《材料力學(xué)》課件第2章

第2章

軸向拉壓與材料的力學(xué)性能2.1引言2.2拉壓桿的內(nèi)力與應(yīng)力2.3材料拉伸與壓縮時(shí)的力學(xué)性能2.4拉壓桿的強(qiáng)度計(jì)算2.5拉壓桿的變形計(jì)算2.6簡(jiǎn)單拉壓靜不定問(wèn)題2.7連接件的強(qiáng)度計(jì)算 2.1引

言

在生產(chǎn)實(shí)踐中經(jīng)常遇到承受拉伸或壓縮的桿件。例如，圖2-1(a)所示的連接螺栓承受拉力作用，圖2-1(b)所示的活塞桿承受壓力作用。此外，如起重鋼索在起吊重物時(shí)承受拉力作用；千斤頂?shù)穆輻U在頂起重物時(shí)承受壓力作用；至于桁架中的桿件，則不是受拉就是受壓。圖2-1工程中受拉或受壓的桿件很多，它們的外形各不相同，加載方式也迥異，但它們的共同特點(diǎn)是：作用于桿件上的外力或其合力的作用線沿桿件軸線，而桿件的主要變形為軸向伸長(zhǎng)或縮短。作用線沿桿件軸線的載荷稱為軸向載荷。以軸向伸長(zhǎng)或縮短為主要特征的變形形式，稱為軸向拉壓。以軸向拉壓為主要變形的桿件，稱為拉壓桿。圖2-2是等截面拉壓桿的力學(xué)簡(jiǎn)圖，圖中虛線表示變形后的形狀。圖2-2 2.2拉壓桿的內(nèi)力與應(yīng)力

2.2.1軸力與軸力圖

對(duì)于圖2-3(a)所示兩端承受軸向載荷F作用的拉壓桿，為了顯示和確定橫截面上的內(nèi)力，應(yīng)用截面法，沿橫截面m-m假想地將桿件分成兩部分（見圖2-3(b)、(c)）。桿件兩段在橫截面m-m上相互作用的內(nèi)力是一個(gè)分布力系，其合力為FN。根據(jù)二力平衡條件可知，F(xiàn)N必沿桿件軸線方向，所以稱為軸力。軸力或?yàn)槔?，或?yàn)閴毫?。?xí)慣上把拉伸時(shí)的軸力規(guī)定為正，壓縮時(shí)的軸力規(guī)定為負(fù)。軸力的代數(shù)值可以由桿件左段（或右段）的平衡方程∑Fx=0求得。由圖2-3(b)，得FN-F=0圖2-3

例2-1

試?yán)L制圖2-4(a)所示拉壓桿的軸力圖。

解(1）計(jì)算桿件各段的軸力。根據(jù)該拉壓桿承受的外力，將桿件分為AB、BC、CD三段，分別以1-1、2-2與3-3截面為各段代表性截面。

先計(jì)算AB段的軸力。沿1-1截面假想地將桿件截開，取其受力簡(jiǎn)單的左段桿為研究對(duì)象，假定該截面上的軸力FN1為正（見圖2-4(b)），由平衡方程∑Fx=0,得再計(jì)算BC段的軸力。沿2-2截面假想地將桿件截開，以左段作為研究對(duì)象，假設(shè)軸力FN2為正（見圖2-4(c)），由平衡方程∑Fx=0,得FN2為負(fù)值，表示實(shí)際軸力方向與假設(shè)方向相反，即為壓力。

同樣可算得CD段3-3截面（見圖2-4(d)）上的軸力為FN3=-4kN。

（2）繪軸力圖。以平行于桿軸的坐標(biāo)x表示橫截面的位置，垂直于桿軸的另一坐標(biāo)FN表示相應(yīng)截面的軸力，繪制的這種圖線就是軸力圖（見圖2-4(e)）。在工程中，有時(shí)可將x和FN坐標(biāo)軸省略，這樣的軸力圖如圖2-4(f)所示。軸力圖需要標(biāo)明軸力的單位與各段的正、負(fù)和數(shù)值，并且要與桿件的橫截面位置相對(duì)應(yīng)，以便清析表明軸力沿桿軸的變化情形。顯然，由軸力圖2-4(e)、(f)可以看出，該拉壓桿在AB段受拉，在BCD段受壓；桿內(nèi)軸力的最大值為12kN。圖2-42.2.2橫截面上的應(yīng)力

僅根據(jù)軸力并不能判斷拉壓桿是否有足夠的強(qiáng)度。例如用同一種材料制成粗細(xì)不同的兩根桿，在相同的拉力作用下，兩桿的軸力是相同的。但當(dāng)拉力逐漸增大時(shí)，細(xì)桿會(huì)先被拉斷。這說(shuō)明拉壓桿的強(qiáng)度不僅與軸力有關(guān)，而且與橫截面面積有關(guān)。所以必須用橫截面上的應(yīng)力來(lái)量度桿件的內(nèi)力集中程度。

在拉壓桿的橫截面上，與軸力FN對(duì)應(yīng)的應(yīng)力是正應(yīng)力σ。根據(jù)連續(xù)性假設(shè)，橫截面上到處都存在著內(nèi)力，為了求得內(nèi)力與應(yīng)力在橫截面上的分布規(guī)律，必須先通過(guò)試驗(yàn)觀察桿件的變形。

圖2-5(a)所示為一等截面直桿，變形前，在其側(cè)面畫兩條垂直于桿軸的橫線ab與cd。然后，在桿兩端施加一對(duì)大小相等、方向相反的軸向載荷F。拉伸變形后，發(fā)現(xiàn)橫線ab與cd仍為直線，且仍垂直于桿件軸線，只是間距增大，分別平移至圖示a′b′與c′d′位置。根據(jù)這一現(xiàn)象，可以假設(shè)：變形前原為平面的橫截面，變形后仍保持為平面且仍垂直于軸線。這就是軸向拉壓時(shí)的平面假設(shè)。由此可以設(shè)想，組成拉壓桿的所有縱向纖維的伸長(zhǎng)是相同的。又由于材料是均勻的，所有縱向纖維的力學(xué)性能相同，可以推斷各縱向纖維的受力是一樣的。因此，拉壓桿橫截面上各點(diǎn)的正應(yīng)力σ相等，即橫截面上的正應(yīng)力是均勻分布的。設(shè)圖2-5（b)所示的拉壓桿橫截面面積為A，則各面積微元dA上的內(nèi)力元素σdA組成一個(gè)垂直于橫截面的平行力系，其合力就是軸力FN。根據(jù)靜力學(xué)力系簡(jiǎn)化的理論，可得所以（2-1）

式（2-1）已為大量試驗(yàn)所證實(shí)，適用于橫截面為任意形狀的等截面拉壓桿。當(dāng)桿的橫截面沿軸線緩慢變化時(shí)（小錐度直桿），也可以應(yīng)用式（2-1）計(jì)算橫截面上的正應(yīng)力。

由式（2-1）可知，正應(yīng)力與軸力具有相同的正負(fù)符號(hào)，即拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。圖2-52.2.3圣維南原理

當(dāng)作用在桿端的軸向外力，沿橫截面非均勻分布時(shí)，外力作用點(diǎn)附近各截面的應(yīng)力，也為非均勻分布。圣維南（Saint-Venant）原理指出，力作用于桿端的分布方式，只影響桿端局部范圍內(nèi)的應(yīng)力分布，影響區(qū)域的軸向范圍約為1～2個(gè)桿端的橫向尺寸。此原理已為大量試驗(yàn)與計(jì)算所證實(shí)。例如，圖2-6(a)所示承受集中力F作用的桿，其截面寬度為h，在x=h/4與x=h/2的橫截面1-1與2-2上，應(yīng)力明顯為非均勻分布（見圖2-6(b)），但在x=h的橫截面3-3上，應(yīng)力則趨向均勻分布（見圖2-6(c)）。因此，只要外力合力的作用線沿桿件軸線，在離外力作用面稍遠(yuǎn)處，橫截面上的應(yīng)力分布均可視為均勻的。至于外力作用處的應(yīng)力分析，則需另行討論。在材料力學(xué)和常規(guī)工程設(shè)計(jì)計(jì)算中，一般都不考慮加載方式的影響。圖2-62.2.4拉壓桿斜截面上的應(yīng)力

前面研究了拉壓桿橫截面上的應(yīng)力，為了更全面地了解桿內(nèi)的應(yīng)力情況，還需研究斜截面上的應(yīng)力。

考慮圖2-7(a)所示拉壓桿，利用截面法，沿任一斜截面m-m將桿切開，該截面的方位以其外法線On與x軸間的夾角α表示。仿照證明橫截面上正應(yīng)力均勻分布的方法，可知斜截面m-m上的應(yīng)力pα亦為均勻分布（見圖2-7(b)），且其方向與桿軸平行。圖2-7設(shè)桿件橫截面面積為A，則根據(jù)上述分析，得桿左段的平衡方程為由此得截面m-m上各點(diǎn)處的應(yīng)力為式中，σ=F/A代表?xiàng)U件橫截面上的正應(yīng)力。

將應(yīng)力pα沿截面法向與切向分解（見圖2-7(c)），得斜截面上的正應(yīng)力與切應(yīng)力分別為（2-2）（2-3）可見，在拉壓桿的任一斜截面上，不僅存在正應(yīng)力，而且存在切應(yīng)力，其大小均隨截面方位的變化而變化。

由式（2-2）可知，當(dāng)α＝0°時(shí)，正應(yīng)力最大，其值為（2-4）即拉壓桿的最大正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上，其值為σ。

由式（2-3）可知，當(dāng)α=45°時(shí)，切應(yīng)力最大，其值為（2-5）即拉壓桿的最大切應(yīng)力發(fā)生在與桿軸成45°的斜截面上，其值為σ/2。

此外，當(dāng)α=90°時(shí)，σα=τα=0，這表示在平行于桿件軸線的縱向截面上無(wú)任何應(yīng)力。

為便于應(yīng)用上述公式，現(xiàn)對(duì)方位角與切應(yīng)力的正負(fù)符號(hào)作如下規(guī)定：以x軸正向?yàn)槭歼叄蛐苯孛嫱夥ň€方向旋轉(zhuǎn)，規(guī)定方位角α逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，反之為?fù)；將截面外法線On沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，與該方向同向的切應(yīng)力為正，反之為負(fù)。按此規(guī)定，圖2-7(c)所示之α與τα均為正。

例2-2圖2-8(a)所示右端固定的階梯形圓截面桿，同時(shí)承受軸向載荷F1與F2作用。試計(jì)算桿橫截面上的最大正應(yīng)力。已知載荷F1=20kN，F(xiàn)2=50kN，桿件AB段與BC段的直徑分別為d1=20mm與d2=30mm。

解(1)計(jì)算約束力。設(shè)桿右端的約束力為FR，則由整個(gè)桿的平衡方程∑Fx=0,得(2)軸力分析。設(shè)AB與BC段的軸力均為拉力，并分別用FN1與FN2表示，則由截面法可知所得FN2為負(fù)，說(shuō)明BC段軸力應(yīng)為壓力。根據(jù)上述軸力值，可畫出桿的軸力圖，如圖2-8(b)所示。圖2-8(3)應(yīng)力計(jì)算。由式（2-1）可知，AB段內(nèi)任一橫截面上的正應(yīng)力為(拉應(yīng)力)而BC段內(nèi)任一橫截面上的正應(yīng)力則為(壓應(yīng)力)可見，桿內(nèi)橫截面上的最大的正應(yīng)力為

例2-3圖2-9(a)所示的軸向受壓等截面桿，橫截面面積A=400mm2，載荷F=50kN。試計(jì)算斜截面m-m上的正應(yīng)力與切應(yīng)力。斜截面m-m的方位角為α=50°于是，由式（2-2）與式（2-3），得截面m-m的正應(yīng)力與切應(yīng)力分別為其實(shí)際指向如圖2-9(b)所示。圖2-9 2.3材料拉伸與壓縮時(shí)的力學(xué)性能2.3.1拉伸試驗(yàn)與應(yīng)力-應(yīng)變曲線為了便于比較不同材料的試驗(yàn)結(jié)果，需要將試驗(yàn)材料按國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)的規(guī)定加工成標(biāo)準(zhǔn)試樣。常用的標(biāo)準(zhǔn)拉伸試樣如圖2-10所示，標(biāo)記m與n之間的桿段為試驗(yàn)段，其長(zhǎng)度l稱為標(biāo)距。對(duì)于試驗(yàn)段直徑為d的圓截面試樣（見圖2-10(a)），通常規(guī)定或而對(duì)于試驗(yàn)段橫截面面積為A的矩形截面試樣（見圖2-10(b)），則規(guī)定或圖2-10試驗(yàn)時(shí)，首先將試樣安裝在材料試驗(yàn)機(jī)的上、下夾頭內(nèi)（見圖2-11），并在標(biāo)記m和n處安裝測(cè)量變形的儀器。然后開動(dòng)試驗(yàn)機(jī)，緩慢加載，試驗(yàn)段的拉伸變形用Δl表示。通過(guò)測(cè)量力與變形的裝置，試驗(yàn)機(jī)可以自動(dòng)計(jì)錄所加載荷以及相應(yīng)的伸長(zhǎng)量，得到拉力F與變形Δl間的關(guān)系曲線如圖2-11所示，稱為試樣的拉力-伸長(zhǎng)曲線或拉伸圖。試驗(yàn)一直進(jìn)行到試樣斷裂為止。顯然，試樣的拉力-伸長(zhǎng)曲線不僅與試樣的材料有關(guān)，而且與試樣橫截面尺寸及其標(biāo)距的大小l有關(guān)。為了消除試樣尺寸的影響，反映材料本身的性質(zhì)，根據(jù)軸向拉伸時(shí)應(yīng)力、應(yīng)變的概念，將拉力-伸長(zhǎng)曲線的縱坐標(biāo)F除以試樣橫截面的原面積A，得出正應(yīng)力：；同時(shí)，將其橫坐標(biāo)Δl除以試驗(yàn)段的原長(zhǎng)l（即標(biāo)距），得到線應(yīng)變：（因在標(biāo)距l(xiāng)內(nèi)變形是均勻的，任意點(diǎn)的線應(yīng)變與平均線應(yīng)變相同）。以σ為縱坐標(biāo)，以ε為橫坐標(biāo)，作圖表示σ與ε的關(guān)系曲線，稱為材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。現(xiàn)代化的試驗(yàn)機(jī)可以自動(dòng)地繪制出應(yīng)力-應(yīng)變曲線。圖2-112.3.2低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性能

低碳鋼（含碳量0.3%以下）是工程中廣泛使用的金屬材料，其應(yīng)力-應(yīng)變曲線非常典型，圖2-12所示為Q235鋼的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，現(xiàn)以該曲線為基礎(chǔ)，并根據(jù)試驗(yàn)過(guò)程中觀察到的現(xiàn)象，介紹低碳鋼的力學(xué)性能。圖2-121.線性階段

在拉伸的初始階段，應(yīng)力-應(yīng)變曲線為一直線（圖2-12中之OA），說(shuō)明在此階段內(nèi)，正應(yīng)力與線應(yīng)變成正比，即引入比例常數(shù)E，于是得（2-6）上述關(guān)系稱為胡克定律，比例常數(shù)E稱為材料的彈性模量。

線性階段最高點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力，稱為材料的比例極限，并用σp表示；直線OA的斜率在數(shù)值上等于材料的彈性模量E。Q235鋼的比例極限σp≈200MPa，彈性模量E≈200GPa。2.屈服階段

超過(guò)比例極限之后，應(yīng)力與應(yīng)變之間不再保持線性關(guān)系。當(dāng)應(yīng)力增加至某一定值時(shí)，應(yīng)力-應(yīng)變曲線呈現(xiàn)水平階段（可能有微小波動(dòng)）。在此階段內(nèi)，應(yīng)力幾乎不變，而應(yīng)變急劇增長(zhǎng)，材料失去抵抗變形的能力，這種現(xiàn)象稱為屈服。屈服時(shí)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力最小值稱為材料的屈服應(yīng)力或屈服極限，用σs表示，低碳鋼Q235的屈服極限σs≈235MPa。如果試樣表面光滑，屈服時(shí)試樣表面出現(xiàn)與軸線約成45°的線紋（見圖2-13）。如前所述，在桿件的45°斜截面上，作用有最大切應(yīng)力，因此，上述線紋是由最大切應(yīng)力所引起的，稱之為滑移線。材料屈服時(shí)將產(chǎn)生顯著的塑性變形，而構(gòu)件的塑性變形將影響機(jī)器與結(jié)構(gòu)的正常工作，所以屈服極限σs是衡量材料強(qiáng)度的重要指標(biāo)。圖2-13

3.硬化（強(qiáng)化）階段

經(jīng)過(guò)屈服階段之后，材料又有了抵抗變形的能力。這時(shí)，要使材料繼續(xù)變形需要增大應(yīng)力。經(jīng)過(guò)屈服滑移之后，材料重新呈現(xiàn)抵抗繼續(xù)變形的能力，這種現(xiàn)象稱為應(yīng)變硬化。硬化階段的最高點(diǎn)D所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力，稱為材料的強(qiáng)度極限，并用σb表示。低碳鋼Q235的強(qiáng)度極限σb≈380MPa。強(qiáng)度極限是材料所能承受的最大應(yīng)力，它是衡量材料強(qiáng)度的另一重要指標(biāo)。

4.縮頸階段

當(dāng)應(yīng)力增至最大值σb之后，試樣的某一局部顯著收縮（見圖2-14），產(chǎn)生所謂的縮頸現(xiàn)象。由于在縮頸部分橫截面面積急劇減小，使試樣繼續(xù)變形所需之拉力也相應(yīng)減小，因而應(yīng)力-應(yīng)變曲線相應(yīng)呈現(xiàn)下降，最后導(dǎo)致試樣在縮頸處斷裂。低碳鋼斷裂時(shí)先在中心部分沿橫截面方向斷開，然后沿45°面剪斷，斷面呈杯口狀。

綜上所述，在整個(gè)拉伸過(guò)程中，材料經(jīng)歷了線性、屈服、硬化與縮頸四個(gè)階段，并存在三個(gè)特征點(diǎn)，相應(yīng)的應(yīng)力依次為比例極限、屈服應(yīng)力與強(qiáng)度極限。圖2-142.3.3卸載與再加載規(guī)律

如果當(dāng)應(yīng)力小于比例極限時(shí)停止加載，并將載荷逐漸減小至零，即卸載，可以看到，在卸載過(guò)程中應(yīng)力與應(yīng)變之間仍保持線性關(guān)系，并沿直線AO回到O點(diǎn)（見圖2-15），變形完全消失。這種僅產(chǎn)生彈性變形的現(xiàn)象，一直可持續(xù)到應(yīng)力-應(yīng)變曲線上的B點(diǎn)，與該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的正應(yīng)力，稱為材料的彈性極限，并用σe表示。

對(duì)于鋼材，其彈性極限與比例極限非常接近，所以工程上對(duì)彈性極限與比例極限并不嚴(yán)格區(qū)分，因而線性階段又常稱為線彈性階段或彈性階段。但彈性極限與比例極限的物理意義是完全不同的。在超過(guò)彈性極限之后，例如在強(qiáng)化階段的某一點(diǎn)C逐漸卸載，在卸載過(guò)程中的應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖2-15中的CO1所示，該直線與OA大致平行。線段O1O2代表隨卸載后消失的應(yīng)變即彈性應(yīng)變；而線段OO1則代表應(yīng)力減小至零時(shí)殘留的應(yīng)變，即塑性應(yīng)變或殘余應(yīng)變。由此可見，當(dāng)應(yīng)力超過(guò)彈性極限后，材料的應(yīng)變包括彈性應(yīng)變與塑性應(yīng)變，但在卸載過(guò)程中，應(yīng)力與應(yīng)變之間仍保持線性關(guān)系。試驗(yàn)中還發(fā)現(xiàn)，如果卸載至O1點(diǎn)后立即重新加載，則加載時(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系基本上沿卸載時(shí)的直線O1C上升，過(guò)C點(diǎn)后仍沿原曲線CDE變化，并至E點(diǎn)斷裂。因此，如果將卸載后已有塑性變形的試樣當(dāng)作新試樣重新進(jìn)行拉伸試驗(yàn)，其比例極限、彈性極限將得到提高，而斷裂時(shí)的殘余變形則減小。由于預(yù)加塑性變形，而使材料的比例極限或彈性極限提高的現(xiàn)象，稱為冷作硬化。工程中常利用冷作硬化，以提高某些構(gòu)件（例如建筑用的鋼筋與起重用的鏈條等）的承載能力。但冷作硬化使材料變硬、變脆，使加工發(fā)生困難，且易產(chǎn)生裂紋，這時(shí)可以采用退火處理，部分或全部地消除材料的冷作硬化效應(yīng)。2.3.4材料的塑性

材料能經(jīng)受較大塑性變形而不破壞的能力，稱為材料的塑性或延性。材料的塑性用延伸率或斷面收縮率度量。

試樣拉斷后，由于保留了塑性變形，試驗(yàn)段的長(zhǎng)度由原來(lái)的l變?yōu)閘1，將殘余變形與試驗(yàn)段原長(zhǎng)l的比值，稱為材料的延伸率，并用δ表示，即（2-7）低碳鋼的延伸率約為25%～30%。延伸率大的材料，在軋制或冷壓成型時(shí)不易斷裂，并能承受較大的沖擊載荷。在工程中，通常將延伸率較大（δ≥5%）的材料稱為延性或塑性材料；延伸率較小(δ<5%)的材料稱為脆性材料。結(jié)構(gòu)鋼、鋁合金、黃銅等為塑性材料；而工具鋼、灰鑄鐵、玻璃、陶瓷等屬于脆性材料。設(shè)試樣的原始橫截面面積為A，拉斷后縮頸處的最小截面面積為A1，則斷面收縮率為（2-8）Q235鋼的斷面收縮率ψ≈60%。應(yīng)當(dāng)指出，材料的塑性和脆性并不是固定不變的，它們會(huì)因制造工藝、變形速度、應(yīng)力狀態(tài)和溫度等條件而變化。2.3.5其他材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能

圖2-16所示為30鉻錳硅鋼、50鋼、硬鋁等金屬材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線?？梢钥闯?，它們斷裂時(shí)均具有較大的殘余變形，屬于塑性材料。不同的是，有些材料不存在明顯的屈服階段。圖2-16對(duì)于不存在明顯屈服階段的塑性材料，工程中通常以卸載后產(chǎn)生數(shù)值為0.2%的殘余應(yīng)變所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力作為屈服應(yīng)力，稱為名義屈服極限，并用σ0.2表示。如圖2-17所示，在橫坐標(biāo)ε軸上取OC=0.2%，自C點(diǎn)作直線平行于OA，并與應(yīng)力-應(yīng)變曲線相交于D，D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的正應(yīng)力即為材料的名義屈服極限σ0.2。

至于脆性材料，例如鑄鐵，從開始受力直至斷裂，變形始終很小，既不存在屈服階段，也無(wú)頸縮現(xiàn)象。圖2-18所示為鑄鐵拉伸時(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，斷裂時(shí)的應(yīng)變僅為0.4%～0.5%，斷口垂直于試樣軸線，即斷裂發(fā)生在最大拉應(yīng)力作用面，斷口表面呈粗糙顆粒狀。由于鑄鐵的σ-ε曲線沒(méi)有明顯的直線部分，彈性模量E的數(shù)值隨應(yīng)力的大小而變。但在工程中鑄鐵承受的拉應(yīng)力不能很高，在較低拉應(yīng)力下，可近似地認(rèn)為服從胡克定律，取σ-ε曲線的割線代替曲線的開始部分，并以割線的斜率作為其彈性模量。圖2-17圖2-182.3.6復(fù)合材料與高分子材料的拉伸力學(xué)性能

近年來(lái)，復(fù)合材料得到廣泛應(yīng)用。復(fù)合材料具有強(qiáng)度高、剛度大與密度小的特點(diǎn)。碳/環(huán)氧（即碳纖維增強(qiáng)環(huán)氧樹脂基體）是一種常用復(fù)合材料，圖2-19所示為某種碳/環(huán)氧復(fù)合材料沿纖維方向與垂直于纖維方向的拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲線?？梢钥闯?，材料的力學(xué)性能隨加力方向變化，即并非完全各向同性，而且斷裂時(shí)殘余變形很小。其他復(fù)合材料亦具有類似特點(diǎn)。圖2-19高分子材料也是一種常用的工程材料，圖2-20所示為幾種典型高分子材料拉伸時(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。有些高分子材料在變形很小時(shí)即發(fā)生斷裂，屬于脆性材料；有些高分子材料的延伸率甚至高達(dá)500%～600%。高分子材料的一個(gè)顯著特點(diǎn)是，隨著溫度升高，不僅應(yīng)力-應(yīng)變曲線發(fā)生很大變化，而且，材料經(jīng)歷了由脆性、塑性到粘彈性的轉(zhuǎn)變。所謂粘彈性，是指材料的變形不僅與應(yīng)力的大小有關(guān)，而且與應(yīng)力所持續(xù)的時(shí)間有關(guān)。

圖2-202.3.7材料在壓縮時(shí)的力學(xué)性能

材料受壓時(shí)的力學(xué)性能由壓縮試驗(yàn)測(cè)定。一般細(xì)長(zhǎng)壓桿壓縮時(shí)容易產(chǎn)生失穩(wěn)現(xiàn)象，常采用短粗圓柱形試樣。

低碳鋼壓縮時(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖2-21(a)所示，為了便于比較，圖中還畫出了拉伸時(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。可以看出，屈服之前壓縮曲線與拉伸曲線基本重合，壓縮與拉伸時(shí)的屈服應(yīng)力與彈性模量基本相同。不同的是，過(guò)了屈服階段后，隨著壓力不斷增大，低碳鋼試樣愈壓愈“扁平”（見圖2-21(b)），因而得不到壓縮強(qiáng)度極限。因?yàn)榭梢詮睦煸囼?yàn)測(cè)定低碳鋼壓縮時(shí)的力學(xué)性能，所以一般不進(jìn)行低碳鋼壓縮試驗(yàn)。圖2-21鑄鐵壓縮時(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖2-22(a)所示。壓縮強(qiáng)度極限遠(yuǎn)高于拉伸強(qiáng)度極限（約為3～4倍）。其他脆性材料如混凝土與石料等也具有上述特點(diǎn)，所以脆性材料宜作承壓構(gòu)件。鑄鐵壓縮破壞的形式如圖2-22(b)所示，斷口的方位角約為55°～60°。由于該截面上存在著較大的切應(yīng)力，所以，鑄鐵壓縮破壞是由最大切應(yīng)力所引起的。圖2-22表2-1幾種常用材料的主要力學(xué)性能材料名稱牌號(hào)MpaMpa%普通碳索鋼Q235Q255235255375~500410~55021~2619~24優(yōu)質(zhì)碳索鋼45553553806006451613低合金鋼16Mn34551021合金鋼40Cr7859809鑄鋼ZG270-50027050018灰鑄鐵HT250250(拉伸)鋁合金LY1227441219表2-1幾種常用材料的主要力學(xué)性能2.3.8應(yīng)力集中

由于結(jié)構(gòu)與使用等方面的需要，許多構(gòu)件常常帶有溝槽（如螺紋）、油孔和圓角（構(gòu)件由粗到細(xì)的過(guò)渡圓角）等。在外力作用下，構(gòu)件中鄰近溝槽、油孔或圓角的局部范圍內(nèi)，應(yīng)力急劇增大。例如，圖2-23(a)所示含圓孔的受拉薄板，圓孔處截面A-A上的應(yīng)力分布如圖2-23(b)所示，最大應(yīng)力σmax顯著超過(guò)該截面的平均應(yīng)力。由于截面急劇變化所引起的應(yīng)力局部增大現(xiàn)象稱為應(yīng)力集中。圖2-23應(yīng)力集中的程度用應(yīng)力集中因數(shù)Ｋ表示，其定義為（2-9）式中：σn

為名義應(yīng)力；σmax為最大局部應(yīng)力。名義應(yīng)力是在不考慮應(yīng)力集中條件下求得的平均應(yīng)力。最大局部應(yīng)力是由試驗(yàn)或數(shù)值計(jì)算方法確定的。圖2-24給出了含圓孔與帶圓角板件在軸向受力時(shí)的應(yīng)力集中系數(shù)。圖2-24各種材料對(duì)應(yīng)力集中的敏感程度并不相同。對(duì)于由脆性材料制成的構(gòu)件，當(dāng)由應(yīng)力集中所形成的最大局部應(yīng)力σmax到達(dá)強(qiáng)度極限時(shí)，構(gòu)件即發(fā)生破壞。因此，在設(shè)計(jì)脆性材料構(gòu)件時(shí)，應(yīng)考慮應(yīng)力集中對(duì)桿件承載能力的削弱。但是，像灰口鑄鐵這類材料，其內(nèi)部的不均勻性與缺陷往往是應(yīng)力集中的主要因素，而桿件外形改變引起的應(yīng)力集中成為次要因素，對(duì)桿件的承載能力不會(huì)帶來(lái)明顯的影響。圖2-25對(duì)于由塑性材料制成的構(gòu)件，應(yīng)力集中對(duì)其在靜載荷作用下的強(qiáng)度影響很小。因?yàn)楫?dāng)局部最大應(yīng)力σmax達(dá)到屈服應(yīng)力σs后，該處材料的變形可以繼續(xù)增長(zhǎng)而應(yīng)力卻不再加大。如果繼續(xù)增大載荷，則所增加的載荷將由同一截面的未屈服部分承擔(dān)，以致屈服區(qū)不斷擴(kuò)大（見圖2-25），應(yīng)力分布逐漸趨于均勻。所以，在研究塑性材料構(gòu)件的靜強(qiáng)度問(wèn)題時(shí)，通?？梢圆豢紤]應(yīng)力集中的影響。

然而，對(duì)于周期性變化的應(yīng)力或沖擊載荷作用下的構(gòu)件，應(yīng)力集中對(duì)各種材料的強(qiáng)度都有很大的影響，往往是構(gòu)件破壞的根源。這一問(wèn)題將在第10章中討論。所以，在工程設(shè)計(jì)中，要特別注意減小構(gòu)件的應(yīng)力集中。

2.4拉壓桿的強(qiáng)度計(jì)算

2.4.1失效與許用應(yīng)力

材料的拉伸壓縮試驗(yàn)表明，當(dāng)正應(yīng)力達(dá)到強(qiáng)度極限σb時(shí)，會(huì)引起斷裂；對(duì)于塑性材料，在斷裂之前，當(dāng)正應(yīng)力達(dá)到屈服極限σs時(shí)，將產(chǎn)生屈服（顯著塑性變形）。構(gòu)件工作時(shí)發(fā)生斷裂是不允許的，發(fā)生屈服一般也是不允許的，因?yàn)槌霈F(xiàn)塑性變形后，構(gòu)件的形狀尺寸發(fā)生了變化，已經(jīng)不能正常工作。所以，從強(qiáng)度方面考慮，斷裂是構(gòu)件破壞或失效的一種形式，屈服是構(gòu)件破壞或失效的另一種形式。除強(qiáng)度失效外，構(gòu)件還有剛度失效、穩(wěn)定性失效、疲勞破壞等等。本節(jié)主要討論拉壓桿的強(qiáng)度失效問(wèn)題，其他形式的失效將于以后介紹。通常將材料的強(qiáng)度極限與屈服極限統(tǒng)稱為材料的極限應(yīng)力，用σu表示。對(duì)于脆性材料，強(qiáng)度極限為其唯一強(qiáng)度指標(biāo)，通常以強(qiáng)度極限作為極限應(yīng)力；對(duì)于塑性材料，其屈服應(yīng)力小于強(qiáng)度極限，通常以屈服應(yīng)力作為極限應(yīng)力。

根據(jù)分析計(jì)算所得構(gòu)件的應(yīng)力，稱為工作應(yīng)力。在理想情況下，為了充分利用材料的強(qiáng)度，似乎可以使構(gòu)件的工作應(yīng)力接近于材料的極限應(yīng)力，但實(shí)際上是不可能的，原因如下：

(1）作用在構(gòu)件上的外力常常估計(jì)不準(zhǔn)確。

(2）構(gòu)件的外形與所受外力往往比較復(fù)雜，進(jìn)行分析計(jì)算常常需要進(jìn)行一些簡(jiǎn)化。因此，計(jì)算所得應(yīng)力（即工作應(yīng)力）與實(shí)際應(yīng)力有一定的差別。

（3）實(shí)際材料的組成與品質(zhì)難免存在差異，不能保證構(gòu)件所用材料與標(biāo)準(zhǔn)試樣具有完全相同的力學(xué)性能，更何況由標(biāo)準(zhǔn)試樣測(cè)得的力學(xué)性能，本身也帶有一定的分散性，這種差別在脆性材料中尤為顯著。

所有這些不確定因素，都有可能使構(gòu)件的實(shí)際工作條件比設(shè)想的要偏于不安全的一面。

（4）為了確保安全，構(gòu)件還應(yīng)具有適當(dāng)?shù)膹?qiáng)度儲(chǔ)備，特別是對(duì)于因破壞將帶來(lái)嚴(yán)重后果的構(gòu)件，更應(yīng)該給予較大的強(qiáng)度儲(chǔ)備。

由此可見，構(gòu)件工作應(yīng)力的最大容許值，必須低于材料的極限應(yīng)力。對(duì)于由確定材料制成的具體構(gòu)件，工作應(yīng)力的最大容許值，稱為許用應(yīng)力，并用［σ］表示。許用應(yīng)力與極限應(yīng)力的關(guān)系為式中，n為大于1的因數(shù)，稱為安全因數(shù)。如上所述，安全因數(shù)是由多種因素決定的。各種材料在不同工作條件下的安全因數(shù)或許用應(yīng)力，可從有關(guān)規(guī)范或設(shè)計(jì)手冊(cè)中查到。在一般靜強(qiáng)度計(jì)算中，對(duì)于塑性材料，按屈服應(yīng)力所規(guī)定的安全因數(shù)ns通常取為1.5～2.2；對(duì)于脆性材料，按強(qiáng)度極限所規(guī)定的安全因數(shù)nb通常取為3.0～5.0，甚至更大。2.4.2強(qiáng)度條件

根據(jù)以上分析，為了保證拉壓桿在工作時(shí)不因強(qiáng)度不夠而破壞，桿內(nèi)的最大工作應(yīng)力σmax不得超過(guò)材料的許用應(yīng)力［σ］，即要求（2-11）上述判據(jù)稱為拉壓桿的強(qiáng)度條件或強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。對(duì)于等截面拉壓桿，上式可寫為（2-12）

利用上述條件，可以解決以下三類強(qiáng)度問(wèn)題：

(1）強(qiáng)度校核。當(dāng)已知拉壓桿的截面尺寸、許用應(yīng)力和所受外力時(shí)，通過(guò)比較工作應(yīng)力與許用應(yīng)力的大小，以判斷該桿在所受外力作用下能否安全工作。

(2）設(shè)計(jì)截面。如果已知拉壓桿所受外力和許用應(yīng)力，根據(jù)強(qiáng)度條件可以確定該桿所需橫截面的面積，進(jìn)而設(shè)計(jì)構(gòu)件橫截面各部分的尺寸。例如對(duì)于等截面拉壓桿，其所需橫截面的面積為（2-1３）(3）確定承載能力。如果已知拉壓桿的截面尺寸和許用應(yīng)力，根據(jù)強(qiáng)度條件可以確定該桿所能承受的最大軸力，其值為（2-14）根據(jù)桿件所承受的最大軸力，進(jìn)而確定結(jié)構(gòu)所能承受的最大載荷，即許可載荷。

需要指出的是，如果工作應(yīng)力σmax超過(guò)了許用應(yīng)力［σ］，但只要超過(guò)量（即σmax與［σ］之差）不大，不超過(guò)許用應(yīng)力的5%，在工程計(jì)算中仍然是允許的。

例2-4圖2-26所示空心圓截面桿，外徑D＝20mm，內(nèi)徑d＝15mm，承受軸向載荷F=20kN，材料的屈服應(yīng)力σs＝235MPa，安全系數(shù)ns＝1.5。試校核桿的強(qiáng)度

解

桿件橫截面上的正應(yīng)力為。材料的許用應(yīng)力為可見，工作應(yīng)力小于許用應(yīng)力，說(shuō)明桿件能夠安全工作。圖2-26

例2-5

圖2-27所示起重機(jī)的起重鏈條由圓鋼制成，承受的最大拉力為F=15kN。已知圓鋼材料為Q235鋼，考慮到起重時(shí)鏈條可能承受沖擊載荷，取許用應(yīng)力［σ］=40MPa。若只考慮鏈環(huán)兩邊所受的拉力，試確定圓鋼的直徑d。

解

利用截面法，可以求得鏈環(huán)每邊截面上的軸力為所需圓環(huán)的橫截面面積由此可得鏈環(huán)的圓鋼直徑為故可選用d=16mm的標(biāo)準(zhǔn)鏈環(huán)圓鋼。圖2-27

例2-6圖2-28(a)所示為簡(jiǎn)易旋臂式吊車，斜拉桿由兩根50×50×5的等邊角鋼所組成，水平桿由兩根10號(hào)槽鋼組成。材料都是Q235鋼，許用應(yīng)力［σ］=120MPa。整個(gè)三角架可繞O1O1軸轉(zhuǎn)動(dòng)，電動(dòng)葫蘆可沿水平桿移動(dòng)。當(dāng)電葫蘆在圖示位置時(shí)，求最大起吊重量F（包括電葫蘆自重）。兩桿自重略去不計(jì)。

解(1）受力分析。AB、AC兩桿的兩端均可簡(jiǎn)化為鉸鏈連接，故吊車的計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖2-28(b)所示。取節(jié)點(diǎn)A為研究對(duì)象，其受力圖如圖2-28(c)所示。設(shè)AC桿受拉力FN1，AB桿受壓力FN2。由平面匯交力系的平衡條件圖2-28(a)(b)

（2）

計(jì)算最大軸力。由附錄B中的型鋼表查得斜桿AC橫截面面積A1=2×4.8×10-4m2。斜桿允許承擔(dān)的最大軸力為對(duì)于水平桿AB，查得A2=2×12.74×10-4m2。水平桿允許承擔(dān)的最大軸力為

（3）確定承載能力。將［FN1］代入式(a），得到按斜桿強(qiáng)度計(jì)算的吊車許用載荷［F1］:將［FN2］代入式（b），得到按水平桿強(qiáng)度計(jì)算的吊車許用載荷［F2］：為保證整個(gè)吊車的安全，取上述兩個(gè)許用載荷中之較小者。故最大起吊重量為 2.5拉壓桿的變形計(jì)算

2.5.1拉壓桿的軸向變形與胡克定律

設(shè)桿件的原長(zhǎng)為l（見圖2-29），橫截面積為A，在軸向拉力F的作用下，桿長(zhǎng)變?yōu)閘1，則桿件橫截面上的正應(yīng)力為(a)而其軸向變形為(b)由于拉壓桿軸向應(yīng)變是均勻的，因而其軸向線應(yīng)變?yōu)?c)圖2-29根據(jù)胡克定律，在比例極限內(nèi)，線應(yīng)變與正應(yīng)力成正比，即(2-15)將式（a）與式（c）代入式(2-14)，可得（2-16）上述關(guān)系式仍稱為胡克定律。它表明：在比例極限內(nèi)，桿的軸向變形Δl與軸力FN及桿長(zhǎng)l成正比，與乘積EA成反比。乘積EA稱為桿截面的抗拉(壓)剛度。顯然，在一定軸向載荷作用下，抗拉剛度愈大，桿的軸向變形愈小。由式（2-16）可知，軸向變形Δl與軸力FN具有相同的正負(fù)符號(hào)，即伸長(zhǎng)為正，縮短為負(fù)。2.5.2拉壓桿的橫向變形與泊松比

如圖2-29所示，設(shè)桿件的原寬度為b，受力后，桿件寬度變?yōu)閎1，所以，桿的橫向變形為而橫向線應(yīng)變則為(2-17)

試驗(yàn)表明，軸向拉伸時(shí)，桿軸向尺寸伸長(zhǎng)，其橫向尺寸減小；軸向壓縮時(shí)，桿沿軸線縮短，其橫向尺寸增大。橫向線應(yīng)變?chǔ)拧渑c軸向線應(yīng)變?chǔ)藕銥楫愄?hào)。試驗(yàn)還表明，在比例極限內(nèi)，橫向線應(yīng)變與軸向線應(yīng)變成正比。

設(shè)將橫向線應(yīng)變與軸向線應(yīng)變之比的絕對(duì)值用μ表示，則由上述試驗(yàn)可知或（2-18）比例系數(shù)μ稱為泊松比。在比例極限內(nèi)，μ是一個(gè)常數(shù)，其值隨材料而異，由試驗(yàn)測(cè)定。對(duì)絕大多數(shù)各向同性材料，0<μ<0.5。

彈性模量E與泊松比μ都是材料的彈性常數(shù)。對(duì)于各向同性材料，E和μ之值均與方向無(wú)關(guān)。幾種常用材料的E和μ值如表2-2所示。表2-2常見材料的彈性模量與泊松比彈性常數(shù)鋼與合金鋼鋁合金銅鑄鐵木（順紋）200～22070～72100～12080～1608～120.25～0.300.26～0.340.33～0.350.23～0.27—

例2-7圖2-30所示連接螺栓，連接部分的長(zhǎng)度l=600mm，直徑d=100mm，擰緊螺母時(shí)連接部分的伸長(zhǎng)變形Δl=0.30mm，螺栓用鋼制成，其彈性模量E=200GPa，泊松比μ=0.30。試計(jì)算螺栓橫截面上的正應(yīng)力、螺栓的預(yù)緊力及橫向變形。

解

螺栓的軸向線應(yīng)變?yōu)楦鶕?jù)胡克定律，得螺栓橫截面上的正應(yīng)力為螺栓的預(yù)緊力為由式（2-17）知，螺栓的橫向線應(yīng)變?yōu)橛纱说寐菟ǖ臋M向變形為即螺栓直徑縮小0.015mm。圖2-30

例2-8圖2-31所示桁架由桿1和2組成，并在節(jié)點(diǎn)A承受集中載荷F作用。桿1用鋼桿制成，彈性模量E1=200GPa，橫截面積A1=100mm2，桿長(zhǎng)l1=1m；桿2用硬鋁管制成，彈性模量E2=70GPa，橫截面積A2=250mm2；載荷F=10kN。求節(jié)點(diǎn)A的位移。

解

首先，根據(jù)節(jié)點(diǎn)A的平衡條件，求得桿1和桿2的軸力分別為（拉伸）(壓縮)

設(shè)桿1的伸長(zhǎng)為Δl1，并用AA1表示；桿2的縮短為Δl2，并用AA2表示，則由胡克定律可知：加載前，桿1與桿2在節(jié)點(diǎn)A相連，受力后，各桿的長(zhǎng)度雖然改變，但仍然相交于一點(diǎn)。因此，為了確定節(jié)點(diǎn)A位移后的新位置，分別以B、C為圓心，BA1、CA2為半徑畫圓，其交點(diǎn)A′即為節(jié)點(diǎn)A的新位置（見圖2-31(a)）。通常桿的變形均很小，上述圓弧線可近似地用其切線代替。于是，過(guò)A1與A2分別作BA1與CA2的垂線（見圖2-31(b)），其交點(diǎn)A3可視為節(jié)點(diǎn)A的新位置。這種確定桁架節(jié)點(diǎn)位移的方法稱為威里沃特圖解法。

按此方法，得節(jié)點(diǎn)A的水平與鉛垂位移分別為與結(jié)構(gòu)原尺寸相比為很小的變形，稱為小變形。在小變形條件下，通常即可按結(jié)構(gòu)原有幾何形狀與尺寸計(jì)算約束力與內(nèi)力，并可采用上述以切線代替圓弧的方法確定位移。因此，小變形是一個(gè)十分重要的概念，利用此條件，可使許多問(wèn)題的分析計(jì)算大為簡(jiǎn)化。圖2-312.5.3軸向拉壓時(shí)的應(yīng)變能

在外力作用下，彈性體發(fā)生變形，載荷在相應(yīng)位移上做功。與此同時(shí)，彈性體因變形具有做功的能力，即具有能量。當(dāng)外力逐漸減小時(shí)，變形逐漸消失，彈性體又將釋放出儲(chǔ)存的能量而做功。如機(jī)械鐘表的發(fā)條被擰緊而產(chǎn)生變形，發(fā)條內(nèi)儲(chǔ)存能量；隨后發(fā)條在放松的過(guò)程中釋放能量，帶動(dòng)齒輪系使指針轉(zhuǎn)動(dòng)。彈性體因變形而儲(chǔ)存的能量，稱為應(yīng)變能，并用Vε表示。根據(jù)功能原理，如果載荷是由零逐漸、緩慢地增加，以致在加載過(guò)程中彈性體的動(dòng)能與熱能的變化均可忽略不計(jì)，則貯存在彈性體內(nèi)的應(yīng)變能Vε等于外力所做之功W，即

圖2-32(a)所示桿件承受軸向載荷作用。載荷f由零逐漸增加，最后達(dá)到最大值F；載荷f的相應(yīng)位移δ也隨之增長(zhǎng)，最后達(dá)到最大值Δl。在線彈性范圍內(nèi)，載荷f與位移δ成線性關(guān)系，其關(guān)系如圖2-32(b)所示。在加載過(guò)程中，載荷所做之總功，數(shù)值上等于圖示三角形OAB的面積，即圖2-32對(duì)于兩端承受軸向載荷F作用下的等截面直桿，F(xiàn)N=F，其軸向變形為故由式（d）、（e）、（f）可知，拉壓桿的變形能為（f）

彈性體單位體積內(nèi)存儲(chǔ)的應(yīng)變能稱為應(yīng)變能密度，并用νε表示。因?yàn)槔瓑簵U各部分的受力與變形是均勻的，桿的每一單位體積貯存的變形能應(yīng)相同，所以其應(yīng)變能密度為（2-20）

例2-9試用能量法求例2-8桁架節(jié)點(diǎn)

的豎直位移Δy。

解根據(jù)功能原理，載荷

所作之功等于桁架各桿貯存的應(yīng)變能。即將

代入上式，得≈1.404×10-3m其結(jié)果與位移圖解法所得結(jié)果相同。 2.6簡(jiǎn)單拉壓靜不定問(wèn)題

2.6.1靜不定問(wèn)題分析

在前面討論的問(wèn)題中，桿件的約束力與軸力都可由靜平衡方程完全確定，這類問(wèn)題稱為靜定問(wèn)題。在有些情況下，桿件的約束力與軸力并不能全由靜平衡方程解出，這類問(wèn)題稱為靜不定問(wèn)題或超靜定問(wèn)題。在靜定問(wèn)題中，未知力的數(shù)目等于獨(dú)立靜平衡方程的數(shù)目，所有未知力具有確定的解；在靜不定問(wèn)題中，未知力的數(shù)目多于獨(dú)立靜平衡方程的數(shù)目，即存在所謂的多余約束，未知力的解不完全確定。未知力數(shù)目與獨(dú)立靜平衡方程數(shù)目之差稱為靜不定次數(shù)。在工程中，靜不定結(jié)構(gòu)得到廣泛應(yīng)用。多余約束使結(jié)構(gòu)由靜定變?yōu)殪o不定，問(wèn)題由靜力學(xué)可解變?yōu)殪o力學(xué)不可解，這只是問(wèn)題的一方面。問(wèn)題的另一方面是，多余約束對(duì)結(jié)構(gòu)的變形有著限制作用，而變形與力又緊密相關(guān)，這就為求解靜不定問(wèn)題提供了補(bǔ)充條件。求解靜不定問(wèn)題需從靜平衡、力與變形之間的關(guān)系及變形協(xié)調(diào)三個(gè)方面綜合考慮。下面具體說(shuō)明靜不定問(wèn)題分析求解的方法以及靜不定結(jié)構(gòu)的特性。

圖2-33(a)為一簡(jiǎn)單桁架。1、2桿各截面具有相同的抗拉剛度，均為E1A1，桿3各截面的抗拉剛度為E3A3，桿1與桿3的長(zhǎng)度分別為l1與l3，α、F均為已知，試求各桿的軸力。

取節(jié)點(diǎn)A為研究對(duì)象。在載荷F作用下，各桿均伸長(zhǎng)，故可設(shè)各桿均受拉，節(jié)點(diǎn)A的受力如圖2-33(b)所示，其獨(dú)立平衡方程為（a）（b）圖2-33

這里存在三個(gè)未知力，但是只有兩個(gè)獨(dú)立平衡方程，故為一靜不定問(wèn)題。

桁架三根桿原交于一點(diǎn)A，變形后它們?nèi)越挥谝稽c(diǎn)，此外，由于桿1與桿2的受力及抗拉剛度均相同，節(jié)點(diǎn)A應(yīng)沿鉛垂方向下移，由A移動(dòng)到A′，桁架的變形如圖2-33(c)所示?？梢?，為保證三桿變形后仍交于一點(diǎn)，即保證結(jié)構(gòu)的連續(xù)性，桿1、桿2的變形Δl1、Δl2與桿3的變形Δl3之間應(yīng)滿足如下關(guān)系:保證結(jié)構(gòu)連續(xù)性所滿足的變形幾何關(guān)系，稱為變形協(xié)調(diào)條件，該條件用數(shù)學(xué)方程寫出來(lái)稱之為變形協(xié)調(diào)方程。變形協(xié)調(diào)條件即為求解靜不定問(wèn)題的補(bǔ)充條件。(c)設(shè)三桿的變形均處于線彈性范圍，則由胡克定律可知，各桿的變形與軸力間的關(guān)系分別為(d)(e)表示變形與軸力的關(guān)系式稱為物理方程。將式（d）、（e）代入式（c），得到用軸力表示的變形協(xié)調(diào)方程即補(bǔ)充方程(f)最后，聯(lián)立求解方程（a）、（b）、（f），得(g)(h)所得結(jié)果均為正，說(shuō)明各桿軸力均為拉力的假設(shè)是正確的。

由式（g）、（h）可以看出，各桿的軸力不僅與載荷F及桿間夾角α有關(guān)，而且與桿的抗拉剛度有關(guān)。一般來(lái)說(shuō)，增大某桿剛度，該桿的軸力亦相應(yīng)增大。實(shí)際上，這也正是靜不定問(wèn)題區(qū)別于靜定問(wèn)題的一個(gè)重要特征。

綜上所述，求解靜不定問(wèn)題必須考慮以下三個(gè)方面：滿足靜平衡方程；滿足變形協(xié)調(diào)條件；符合力與變形之間的物理關(guān)系。概而言之，即應(yīng)綜合考慮靜力學(xué)、幾何與物理三方面。

例2-10圖2-34所示結(jié)構(gòu)，梁BD可視為剛體，載荷F=50kN，桿1與桿2的彈性模量均為E，橫截面面積均為A，許用拉應(yīng)力［σt］=160MPa，許用壓應(yīng)力［σc］=120MPa，試確定各桿的橫截面面積。

解(1)問(wèn)題分析。剛性梁BD在B處受固定鉸鏈支座約束，如果再受桿1或桿2中某一個(gè)二力桿件約束，結(jié)構(gòu)就是一個(gè)平面靜定結(jié)構(gòu)；但是該結(jié)構(gòu)是在桿1與桿2共同約束下，顯然存在著多余約束，屬于靜不定結(jié)構(gòu)。

在載荷F作用下，剛性梁BD將繞B點(diǎn)沿順時(shí)針?lè)较蜃魑⑿∞D(zhuǎn)動(dòng)（如圖2-34(a)之虛線所示），桿1伸長(zhǎng)，桿2縮短。與此相應(yīng)，桿1受拉，桿2受壓，其受力如圖2-34(b)所示，未知約束力共有4個(gè)，平面任意力系的獨(dú)立平衡方程只有3個(gè)，故為一靜不定問(wèn)題。圖2-34(2)建立平衡方程。因?yàn)楸纠恍枨蟪鲚S力FN1與FN2，建立平衡方程（a）另外兩個(gè)包括未知力FBx、FBy的平衡方程不必一一列出。(3)建立補(bǔ)充方程。由變形關(guān)系圖2-34(a)，可寫出變形協(xié)調(diào)方程為（b）根據(jù)胡克定律，得物理方程（c）（d）將式（c）、（d）代入式（b），得補(bǔ)充方程為（e）(4)軸力計(jì)算與截面設(shè)計(jì)。聯(lián)立求解平衡方程（a）與補(bǔ)充方程（e），得

根據(jù)拉壓桿的強(qiáng)度條件，得桿1與桿2所需之橫截面面積分別為但是，由于該結(jié)構(gòu)的軸力是在A1=A2的條件下求得的，如果桿1與桿2取不同的面積，軸力將隨之改變。因此，應(yīng)取(5)討論。

求解靜不定問(wèn)題，在畫變形圖與受力圖時(shí)，應(yīng)該使受力圖中的拉力或壓力，分別與初步分析的變形圖中的伸長(zhǎng)與縮短一一對(duì)應(yīng)，這樣，建立物理方程時(shí)，僅需考慮絕對(duì)值即可。最后求得的軸力為正，說(shuō)明對(duì)結(jié)構(gòu)的變形與受力分析符合實(shí)際；否則，與之對(duì)應(yīng)的變形及受力與初步分析的方向相反。2.6.2熱應(yīng)力與預(yù)應(yīng)力

靜不定問(wèn)題的另一重要特征是，溫度的變化以及制造誤差也會(huì)在靜不定結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生應(yīng)力，這些應(yīng)力分別稱為熱應(yīng)力（溫度應(yīng)力）與預(yù)應(yīng)力（初應(yīng)力、裝配應(yīng)力）。

靜不定結(jié)構(gòu)中的熱應(yīng)力是由于熱膨脹（或收縮）受到約束而引起的。設(shè)桿件的原長(zhǎng)為l，材料的線膨脹系數(shù)為αl，則當(dāng)溫度改變?chǔ)時(shí)，桿長(zhǎng)的改變量為（2-21）

對(duì)于圖2-35所示的兩端固定桿，由于溫度變形被固定端所限制，桿內(nèi)即引起熱應(yīng)力。圖2-35為了分析該桿的熱應(yīng)力，假想地將B端的約束解除，以支反力FR代替其作用，桿的軸向變形包括由溫度引起的變形和約束力引起的變形兩部分，即由于桿的總長(zhǎng)不變，因而有由此求得桿內(nèi)橫截面上的正應(yīng)力即熱應(yīng)力為

不難看出，當(dāng)溫升較大時(shí)，熱應(yīng)力的數(shù)值相當(dāng)可觀，不可忽視。例如，對(duì)于鋼管，E=200GPa，αl=1.25×10-5/℃，ΔT=40℃時(shí)，桿內(nèi)的熱應(yīng)力σT=100MPa。為了避免出現(xiàn)過(guò)高的熱應(yīng)力，蒸汽管道中有時(shí)設(shè)置伸縮節(jié)（見圖2-36），鋼軌在兩段接頭之間預(yù)留一定量的縫隙等等，以削弱熱膨脹所受的限制，降低溫度應(yīng)力。圖2-36在加工制造構(gòu)件時(shí)，尺寸上的一些微小誤差難以避免。對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)，加工誤差只不過(guò)是造成結(jié)構(gòu)幾何形狀的微小變化，不會(huì)引起內(nèi)力。但對(duì)靜不定結(jié)構(gòu)，加工誤差卻往往要引起內(nèi)力。例如圖2-33所示桁架，若桿3比設(shè)計(jì)長(zhǎng)度短Δ，裝配時(shí)為了將三根桿下端聯(lián)結(jié)于一點(diǎn)，必須使桿3拉長(zhǎng)，使桿1、2縮短。桿系經(jīng)裝配后，桿3內(nèi)便產(chǎn)生拉應(yīng)力，而桿1、2內(nèi)便產(chǎn)生壓應(yīng)力。這種由于加工誤差而在裝配時(shí)產(chǎn)生的應(yīng)力稱為裝配應(yīng)力。裝配應(yīng)力是在載荷作用以前已經(jīng)具有的應(yīng)力，因而是一種初應(yīng)力、預(yù)應(yīng)力。工程實(shí)際中，常利用預(yù)應(yīng)力進(jìn)行某些構(gòu)件的裝配（例如將輪圈套裝在輪轂上），或提高某些構(gòu)件的承載能力（例如預(yù)應(yīng)力混凝土構(gòu)件）。 2.7連接件的強(qiáng)度計(jì)算

2.7.1剪切與剪切強(qiáng)度條件

如圖2-37所示，當(dāng)作為連接件的銷釘兩側(cè)承受一對(duì)大小相等、方向相反、作用線互相平行且相距很近的力作用時(shí)，其主要失效形式之一是沿兩側(cè)外力之間、并與外力作用線平行的橫截面發(fā)生剪切破壞。發(fā)生剪切破壞的橫截面稱為剪切面。剪切面上的內(nèi)力既有剪力FS，又有彎矩，但彎矩很小，可以忽略。利用截面法和靜力平衡方程不難求得剪切面上的剪力。例如，由圖2-37(c)可得

剪切面上的實(shí)際應(yīng)力分布很復(fù)雜，切應(yīng)力也非均勻分布。在實(shí)用計(jì)算中，