(寒假)人教版數(shù)學(xué)八年級寒假講義08 勾股定理 本章知識綜合運用+隨堂檢測（教師版）

第頁08勾股定理本章知識綜合運用兩個概念兩個概念●●1、互逆命題：如果兩個命題題設(shè)、結(jié)論正好相反.那么這兩個命題叫做互逆命題.

如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題.●●2、互逆定理：一般地，如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的，那么它也是一個定理，稱這兩個定理互為逆定理.兩個定理兩個定理●●1、勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2.應(yīng)用勾股定理可以解決下面的問題：（1）已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊長；（2）已知直角三角形的一邊，求兩邊的關(guān)系；（3）解決勾股定理構(gòu)造方程，解決實際問題.●●2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.我們把這個定理叫做勾股定理的逆定理.應(yīng)用勾股定理逆定理可以解決下面的問題：（1）判斷三角形的形狀；（2）證明線段的位置關(guān)系；（3）證明線段之間的數(shù)量關(guān)系.兩個應(yīng)用兩個應(yīng)用●●1、勾股定理的應(yīng)用利用勾股定理可以解決和直角三角形有關(guān)的計算和證明問題，還可以解決生活、生產(chǎn)中的一些實際問題.常見的應(yīng)用類型為:（1）化非直角三角形為直角三角形；（2）將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形模型.●●2勾股定理的逆定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理是從邊的角度判定直角三角形的重要方法之一，在題目中若告訴三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，就需要借助勾股定理的逆定理判斷這個三角形是不是直角三角形．四種思想方法四種思想方法●●1、方程思想：在直角三角形中，求線段的長時，常利用勾股定理建立方程求解.●●2、數(shù)學(xué)結(jié)合思想:勾股定理是三角形是直角三角形（形），得到三角形三邊的數(shù)量關(guān)系（數(shù)），勾股定理的逆定理的是由三角形三邊的數(shù)量關(guān)系（數(shù)），得到這個三角形是直角三角形（形），二者相互結(jié)合，能使抽象的數(shù)量關(guān)系直觀化，從而有效分析和解決問題.●●3、建模思想：運用勾股定理解決實際問題的實質(zhì)是將生活中的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后將已知和未知轉(zhuǎn)化為直角三角形的邊，利用勾股定理求出直角三角形的邊，最后得出實際問題的解.●●4、分類討論思想：在研究三角形的高時，應(yīng)分直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形三種情況考慮，另外在探究直角三角形的邊長時也應(yīng)注意分類.題型一運用勾股定理求線段長題型一運用勾股定理求線段長【例題1】已知三角形的兩邊分別為5和12，要使它是直角三角形，第三邊的長應(yīng)為．【分析】分兩種情況：當(dāng)直角三角形的兩條直角邊長分別為5和12時；當(dāng)直角三角形的斜邊長為12時，然后分別進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：分兩種情況：當(dāng)直角三角形的兩條直角邊長分別為5和12時，∴第三邊的長=5當(dāng)直角三角形的斜邊長為12時，∴第三邊的長=1綜上所述：第三邊的長應(yīng)為13或119，故答案為：13或119．解題技巧提煉勾股定理的作用是已知直角三角形的兩邊求第三邊，所以求直角三角形的邊長時應(yīng)該聯(lián)想到勾股定理.【變式1-1】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，AC＝20，BC＝15．求：（1）CD的長；（2）AD的長．【分析】（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得AB的長，再根據(jù)等面積法即可求出CD的長；（2）直接由勾股定理求解即可．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=A∵CD⊥AB，∴S△ABC=12（2）在Rt△BDC中，由勾股定理得，BD=BC【變式1-2】已知：如圖，△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，求BC邊上的高．【分析】作輔助線BD，AD，根據(jù)直角△ABD和直角△ACD中關(guān)于AD的計算方程求AD，BD；AD即BC邊上的高．【解答】解：延長CB，作AD⊥BC，交CB的延長線于點D，設(shè)AD＝x，BD＝y(tǒng)，在直角△ADB中，AB2＝x2+y2，在直角△ADC中，AC2＝x2+（y+BC）2，解方程得y＝6，x＝8，即AD＝8，∵AD即BC邊上的高，∴BC邊上的高為8．答：BC邊上的高為8．題型二勾股定理的證明題型二勾股定理的證明【例題2】如圖是用硬紙板做成的兩個直角邊長分別為a，b，斜邊長為c的全等三角形拼成的圖形，觀察圖形，可以驗證（）A．a(chǎn)2+b2＝c2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．（a+b）2＝a2+2ab+b2【分析】根據(jù)圖形可知是梯形，再根據(jù)梯形的面積等于三個直角三角形的面積的和，列式整理即可證明．【解答】解：梯形的面積=12（a+b）（a+b）＝2×12×∴12（a2+2ab+b2）＝ab+12c2，∴a2+b2＝c2解題技巧提煉（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的．先利用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明勾股定理．（2）證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一個規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個小圖形的面積和化簡整理得到勾股定理．【變式2-1】如圖所示是傳說中畢達(dá)哥拉斯證明勾股定理的一種方法，圖（1）中大正方形的面積為邊長分別為a，b的兩個小正方形面積和四個三角形面積的和，即大正方形的面積為：；圖（2）中大正方形的面積為邊長為c的正方形與四個直角三角形的面積的和，即大正方形的面積為：；因為圖（1）（2）中正方形的邊長為a+b，面積相等，所以＝，即．【分析】圖（1）中兩個正方形的面積分別為a2，b2，四個直角三角形的面積均為12ab．圖（2）中空白正方形的面積為c2，四個陰影直角三角形的面積都為12【解答】解：圖（1）中大正方形的面積為：a2+b2+4×12×a×b＝a2+b2+2ab＝（a+b圖（2）中大正方形的面積為：c2+4×12×a×b＝c2因為圖（1）（2）中正方形的邊長為a+b，面積相等，所以（a+b）2＝c2+2ab，所以a2+2ab+b2＝c2+2ab，即a2+b2＝c2．故答案為：（a+b）2，c2+2ab，（a+b）2，c2+2ab，a2+b2＝c2．【變式2-2】【閱讀理解】我國古人運用各種方法證明勾股定理，如圖①，用四個直角三角形拼成正方形，通過證明可得中間也是一個正方形．其中四個直角三角形直角邊長分別為a、b，斜邊長為c．圖中大正方形的面積可表示為（a+b）2，也可表示為c2+4×12ab，即（a+b）2＝c2+4×12ab，所以a2+b2【嘗試探究】美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”如圖②所示，用兩個全等的直角三角形拼成一個直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根據(jù)拼圖證明勾股定理．【定理應(yīng)用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所對的邊長分別為a、b、c．求證：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．【分析】【嘗試探究】根據(jù)閱讀內(nèi)容，圖中梯形的面積分別可以表示為ab+12（a2+b2）＝ab+12c2，即可證得a2+b2【定理應(yīng)用】分解因式，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】證明：【嘗試探究】梯形的面積為S=12（a+b）（b+a）＝ab+12（a2利用分割法，梯形的面積為S＝△ABC+S△ABE+SADE=12ab+12c2+12ab∴ab+12（a2+b2）＝ab+12c2，∴a2+b2【定理應(yīng)用】∵a2c2+a2b2＝a2（c2+b2），c4﹣b4＝（c2+b2）（c2﹣b2）＝（c2+b2）a2，∴a2c2+a2b2＝c4﹣b4．題型三趙爽弦圖的應(yīng)用題型三趙爽弦圖的應(yīng)用【例題3】如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的大正方形．若圖中的直角三角形的一條直角邊長為5，大正方形的邊長為13，則中間小正方形的面積是（）A．144 B．64 C．49 D．25【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以計算出小正方形的邊長，即可得到小正方形的面積．【解答】解：由題意可得：小正方形的邊長=1故選：C．解題技巧提煉“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的大正方形．常常利用勾股定理和完全平方公式來解決相關(guān)的求值問題.【變式3-1】如圖，“趙爽弦圖”由4個全等的直角三角形所圍成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若圖中大正方形的面積為60，小正方形的面積為20，則（a+b）2的值為．【分析】根據(jù)圖形表示出小正方形的邊長為（b﹣a），再根據(jù)四個直角三角形的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積求出2ab，然后利用完全平方公式整理即可得解．【解答】解：由圖可知，（b﹣a）2＝20，4×12ab＝60﹣20＝40，∴2∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝20+2×40＝100．故答案為：100．【變式3-2】如圖所示，是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為49，小正方形面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列四個說法：①x2+y2＝49，②xy＝2，③2xy+4＝49，④x+y＝9，其中說法正確的結(jié)論有（填序號）．【分析】利用大正方形面積和小正方形面積可得出大正方形和小正方形的邊長，利用勾股定理可判斷①，利用平方差公式可判斷②，利用大正方形面積等于小正方形面積與四個直角三角形面積之和可判斷③，利用①③可判斷④．【解答】解：∵大正方形面積為49，∴大正方形邊長為7，在直角三角形中，x2+y2＝72＝49，故說法①正確；∵小正方形面積為4，∴小正方形邊長為2，∴x﹣y＝2，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝49﹣2xy＝4，∴xy=452，故說法∵大正方形面積等于小正方形面積與四個直角三角形面積之和，∴4×12∴2xy+4＝49，故說法③正確；∵2xy+4＝49，∴2xy＝45，∵x2+y2＝49，∴x2+y2+2xy＝49+45，∴（x+y）2＝94，∴x+y=94故說法④錯誤；故答案為：①③．題型四利用勾股定理求平面上兩點之間的距離題型四利用勾股定理求平面上兩點之間的距離【例題4】在平面直角坐標(biāo)系中，點P（1，3）到原點的距離是（）A．4 B．10 C．22 D．無法確定【分析】利用勾股定理直接求解．【解答】解：由勾股定理得：PO=12+解題技巧提煉(1)數(shù)軸上的兩點A，B，則AB=x2(2)兩點間的距離公式：設(shè)平面上任意兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2），|P1P2|=(【變式4-1】在平面直角坐標(biāo)系中，點P（1，3）到原點的距離是．【分析】根據(jù)勾股定理計算即可．【解答】解：∵點P的坐標(biāo)為（1，3），∴點P到原點的距離為：12+3【變式4-2】已知平面直角坐標(biāo)系中，點P（m﹣2，4）到坐標(biāo)原點距離為5，則m的值為．【分析】利用勾股定理列出方程，再解方程即可．【解答】解：點P（m﹣2，4）到兩坐標(biāo)軸的距離分別是|m﹣2|、4，則由勾股定理，得（m﹣2）2+42＝52，解得：m＝5或﹣1．故答案為：5或﹣1．【變式4-3】已知點A（2，﹣1），點P在坐標(biāo)軸上，PA＝2，則P點坐標(biāo)為．【分析】當(dāng)點P在x軸上時，設(shè)P（x，0），根據(jù)兩點間的距離公式得到PA=(x?2)2+(0+1)2=2，求得P點坐標(biāo)為（2+3，0）或（2?3【解答】解：當(dāng)點P在x軸上時，設(shè)P（x，0），∵點A（2，﹣1），PA＝2，∴PA=(x?2)2+(0+1)2∴P點坐標(biāo)為（2+3，0）或（2?3，0）；當(dāng)點P在y軸上時，P（0，綜上所述，P點坐標(biāo)為（2+3，0）或（2?3，0）或（0，故答案為：（2+3，0）或（2?3，0）或（0，題型五利用勾股定理解決折疊問題題型五利用勾股定理解決折疊問題【例題5】如圖，在長方形紙片ABCD中，AB＝12，BC＝5，點E在AB上，將△DAE沿DE折疊，使點A落在對角線BD上的點F處，（1）求BD的長．（2）求AE的長．【分析】由折疊性質(zhì)得出DF＝AD＝5，EF＝EA，EF⊥BD，在Rt△BAD中，由勾股定理求出BD，求出BF，根據(jù)勾股定理得出關(guān)于x的方程，求出x即可．【解答】解：（1）由折疊性質(zhì)可知：DF＝AD＝5，EF＝EA，EF⊥BD，在Rt△BAD中，AB＝12，由勾股定理得：BD=A（2）∵BF＝BD﹣DF＝13﹣5＝8，設(shè)AE＝EF＝x，∴BE＝12﹣x，在Rt△BEF中，由勾股定理可知：EF2+BF2＝BE2，即x2+82＝（12﹣x）2，解得：x=103，即AE解題技巧提煉關(guān)于折疊問題要緊扣折疊前后的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，其解題步驟為：（1）利用重合的圖形傳遞數(shù)據(jù).（2）選擇直角三角形，利用勾股定理列方程求解.【變式5-1】如圖，Rt△ABC中，AB＝6，BC＝4，∠B＝90°，將△ABC折疊，使點A與BC的中點D重合，折痕為MN，那么NB的長為（）A．3 B．83 C．4 D．【分析】由折疊知AN＝DN，BD＝2，設(shè)BN＝x，則AN＝DN＝6﹣x，在Rt△BND中，利用勾股定理列方程即可．【解答】解：∵使點A與BC的中點D重合，∴AN＝DN，BD＝2，設(shè)BN＝x，則AN＝DN＝6﹣x，在Rt△BND中，由勾股定理得，（6﹣x）2＝x2+22，解得x=83，∴BN=8題型六利用勾股定理解決最短路徑問題題型六利用勾股定理解決最短路徑問題【例題6】如圖，一個無蓋的長方體盒子的長、寬、高分別為8cm、8cm、12cm，一只螞蟻想從盒底的點A沿盒的表面爬到盒頂?shù)狞cB．螞蟻要爬行的最短路程是cm．【分析】將長方形的盒子按不同方式展開，得到不同的矩形，求出不同矩形的對角線，最短者即為正確答案．【解答】解：如圖1所示：AB=122+162=20（cm故爬行的最短路程是20cm，故答案為：20．解題技巧提煉1、平面展開﹣最短路徑問題，先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點之間的最短路徑．一般情況是兩點之間，線段最短．在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問題．2、幾何體表面上兩點間的最短路程的求法：將幾何體表面展開，將立體幾何圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題，然后利用“兩點之間，線段最短”確定路線，最后利用勾股定理計算.【變式6-1】如圖，高速公路的同一側(cè)有A，B兩城鎮(zhèn)，它們到高速公路所在直線MN的距離分別為AC＝2km，BD＝4km，CD＝8km．要在高速公路上C，D之間建一個出口P，使A，B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最小，則這個最短距離為（）A．8km B．10km C．12km D．14km【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再利用軸對稱求最短路徑的方法得出P點位置，進(jìn)而結(jié)合勾股定理得出即可．【解答】解：如圖所示：作A點關(guān)于直線MN的對稱點A'，再連接A'B，交直線MN于點P.則此時AP+PB最小，過點B作BE⊥CA延長線于點E，∵AC＝2km，BD＝4km，CD＝8km，∴AA'＝4km，則A′E＝6km，在Rt△A'EB中，A′B=62+則AP+PB的最小值為：10km．故選：B．【變式6-2】如圖，若圓柱的底面周長是30cm，高是120cm，從圓柱底部A處沿側(cè)面纏繞幾圈絲線到頂部B處做裝飾，則按圖中此方式纏繞的這條絲線的最小長度是cm．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)勾股定理求解即可．【解答】解：如圖所示，在如圖所示的直角三角形中，∵BE＝120cm，AC＝30×3＝90（cm），∴AB=1202答：按圖中此方式纏繞的這條絲線的最小長度是150cm．故答案為：150．題型七用勾股定理探究規(guī)律題型七用勾股定理探究規(guī)律【例題7】如圖，正方形ABCD的邊長是2，其面積標(biāo)記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形CDE，以該等腰直角三角形的一條直角邊DE為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2按照此規(guī)律繼續(xù)作圖，則S2021的值為（）A．122018 B．122019 C．【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理以及三角形的面積公式可得出部分S1、S2、S3、S4的值，再由面積的變化即可找出變化規(guī)律“Sn＝4×（12）n﹣1【解答】解：∵△CDE是等腰直角三角形，∴DE＝CE，∠CED＝90°，∴CD2＝DE2+CE2＝2DE2，∴DE=22CD，即等腰直角三角形的直角邊為斜邊的∴S1＝22＝4＝4×（12）0，S2＝（2×22）2＝2＝4×（12）1，S3＝（2×22S4＝（1×22）2=12=4×（12）3，…，∴Sn∴S2021＝4×（12）2020＝（12）2018=1解題技巧提煉以某個基本圖形為背景的類推構(gòu)造直角三角形求值問題屢見不鮮.解答這類題目,有時需要我們根據(jù)勾股定理依次計算,然后探索其中隱含的規(guī)律并靈活利用這個規(guī)律.【變式7-1】圖甲是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME﹣7）的會徽圖案，它是由一串有公共頂點O的直角三角形（如圖2）演化而成的．如圖乙中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，按此規(guī)律，在線段OA1，OA2，OA3，…，OA20中，長度為整數(shù)的線段有（）條．A．3 B．4 C．5 D．6【分析】OA1＝1，根據(jù)勾股定理可得OA2=12+12=2，OA【解答】解：∵OA1＝1，∴由勾股定理可得OA2=12+1…，∴OAn=n，∴在線段OA1，OA2，OA3，…，OA20∴在線段OA1，OA2，OA3，…，OA20中，長度為整數(shù)的線段有4條，故選：B．【變式7-2】細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答問題：12+1＝2，S1=12，(2)2+1＝3，S2=（1）請用含有n（n為正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律．（2）推算出OA10的長．（3）求出S12+S22+S32+…+S1002的值．【解答】解：（1）結(jié)合已知數(shù)據(jù)，可得：OAn2＝n；Sn=n（2）∵OAn2＝n，∴OA10=10（3）S12+S22+S32題型八題型八勾股定理的逆定理的應(yīng)用【例題8】如圖，已知等腰△ABC的底邊BC=85cm，D是腰BA延長線上一點，連接CD，且BD＝16cm，CD＝8（1）判斷△BDC的形狀，并說明理由；（2）求△ABC的周長．【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理得出答案即可；（2）設(shè)AB＝AC＝xcm，在Rt△ADC中根據(jù)勾股定理求出AC，再求出△ABC的周長即可．【解答】解：（1）△BDC是直角三角形，理由是：∵BC＝85cm，BD＝16cm，CD＝8cm，∴BD2+CD2＝BC2，∴∠D＝90°，即△BDC是直角三角形；（2）設(shè)AB＝AC＝xcm，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+DC2＝AC2，即（16﹣x）2+82＝x2，解得：x＝10，∴AB＝AC＝10（cm），∵BC＝85cm，∴△ABC的周長＝AB+AC+BC＝10+10+85=（20+85）（cm故△ABC的周長是（20+85）cm．解題技巧提煉勾股定理的逆定理是從邊的角度判定直角三角形的重要方法之一，在題目中若告訴三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，就需要借助勾股定理的逆定理判斷這個三角形是不是直角三角形.【變式8-1】甲、乙兩位探險者到沙漠進(jìn)行探險，兩人從同一地點同時出發(fā)，甲、乙兩位探險者的速度分別為3km/h、4km/h，且2h后分別到達(dá)A，B點，若A，B兩點的直線距離為10km，甲探險者沿著北偏東30°的方向行走，則乙探險者的行走方向可能是（）A．南偏西30° B．北偏西30° C．南偏東60° D．南偏西60°【分析】根據(jù)題意得到OA＝3×2＝6（km），OB＝4×2＝8（km），根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠AOB＝90°，根據(jù)平角的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：∵甲、乙兩位探險者的速度分別為3km/h、4km/h，且2h后分別到達(dá)A，B點，∴OA＝3×2＝6（km），OB＝4×2＝8（km），∵AB＝10km，∴OA2+OB2＝AB2，∴∠AOB＝90°，∵甲探險者沿著北偏東30°的方向行走，∴乙探險者的行走方向可能是南偏東60°，故選：C．【變式8-1】2021年12月12日是西安事變85周年紀(jì)念日，西安事變及其和平解決在中國社會發(fā)展中占有重要的歷史地位，為中國社會的發(fā)展起到了無可替代的作用．為此，某社區(qū)開展了系列紀(jì)念活動，如圖，有一塊三角形空地ABC，社區(qū)計劃將其布置成展區(qū)，△BCD區(qū)域擺放花草，陰影部分陳列有關(guān)西安事變的歷史圖片，現(xiàn)測得AB＝20米，AC＝105米，BD＝6米，CD＝8米，且∠BDC＝90°．（1）求BC的長；（2）求陰影部分的面積．【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵BD＝6米，CD＝8米，∠BDC＝90°，∴BC=BD2+（2）∵AB＝20米，AC＝105米，BC＝10米，∴AB2+BC2＝202+102＝（105）2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90，∴S陰影＝S△ABC﹣S△BCD=12AB?BC?12BD?CD題型題型九方程思想在勾股定理中的應(yīng)用【例題9】如圖，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面積．某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過合作交流，給出了下面的解題思路，請你按照他們的解題思路，完成解答過程．（1）作AD⊥BC于點D，設(shè)BD＝x，用含x的代數(shù)式表示CD，則CD＝；（2）分別在Rt△ADC和Rt△ADB中根據(jù)勾股定理，利用AD作為“橋梁”建立方程，并求出x的值；（3）利用勾股定理求出AD的長，再計算△ABC的面積．【分析】作AD⊥BC于點D，設(shè)BD＝x，則CD＝14﹣x，在Rt△ADC和Rt△ADB中根據(jù)勾股定理可得132﹣（14﹣x）2＝152﹣x2，計算出x的值，再由勾股定理求出AD的長即可得出三角形ABC的面積．【解答】解：（1）作AD⊥BC于點D，設(shè)BD＝x，則CD＝14﹣x，故答案為：14﹣x；（2）在Rt△ADC和Rt△ADB中根據(jù)勾股定理得：AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（14﹣x）2，AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣x2，∴132﹣（14﹣x）2＝152﹣x2，解得x＝9；（3）在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD=A∴S△ABC解題技巧提煉在直角三角形中，求線段的長時，常利用勾股定理建立方程求解.【變式9-1】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝16cm，以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交線段AB于點D；以點B為圓心，BD長為半徑畫弧，交線段BC于點E．若BD＝CE，則AC的長為（）A．12cm B．13cm C．14cm D．15cm【分析】設(shè)AC＝AD＝xcm，根據(jù)BD=CE=BE=12BC=8cm，在Rt【解答】解：設(shè)AC＝AD＝xcm，∵BD＝CE，BD＝BE，∴BD=CE=BE=1在△ABC中，∠ACB＝90°，∴△ABC為直角三角形，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+162＝（x+8）2，解得：x＝12，即AC＝12cm，故選：A．【變式9-2】勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一．它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因為應(yīng)用廣泛而使人入迷．如圖，秋千靜止時，踏板離地的垂直高度BE＝1m，將它往前推6m至C處時（即水平距離CD＝6m），踏板離地的垂直高度CF＝4m，它的繩索始終拉直，則繩索AC的長是（）m．A．212 B．152 C．6 【分析】設(shè)繩長為xm，再根據(jù)直角三角的勾股定理列方程，解方程即可．【解答】解：設(shè)繩長為x米，在Rt△ADC中，AD＝AB﹣BD＝AB﹣（DE﹣BE）＝x﹣（4﹣1）＝（x﹣3）米，DC＝6m，AC＝x米，∴AB2+DC2＝AC2，根據(jù)題意列方程：x2＝（x﹣3）2+62，解得：x=152，∴繩索AC的長是152勾股定理本章知識綜合運用課堂檢測1.若直角三角形的兩邊長分別為a，b，且滿足（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，則該直角三角形的第三邊長的平方為（）A．25 B．7 C．25或7 D．25或16【答案】C．【考點】非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，勾股定理；【分析】首先利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得a＝3，b＝4，再分b＝4為直角邊或b＝4為斜邊兩種情形，分別利用勾股定理計算即可．【解答】解：∵（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，∴a＝3，b＝4，當(dāng)b＝4為直角邊時，第三邊的平方為32+42＝25，當(dāng)b＝4為斜邊時，第三邊的平方為42﹣32＝7，故選：C．2.滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三內(nèi)角之比為1∶2∶3；B.三邊長的平方之比為1∶2∶3；C.三邊長之比為3∶4∶5.D.三內(nèi)角之比為3∶4∶5；【答案】D【考點】勾股定理的逆定理；三角形內(nèi)角和定理．【解答】解：A、因為根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出三個角分別為30°，60°，90°，所以是直角三角形；B、因為1+2=3，所以是直角三角形；C、因為32+42=52，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；D、根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出三個角分別為45度，60度，75度，所以不是直角三角形；故選：D．3.下列定理中，沒有逆定理的是（）A.兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；B.線段垂直平分線上的點到線段兩端點距離相等；C.兩個全等三角形的對應(yīng)角相等；D.在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.【答案】C【考點】命題與定理．【解答】解：A、逆命題為：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，正確，不符合題意；B、逆命題為：到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上，正確，不符合題意；C、逆命題為：對應(yīng)角相等的兩個三角形全等，錯誤，符合題意；D、逆命題為：角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上，正確，不符合題意；故選：C．4.如圖，以數(shù)軸的單位長度線段為邊作一個正方形，以表示數(shù)﹣1的點為圓心，正方形對角線長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點A，則點A表示的數(shù)是（）A．B． C．D．【答案】C；【考點】實數(shù)在數(shù)軸上的表示，勾股定理；【解答】解：∵正方形的邊長為1，∴正方形對角線的長12+12=2，設(shè)A點表示的數(shù)是a，∴﹣1﹣a=，∴a=，故點A表示的數(shù)是5.如圖，正方形ABCD中，AB＝6，將△ADE沿AE對折至△AEF，延長EF交BC于點G，G剛好是BC邊的中點，則ED的長是（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5【答案】C．【考點】正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、直角三角形的勾股定理；【解答】解：連接AG，由已知AD＝AF＝AB，且∠AFG＝∠ABG＝∠D＝90°，∵AG＝AG，∴△ABG≌△AFG（HL），∴BG＝GF∵AB＝BC＝CD＝DA＝6，G是BC的中點，∴BG＝GF＝GC＝3，設(shè)DE＝x，則EF＝x，EC＝6﹣x，在Rt△ECG中，由勾股定理得：（x+3）2＝32+（6﹣x）2，解得x＝2，即DE＝2．故選：C．6.平面直角坐標(biāo)系中，點P坐標(biāo)為(3,﹣2)，則P點到原點O的距離是．【答案】13；【考點】勾股定理的應(yīng)用；【解答】∵點P的坐標(biāo)