新教材適用2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步8.4空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系8.4.1平面素養(yǎng)作業(yè)新人教A版必修第二冊(cè)

第8章8.48.4.1A組·素養(yǎng)自測(cè)一、選擇題1．下列說法正確的是(B)①一條直線上有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)，則這條直線上全部的點(diǎn)在這平面內(nèi)；②一條直線上有兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，則這條直線在這個(gè)平面內(nèi)；③若線段AB?α，則線段AB延長(zhǎng)線上的任何一點(diǎn)必在平面α內(nèi)；④一條射線上有兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，則這條射線上全部的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)．A．①②③ B．②③④C．③④ D．②③[解析]若一條直線上有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)，則這條直線在平面內(nèi)或直線與平面相交，故①不正確；一條直線上有兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，則這條直線在這個(gè)平面內(nèi)，故②正確；若線段AB?α，則A，B∈α，所以直線AB?α，則線段AB延長(zhǎng)線上的任何一點(diǎn)必在平面α內(nèi)，故③正確；一條射線上有兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，則這條射線在平面上，故射線上全部的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)，故④正確．故選B.2．(多選題)有下列四個(gè)命題，其中假命題的為(ABD)A．假如兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合B．兩條直線可以確定一個(gè)平面C．若M∈α，M∈β，α∩β＝l，則M∈lD．空間中，相交于同一點(diǎn)的三條直線在同一個(gè)平面內(nèi)[解析]假如兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，這兩個(gè)平面重合，故A錯(cuò)誤；兩條直線可以確定一個(gè)平面也可以異面，故B錯(cuò)誤；若M∈α，M∈β，α∩β＝l，則M∈l(由基本性質(zhì)3可得)，故C正確；空間中，相交于同一點(diǎn)的三條直線可能在同一平面內(nèi)，也可能不在同一平面內(nèi)，故D錯(cuò)誤．故選ABD.3．給出下列命題(設(shè)α，β表示平面，l表示直線，A，B，C表示點(diǎn))，其中真命題有(C)①若A∈l，A∈α，B∈α，B∈l，則l?α；②A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，則α∩β＝AB；③若l?α，A∈l，則A?α；④若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線，則α與β重合．A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)[解析]在①中，若A∈l，A∈α，B∈α，B∈l，則由基本領(lǐng)實(shí)1知l?α，故①正確；在②中，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，則由基本領(lǐng)實(shí)3知a∩β＝AB，故②正確；在③中，若l?α，A∈l，則A?α或A∈α，故③錯(cuò)誤；在④中，若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線，則由基本領(lǐng)實(shí)2得α與β重合，故④正確．故選C.4．三條兩兩平行的直線可以確定平面的個(gè)數(shù)為(D)A．0 B．1C．0或1 D．1或3[解析]當(dāng)三條直線是同一平面內(nèi)的平行直線時(shí)，確定一個(gè)平面，當(dāng)三條直線是三棱柱側(cè)棱所在的直線時(shí)，確定三個(gè)平面．5．如圖，平面α∩平面β＝l，A，B∈α，C∈β，C?l，直線AB∩l＝D(點(diǎn)D不同于A，B，C)，過A，B，C三點(diǎn)確定的平面為γ，則平面γ，β的交線必過(D)A．點(diǎn)AB．點(diǎn)BC．點(diǎn)C，但不過點(diǎn)DD．點(diǎn)C和點(diǎn)D[解析]對(duì)于AB，假設(shè)A∈β，又A∈α，則A∈(α∩β)，又α∩β＝l，所以A∈l，又A∈AB，所以A∈AB∩l，與AB∩l＝D沖突，則A?β，即平面γ，β的交線不過點(diǎn)A，故A錯(cuò)誤，同理，B錯(cuò)誤；對(duì)于CD，因?yàn)镃∈β，C∈γ，D∈l?β，D∈AB?γ，所以C∈β∩γ，D∈β∩γ，即點(diǎn)C，D在β與γ的交線上，故C錯(cuò)誤，D正確．故選D.二、填空題6．已知α，β為不重合的兩個(gè)平面，A，B，M，N為空間中不同的四個(gè)點(diǎn)，a為直線，則下列推理正確的是_①②__.(填序號(hào))①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?β；②M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MN；③A∈α，A∈β?α∩β＝A.[解析]對(duì)于①，A∈a，A∈β，B∈a，B∈β，由基本領(lǐng)實(shí)：假如一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)，可知a?β，故①正確；對(duì)于②，由M∈α，N∈α，可知MN?α，同理，MN?β，所以α∩β＝MN，故②正確；對(duì)于③，若A∈α，A∈β，則A∈(α∩β)，由基本領(lǐng)實(shí)：假如兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線，可知α∩β是經(jīng)過點(diǎn)A的一條直線而不是點(diǎn)A，故③不正確．故答案為①②.7．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列說法正確的是(2)(3)(4)(填序號(hào))．(1)直線AC1在平面CC1B1B內(nèi)．(2)設(shè)正方形ABCD與A1B1C1D1的中心分別為O、O1，則平面AA1C1C與平面BB1D1D的交線為OO1.(3)由A、C1、B1確定的平面是ADC1B1.(4)由A、C1、B1確定的平面與由A、C1、D確定的平面是同一個(gè)平面．[解析](1)錯(cuò)誤．如圖所示，點(diǎn)A?平面CC1B1B，所以直線AC1?平面CC1B1B.(2)正確．如圖所示．因?yàn)镺∈直線AC?平面AA1C1C，O∈直線BD?平面BB1D1D，O1∈直線A1C1?平面AA1C1C，O1∈直線B1D1?平面BB1D1D，所以平面AA1C1C與平面BB1D1D的交線為OO1.(3)(4)都正確，因?yàn)锳D∥B1C1且AD＝B1C1，所以四邊形AB1C1D是平行四邊形，所以A，B1，C1，D共面．8．若直線l與平面α相交于點(diǎn)O，A、B∈l，C、D∈α，且AC∥BD，則O、C、D三點(diǎn)的位置關(guān)系是_共線__.[解析]∵AC∥BD，∴AC與BD確定一個(gè)平面，記作平面β，則α∩β＝直線CD.∵l∩α＝O，∴O∈α.又∵O∈AB?β，∴O∈直線CD，∴O、C、D三點(diǎn)共線．三、解答題9．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是B1C1和C1D1的中點(diǎn)．證明：E，F(xiàn)，D，B四點(diǎn)共面．[證明]如圖，連接EF，BD，B1D1.∵EF是△B1C1D1的中位線，∴EF∥B1D1.∵BB1與DD1平行且相等，∴四邊形BDD1B1是平行四邊形，∴BD∥B1D1，∴EF∥BD，∴E，F(xiàn)，D，B四點(diǎn)共面．10.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn)，求證：(1)E、C、D1、F、四點(diǎn)共面；(2)CE、D1F、DA三線共點(diǎn)．[證明](1)分別連接EF、A1B、D1C，∵E、F分別是AB和AA1的中點(diǎn)，∴EF∥A1B且EF＝eq\f(1,2)A1B.又∵A1D1綉B(tài)1C1綉B(tài)C，∴四邊形A1D1CB是平行四邊形，∴A1B∥CD1，從而EF∥CD1.EF與CD1確定一個(gè)平面．∴E、F、D1、C四點(diǎn)共面．(2)∵EF綉eq\f(1,2)CD1，∴直線D1F和CE必相交．設(shè)D1F∩CE＝P，∵D1F?平面AA1D1D，P∈D1F，∴P∈平面AA1D1D.又CE?平面ABCD，P∈EC，∴P∈平面ABCD，即P是平面ABCD與平面AA1D1D的公共點(diǎn)．而平面ABCD∩平面AA1D1D＝直線AD，∴P∈直線AD(基本領(lǐng)實(shí)3)，∴直線CE、D1F、DA三線共點(diǎn)．B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．設(shè)P表示一個(gè)點(diǎn)，a、b表示兩條直線，α、β表示兩個(gè)平面，給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論是(D)①P∈a，P∈α?a?α②a∩b＝P，b?β?a?β③a∥b，a?α，P∈b，P∈α?b?α④α∩β＝b，P∈α，P∈β?P∈bA．①② B．②③C．①④ D．③④[解析]當(dāng)a∩α＝P時(shí)，P∈a，P∈α，但a?α，∴①錯(cuò)；a∩β＝P時(shí)，②錯(cuò)；如圖∵a∥b，P∈b，∴P?a，∴由直線a與點(diǎn)P確定唯一平面α，又a∥b，由a與b確定唯一平面β，但β經(jīng)過直線a與點(diǎn)P，∴β與α重合，∴b?α，故③正確；兩個(gè)平面的公共點(diǎn)必在其交線上，故④正確，選D.2．(多選題)下列各圖均是正六棱柱，P、Q、R、S分別是所在棱的中點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)共面的圖形是(ABC)[解析]在選項(xiàng)A、B、C中，由棱柱、正六邊形、中位線的性質(zhì)，知均有PS∥QR，即在此三個(gè)圖形中P、Q、R、S共面，故選ABC.3．(多選題)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，若E，F(xiàn)，G分別為棱BC，CC1，B1C1的中點(diǎn)，O1，O2分別是四邊形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，則(ACD)A．A，C，O1，D1四點(diǎn)共面B．D，E，G，F(xiàn)四點(diǎn)共面C．A，E，F(xiàn)，D1四點(diǎn)共面D．G，E，O1，O2四點(diǎn)共面[解析]因?yàn)檎襟wABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為棱BC，CC1，B1C1的中點(diǎn)，O1，O2分別為四邊形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，所以O(shè)1是AD1的中點(diǎn)，所以O(shè)1在平面ACD1內(nèi)，故A正確；因?yàn)镋，G，F(xiàn)在平面BCC1B1內(nèi)，D不在平面BCC1B1內(nèi)，所以D，E，G，F(xiàn)四點(diǎn)不共面，故B錯(cuò)誤；由已知可知EF∥AD1，所以A，E，F(xiàn)，D1四點(diǎn)共面，故C正確；連接GO2并延長(zhǎng)，交A1D1于H，則H為A1D1的中點(diǎn)，連接HO1，則HO1∥GE，所以G，E，O1，O2四點(diǎn)共面，故D正確．二、填空題4．已知α、β是不同的平面，l、m、n是不同的直線，P為空間中一點(diǎn)．若α∩β＝l，m?α、n?β、m∩n＝P，則點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系用符號(hào)表示為_P∈l__.[解析]因?yàn)閙?α，n?β，m∩n＝P，所以P∈α且P∈β.又α∩β＝l，所以點(diǎn)P在直線l上，所以P∈l.5．給出以下結(jié)論：①和一條直線都相交的兩條直線在同一平面內(nèi)；②三條兩兩相交的直線在同一平面內(nèi)；③有三個(gè)不同公共點(diǎn)的兩個(gè)平面重合；④兩兩平行的三條直線確定三個(gè)平面．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是_0__.[解析]如圖所示，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，AD與A′B′都與直線AA′相交，但是直線AD與A′B′不在同一平面內(nèi)，故①錯(cuò)誤；在正方體ABCD－A′B′C′D′中，直線AB，AD，AA′兩兩相交，但是這三條直線不在同一平面內(nèi)，故②錯(cuò)誤；當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，兩個(gè)平面可有多數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，只有當(dāng)兩個(gè)平面有三個(gè)不共線的公共點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)平面才重合，故③錯(cuò)誤；兩兩平行的三條直線也可能在同一平面內(nèi)，故④錯(cuò)誤．綜上可知，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是0.三、解答題6．已知三條直線a，b，c相交于同一點(diǎn)O，直線d與它們分別相交于點(diǎn)A，B，C，(異于O點(diǎn))，求證：a，b，c，d四條直線在同一個(gè)平面內(nèi)．[證明]依題意O?d，設(shè)點(diǎn)O及直線d確定一個(gè)平面，記為α.∵A∈d，d?α，∴A∈α，又a∩d＝A，∴A∈a，又O∈a，O∈α，則a?α，同理可證，b?α，c?α，所以a，b，c，d四條直線在同一個(gè)平面內(nèi)．C組·探究創(chuàng)新如圖所示，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是AA1，D1C1的中點(diǎn)，過D，M，N三點(diǎn)的平