《電路與信號》課件模塊8

模塊8瞬態(tài)電路的復(fù)頻域分析8.1拉普拉斯變換

8.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

8.3拉氏反變換

8.4瞬態(tài)電路的復(fù)頻域分析法

本模塊小結(jié)習(xí)題8復(fù)頻域分析法與時域分析法相比具有以下優(yōu)點：

(1)簡化激勵f(t)的函數(shù)式。拉氏變換可將常用的指數(shù)函數(shù)、超越函數(shù)及有不連續(xù)點的函數(shù)變換為簡單的初等函數(shù)F(s)。

(2)簡化運算。拉氏變換將“微分”和“積分”運算轉(zhuǎn)換為“乘法”和“除法”運算，即把微分、積分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程。

(3)簡化求解步驟。由于初始條件自動地包含在變換式中，因此一次計算便可求得全響應(yīng)。

以上是從數(shù)學(xué)角度看復(fù)頻域分析法所具有的優(yōu)點。對于已知的線性時不變電路而言，可以不必列寫出微分方程，而直接對時域電路模型進(jìn)行變換(即對各元件的伏安關(guān)系取拉氏變換)，從而得到復(fù)頻域的電路模型，利用直流電路的分析方法列出激勵F(s)作用下的響應(yīng)Y(s)的代數(shù)方程，再將Y(s)經(jīng)拉氏反變換還原成時域響應(yīng)y(t)。其示意圖如圖8.1所示。圖8.1.1

s域分析與時域分析的比較

8.1拉普拉斯變換

8.1.1拉普拉斯變換的定義

從模塊7可知，絕對可積條件限制了某些信號(如增長信號eat，a＞0)的傅氏變換，而對于階躍信號、直流信號等雖然未受約束，但其變換式中出現(xiàn)沖激分量。為使更多的函數(shù)存在變換，現(xiàn)引入一個衰減因子e－σt(σ為任意實數(shù))與f(t)相乘，經(jīng)過這一數(shù)學(xué)加工，使新的信號f(t)e－σt收斂，以滿足絕對可積條件。按此思路，寫出數(shù)學(xué)處理過程如下:令s=σ+jω，上式可以寫為

又由傅氏反變換得

對等式兩邊同乘以eσt得

令s=σ+jω，則ds=jdω，上式可寫成(8.1.2)(8.1.1)單邊拉氏正變換的定義式為

拉氏反變換的定義式為

簡記為(8.1.4)(8.1.3)8.1.2常見信號的拉氏變換

1.指數(shù)函數(shù)f(t)=e－atε(t)

記為

2.階躍函數(shù)f(t)=ε(t)

記為(8.1.5)(8.1.6)

3.沖激函數(shù)f(t)=δ(t)

記為

4.直流(常數(shù))信號f(t)=A

記為(8.1.8)(8.1.7)在這里需注意，常數(shù)f(t)=A的定義域為(－∞，∞)，但對于實際的直流信號，總有接入的起始時刻，所以實際的直流函數(shù)應(yīng)寫成f(t)=Aε(t)，其拉氏變換對記為

拉氏變換的單邊性如圖8.1.1(a)、(b)、(c)所示，可以得到相同的變換式，即圖8.1.1

3種具有相同拉氏變換的f(t)

當(dāng)對 求反變換時，也只能給出t≥0時間范圍內(nèi)的函數(shù)值，即

單邊拉氏變換的這一特點并沒有給它的應(yīng)用帶來不便，因為在系統(tǒng)分析中，往往只需求解t≥0的系統(tǒng)響應(yīng)，而t＜0的情況由系統(tǒng)的狀態(tài)決定。

常見信號的拉氏變換如表8.1.1所示。表8.1.1常見信號的拉氏變換 8.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

與傅里葉變換一樣，拉氏變換也有許多重要性質(zhì)。掌握好這些性質(zhì)，對求一些復(fù)雜信號的拉氏變換或由象函數(shù)求反變換都是非常方便的。拉氏變換性質(zhì)也進(jìn)一步揭示了信號的時域特性與其復(fù)頻域(s)域特性之間的關(guān)系。

8.1節(jié)中指出，拉氏變換與傅氏變換的定義式相似，拉氏變換是傅氏變換的推廣。因此，拉氏變換的性質(zhì)中有很多類似于傅氏變換的性質(zhì)，這些類似的性質(zhì)只需將傅氏變換性質(zhì)中的jω改寫成s即可。但是，拉氏變換與傅氏變換畢竟是兩種不同的變換，特別是拉氏變換是單邊的，所以又有其獨特的性質(zhì)。拉氏變換的性質(zhì)如表8.2.1所示，以便查閱。表8.2.1拉氏變換的性質(zhì)8.2.1線性

若 ， ，a、b為常數(shù)，則

證明:

(8.2.1)

【例8.2.1】求sin(ω0t)的拉氏變換。

解：由歐拉公式知

又已知

所以即記為

同理可得

8.2.2時延性

若 ，則(8.2.2)(8.2.3)(8.2.4)

證明：

令τ=t－t0，則t=τ+t0，并代入上式得

該性質(zhì)具有拉氏變換的單邊性質(zhì)。

【例8.2.2】求圖8.2.1所示的f(t)的拉氏變換。圖8.2.1例8.2.2圖

解：將f(t)看成f1(t)與f2(t)的組合。因為

所以

【例8.2.3】用時延性求t［e(t)－e(t－1)］的拉氏變換。

解：為了正確使用時延性，需先整理：

f(t)=t［e(t)－e(t－1)］=te(t)－(t－1)e(t－1)－e(t－1)

所以

8.2.3

s域平移性

若 ，則

證明：

【例8.2.4】求sin(ωt)e－at的拉氏變換。

解：因為

所以8.2.4尺度變換性

若 ，則

證明：

令τ=at，則上式為

【例8.2.5】已知 ，求L［f(at－b)ε(at－b)］，a＞0，b＞0。

解：(1)以at代t，則 ，所以

(2)以 代t，則

所以8.2.5時域微分性

若 ，則

證明：設(shè) ，則所以

F1(s)=sF(s)－f(0－)

即

若f(0－)=0，就有

該公式可以重復(fù)使用，即…

【例8.2.6】已知LC元件在時域的伏安關(guān)系，求它們的拉氏變換。

解：

(1)對于電感元件，其時域的伏安關(guān)系為

對等式兩邊同時求拉氏變換得

UL(s)=L［sIL(s)－iL(0－)］=LsIL(s)－LiL(0－)

(8.2.8)

根據(jù)以上拉氏變換式作出等效電路，如圖8.2.2(a)所示，稱為電感元件的s域模型。

(2)對于電容元件，其時域的伏安關(guān)系為

對等式兩邊同時求拉氏變換得

IC(s)=C［sUC(s)－uC(0－)］=CsUC(s)－CuC(0－)

對上式整理可得(8.2.9)根據(jù)以上拉氏變換式作出等效電路，如圖8.2.2(b)所示，稱為電容元件的s域模型。圖8.2.2(a)、(b)又稱為運算電路。從運算電路的伏安關(guān)系看，電壓和電流關(guān)系是代數(shù)關(guān)系，即由運算電路建立的方程是代數(shù)方程。在后面我們會應(yīng)用運算電路進(jìn)行復(fù)頻域分析，求一階、二階或高階電路的響應(yīng)。圖8.2.2例8.2.6圖

【例8.2.7】圖8.2.3給出了f1(t)、f2(t)、f3(t)的圖形，求L［f1(t)］、L［f2(t)］、L［f3(t)］及 、 、 。

解：根據(jù)單邊拉氏變換的概念，得

但是根據(jù)微分性可知f1(0－)=－1，f2(0－)=0，f3(0－)=1，所以8.2.6時域積分性

若 ，則

其中：

證明：由于

上式第一項為常量，即所以

第二項可用分部積分求得，得所以

8.2.7卷積定理

若 ， ，則

證明：

令t－τ=x，t=x+τ，則

該定理使我們聯(lián)想到卷積積分求零狀態(tài)響應(yīng)的方法，利用拉氏變換也可以求零狀態(tài)響應(yīng)，如圖8.2.4所示。圖8.2.4用拉氏變換求零狀態(tài)響應(yīng)示意圖圖8.2.4中，Yf(s)是系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)；F(s)是激勵的象函數(shù)；Yf(s)與F(s)之比稱為系統(tǒng)函數(shù)，用H(s)表示，稱為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)或傳輸函數(shù)，即

8.3拉氏反變換

本節(jié)將討論求拉氏反變換的一般方法。在前面我們已得到反變換的定義式為

設(shè)有理多項式形式為

【例8.3.1】已知 ，求f(t)。

解：由于分子最高階數(shù)為1，分母最高階數(shù)為2，為真分式，所以可以直接用部分分式法，即

得分子恒等式

s=A(s+1)+B(s+2)

比較系數(shù)后建立代數(shù)方程解得

A=2，B=－1

所以

根據(jù)常見信號拉氏變換對，可直接寫出反變換式：

f(t)=(2e－2t－e－t)ε(t)

由例8.3.1可總結(jié)出部分分式法求反變換的步驟如下：

(1)判斷F(s)是否為真分式，如果不是真分式，則要先用長除法將F(s)分解為真分式。

(2)將F(s)分解為部分分式。

(3)求待定系數(shù)。

(4)根據(jù)已知拉氏變換對寫出相對應(yīng)的時域函數(shù)f(t)。在例8.3.1中，求待定系數(shù)是用比較系數(shù)法完成，根據(jù)極點的不同特點，系數(shù)有不同的求解方法。

(1)極點為實數(shù)無重根。假定p1，p2，…，pn均為實數(shù)，且無重根，例如

上式兩邊同乘以s－p1，并令s=p1，則得到

以此類推，可得到：

(2)有多重極點。假定

要求k12，k13，…，不能采用類似求k11的方法，因為這樣將導(dǎo)致分母中出現(xiàn)“0”值，為解決這一矛盾，引入

F1(s)=(s－p1)kF(s)

于是

上式兩邊微分得所以

以此類推，可得

(3)包含共軛復(fù)數(shù)極點。這種情況下，通常采用配方方法。

【例8.3.2】設(shè) ，求f(t)。

解：展開成分式為所以

【例8.3.3】求 的反變換。

解：對于二次三項式，常用配方法，即

根據(jù)常見信號的拉氏變換，可直接寫出

f(t)=(coste－3t－2sinte－3t)ε(t)=(cost－2sint)

【例8.3.4】求 的反變換。

解法一：用公式法：

其中：

k2=sF(s)|s=0=－2

令

則

于是有

解法二：

在分子恒等式中，有

As+B(s+1)s+C(s+1)2s+D(s+1)3=s－2令s=0，得D=－2；令s=－1得A=3。

將A、D代入分子恒等式得

3s+B(s+1)s+Cs(s+1)2－2(s+1)3=s－2

將等式展開，并比較系數(shù)得

C=2

B=2

即

取反變換得

8.4瞬態(tài)電路的復(fù)頻域分析法

8.4.1復(fù)頻域電路模型

1.電路基本元件的s域模型

所謂電路元件的s域模型，就是用電壓和電流的象函數(shù)表示電路元件的伏安關(guān)系。

1)電阻元件的s域模型

電阻元件在圖8.4.1(a)所示的關(guān)聯(lián)參考方向下的時域模型中，其伏安關(guān)系為

uR(t)=RiR(t)或iR(t)=GuR(t)

對以上兩式分別取拉氏變換，由線性得 UR(s)=RIR(s)或IR(s)=GUR(s)

(8.4.1)

式(8.4.1)即為電阻元件在s域的伏安關(guān)系，也稱s域的歐姆定律。因此，s域模型如圖8.4.1(b)所示。圖8.4.1電阻元件的時域和s域模型

2)電感元件的s域模型

動態(tài)元件電感在圖8.4.2(a)所示的關(guān)聯(lián)參考方向下的時域模型中，其伏安關(guān)系為

對上面兩式分別取拉氏變換，由時域微、積分性得(8.4.2)當(dāng)電感無初始儲能，即零初始狀態(tài)iL(0－)=0時，式(8.4.2)可簡化為

此時圖8.4.2(b)、(c)中的內(nèi)電壓源短路，內(nèi)電流源開路，如圖8.4.2(d)所示。(8.4.3)圖8.4.2電感元件的時域和s域模型

3)電容元件的s域模型

動態(tài)元件電容的伏安關(guān)系在圖8.4.3(a)所示的關(guān)聯(lián)參考方向下，為

對上面兩式分別取拉氏變換，由時域微、積分性質(zhì)得(8.4.4)由式(8.4.4)可分別得到電容元件串聯(lián)形式和并聯(lián)形式的s域模型分別如圖8.4.3(b)、(c)所示。

當(dāng)電容無初始儲能，即uC(0－)=0時，式(8.4.4)簡化為

此時的s域模型如圖8.4.3(d)所示。(8.4.5)圖8.4.3電容元件的時域和s域模型

2.基爾霍夫定律的s域形式

在時域中，KCL和KVL的數(shù)學(xué)表達(dá)式分別為

利用拉氏變換的線性性質(zhì)，對上式分別取拉氏變換得(8.4.6)8.4.2復(fù)頻域分析法舉例

由復(fù)頻域分析法的內(nèi)容，可歸納出復(fù)頻域分析法的解題步驟如下:

(1)求瞬態(tài)電路的初始狀態(tài)iL(0－)和uC(0－)。若初始狀態(tài)已知或只求零狀態(tài)響應(yīng)，則此步可省略。

(2)將激勵源f(t)變換成象函數(shù)F(s)。

(3)作t＞0時s域電路模型(又稱運算電路)。

(4)應(yīng)用直流電路的一般分析方法、定理和公式列寫出求解響應(yīng)Y(s)的方程式，并進(jìn)行求解。

(5)將響應(yīng)Y(s)反變換為時域響應(yīng)y(t)。復(fù)頻域分析法可以單獨求零輸入響應(yīng)(F(s)=0)、零狀態(tài)響應(yīng)(內(nèi)電源為零)，也可以一舉求得全響應(yīng)，這是因為在s域電路模型中可自動顯示出初始狀態(tài)的有無。

【例8.4.1】如圖8.4.4(a)所示，iL(0－)=0，uC(0－)=0，us(t)=20ε(t)V，用s域分析法求t＞0時的iL(t)。

解：(1)對激勵進(jìn)行拉氏變換得

(2)作電路的s域模型，如圖8.4.4(b)所示。圖8.4.4例8.4.1圖

(3)列電路方程：

移項得

(4)求反變換：

iL(t)=(5e－t－5e－5t)ε(t)A

【例8.4.2】如圖8.4.5(a)所示，求t＞0時的電壓u(t)。

解：(1)t＜0時，iL(0－)=1A，uC(0－)=1V。

(2)t＞0時，電壓源為0，s域等效電路如圖8.4.5(b)所示。圖8.4.5例8.4.2圖

(3)由疊加定理求得

(4)求反變換得

【例8.4.3】圖8.4.6所示為常用的分壓電路，若以u1(t)為輸入，u2(t)為輸出，試分析為使輸出不失真，電路元件應(yīng)滿足的條件。

圖8.4.6例8.4.3圖

解：對于零狀態(tài)電路作s域模型，如圖8.4.6(b)所示。令R1與 的等效阻抗為Z1(s)，R2與 的等效阻抗為Z2(s)，則有 本模塊小結(jié)

1.拉普拉斯變換的定義式

正變換：

反變換：

2.常見信號的拉氏變換

3.拉氏變換與傅氏變換不同的性質(zhì)

若 ，則

(1)時延性：

(2)時域微分性：

(3)時域積分性：(t0＞0)

4.拉普拉斯反變換的確定

用部分分式展開法展開真分式F(s)。

5.s域分析法的解題步驟

(1)求電路的初始狀態(tài)iL(0－)和uC(0－)。