(寒假)人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)寒假講義01 二次根式+隨堂檢測(cè)（原卷版）

第頁(yè)01二次根式知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一二次根式的定義◆二次根式的定義：一般地，我們把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．其中“”稱為二次根號(hào)，a為被開方數(shù).1、二次根式的條件：①含有二次根號(hào)；②被開方數(shù)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；2、被開方數(shù)a既可以是一個(gè)數(shù)，又可以是一個(gè)含有字母的式子.【注意】二次根式的定義是從形式來(lái)界定的，必須含有二次根號(hào)“”，不能從化簡(jiǎn)結(jié)果上判斷，如4，9是二次根式；“”的根指數(shù)是2，一般把根指數(shù)2省略，不要誤認(rèn)為根指數(shù)是1或沒有知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二二次根式有意義的條件◆二次根式有意義的條件是：被開方數(shù)（式）為非負(fù)數(shù)，反之也成立.即：a有意義=>a≥0,a無(wú)意義，a＜0.◆【規(guī)律方法】二次根式有無(wú)意義的條件：1．如果一個(gè)式子中含有多個(gè)二次根式，那么它們有意義的條件是：各個(gè)二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負(fù)數(shù)．2．如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零．3．如果一個(gè)式子中含有二次根式且被開方數(shù)中含有零指數(shù)冪或負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，那么它有意義的條件是：底數(shù)不為0.知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三二次根式的性質(zhì)◆1、a的性質(zhì)：a≥0；a◆2、（a）2（a≥0）的性質(zhì)：（a）2＝a（a≥0）（任何一個(gè)非負(fù)數(shù)都可以寫成一個(gè)數(shù)的平方的形式）．◆3、a2的性質(zhì)：a2=|a|◆4、（a）2（a≥0）與a2的區(qū)別與聯(lián)系.（a）2（a≥0）a區(qū)別取值范圍a≥0a為任意實(shí)數(shù)表示的意義表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根的平方表示a2的算術(shù)平方根運(yùn)算順序先開平方后平方先平方后開平方運(yùn)算結(jié)果（a）2＝a（a≥0）讀法讀作：“根號(hào)a的平方”或“a的算術(shù)平方根的平方”讀作：“根號(hào)”或“a的平方的算術(shù)平方根”聯(lián)系（1）結(jié)果都是非負(fù)數(shù)；（2）當(dāng)a≥0時(shí)，a2＝（a）知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)四代數(shù)式◆1、定義：用基本運(yùn)算符號(hào)（基本運(yùn)算符號(hào)包括：加、減、乘、除、乘方和開方）把表示數(shù)或字母連接起來(lái)的式子，稱為代數(shù)式.【注意】代數(shù)式式數(shù)或字母之間的運(yùn)算關(guān)系，代數(shù)式中只能含運(yùn)算符號(hào)，不能含≥，＞，≤，＜，≠，＝等關(guān)系符號(hào).◆2、列代數(shù)式的常用方法：①直接法：根據(jù)問題的語(yǔ)言敘述直接寫出代數(shù)式；②公式法：根據(jù)公式列出代數(shù)式；③探究規(guī)律法：將一組數(shù)或一組圖形的排列規(guī)律用代數(shù)式表示出來(lái).題型一二次根式的識(shí)別題型一二次根式的識(shí)別【例題1】下列各式中，是二次根式的是（）A．n2 B．?4 C．38 解題技巧提煉判斷一個(gè)式子是否為二次根式，要緊扣滿足二次根式的兩個(gè)條件：（1）含有二次根號(hào)“”；（2）被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，兩個(gè)條件缺一不可.【變式1-1】下列各式中，不是二次根式的是（）A．8 B．?2 C．b2+1 【變式1-2】下列式子一定是二次根式的是（）A．?5 B．π C．a(chǎn)3 D．【變式1-3】下列各式：3?27，?4，2a?1（a＜12【變式1-4】下列各式中，二次根式有（）?3，0.5，0，23，a2+1，x+1（xA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1-5】給出下列各式：①32；②6；③?12；④?m（m≤0）；⑤a2+1；⑥A．2 B．3 C．4 D．5題型二二次根式有意義的條件題型二二次根式有意義的條件【例題2】若代數(shù)式xx?1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則xA．x＞0且x≠1 B．x≥0 C．x≠1 D．x≥0且x≠1解題技巧提煉求式子有意義時(shí)字母的取值范圍方法：第一步,明確式子有意義的條件，對(duì)于單個(gè)的二次根式，只需滿足被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)；對(duì)于含有多個(gè)二次根式的，則必須滿足多個(gè)被開方數(shù)同時(shí)為非負(fù)數(shù);對(duì)于零指數(shù)冪,則必須滿足底數(shù)不能為零;對(duì)于含有分式的、滿足分母不能為零.第二步,利用使式子有意義的所有條件,建立不等式或不等式組；第三步,求出不等式或不等式組的解集,即為字母的取值范圍.【變式2-1】若x?2有意義，則x的取值范圍是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2【變式2-2】當(dāng)x滿足一定條件時(shí)，式子x?3x?3A．x＞﹣3 B．x＞3 C．x≥﹣3 D．x≥3【變式2-3】式子2xx?1A．x≥1 B．x＞1 C．x＜0 D．x≤0【變式2-4】無(wú)論a取何值，下列各式中一定有意義的是（）A．a(chǎn) B．a(chǎn)2?1 C．a(chǎn)+1 【變式2-5】若代數(shù)式(x?2)02?x?1有意義，則x的取值范圍是【變式2-6】求下列式子有意義的x的取值范圍.（1）14?3x（2）3?xx?2（3）x?3x?2（4）?x題型三利用二次根式的性質(zhì)計(jì)算題型三利用二次根式的性質(zhì)計(jì)算【例題3】下列式子正確的是（）A．(?9)2=?9 B．25=±5 C．3(?1)解題技巧提煉運(yùn)用（a）2（a≥0），a2=（1）計(jì)算（a）2，直接運(yùn)用（a）2＝a；（2）計(jì)算a2①去掉根號(hào)及被開方數(shù)的指數(shù)，寫成絕對(duì)值的形式，即a2=|a②去掉絕對(duì)值符號(hào)，根據(jù)絕對(duì)值的意義進(jìn)行化簡(jiǎn).【變式3-1】下列結(jié)論正確的是（）A．?(?6)2=?6 C．(?16)2=±6 D．﹣（?【變式3-2】化簡(jiǎn)：（1）=；（2）；（3）；（4）；【變式3-3】計(jì)算：(7A．3 B．11 C．﹣3 D．﹣11【變式3-4】計(jì)算：(1?2)2=【變式3-5】當(dāng)x＝2時(shí)，二次根式2+7x的值是．【變式3-6】計(jì)算下列各式：（1）279；（2）0.81?0.04；（3）【變式3-7】計(jì)算：32=，0．72=，02=，（1）根據(jù)計(jì)算結(jié)果，回答：a2一定等于a（2）利用你總結(jié)的規(guī)律，計(jì)算(3.14?π)題型四二次根式的非負(fù)性應(yīng)用題型四二次根式的非負(fù)性應(yīng)用【例題4】已知a、b、c滿足2|a﹣1|+2a?b+（c+b）2＝0，求2a+b﹣解題技巧提煉二次根式a（a≥0）、絕對(duì)值|a|、完全平方式（a±b）2都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則它們均為0.【變式4-1】已知y=x?1+1?xA．1 B．78 C．?54【變式4-2】在△ABC中，a、b、c為三角形的三邊，化簡(jiǎn)(a?b+c)2?2|c﹣a﹣A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a(chǎn)+3b﹣c D．2a【變式4-3】若x＜1，則化簡(jiǎn)(x?2)2+|4A．2 B．﹣2 C．6 D．6﹣2x【變式4-4】若x，y都是實(shí)數(shù)，且滿足y＜x?1+1?x【變式4-5】已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為5，2a﹣1，10，化簡(jiǎn)：(a?8)2【變式4-6】若化簡(jiǎn)|1﹣x|?x2?8x+16的結(jié)果為2x﹣5，則x的取值范圍是【變式4-7】已知實(shí)數(shù)a滿足|2010?a|+a?2011=a，求a﹣2010題型五利用數(shù)軸和二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)題型五利用數(shù)軸和二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)【例題5】實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)|a|+(a?bA．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b解題技巧提煉本題運(yùn)用了數(shù)學(xué)結(jié)合思想，利用數(shù)軸由“形”的位置來(lái)確定“數(shù)（式）”的符號(hào)，充分體現(xiàn)了“數(shù)”與“形”是一個(gè)互相依存、不可分割的有機(jī)整體，解答含有二次根式的化簡(jiǎn)類題目的關(guān)鍵是確保去掉根號(hào)后的結(jié)果是非負(fù)數(shù).【變式5-1】已知實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖，則(a+b)2?(a?b)【變式5-2】如果數(shù)軸上表示a、b兩個(gè)數(shù)的點(diǎn)都在原點(diǎn)的左側(cè)，且a在b的左側(cè)，則|a﹣b|+(a+b)2的值為【變式5-3】如圖，實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置，化簡(jiǎn)a2【變式5-4】實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)a+|a+b|?c2?|b【變式5-5】已知實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)a2題型六代數(shù)式題型六代數(shù)式【例題6】下列各式中，代數(shù)式有（）①m；②4a；③mx+y；④π；⑤ab=ba；⑥S=12（a+b）h；⑦3.6×103πa2；⑧22＜32A．8個(gè)B．7個(gè)C．6個(gè)D．5個(gè)解題技巧提煉用基本運(yùn)算符號(hào)（基本運(yùn)算符號(hào)包括：加、減、乘、除、乘方和開方）把表示數(shù)或字母連接起來(lái)的式子，稱為代數(shù)式.列代數(shù)式的方法有：（1）直接法；（2）公式法；（3）探究規(guī)律法.代數(shù)式書寫時(shí)要注意規(guī)范寫法.【變式6-1】下列代數(shù)式書寫正確的是（）A．a(chǎn)4 B．m÷n C．112x D．x（b【變式6-2】用代數(shù)式表示“a的2倍與b的差的平方”，正確的是（）A．2（a﹣b）2 B．2a﹣b2 C．（2a﹣b）2 D．（a﹣2b）2【變式6-3】在下列各式中，是代數(shù)式的有（）①﹣2x2；②x+y=0

；??

③4x2﹣1；

④0

；??

⑤x﹣1＞0

；?

⑥3x+2A．6個(gè)B．4個(gè)C．3個(gè)D．2個(gè)【變式6-4】代數(shù)式a2?1A．a(chǎn)的平方與b的倒數(shù)的差 B．a(chǎn)與b的倒數(shù)的差的平方 C．a(chǎn)的平方與b的差的倒數(shù) D．a(chǎn)與b的差的平方的倒數(shù)【變式6-5】用字母表示如圖所示的陰影部分的面積是（）A．b(a+b)?14π(aC．a(chǎn)b?12π(01二次根式隨堂檢測(cè)1.要使式子有意義，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≠0 B．a(chǎn)≥﹣2 C．a(chǎn)＞﹣2且a≠0 D．a(chǎn)≥﹣2且a≠02.下列各式中，一定是二次根式的是（）A． B． C． D．3.已知y＝++4，yx的平方根是（）A．16 B．8 C．±4 D．±24.已知n是一個(gè)正整數(shù)，且是整數(shù)，那么n的最小值是（）A．6 B．36 C．3 D．25.已知a滿足|2018﹣a|+＝a，則a﹣20182＝（）A．0 B．1 C．2018 D．20196.若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是．7.若