甘肅省蘭州市蘭州第一中學(xué)2025屆高三上學(xué)期第三次診斷考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年度甘肅省蘭州第一中學(xué)高三第三次診斷考試數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘試卷總分：150分一、單選題:本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.2.己知命題p：，．則命題p的否定是（）A.， B.，C.， D.，3．設(shè)a＝，b＝ln，c＝sin，則（）A．c＜b＜aB．a(chǎn)＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b4.已知，，且，則的最小值為（）A. B. C. D.5.基本再生數(shù)與世代間隔是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)，基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間，在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計(jì)感染病例數(shù)隨時(shí)間（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率與近似滿足.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加3倍需要的時(shí)間約為（）A.1.8天 B.2.4天 C.3.0天 D.3.6天6.在△ABC中，內(nèi)角A，B，c所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列條件能確定三角形有兩解的是（）A．a(chǎn)＝5，b＝4，A＝B．a(chǎn)＝4，b＝5，A＝C．a(chǎn)＝5，b＝4，A＝D．a(chǎn)＝4，b＝5，A＝7.若存在常數(shù)，使得函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的任意值均有，則關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)稱為“準(zhǔn)奇函數(shù)”.現(xiàn)有“準(zhǔn)奇函數(shù)”對(duì)于，，則函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的和為（）A.4B.6C.7D.88.已知數(shù)列，若對(duì)任意的，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.二.多選題:本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分。9.已知且，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最大值為 B.的最大值為C.的最小值為 D.的最大值為10.將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，所得圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．若，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的最小正周期為B.的對(duì)稱中心為C.對(duì)任意的，都有D.與的公共點(diǎn)的縱坐標(biāo)為或11．對(duì)于定義域?yàn)閇0，＋∞)的函數(shù)y＝f(x)，若同時(shí)滿足下列條件：①?x∈[0，＋∞)，f(x)≥0；②?x≥0，y≥0，f(x＋y)≥f(x)＋f(y)，則稱函數(shù)f(x)為“H函數(shù)”．下列結(jié)論正確的是A．若f(x)為“H函數(shù)”，則其圖象恒過(guò)定點(diǎn)(0，0)B．函數(shù)在[0，＋∞)上是“H函數(shù)”C．函數(shù)f(x)＝[x]在[0，＋∞)上是“H函數(shù)”([x]表示不大于x的最大整數(shù))D．若f(x)為“H函數(shù)”，則f(x)一定是[0，＋∞)上的增函數(shù)三.填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知，則_______.13.已知，設(shè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為，則與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為______．已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f′(－x)＞2f(x)，且f(3)＝0，則不等式f(x)＞0的解集為.四.解答題:本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15.（13分）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．(1)若C＝2A，a＝2，b＝3，求c；(2)若a2＋b2＝c2，求證：3tanA＝2tanC．16．（15分）黨的十九大以來(lái)，恩施州深入推進(jìn)精準(zhǔn)脫貧，加大資金投入，強(qiáng)化對(duì)接幫扶，州委州政府派恩施高中到楊家莊村去考察和指導(dǎo)工作.該村較為?困的有200戶農(nóng)民，且都從事農(nóng)業(yè)種植，據(jù)了解，平均每戶的年收入為0.3萬(wàn)元.為了調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，恩施高中和楊家莊村委會(huì)決定動(dòng)員部分農(nóng)民從事白茶加工，據(jù)估計(jì)，若能動(dòng)員戶農(nóng)民從事白殺加工，則?下的繼續(xù)從事農(nóng)業(yè)種植的農(nóng)民平均每戶的年收入有望提高，而從事白殺加工的農(nóng)民平均每戶收入將為萬(wàn)元.（1）若動(dòng)員戶農(nóng)民從事白茶加工后，要使從事農(nóng)業(yè)種植的農(nóng)民的總年收入不低于動(dòng)員前從事農(nóng)業(yè)種植的農(nóng)民的總年收入，求的取值范圍；（2）在（1）的條件下，要使這200戶農(nóng)民中從事白殺加工的農(nóng)民的總收入始終不高于從事農(nóng)業(yè)種植的農(nóng)民的總收入，求的最大值.17.（15分）如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC，側(cè)面AA1C1C是菱形，∠A1AC＝60°，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2．(1)若D為A1C的中點(diǎn)，求證：AD⊥A1B；(2)求二面角A－A1C－B1的正弦值．18.（17分）橢圓的離心率是，且過(guò)點(diǎn).（1）求的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與的另一個(gè)交點(diǎn)分別是，與軸分別交于，且于點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)使得是定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)與的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19.（17分）設(shè)函數(shù)f(x)＝xlnx，g(x)＝．(1)若直線y＝x＋b是曲線f(x)的一條切線，求b的值；(2)證明：①當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g(x)f(x)＞x(x－1)；②?x＞0，g(x)－f(x)＜．(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e≈2.718)

2024-2025學(xué)年度甘肅省蘭州第一中學(xué)高三第三次診斷考試數(shù)學(xué)參考答案一、單選題:本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。題號(hào)12345678答案DACDDBBB二.多選題:本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分。題號(hào)91011答案BCABAC填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.13.（0,1）14.四.解答題:本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15.解析：（1），，則，，，，由正弦定理，可得：，則，可得，解得，則，由余弦定理，，故.（2），，，由余弦定理，①，②，①與②相除可得：，，兩邊同除以，可得.16.解析：（1）動(dòng)員戶農(nóng)民從事白茶加工后，要使從事農(nóng)業(yè)種植的農(nóng)民的總年收入不低于動(dòng)員前從事農(nóng)業(yè)種植的農(nóng)民的總年收入.則，解得.（2）由于從事白茶加工的農(nóng)民的總收入始終不高于從事農(nóng)業(yè)種植的農(nóng)民的總收入，則，化簡(jiǎn)得.由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，所以的最大值為11.17.解析：（1）∵側(cè)面是菱形，∴，∵為的中點(diǎn)，∴，∵側(cè)面底面，側(cè)面底面，，底面，∴側(cè)面，∵側(cè)面，∴，∵，∴平面，∵平面，∴.（2）取中點(diǎn)，連接，從而，又由，則，∵側(cè)面底面，側(cè)面底面，∴底面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：由已知條件和上圖可知，，，，，由題意可知，為平面的一個(gè)法向量，不妨設(shè)平面的一個(gè)法向量，因?yàn)?，，從而，令，則，，即，設(shè)二面角為，由圖可知為鈍角，從而，即，故二面角的正弦值為.18.解析：（1）因?yàn)闄E圓C：的離心率是，所以，即a=b，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P（2,1），有，聯(lián)立a=b解得，，故橢圓C的方程是．法二：因?yàn)闄E圓C：的離心率是，所以，聯(lián)立可得a=b，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P（2,1），所以，聯(lián)立a=b解得，，故橢圓C的方程是．（2）依題意，直線AB存在斜率，設(shè)直線AB方程是，聯(lián)立，消去y得，，設(shè)A（x1，y1），B(x2，y2)，則x1＋x2，x1x2，直線PA：，令x=0，得，同理，依題意知，即， ，，， ，整理得， 若，則直線AB過(guò)點(diǎn)（0,－3），令D（0,－3），則點(diǎn)Q在以PD為直徑的圓上，所以當(dāng)R為PD的中點(diǎn)，即以PD為直徑的圓的圓心時(shí)，|RQ|等于圓的半徑，故存在定點(diǎn)，使得|RQ|為定值. 19.解析：（1）由，則，設(shè)在上的切點(diǎn)為，從而，故在上的切點(diǎn)為，將代入得，，故的