湘中名校2025屆高三下學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題含解析

湘中名校2025屆高三下學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線：的左右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線上一點(diǎn)，為雙曲線C漸近線上一點(diǎn)，，均位于第一象限，且，，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．2．已知，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．3．已知雙曲線（）的漸近線方程為，則（）A． B． C． D．4．“”是“直線與互相平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知函數(shù)，將的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)保持不變；再把所得圖象向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若，則的值可能為（）A． B． C． D．6．把滿足條件（1），，（2），，使得的函數(shù)稱為“D函數(shù)”，下列函數(shù)是“D函數(shù)”的個(gè)數(shù)為（）①②③④⑤A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則的最小值為（）A． B． C． D．8．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與軸交于點(diǎn)，線段與交于點(diǎn).若，則的方程為（）A． B． C． D．9．函數(shù)的圖象大致是()A． B．C． D．10．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．11．已知等差數(shù)列的前13項(xiàng)和為52，則（）A．256 B．-256 C．32 D．-3212．的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（）A．－23 B．17 C．20 D．63二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知均為非負(fù)實(shí)數(shù)，且，則的取值范圍為______．14．的角所對(duì)的邊分別為，且，，若，則的值為__________.15．已知無(wú)蓋的圓柱形桶的容積是立方米，用來(lái)做桶底和側(cè)面的材料每平方米的價(jià)格分別為30元和20元，那么圓桶造價(jià)最低為________元.16．如圖所示，邊長(zhǎng)為1的正三角形中，點(diǎn)，分別在線段，上，將沿線段進(jìn)行翻折，得到右圖所示的圖形，翻折后的點(diǎn)在線段上，則線段的最小值為_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）2019年底，北京2022年冬奧組委會(huì)啟動(dòng)志愿者全球招募，僅一個(gè)月內(nèi)報(bào)名人數(shù)便突破60萬(wàn)，其中青年學(xué)生約有50萬(wàn)人.現(xiàn)從這50萬(wàn)青年學(xué)生志愿者中，按男女分層抽樣隨機(jī)選取20人進(jìn)行英語(yǔ)水平測(cè)試，所得成績(jī)(單位:分)統(tǒng)計(jì)結(jié)果用莖葉圖記錄如下:(Ⅰ)試估計(jì)在這50萬(wàn)青年學(xué)生志愿者中，英語(yǔ)測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的女生人數(shù);(Ⅱ)從選出的8名男生中隨機(jī)抽取2人，記其中測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)為X，求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(Ⅲ)為便于聯(lián)絡(luò)，現(xiàn)將所有的青年學(xué)生志愿者隨機(jī)分成若干組(每組人數(shù)不少于5000)，并在每組中隨機(jī)選取個(gè)人作為聯(lián)絡(luò)員，要求每組的聯(lián)絡(luò)員中至少有1人的英語(yǔ)測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的概率大于90%.根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)，以頻率作為概率，給出的最小值.(結(jié)論不要求證明)18．（12分）如圖，在中，角的對(duì)邊分別為，且滿足，線段的中點(diǎn)為.（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）已知，求的大小.19．（12分）某客戶準(zhǔn)備在家中安裝一套凈水系統(tǒng)，該系統(tǒng)為二級(jí)過濾，使用壽命為十年如圖所示兩個(gè)二級(jí)過濾器采用并聯(lián)安裝，再與一級(jí)過濾器串聯(lián)安裝.其中每一級(jí)過濾都由核心部件濾芯來(lái)實(shí)現(xiàn)在使用過程中，一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯都需要不定期更換（每個(gè)濾芯是否需要更換相互獨(dú)立）.若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)買濾芯，則一級(jí)濾芯每個(gè)160元，二級(jí)濾芯每個(gè)80元.若客戶在使用過程中單獨(dú)購(gòu)買濾芯則一級(jí)濾芯每個(gè)400元，二級(jí)濾芯每個(gè)200元.現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)買濾芯的數(shù)量，為此參考了根據(jù)100套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內(nèi)更換濾芯的相關(guān)數(shù)據(jù)制成的圖表，其中表1是根據(jù)100個(gè)一級(jí)過濾器更換的濾芯個(gè)數(shù)制成的頻數(shù)分布表，圖2是根據(jù)200個(gè)二級(jí)過濾器更換的濾芯個(gè)數(shù)制成的條形圖.表1：一級(jí)濾芯更換頻數(shù)分布表一級(jí)濾芯更換的個(gè)數(shù)89頻數(shù)6040圖2：二級(jí)濾芯更換頻數(shù)條形圖以100個(gè)一級(jí)過濾器更換濾芯的頻率代替1個(gè)一級(jí)過濾器更換濾芯發(fā)生的概率，以200個(gè)二級(jí)過濾器更換濾芯的頻率代替1個(gè)二級(jí)過濾器更換濾芯發(fā)生的概率.（1）求一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為16的概率；（2）記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的二級(jí)濾芯總數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）記分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)買的一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯的個(gè)數(shù).若，且，以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購(gòu)買各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，試確定的值.20．（12分）已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，為左頂點(diǎn)，為下頂點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，求點(diǎn)的坐標(biāo).21．（12分）已知函數(shù)，其中.（Ⅰ）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè).若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.22．（10分）新型冠狀病毒肺炎疫情發(fā)生以來(lái)，電子購(gòu)物平臺(tái)成為人們的熱門選擇.為提高市場(chǎng)銷售業(yè)績(jī)，某公司設(shè)計(jì)了一套產(chǎn)品促銷方案，并在某地區(qū)部分營(yíng)銷網(wǎng)點(diǎn)進(jìn)行試點(diǎn).運(yùn)作一年后，對(duì)“采用促銷”和“沒有采用促銷”的營(yíng)銷網(wǎng)點(diǎn)各選取了50個(gè)，對(duì)比上一年度的銷售情況，分別統(tǒng)計(jì)了它們的年銷售總額，并按年銷售總額增長(zhǎng)的百分點(diǎn)分成5組：，分別統(tǒng)計(jì)后制成如圖所示的頻率分布直方圖，并規(guī)定年銷售總額增長(zhǎng)10個(gè)百分點(diǎn)及以上的營(yíng)銷網(wǎng)點(diǎn)為“精英店”.（1）請(qǐng)你根據(jù)題中信息填充下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為“精英店與采用促銷活動(dòng)有關(guān)”；采用促銷沒有采用促銷合計(jì)精英店非精英店合計(jì)5050100（2）某“精英店”為了創(chuàng)造更大的利潤(rùn)，通過分析上一年度的售價(jià)(單位：元)和日銷量(單位：件)的一組數(shù)據(jù)后決定選擇作為回歸模型進(jìn)行擬合.具體數(shù)據(jù)如下表，表中的：①根據(jù)上表數(shù)據(jù)計(jì)算的值；②已知該公司成本為10元/件，促銷費(fèi)用平均5元/件，根據(jù)所求出的回歸模型，分析售價(jià)定為多少時(shí)日利潤(rùn)可以達(dá)到最大.附①：附②：對(duì)應(yīng)一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由雙曲線的方程的左右焦點(diǎn)分別為，為雙曲線上的一點(diǎn)，為雙曲線的漸近線上的一點(diǎn)，且都位于第一象限，且，可知為的三等分點(diǎn)，且,點(diǎn)在直線上，并且，則，，設(shè)，則，解得，即，代入雙曲線的方程可得，解得，故選D．點(diǎn)睛：本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，離心率的求法，考查了轉(zhuǎn)化思想以及運(yùn)算能力，雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范圍)．2、D【解析】

由指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)易得最小，利用作差法，結(jié)合對(duì)數(shù)換底公式及基本不等式的性質(zhì)即可比較和的大小關(guān)系，進(jìn)而得解.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知，由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知，，所以最小；而由對(duì)數(shù)換底公式化簡(jiǎn)可得由基本不等式可知，代入上式可得所以，綜上可知，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)變形，對(duì)數(shù)換底公式及基本不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，作差法比較大小，屬于中檔題.3、A【解析】

根據(jù)雙曲線方程（），確定焦點(diǎn)位置，再根據(jù)漸近線方程得到求解.【詳解】因?yàn)殡p曲線（），所以，又因?yàn)闈u近線方程為，所以，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

利用兩條直線互相平行的條件進(jìn)行判定【詳解】當(dāng)時(shí)，直線方程為與，可得兩直線平行；若直線與互相平行，則，解得，，則“”是“直線與互相平行”的充分不必要條件，故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩直線平行的條件和性質(zhì)，充分條件，必要條件的定義和判斷方法，屬于基礎(chǔ)題．5、C【解析】

利用二倍角公式與輔助角公式將函數(shù)的解析式化簡(jiǎn)，然后利用圖象變換規(guī)律得出函數(shù)的解析式為，可得函數(shù)的值域?yàn)椋Y(jié)合條件，可得出、均為函數(shù)的最大值，于是得出為函數(shù)最小正周期的整數(shù)倍，由此可得出正確選項(xiàng).【詳解】函數(shù)，將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，得的圖象；再把所得圖象向上平移個(gè)單位，得函數(shù)的圖象，易知函數(shù)的值域?yàn)?若，則且，均為函數(shù)的最大值，由，解得；其中、是三角函數(shù)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)，的值為函數(shù)的最小正周期的整數(shù)倍，且．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象變換，同時(shí)也考查了正弦型函數(shù)與周期相關(guān)的問題，解題的關(guān)鍵在于確定、均為函數(shù)的最大值，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.6、B【解析】

滿足（1）（2）的函數(shù)是偶函數(shù)且值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，分別對(duì)所給函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證.【詳解】滿足（1）（2）的函數(shù)是偶函數(shù)且值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，①不滿足（2）；②不滿足（1）；③不滿足（2）；④⑤均滿足（1）（2）.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查新定義函數(shù)的問題，涉及到函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生邏輯推理與分析能力，是一道容易題.7、C【解析】

根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，判斷出最小時(shí)的值，由此求得的最小值.【詳解】依題意，解得，所以.由解得，所以前項(xiàng)和中，前項(xiàng)的和最小，且.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式的基本量計(jì)算，考查等差數(shù)列前項(xiàng)和最值的求法，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

由題可得，所以，又，所以，得，故可得橢圓的方程.【詳解】由題可得，所以，又，所以，得，，所以橢圓的方程為.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解.9、B【解析】

根據(jù)函數(shù)表達(dá)式,把分母設(shè)為新函數(shù),首先計(jì)算函數(shù)定義域,然后求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性,對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像得到答案.【詳解】設(shè)，，則的定義域?yàn)?，當(dāng)，，單增，當(dāng)，，單減，則.則在上單增，上單減，.選B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的判斷,用到了換元的思想,簡(jiǎn)化了運(yùn)算,同學(xué)們還可以用特殊值法等方法進(jìn)行判斷.10、C【解析】

求導(dǎo)，先求出在單增，在單減，且知設(shè)，則方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，再利用一元二次方程根的分布條件列不等式組求解可得.【詳解】依題意，，令，解得，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，且，故方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，故，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查確定函數(shù)零點(diǎn)或方程根個(gè)數(shù).其方法：(1)構(gòu)造法：構(gòu)造函數(shù)(易求，可解)，轉(zhuǎn)化為確定的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題求解，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值，并確定定義區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)(或變化趨勢(shì))等，畫出的圖象草圖，數(shù)形結(jié)合求解；(2)定理法：先用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點(diǎn)值符號(hào)，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).11、A【解析】

利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)可以求得結(jié)果.【詳解】由，，得.選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的等和性應(yīng)用能快速求得結(jié)果.12、B【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，結(jié)合乘法分配律，求得的系數(shù).【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為.則①出，則出，該項(xiàng)為：；②出，則出，該項(xiàng)為：；③出，則出，該項(xiàng)為：；綜上所述：合并后的項(xiàng)的系數(shù)為17.故選：B【點(diǎn)睛】本小題考查二項(xiàng)式定理及展開式系數(shù)的求解方法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查理解能力，計(jì)算能力，分類討論和應(yīng)用意識(shí).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設(shè),可得的取值范圍,分別利用基本不等式和，把用代換,結(jié)合的取值范圍求關(guān)于的二次函數(shù)的最值即可求解.【詳解】因?yàn)?，令，則,因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以,,即,令則函數(shù)的對(duì)稱軸為,所以當(dāng)時(shí)函數(shù)有最大值為,即．當(dāng)且，即，或，時(shí)取等號(hào)；因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以,令,則函數(shù)的對(duì)稱軸為,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)有最小值為,即，當(dāng),且時(shí)取等號(hào)，所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式與二次函數(shù)求最值相結(jié)合求代數(shù)式的取值范圍;考查運(yùn)算求解能力和知識(shí)的綜合運(yùn)用能力;基本不等式:和的靈活運(yùn)用是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型、難度大型試題.14、【解析】

先利用余弦定理求出，再用正弦定理求出并把轉(zhuǎn)化為與邊有關(guān)的等式，結(jié)合可求的值.【詳解】因?yàn)?，故，因?yàn)?，所?由正弦定理可得三角形外接圓的半徑滿足，所以即.因?yàn)?，解得或（舍?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，注意結(jié)合求解目標(biāo)對(duì)所得的方程組變形整合后整體求解，本題屬于中檔題.15、【解析】

設(shè)桶的底面半徑為，用表示出桶的總造價(jià)，利用基本不等式得出最小值.【詳解】設(shè)桶的底面半徑為，高為，則，故，圓通的造價(jià)為解法一：當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).解法二：，則，令，即，解得，此函數(shù)在單調(diào)遞增；令，即，解得，此函數(shù)在上單調(diào)遞減；令，即，解得，即當(dāng)時(shí)，圓桶的造價(jià)最低.所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，注意驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

設(shè)，，在中利用正弦定理得出關(guān)于的函數(shù)，從而可得的最小值．【詳解】解：設(shè)，，則，，∴，在中，由正弦定理可得，即，∴，∴當(dāng)即時(shí)，取得最小值．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理解三角形的應(yīng)用，屬中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)萬(wàn)；(Ⅱ)分布列見解析，；(Ⅲ)【解析】

(Ⅰ)根據(jù)比例關(guān)系直接計(jì)算得到答案.(Ⅱ)的可能取值為，計(jì)算概率得到分布列，再計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.(Ⅲ)英語(yǔ)測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的概率為，故，解得答案.【詳解】(Ⅰ)樣本中女生英語(yǔ)成績(jī)?cè)诜忠陨系挠腥?，故人?shù)為：萬(wàn)人.(Ⅱ)8名男生中，測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的有人，的可能取值為：.，，.故分布列為：.(Ⅲ)英語(yǔ)測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的概率為，故，故.故的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了樣本估計(jì)總體，分布列，數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由正弦定理邊化角，再結(jié)合轉(zhuǎn)化即可求解；（Ⅱ）可設(shè)，由，再由余弦定理解得，對(duì)中，由余弦定理有，通過勾股定理逆定理可得，進(jìn)而得解【詳解】（Ⅰ）由正弦定理得.而.由以上兩式得，即.由于，所以，又由于，得.（Ⅱ）設(shè)，在中，由正弦定理有.由余弦定理有，整理得，由于，所以.在中，由余弦定理有.所以，所以.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和余弦定理的綜合運(yùn)用，屬于中檔題19、（1）0.024；（2）分布列見解析，；（3）【解析】

（1）由題意可知，若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為16，則該套凈水系統(tǒng)中一個(gè)一級(jí)過濾器需要更換8個(gè)濾芯，兩個(gè)二級(jí)過濾器均需要更換4個(gè)濾芯，而由一級(jí)濾芯更換頻數(shù)分布表和二級(jí)濾芯更換頻數(shù)條形圖可知，一級(jí)過濾器需要更換8個(gè)濾芯的概率為0.6，二級(jí)過濾器需要更換4個(gè)濾芯的概率為0.2，再由乘法原理可求出概率；（2）由二級(jí)濾芯更換頻數(shù)條形圖可知，一個(gè)二級(jí)過濾器需要更換濾芯的個(gè)數(shù)為4，5，6的概率分別為0.2，0.4，0.4，而的可能取值為8，9，10，11，12，然后求出概率，可得到的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）由，且，可知若，則，或若，則，再分別計(jì)算兩種情況下的所需總費(fèi)用的期望值比較大小即可.【詳解】（1）由題意知，若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為16，則該套凈水系統(tǒng)中一個(gè)一級(jí)過濾器需要更換8個(gè)濾芯，兩個(gè)二級(jí)過濾器均需要更換4個(gè)濾芯，設(shè)“一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為16”為事件，因?yàn)橐粋€(gè)一級(jí)過濾器需要更換8個(gè)濾芯的概率為0.6，二級(jí)過濾器需要更換4個(gè)濾芯的概率為0.2，所以.（2）由柱狀圖知，一個(gè)二級(jí)過濾器需要更換濾芯的個(gè)數(shù)為4，5，6的概率分別為0.2，0.4，0.4，由題意的可能取值為8，9，10，11，12，從而，，.所以的分布列為891011120.040.160.320.320.16（個(gè)）.或用分?jǐn)?shù)表示也可以為89101112（個(gè)）.（3）解法一：記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購(gòu)買各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用（單位：元）因?yàn)椋遥?°若，則，（元）；2°若，則，（元）.因?yàn)椋蔬x擇方案：.解法二：記分別表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購(gòu)買一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯所需費(fèi)用（單位：元）1°若，則，的分布列為128016800.60.488010800.840.16該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購(gòu)買的各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用為（元）；2°若，則，的分布列為800100012000.520.320.16（元）.因?yàn)樗赃x擇方案：.【點(diǎn)睛】此題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，考查古典概型，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.20、（1）；（2）【解析】

（1）由題意得，求出，進(jìn)而可得到橢圓的方程；（2）由（1）知點(diǎn)，坐標(biāo)，設(shè)直線的方程為，易知，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，聯(lián)立方程，得到關(guān)于的一元二次方程，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系，可用表示的坐標(biāo)，進(jìn)而由三點(diǎn)共線，即，可用表示的坐標(biāo)，再結(jié)合，可建立方程，從而求出的值，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）由題意得，解得，所以橢圓的方程為.（2）由（1）知點(diǎn)，，由題意可設(shè)直線的斜率為，則，所以直線的方程為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，聯(lián)立方程，消去得：.設(shè)，則，所以，所以，所以.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)三點(diǎn)共線，所以，即，所以，所以.因?yàn)?，所以，即，所以，解得，又，所以符合題意，計(jì)算可得，，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查平行線的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于難題.21、（Ⅰ）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）求出函數(shù)的定義域以及導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）由題意可知在上恒成立，分和兩種情況討論，在時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明出在上恒成立；在時(shí)，經(jīng)過分析得出，然