大學(xué)物理上的答案

習(xí)題解答

習(xí)題一

IArI與zk有無不同？粉和黑有無不同？

1-1有無不同？其不同在哪里?

試舉例說明.

解：⑴加|是位移的模，是位矢的模的增量,即加閆弓一相4=|可一同;

ds

是速度的模，即

~dt

上只是速度在徑向上的分量.

dr

,.有f(式中叫做單位矢)，貝哈d；

3

式中空就是速度徑向上的分量,

dr

.史與上不同如題1-1圖所示.

,*d7dr

/\dv七一4,玨*如即同二半

(3)一表不加速度的模,一是加速度。在切向上的分量.

drd/

,?,有u=v六〒表軌道節(jié)線方向單位矢)，所以

dvdu_dr

—=—T+V——

d/d/d/

式中心就是加速度的切向分量.

dt

(?.?一與一的運(yùn)算較復(fù)雜，超出教材規(guī)定，故不予討論)

d/d/

1-2設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為x=x(/),)，=y(f),在計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度時(shí)，有人先求

l]]r=Jx2+y2,然后根據(jù)v=—,及。=直工而求得結(jié)果：又有人先計(jì)算速度和加速度

drdf-

的分量，再合成求得結(jié)果，即

你認(rèn)為兩種方法哪一種

正確？為什么？兩者差別何在？

解：后i種方法正確.因?yàn)樗俣扰c加速度都是矢量，在平面直角坐標(biāo)系中，有尸二點(diǎn)十

_drdr；dv-

/.v=—=—I+—;

drdrdr

_d2rd2Xvd2j

a=--=--i+-j

dfdrdt~

故它們的模即為

而前一種方法的錯(cuò)誤可能有兩點(diǎn)，其一是概念上的錯(cuò)誤，即誤把速度、加速度定義作

drd2r

v=-a=-r

其二，可能是將上與g二誤作速度與加速度的模。在IT題中已說明上不是速度的模，

drd廠（1/

d2r

而只是速度在徑向上的分量，同樣，一r也不是加速度的模，它只是加速度在徑向分量中

dr2

j2

的一部分=—r-r—?；蛘吒爬ㄐ缘卣f，前一種方法只考慮了位矢尸在徑向（即

d廣【山人

量值）方面隨時(shí)間的變化率，而沒有考慮位矢尸及速度V的方向隨間的變化率對(duì)速度、加速

度的貢獻(xiàn)。

1-3一質(zhì)點(diǎn)在X。）；平面上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為

x=3r+5,y=—r2+3r-4.

2

式中，以s計(jì)，x,y以m計(jì).（1）以時(shí)間f為變量，寫出質(zhì)點(diǎn)位置矢量的表示式；（2）求出，=1

s時(shí)刻和，=2s時(shí)刻的位置矢量，計(jì)算這1秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移；（3）計(jì)算f=0s時(shí)刻到，=4s

時(shí)刻內(nèi)的平均速度；（4）求出質(zhì)點(diǎn)速度矢量表示式，計(jì)算/=4s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度；（5）計(jì)算，=

0s至ljf=4s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均加速度；（6）求出質(zhì)點(diǎn)加速度矢最的表示式，計(jì)算/=4s時(shí)質(zhì)點(diǎn)

的加速度（請(qǐng)把位置矢量、位移、平均速度、瞬時(shí)速度、平均加速度、瞬時(shí)加速度都表示成

直角坐標(biāo)系中的矢量式）.

解：（1）F=（3f+5?+（g產(chǎn)+3，-4?m

（2）將，=1,，=2代入上式即有

斤=87一0.5,m

G=11/+4/m

\r=r2-rx=3j+4.5jm

(3)???^=57-47^=1774-16；

(5)Vv0=3F+3j,v4=3Z+7j

(6)^=—=1/ms-2

dr

這說明該點(diǎn)只有)，方向的加速度，且為恒量。

1-4在面水面高h(yuǎn)米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，船在離岸S處，如題1-4圖所示.當(dāng)人以

%(m?的速率收繩時(shí)，試求船運(yùn)動(dòng)的速度和加速度的大小.

圖1-4

解：設(shè)人到船之間繩的長度為/,此時(shí)繩與水面成夕角，由圖可知

I2=h2+s2

將上式對(duì)時(shí)間，求導(dǎo)，得

_.d/_ds

2/—=25—

drdr

2

故v=4r+-r

2

Hr7

又因?yàn)閥=—=4r+-f2

dr2

分離變量，dA-=(4/+-/2)d/

2

積分得X=212+J_〃+

2■

由題知￡=0,勺=5,c2=5

故x=2t2+-t3+5

2

所以，=10s時(shí)

-1

vl0=4xl0+-xl0-=190ms

23

x10=2xl()-b-J-xlO十5=705r

102

1-7一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為Im的圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為夕=2+3〃，8式中以弧度計(jì)，，以杪計(jì),

求：（1）r=2s時(shí),質(zhì)點(diǎn)的切向和法向加速度；（2）當(dāng)加速度的方向和半徑成45°角時(shí)，

其角位移是多少？

解：

⑴，=2s時(shí)，a,-R/3=1x18x2=36m-s~2

22-2

an=R〃=1X(9X2)=1296m-s

(2)當(dāng)加速度方向與半徑成450角時(shí)，有

tan45。=幺=1

a

,t

即RM2=Rfl

亦即(9產(chǎn)y=18，

?

則解得t3=-

9

于是角位移為

7

。=2+3/=2+3x—=2.67rad

9

1-8質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周按S=-5Z7廣的規(guī)律運(yùn)動(dòng)，式中S為質(zhì)點(diǎn)離圓周上某點(diǎn)的弧

長，VO,匕都是常量，求：⑴，時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的加速度；(2)，為何值時(shí)，加速度在數(shù)值上等于人

解：(1)v=-=v-bt

dr()

duA

a=——=-b

rdr

v2(v-ht)2

a?=—=--0------

"RR

則”而小巧五科

加速度與半徑的夾角為

a-Rb

(P=arctan—=--------

%(%-加)"

(2)由題意應(yīng)有

a圭工

VR2

即b2=一+"'。一4)4,=(%-4)4=0

R~

?二當(dāng)T=幺時(shí)，a—b

b

1-9半徑為R的輪子，以勻速％沿水平線向前滾動(dòng)：(1)證明輪緣上任意點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)方程為

x=R(cot-s\ncot),y=R(l-costyr),式中3=%/R是輪子滾動(dòng)的角速度，當(dāng)B與

水平線接觸的瞬間開始計(jì)時(shí).此時(shí)3所在的位置為原點(diǎn)，輪子前進(jìn)方向?yàn)楣ぽS正方向；(2)

求B點(diǎn)速度和加速度的分量表示式.

解：依題意作出下圖,由圖可知

CD.eo

x-v0r-2/<sin—cos—

=vor-RsinO

=R((ot-Rsincot)

y=2/?sin—sin—

22

=R（1-cos。）=R（\-coscot）

（2）

-dA--=R〃）（l-cos〃才）

dr心

.

-一

山=Asin①7）

2.dv

a=Rco~sincot=--

rxdr

,dvv

a=R"coscot=--

vdr

1-10以初速度%=20m-sT拋出一小球，拋出方向與水平面成幔60°的夾角,

求：（1）球軌道最高點(diǎn)的曲率半徑與；（2）落地處的曲率半徑R”

（提示：利用曲率半徑與法向加速度之間的關(guān)系）

解：設(shè)小球所作拋物線軌道如題1-10圖所示.

題1-10圖

(1)在最高點(diǎn)，

匕=vx=匕)cos60"

%=g=1°ms/

v.2(20xcos600)2

二王=10

%

=10m

(2)在落地點(diǎn),

-1

v2=v()=20m-s,

而

an=￡XCOS60°

g二(20)2

=8()m

an10xcos60°

1-11飛輪半徑為0.4m,自靜止啟動(dòng)，其角加速度為萬=0.2rad?s_2,求f=2s時(shí)邊緣

上各點(diǎn)的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度.

解：當(dāng)/=2s時(shí)，co=fit=0.2x2=04rads-1

則u==0.4x0.4=0.16m-s-1

%=Rd=0.4x(CM)?=0(J64ms"

2

ar=R/3=0.4x0.2=0.08m-s-

a=加+姆=7(0.064)2+(0.08)2=0.102ms-2

1-12如題1T2圖，物體4以相對(duì)8的速度u=J語沿斜面滑動(dòng)，)，為縱坐標(biāo)，開始時(shí)

A在斜面頂端高為力處，8物體以，，勻速向右運(yùn)動(dòng)，求A物滑到地面時(shí)的速度.

解：當(dāng)滑至斜面底時(shí)，)，=〃，則以=J防，A物運(yùn)動(dòng)過程中又受到3的牽連運(yùn)動(dòng)影響,

因此，A對(duì)地的速度為

%也二〃+邑

=(M+，2g〃cosa)i+(J2g〃sina)j

1-13一船以速率匕=30km-h】沿直線向東行駛，另一小艇在其前方以速率%=40km-h

沿直線向北行駛，問在船上看小妣的速度為何?在艇上看船的速度又為何？

解：(1)大船看小艇，則有。2i=%-G，依題意作速度矢量圖如題1T3圖(a)

u3

方向北偏西0=arctan—=arctan—=36.87°

Z4

(2)小船看大船，則有匕2=%-%，依題意作出速度矢量圖如題1T3圖(b),同上法，得

vl2=50km-h

方向南偏東36.87°

1-14當(dāng)一輪船在雨中航行時(shí)，它的雨篷遮著篷的垂直投影后2m的甲板上，篷高4m但當(dāng)

輪船停航時(shí)，甲板上干濕兩部分的分界線卻在篷前3m,如雨滴的速度大小為8m?s\求

輪船的速率.

解?：依題意作出矢量圖如題1-14所示.

題1-14圖

"南船=’雨一”船

仇雨=D雨船+/船

由圖中比例關(guān)系可知

口船=u雨二8m-s”

習(xí)題二

3-1慣性系S'相對(duì)慣性系S以速度〃運(yùn)動(dòng).當(dāng)它們的坐標(biāo)原點(diǎn)。與。'重合時(shí)，，=/'=(),發(fā)

出一光波，此后兩慣性系的觀測(cè)者觀測(cè)該光波的波陣面形狀如何?用直角坐標(biāo)系寫出各自觀

測(cè)的波陣面的方程.

解：由于時(shí)間和空間都是均勻的，根據(jù)光速不變?cè)?，光訊?hào)為球面波.波陣面方程為：

x2+y2+z2=(cr)2

一|y，2?,2=(4)2

3-2設(shè)圖3-4中車廂上觀測(cè)者測(cè)得前后門距離為2/.試用洛侖茲變換計(jì)算地面上的觀測(cè)者測(cè)

到同一光信號(hào)到達(dá)前、后門的時(shí)間差.

解：設(shè)光訊號(hào)到達(dá)前門為事件1，在車廂(S')系時(shí)空坐標(biāo)為(4/)=(/,/),在車站(S)系:

C

,,〃八J"八M八〃、

F]=/(乙+—)=/(-+—/)=-(!+-)

CCCCC

光信號(hào)到達(dá)后門為事件2,則在車廂(S')系坐標(biāo)為(只/：)=(—/,)，在車站(S)系：

C

G=/(4+-^-X2)=—(1--)

C~CC

于是t,f=-2%

-c2

或者△，'=(),△，=A-2，?'=X；-后=2/

加=y("+=.')=八=2/)

c~c~

3-3慣性系S'相對(duì)另?慣性系S沿x軸作勻速直線運(yùn)動(dòng)，取兩坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí)刻作為計(jì)

時(shí)起點(diǎn).在S系中測(cè)得兩事件的時(shí)空坐標(biāo)分別為七;6X1D%,4=2X10%,以及％=12X

4

10'm,Z2=1X10-S.已知在S'系中測(cè)得該兩事件同時(shí)發(fā)生.試問：(l)S'系相對(duì)S系的速度

是多少？(2)S'系中測(cè)得的兩事件的空間間隔是多少？

解：設(shè)(S')相對(duì)S的速度為u,

⑴，；二/&-！1)

C

?2)

C

由題意4r=。

則GT|二不（%27。

C

故v=c2———=--=-1.5x10xms-1

尤2_X12

(2)由洛侖茲變換X；=7區(qū)-%)，吊=7(%2-%)

代入數(shù)值，x；-X=5.2xl()4m

3-4長度，o=1m的米尺靜止于S'系中，與/軸的夾隹夕=30°,S'系相對(duì)S系沿x軸運(yùn)

動(dòng)，在S系中觀測(cè)者測(cè)得米尺與x軸夾角為0=45°.試求：(l)S'系和S系的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速

度.(2)S系中測(cè)得的米尺長度.

解：(D米尺相對(duì)S'靜止，它在￡,)，'軸上的投影分別為：

L'x=Locos。'=0.866m,L'y=LosinO'=0.5m

米尺相對(duì)S沿x方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)速度為八對(duì)S系中的觀察者測(cè)得米尺在工方向收縮，而)，方

向的長度不變，即

把。=45°及乙，么代入

L

(2)在S系中測(cè)得米尺長度為L=——=0.707m

sin45°

3-5一門寬為。，今有一同有長度/°(/o>4)的水平細(xì)桿，在門外貼近門的平面內(nèi)沿其長度

方向勻速運(yùn)動(dòng).若站在門外的觀察者認(rèn)為此桿的兩端可同時(shí)被拉進(jìn)此門，則該桿相對(duì)于門的

運(yùn)動(dòng)速率”至少為多少？

2

解：門外觀測(cè)者測(cè)得桿長為運(yùn)動(dòng)長度，/=/0Jl-(-),當(dāng)14。時(shí)，可認(rèn)為能被拉近門，

解得桿的運(yùn)動(dòng)速率至少為：〃=c2

一二。-4*~*

題3-6圖

3-6兩個(gè)慣性系中的觀察者O和O'以0.6c(c表示直空中光速)的相對(duì)速度相互接近，如果O

測(cè)得兩者的初始距離是20m,則。'測(cè)得兩者經(jīng)過多少時(shí)間相遇？

解：O測(cè)得相遇時(shí)間為&

420

AAr=—=-----

v0.6c

O,測(cè)得的是固有時(shí)

??△/=——=----------

yv

=8.89x10一&s,

V

0=—=0.6,

c

1

/=——,

0.8

或者，。'測(cè)得長度收縮，

22

L=Lj\-P=￡O71-0.6=O.8L0H，

v

-0.8L。0.8x20=8.89x10-8§

0.6c-0.6x3xl08

3-7觀測(cè)者甲乙分別靜止于兩個(gè)慣性參考系S和S'中，甲測(cè)得在同一地點(diǎn)發(fā)生的兩事，'牛的

時(shí)間間隔為4s,而乙測(cè)得這兩個(gè)事件的時(shí)間間隔為5s.求：

(1)S'相對(duì)于S的運(yùn)動(dòng)速度.

(2)乙測(cè)得這兩個(gè)事件發(fā)生的地點(diǎn)間的距離.

解：甲測(cè)得力=4義/1丫=0,乙測(cè)得/V=Ss,坐標(biāo)差為Ax'=g-X'

⑴，

解出

=1.8x108m-s-1

⑵A/=/（Av-vAr）,/=—=—,zlr=O

△/4

53

Ax'=一修4=一丁/'4=-3c=-9x108m

負(fù)號(hào)表示E-x<0.

3-8?宇航員要到離地球?yàn)?光年的星球去旅行.如果宇航員希望把這路程縮短為3光年，則

他所乘的火箭相對(duì)于地球的速度是多少？

解：F=3=lo1l-02=5』_12,則■|="1一夕2

3-9論證以下結(jié)論：在某個(gè)慣性系中有兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生在不同地點(diǎn)，在有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的其他

慣性系中，這兩個(gè)事件一定不同時(shí).

證：設(shè)在S系A(chǔ)、B事件在。力處同時(shí)發(fā)生，則=在S'系中測(cè)得

c

A/=(),Atw(),

???W+0

即不同時(shí)發(fā)生.

3-10試證明：

(I)如果兩個(gè)事件在某慣性系中是同一地點(diǎn)發(fā)生的，則對(duì)一切慣性系來說這兩個(gè)事件的時(shí)

間間隔，只有在此慣性系中最短.

(2)如果兩個(gè)事件在某慣性系中是同時(shí)發(fā)生的，則對(duì)一切慣性關(guān)系來說這兩個(gè)事件的空間

間隔，只有在此慣性系中最短.

解：(1)如果在S'系中，兩事件A、3在同一地點(diǎn)發(fā)生，則Ar'=O,在S系中，

X=、僅當(dāng)口=0時(shí)，等式成立，，Ar'最短.

(2)若在S'系中同時(shí)發(fā)生，即△/=(),則在S系中，8=加'之Ar',僅當(dāng)y=0時(shí)等式

成立，???S'系中AZ最短.

3-11根據(jù)天文觀測(cè)和推算，宇宙正在膨脹，太空中的天體都遠(yuǎn)離我們而去.假定地球上觀

察到一顆脈沖星(發(fā)出周期無線電波的星)的脈沖周期為0.50s,且這顆星正沿觀察方向以速

度0.8c離我們而去.問這顆星的固有周期為多少？

解?：以脈沖星為S'系，△/=(),固有周期加'=地球?yàn)镾系，則有運(yùn)動(dòng)時(shí)加|二處，,

這里△。不是地球上某點(diǎn)觀測(cè)到的周期，而是以地球?yàn)閰⒖枷档膬僧惖冂娮x數(shù)之差.還要考

慮因飛行遠(yuǎn)離信號(hào)的傳遞時(shí)間，咆1

C

A4VAAA,V.

Z=2\+——-=y\t+一心A/

c

v

心'(1+—)

c

1

/=而

A，△/0.5

則r=A/=-------+----

00.8c、

2(1+-)(1+一)/

cc

().5().3

---------=—=0.1666s

(1+0.8)—1,8

0.6

3-126000m的高空大氣層中產(chǎn)生了一個(gè)乃介子以速度y=0.998c飛向地球.假定該乃介子

在其自身靜止系中的壽命等于其平均壽命2X10%.試分別從下面兩個(gè)角度，即地球上的觀

測(cè)者和乃介子靜止系中觀測(cè)者來判斷不介子能否到達(dá)地球.

解：萬介子在其自身靜止系中的壽命/乙）=2x10"6s是固有（本征）時(shí)間，對(duì)地球觀測(cè)者,

由于時(shí)間膨脹效應(yīng)，其壽命延長了.衰變前經(jīng)歷的時(shí)間為

=3.16x10-5s

這段時(shí)間飛行距離為4=vAt=9470m

因d>6000m,故該乃介子能到達(dá)地球.

或在乃介子靜止系中，乃介子是靜止的.地球則以速度u接近介子，在△九時(shí)間內(nèi)，地球接

近的距離為/==599m

4=6000m經(jīng)洛侖茲收縮后的值為：

塌=%1-彳=379m

d'＞媼,故乃介子能到達(dá)地球.

3-13設(shè)物體相對(duì)S，系沿/軸正向以0.8c運(yùn)動(dòng)，如果S，系相對(duì)S系沿x軸正向的速度也是

0.8c,問物體相對(duì)S系的速度是多少？

解：根據(jù)速度合成定理，〃=0.8。，q=0.8。

v+u0.8c+0.8c

人—

匕==0.98c

UV0.8cx0.8c

i1+rxi1+

3-14飛船A以0.8c的速度相對(duì)地球向正東飛行，飛船B以0.6c的速度相對(duì)地球向正西方向

飛行.當(dāng)兩飛船即將相遇時(shí)A飛船在自己的天窗處相隔2s發(fā)射兩顆信號(hào)彈.在B飛船為觀

測(cè)者測(cè)得兩顆信號(hào)彈相隔的時(shí)間間隔為多少？

解：取8為S系，地球?yàn)镾'系，自西向東為x(/)軸正句，則A對(duì)S'系的速度q=0.8c,

S'系對(duì)S系的速度為U=0.6C,則A對(duì)S系(8船)的速度為

v'+u0.8。+0.6。

v=———=---------=0.946c

xr,wvr1+0.48

[+寸

c~

發(fā)射彈是從A的同一點(diǎn)發(fā)出，其時(shí)間間隔為固有時(shí)』/'=2s,

y

s'2

打I$系

—*--1-------^東

地球丁’

題3-14圖

???B中測(cè)得的時(shí)間間隔為：

At'2

At=/.==6.17s

I」；V1-0.9462

3-15(1)火箭A和3分別以0.8c和0.6c的速度相對(duì)地球向+x和-X方向飛行.試求由火箭

8測(cè)得A的速度.(2)若火箭A相對(duì)地球以0.8c的速度向+y方向運(yùn)動(dòng)，火箭8的速度不變,

求A相對(duì)8的速度.

解：(1)如圖取地球?yàn)镾系，B為S'系,則S'相對(duì)S的速度〃=0.6c,火箭A相對(duì)S

的速度ur=0.8c,則A相對(duì)S'(8)的速度為:

V-u0.8c—(—0.6c,i

=0.946c

<=(-0.6c)(0.8c)

-2-

或者取A為S'系，則〃=0.8c,8相對(duì)S系的速度心=-0.6c,于是B相對(duì)A的速度為:

,v-w-0.6c-0.8c八eg

v=——v--------=----------------------=—0.946c

x.u,(0.8c)(-0.6c)

1--f叭1-------2----------

cc

⑵如圖人，取地球?yàn)?系，火箭8為S'系，S'系相對(duì)S系沿-X方向運(yùn)動(dòng)，速度

u=-0.6c,A對(duì)S系的速度為，vr=0,vv=0.8c,由洛侖茲變換式A相對(duì)8的速度為:

^=0_(_0.6c)=0.6,

匕=2kz

u1-0

--------V

C?x

???A相對(duì)B的速度大小為

/=Ju?+曰2=0.88c

速度與￡軸的夾角0'為

tan。'=2=1.07

8=46.8°

0.8c0.6c

O----O

AB

地球“

(a)

題3-15圖

3-16靜止在S系中的觀測(cè)者測(cè)得一光子沿與工軸成60。角的方向飛行.另一觀測(cè)者靜止于

S'系，S'系的V軸與x軸一致，并以0.6c的速度沿x方向運(yùn)動(dòng).試問S'系中的觀測(cè)者觀

測(cè)到的光子運(yùn)動(dòng)方向如何？

解：S系中光了運(yùn)動(dòng)速度的分量為

匕=ccos60°=0.500c

vy=csin6(f=0.866c

由速度變換公式，光子在S'系中的速度分量為

v.-u_0.5c-0.6c

A=-0.143c

,u,0.6cx0.5c

I----2Vx1-------/----

=0.990c

光子運(yùn)動(dòng)方向與/軸的夾角夕滿足

lan夕=匕=-0.692

。'在第二象限為夕=98.2"

在S'系中，光子的運(yùn)動(dòng)速度為

、=+"2=c正是光速不變?

3-17(1)如果將電子由靜止加速到速率為0.1c,須對(duì)它作多少功？(2)如果將電子由速率為

0.8c加速到0.9c,又須對(duì)它作多少功？

解：(1)對(duì)電子作的功，等于電子動(dòng)能的增量，得

21(/-1)="20c2(----

AEk-Ek-me-in^c-mi-1)

=9.1x10-31X(3X108)2(-1-1)

Vl-0.12

=4.12X10-,6J=2.57X103eV

2222

⑵=耳2-%=(m2c-mi)c)-(m,c-m{)c)

=9.1X10-3,X32X10I6(1r--1)

Vl-0.92Vl-0.82

=5.14x10-"j=3.2]X1()5eV

3-18〃子靜止質(zhì)量是電子靜止質(zhì)量的207倍，靜止時(shí)的平均壽命「0=2X10%,若它在實(shí)驗(yàn)

室參考系中的平均壽命7=7X10%,試問其質(zhì)量是電子靜止質(zhì)量的多少倍？

解：設(shè)〃子靜止質(zhì)量為例0,相對(duì)實(shí)驗(yàn)室參考系的速度為口=優(yōu)，相應(yīng)質(zhì)量為，”，電子靜

T17-7

0

止質(zhì)量為fn0,因r=.-,即.-=—=—

由質(zhì)速關(guān)系，在實(shí)驗(yàn)室參考系中質(zhì)量為：

207〃禮

m207“r7___

故----=7=207X—=725

匹J1—-2

3-19一物體的速度使其質(zhì)量增加了10%,試問此物體在運(yùn)動(dòng)方向上縮短了百分之幾?

解：設(shè)靜止質(zhì)量為"%，運(yùn)動(dòng)質(zhì)量為〃？，

由題設(shè)^1=0.10

m=F=

由此二式得,-1=0.10

在運(yùn)動(dòng)方向上的長度和靜長分別為/和/o,則相對(duì)收縮量為:

—=-^=l-Jl-/72=1---=0.091=9.1%

/()I。NMO

3-20一電子在電場(chǎng)中從靜止開始加速，試問它應(yīng)通過多大的電勢(shì)差才能使其質(zhì)量增加0.4%?

此時(shí)電子速度是多少？已知電子的靜止質(zhì)量為9.1X1()"kg.

_AE_0.4

解：由質(zhì)能關(guān)系

moc~100

\E=044廣=0.4X9.1X10-3,X(3X108)2/100

100

=3如10口==篙需具丫=2。><1。屋丫

所需電勢(shì)差為2.0x103伏特

由質(zhì)速公式有:

〃%111

m小)+[+An?]+041.004

m0100

P2=(21)2=1_(^―)2=7.95X10-3

c1.004

故電子速度為v=僅=2.7x107m-s'1

3-21一正負(fù)電子對(duì)撞機(jī)可以把電子加速到動(dòng)能=2.8X10%V.這種電子速率比光速差多

少？這樣的一個(gè)電子動(dòng)量是多大？(與電子靜止質(zhì)量相應(yīng)的能量為&=0.51IX10%V)

解:

所以

由上式,

=cyj\-(0.51x106)2/(0.511x106+2.8x109)2

=2.9979245x108ms

c-v=2.997924580x1o8m-s-1-2.9979245xIO8=8m-s-1

由動(dòng)量能量關(guān)系U=//I+加工4可得

224

_1七2一〃松4_y](Ek+m^c)-m1c_

ccc

I

=[(2.82x1O'8+2x2.8x1()9x().511x106)x1,62x1()-38]2/3xl()8

=1.49x1018kg-m-s-1

3-22氫原子的同位素笊(；H)和瓶(：H)在高溫條件下發(fā)生聚變反應(yīng)，產(chǎn)生氮原子核和

一個(gè)中子(；n),并釋放出大量能量，其反應(yīng)方程為已知笊核的靜

止質(zhì)量為2.0135原子質(zhì)量單位(1原子質(zhì)量單位=1.600X10”。，晁核和氮核及中子的質(zhì)量

分別為3.0155,4.0015,1.00865原子質(zhì)量單位.求上述聚變反應(yīng)釋放出來的能量.

解：反應(yīng)前總質(zhì)量為2.0135+3.0155=5.0290amu

反應(yīng)后總質(zhì)量為4.0015+1.0087=5.0102amu

質(zhì)量虧損Am=5.0290-5.0102=0.0188amu

=3.12x10-29kg

由質(zhì)能關(guān)系得AE=^nc2=3.12xlO29x（3xlO8）2

=2.81xi0-21J=1.75xl07eV

3-23—靜止質(zhì)最為的粒子，裂變成兩個(gè)粒子，速度分別為0.6c和0.8c.求裂變過程的靜

質(zhì)量虧損和釋放出的動(dòng)能.

解：孤立系統(tǒng)在裂變過程中釋放出動(dòng)能，引起靜能減少，相應(yīng)的靜止質(zhì)量減少，即靜質(zhì)量虧

損.

設(shè)裂變產(chǎn)生兩個(gè)粒子的靜質(zhì)量分別為〃房和〃2?。，其相應(yīng)的速度匕=0.6c,v2=0.8c

由于孤立系統(tǒng)中所發(fā)生的任何過程都同時(shí)遵守動(dòng)量守恒定律和能（質(zhì)）量守恒定律，所以有

注意叫和2％必沿相反方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)量守恒的矢量方程可以簡化為一維標(biāo)量方程，再以

V1=0.6c,v2=0.8c代入，將上二方程化為:

68/n"/

—/n.=—,--l-0+="4）

81o060.80.6°

上二式聯(lián)立求解可得:

"a。=0.459,w20=0.257m。

故靜質(zhì)量虧損△〃?=砥）-（皿（）+tn20）=0.284/n0由靜質(zhì)量虧損引起靜能減少，即轉(zhuǎn)化為動(dòng)

22

能，故放出的動(dòng)能為AE,=Awe=0.284woc

3-24有A,B兩個(gè)靜止質(zhì)量都是〃2。的粒子，分別以匕=叭叱=一口的速度相向運(yùn)動(dòng)，在發(fā)

生完全非彈性碰撞后合并為一個(gè)粒子.求碰撞后粒子的速度和靜止質(zhì)量.

解：在實(shí)驗(yàn)室參考系中，設(shè)碰撞前兩粒子的質(zhì)量分別叫和機(jī)”碰撞后粒子的質(zhì)量為“、

速度為V,于是，根據(jù)動(dòng)晟守恒和質(zhì)量守恒定律可得：

①

mAv}+m2v2=MV

mA+m2=M②

WV

4T0W0(~V)八

ill于rn,v.+tri-,v3=—,=H—1=0

一斤可

代人①式得v=o

2w(1

M=/??!+〃L,即為碰撞后靜止質(zhì)量.

尸

3-25試估計(jì)地球、太陽的史瓦西半徑.

解：史瓦西半徑4二芻"

地球：M?6xlO24kg

24

nlll2x6.7x10-"x6xl0QOin_3

則：「------丁丁赤-------=8.9x10m

太陽:Ma2xl()3。kg

2x6.7xWHx2xlO30

則:=3x103m

(3xl08)

3?26典型中子星的質(zhì)量與太陽質(zhì)量M0=2Xl(Tkg向數(shù)量級(jí)，半徑約為10km.若進(jìn)一步

坍縮為黑洞，其史瓦西半徑為多少?一個(gè)質(zhì)子那么大小的微黑洞(107m),質(zhì)最是什么數(shù)量

級(jí)？

解：(1)史瓦西半徑與太陽的相同，4=3x10'm

(2)4=1075cm=1017m

2GM

由

1Q-|7X(3X108)2

得=6.7xl09kg

M42X6.7XI0-H

3-27簡述廣義相對(duì)論的基本原理和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.

解：廣義相對(duì)論的基本原理是等效原理和廣義相對(duì)性原理.

等效原理又分為弱等效原理和強(qiáng)等效原理.弱等效原理是：在局部時(shí)空中，不可能通過力學(xué)

實(shí)驗(yàn)區(qū)分引力和慣性力，引力和慣性力等效.強(qiáng)等效原理是：在局部時(shí)空中，任何物理實(shí)驗(yàn)

都不能區(qū)分引力和慣性力，引力和慣性力等效.

廣義相對(duì)性原理是：所有參考系都是平權(quán)的，物理定律的表述相同.

廣義相對(duì)論的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證有：光線的引力偏轉(zhuǎn)，引力紅移，水星近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)，雷達(dá)回波延遲等.

習(xí)題四

4-1符合什么規(guī)律的運(yùn)匆才是諧振動(dòng)?分別分析下列運(yùn)動(dòng)是不是諧振動(dòng)：

(1)拍皮球時(shí)球的運(yùn)動(dòng)；

(2)如題4T圖所示，一小球在一個(gè)半徑很大的光滑凹球面內(nèi)滾動(dòng)(設(shè)小球所經(jīng)過的弧線很

短).

題4-1圖

解：要使一個(gè)系統(tǒng)作諧振動(dòng)，必須同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：一，描述系統(tǒng)的各種參量，如

質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、擺長……等等在運(yùn)動(dòng)中保持為常量；二，系統(tǒng)是在自己的穩(wěn)定平衡位置

附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)；三，在運(yùn)動(dòng)中系統(tǒng)只受到內(nèi)部的線性回復(fù)力的作用.或者說，若一個(gè)系

統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程能用

描述時(shí)，其所作的運(yùn)動(dòng)就是諧振動(dòng).

(1)拍皮球時(shí)球的運(yùn)刃不是諧振動(dòng).第一，球的運(yùn)動(dòng)軌道中并不存在一個(gè)穩(wěn)定的平衡位

置；第二，球在運(yùn)動(dòng)中所受的三個(gè)力：重力，地面給予的彈力，擊球者給予的拍擊力，都

不是線性回復(fù)力.

(2)小球在題4-1圖所示的情況中所作的小弧度的運(yùn)動(dòng)，是諧振動(dòng).顯然，小球在運(yùn)動(dòng)過

程中，各種參量均為常量；該系統(tǒng)(指小球凹槽、地球系統(tǒng))的穩(wěn)定平衡位置即凹槽最低點(diǎn)，

即系統(tǒng)勢(shì)能最小值位置點(diǎn)。；而小球在運(yùn)動(dòng)中的回復(fù)力為-mgsing,如題4-1圖(b)所

AO

示.題中所述，A5VVR,故6=-------^0,所以回復(fù)力為一〃式中負(fù)號(hào)，表示回復(fù)

R

力的方向始終與角位移的方向相反.即小球在。點(diǎn)附近的往復(fù)運(yùn)動(dòng)中所受回復(fù)力為線性

的.若以小球?yàn)閷?duì)象，則小球在以0'為圓心的豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律，

在凹槽切線方向上有

mR—z-=一6