(tǒng)幅值裕度、相角裕度及對應(yīng)的穿越頻率和截止頻率[mag0,phase0,w0]=bode(G0);%待校正系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的幅值、相位值和對應(yīng)頻率magdB=20*log10(mag0);%待校正系統(tǒng)幅值的對數(shù)值phi=exp_gama-180-phic;%待校正系統(tǒng)在期望截止頻率wc處的相位wc=spline(phase0,w0,phi);%校正后系統(tǒng)的截止頻率wcmag1=spline(w0,mag0,wc);%校正后系統(tǒng)截止頻率wc處的原系統(tǒng)幅值mag1mag1dB=20*log10(mag1);%mag1的對數(shù)值b=10^(-mag1dB/20);%校正參數(shù)bT=1/(b*0.1*wc);%校正參數(shù)TGmdB=20*log10(Gm0);%待校正系統(tǒng)幅值裕度的對數(shù)值(dB)Gc=tf([b*T1],[T1])%滯后校正裝置G=Gc*G0;%校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)[Gm,Pm,wcg,wcp]=margin(G)%校正后系統(tǒng)幅值裕度、相角裕度及對應(yīng)的穿越頻率和截止頻率figure(1)margin(G0);grid;figure(2)margin(G);grid;校正前和校正后系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性如圖6-3-9和圖6-3-10所示，待校正系統(tǒng)的幅值裕度20lgh≈0dB，相角裕度γ≈0°，ωc=2rad/s，待校正系統(tǒng)不穩(wěn)定，顯然不滿足要求。采用串聯(lián)滯后校正，得到校正裝置的傳遞函數(shù)為

校正后系統(tǒng)幅值裕度，相角裕度，，滿足系統(tǒng)性能指標(biāo)。由此可見，應(yīng)用MATLAB所得結(jié)果與例題6-5所求基本一致。3.滯后-超前校正的MATLAB實(shí)現(xiàn)例6-9針對例6-5所給系統(tǒng)和要求，試?yán)肕ATLAB確定串聯(lián)滯后-超前校正裝置，并比較校正前后系統(tǒng)的性能指標(biāo)。解：MATLAB程序如下：clc;clearexp_gama=45;%期望相角裕度γ=45°exp_GmdB=10;%期望幅值裕度h(dB)=10K=180;%開環(huán)增益Mr=1/sind(exp_gama);%根據(jù)期望相角裕度計(jì)算諧振峰值ts=3;%調(diào)節(jié)時(shí)間exp_wc=pi*(2+1.5*(Mr-1)+2.5*(Mr-1)^2)/3;%根據(jù)調(diào)節(jié)時(shí)間、諧振峰值計(jì)算期望截止頻率G0=K*zpk([],[0-2-6],12);%待校正系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)[Gm0,Pm0,wcg0,wcp0]=margin(G0)%待校正系統(tǒng)幅值裕度、相角裕度及對應(yīng)的穿越頻率和截止頻率Gm0_dB=20*log10(Gm0)%待校正系統(tǒng)幅值裕度的對數(shù)值[mag0,phase0,w0]=bode(G0);%待校正系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的幅值、相位值和對應(yīng)頻率wb=2;%校正網(wǎng)絡(luò)超前部分的轉(zhuǎn)折頻率wbTb=1/wb;%求校正裝置參數(shù)Tbdelta=0.3;%開環(huán)截止頻率裕量，delta可取0.1-0.5wc=roundn(exp_wc,-1)+delta;%校正后系統(tǒng)的截止頻率wca=spline(w0,mag0,wc)*(Tb*wc);%校正裝置參數(shù)aphi0=spline(w0,phase0,wc);%待校正系統(tǒng)在截止頻率wc處的相位x=0:0.01:100;x=0:0.01:100;%給定x的范圍phic=atand(x*wc)+atand(Tb*wc)-atand(Tb*wc/a)-atand(a*x*wc);%校正裝置在截止頻wc處的相位angle=phi0+phic-exp_gama;%校正后系統(tǒng)在截止頻率wc處的相位Ta=spline(angle,x,-180);%求校正裝置參數(shù)Tawa=1/Ta;%校正網(wǎng)絡(luò)滯后部分的轉(zhuǎn)接頻率waGc=zpk(tf([Ta1],[a*Ta1])*tf([Tb1],[a^(-1)*Tb1]))%滯后-超前校正裝置Gc(s)G=Gc*G0;%校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)[Gm,Pm,wcg,wcp]=margin(G)%校正后系統(tǒng)幅值裕度、相角裕度以及相應(yīng)的穿越頻率和截止頻率Gm_dB=20*log10(Gm)%校正后系統(tǒng)幅值裕度的對數(shù)值（dB）figure(1)bode(G0)gridholdonbode(G)figure(2)Go=feedback(G,1);%校正后系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)step(Go)校正前后系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線如圖6-3-11所示，校正后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如圖6-3-12所示。由運(yùn)行結(jié)果可以看出，待校正系統(tǒng)的幅值裕度h(dB)=-27.0437dB，相角裕度γ=-55.0917°，ωc=3.4641rad/s，待校正系統(tǒng)不穩(wěn)定，顯然不滿足要求。采用串聯(lián)滯后-超前校正，得到校正裝置的傳遞函數(shù)為

校正后系統(tǒng)幅值裕度，相角裕度，，最大超調(diào)量σ%=32.8%，調(diào)節(jié)時(shí)間ts=2.68s，滿足系統(tǒng)性能指標(biāo)。例6-6中，由于待校正系統(tǒng)在處的對數(shù)幅頻值計(jì)算中采用近似法，所以計(jì)算結(jié)果與MATLAB運(yùn)算結(jié)果略有差異。6.4反饋校正在工程實(shí)踐中，當(dāng)被控對象的數(shù)學(xué)模型比較復(fù)雜或者系統(tǒng)有重大缺陷（例如微分方程的階次較高、延遲和慣性較大或參數(shù)不穩(wěn)定）時(shí)，采用串聯(lián)校正方法一般無法滿足設(shè)計(jì)要求，此時(shí)可以采用反饋校正方式。反饋校正的實(shí)質(zhì)是利用校正裝置反饋包圍系統(tǒng)前向通道中的一部分環(huán)節(jié)或全部環(huán)節(jié)，以達(dá)到改善系統(tǒng)性能的目的。6.4.1反饋校正原理反饋校正系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖6-4-1所示，被校正裝置Gc(s)反饋包圍部分的傳遞函數(shù)為

待校正系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為由式（6-4-1）可見，引入局部反饋后，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)是原系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)的1/(1+G2(s)Gc(s))倍。（6-4-1）當(dāng)被包圍部分G2(s)內(nèi)部參數(shù)變化或受到作用于G2(s)上的干擾影響時(shí)，由于負(fù)反饋的作用，將其影響減小1+G2(s)Gc(s)倍，從而使之得到有效抑制。如果反饋校正包圍的回路穩(wěn)定（即回路中各環(huán)節(jié)均是最小相位環(huán)節(jié)），則可以用對數(shù)頻率特性曲線來分析其性能。在系統(tǒng)主要的校正頻率范圍內(nèi)，即，式（6-4-1）可表示為由式（6-4-2）可知，反饋校正后系統(tǒng)的特性幾乎與局部反饋包圍的環(huán)節(jié)G2(s)無關(guān)。（6-4-2）由于由希望的頻率特性確定，于是可以根據(jù)，獲得近似的。由于G2(s)是已知的，因此可以求得反饋校正裝置Gc(s)。在的頻率范圍內(nèi)，式（6-4-2）可表示為由式（6-4-3）表明，校正后系統(tǒng)與待校正系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性一致。因此適當(dāng)選擇反饋校正裝置Gc(s)的參數(shù)，可以使校正后系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能滿足要求。由此可見，反饋校正就是用反饋校正裝置包圍待校正系統(tǒng)中對動(dòng)態(tài)性能改善有重大妨礙作用的某些環(huán)節(jié)，形成一個(gè)局部反饋回路，適當(dāng)選擇校正裝置的形式和參數(shù)，可使局部反饋回路的性能比被包圍環(huán)節(jié)的性能大為改善。（6-4-3）下面主要討論幾種典型的反饋校正形式及作用。1.比例反饋包圍積分環(huán)節(jié)圖6-4-1中，若G2(s)=K/s，Gc(s)=Kh，則局部反饋回路的等效傳遞函數(shù)為其中，。由式（6-4-4）可見，當(dāng)比例反饋包圍積分環(huán)節(jié)后，等效環(huán)節(jié)成為慣性環(huán)節(jié)。這一變化使系統(tǒng)型別降低，相位滯后減少，而增益K變?yōu)?/Kh，一般可通過調(diào)整其他部分的增益來補(bǔ)償。（6-4-4）2.比例反饋包圍慣性環(huán)節(jié)圖6-4-1中，若（時(shí)間常數(shù)T較大），Gc(s)=Kh，則局部反饋回路的等效傳遞函數(shù)為其中，。由式（6-4-5）可見，當(dāng)比例反饋包圍慣性環(huán)節(jié)后，等效環(huán)節(jié)仍為慣性環(huán)節(jié)，其時(shí)間常數(shù)和增益都減小了(1+KKh)倍。時(shí)間常數(shù)T的下降可以增加系統(tǒng)帶寬，有利于加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度，而增益K的減小，可通過提高前置放大器的增益來補(bǔ)償，以保證系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。（6-4-5）式（6-4-5）還可以表示為其中a=1+KKh>1。式（6-4-6）表明，在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，比例反饋包圍慣性環(huán)節(jié)可以等效為串聯(lián)超前校正網(wǎng)絡(luò)。3.微分反饋包圍慣性環(huán)節(jié)圖6-4-1中，若，Gc(s)=Kts，則局部反饋回路的等效傳遞函數(shù)為其中，。（6-4-6）（6-4-7）由式（6-4-7）可見，微分反饋包圍慣性環(huán)節(jié)后，其等效環(huán)節(jié)仍為慣性環(huán)節(jié)，增益不受影響，可以保證系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度，而時(shí)間常數(shù)增大，可以使系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)拉開距離，從而改善系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。式（6-4-7）也可表示為

其中b=1+KKt/T>1。式（6-4-8）表明微分反饋包圍慣性環(huán)節(jié)可以等效為串聯(lián)滯后校正網(wǎng)絡(luò)。由此可見，在控制系統(tǒng)中使用反饋校正，通過選擇校正裝置的形式，可以起到與串聯(lián)校正一樣的作用，同時(shí)可削弱噪聲對系統(tǒng)的影響。（6-4-8）4.微分反饋包圍振蕩環(huán)節(jié)圖6-4-1中，如果，,則局部反饋回路的等效傳遞函數(shù)為

其中。由式（6-4-9）可見，微分反饋包圍振蕩環(huán)節(jié)后，其等效環(huán)節(jié)仍為二階振蕩環(huán)節(jié)。與原系統(tǒng)相比，等效阻尼比顯著增大，但不影響無阻尼振蕩頻率ωn。微分反饋在動(dòng)態(tài)響應(yīng)中增大了阻尼比，從而有效減弱了阻尼環(huán)節(jié)的不利影響，改善系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。如果，局部反饋回路就等效為兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)和一個(gè)放大環(huán)節(jié)。（6-4-9）由以上幾種典型情況的分析可知，反饋校正能有效地改變被包圍環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)和參數(shù)，并且在一定條件下，反饋校正裝置的特性可以完全取代被包圍環(huán)節(jié)的特性，大大削弱這部分環(huán)節(jié)由于特性參數(shù)變化及各種干擾帶給系統(tǒng)的影響。同時(shí)，反饋校正分析與設(shè)計(jì)問題可以通過結(jié)構(gòu)上的等價(jià)變化，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的串聯(lián)校正設(shè)計(jì)問題。應(yīng)當(dāng)指出，如果反饋校正參數(shù)選擇不當(dāng)，使局部內(nèi)回路失去穩(wěn)定，則整個(gè)系統(tǒng)也難以穩(wěn)定可靠地工作，并且不便于對系統(tǒng)進(jìn)行開環(huán)調(diào)試。因此反饋校正形成的內(nèi)回路最好是穩(wěn)定的。6.4.2反饋校正的設(shè)計(jì)下面通過例6-10說明如何應(yīng)用頻域法設(shè)計(jì)反饋校正裝置。例6-10已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖6-4-1所示。其中KI在6000內(nèi)可調(diào),試設(shè)計(jì)反饋校正裝置，要求系統(tǒng)滿足如下性能指標(biāo)：系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)Kv≥150，超調(diào)量σ%≤40%，調(diào)節(jié)時(shí)間ts≤1s。

解：⑴將高階系統(tǒng)時(shí)域性能指標(biāo)轉(zhuǎn)化為頻域性能指標(biāo)。由取，。⑵根據(jù)系統(tǒng)靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv要求，確定開環(huán)增益K。由題意可知取，待校正系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為⑶根據(jù)已確定的開環(huán)增益K，繪制待校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-4-2(a)中L(ω)所示。根據(jù)截止頻率定義，應(yīng)有求出待校正系統(tǒng)的截止頻率ωc=38.73rad/s（在10≤ω<50頻段內(nèi)）。

待校正系統(tǒng)相角裕度為

顯然，待校正系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，不滿足性能指標(biāo)要求。⑷確定校正后系統(tǒng)的轉(zhuǎn)折頻率，繪制校正后系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線。中頻段：斜率取為-20dB/dec，且截止頻率選擇為。根據(jù)性能指標(biāo)要求，可以確定中頻段兩個(gè)轉(zhuǎn)折頻率范圍，即得，。為了簡化校正裝置，直接取C點(diǎn)頻率ω3=1/0.014=71.43rad/s，并取B點(diǎn)頻率ω2=4rad/s，則H=ω3/ω2=17.86。另外，從校正裝置簡單及滯后校正負(fù)相角對截止頻率處相角影響最小來考慮，確定低頻段、高頻段的轉(zhuǎn)折頻率。低頻段：Ⅰ型系統(tǒng)，與待校正系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性L(ω)的低頻段重合。由B點(diǎn)作斜率為-40dB/dec的直線與低頻段相交于A點(diǎn)。由校正后系統(tǒng)幅頻特性特性各點(diǎn)轉(zhuǎn)折頻率可得

即求得A點(diǎn)頻率為ω1=0.32rad/s。高頻段：當(dāng)ω≥ω4時(shí)，取與L(ω)開環(huán)頻率特性一致。為了簡化校正裝置，再由C點(diǎn)作斜率為-40dB/dec的直線向高頻段延伸交于L(ω)于D點(diǎn)。由校正后系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性各點(diǎn)轉(zhuǎn)折頻率，可得

即求得D點(diǎn)頻率為ω4=79.06rad/s。繪制校正后系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-4-2(a)中所示。因?yàn)榈皖l段與L(ω)重合，所以開環(huán)增益值不變。校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為⑶確定局部反饋回路的開環(huán)傳遞函數(shù)由于，有繪制局部反饋回路G2(s)Gc(s)對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-4-2(b)中所示。為了簡化校正裝置，取

⑷檢驗(yàn)局部反饋回路的穩(wěn)定性和截止頻率附近的特性檢驗(yàn)局部反饋回路穩(wěn)定性，主要檢驗(yàn)ω=ω4=79.06rad/s處的相角裕度則說明局部反饋回路穩(wěn)定。此外，在處，滿足的條件，因此近似誤差較小。

⑸確定反饋校正裝置Gc(s)的傳遞函數(shù)根據(jù)已求出的，代入已知的G2(s)，可得

⑹校驗(yàn)校正后系統(tǒng)的性能指標(biāo)校正后系統(tǒng)相角裕度為綜上所述，校正后系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)Kv=150，，，σ%=24.8%,ts=0.64s,滿足設(shè)計(jì)要求。與串聯(lián)校正相比，反饋校正有削弱非線性因素的影響及對干擾有抑制作用等特點(diǎn)，但由于引入反饋校正，一般需要專門的測量部件，例如角速度的測量就需要測速電機(jī)、角速度陀螺儀等部件，因此使得系統(tǒng)的成本提高。另外反饋校正對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響比較復(fù)雜，設(shè)計(jì)和調(diào)整比較麻煩。6.4.3MATLAB實(shí)現(xiàn)例6-11利用MATLAB驗(yàn)證例6-10系統(tǒng)的性能。解：MATLAB程序如下：clcG0=tf(150,[conv([0.1,1,0],conv([0.02,1],[0.014,1]))]);G=tf([37.5,150],[conv([3.125,1,0],conv([0.014,1],[0.0126,1]))]);[Gm0,Pm0,wcg0,wcp0]=margin(G0)%待校正系統(tǒng)幅值裕度、相角裕度及對應(yīng)穿越頻率、截止頻率[Gm,Pm,wcg,wcp]=margin(G)%校正后系統(tǒng)幅值裕度、相角裕度及對應(yīng)穿越頻率、截止頻率figure(1)bode(G0)gridholdonbode(G)G1=feedback(G,1);figure(2)step(G1);%校正后系統(tǒng)