（寒假）人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)寒假精講精練01 相交線+隨堂檢測(cè)（教師版）

第頁(yè)01相交線知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角的概念及其性質(zhì)◆1、鄰補(bǔ)角：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為鄰補(bǔ)角.◆2、對(duì)頂角：有一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角.◆3、鄰補(bǔ)角的性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，即和為180°.◆4、對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等.知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二垂線的概念、畫法及其性質(zhì)◆1、概念：當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足.◆2、畫法一落：讓三角板的一條直角邊落在已知直線上，使其與已知直線重合；二移：沿直線移動(dòng)三角板，使其另一直角邊經(jīng)過所給的點(diǎn)；三畫：沿此直角邊畫直線，則這條直線就是已知直線的垂線.◆3、性質(zhì)在平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.【注意】：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”，“過一點(diǎn)”的點(diǎn)在直線上或直線外都可以.知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三垂線段與點(diǎn)到直線的距離◆1、垂線段：從直線外一點(diǎn)引一條直線的垂線，這點(diǎn)和垂足之間的線段叫做垂線段.◆2、垂線段的性質(zhì)：連接直線外一點(diǎn)與這條直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短，簡(jiǎn)單說(shuō)成：垂線段最短.【注意】正確理解此性質(zhì)，垂線段最短，指的是從直線外一點(diǎn)到這條直線所作的垂線段最短.它是相對(duì)于這點(diǎn)與直線上其他各點(diǎn)的連線而言.◆3、點(diǎn)到直線的距離：（1）點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離.（2）點(diǎn)到直線的距離是一個(gè)長(zhǎng)度，而不是一個(gè)圖形，也就是垂線段的長(zhǎng)度，而不是垂線段.它只能量出或求出，而不能說(shuō)畫出，畫出的是垂線段這個(gè)圖形.知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)四同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角◆1、同位角兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同位角.◆2、內(nèi)錯(cuò)角兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角.◆3、同旁內(nèi)角兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角.【注意】三線八角中的某兩個(gè)角是不是同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，完全由那兩個(gè)角在圖形中的相對(duì)位置決定.在復(fù)雜的圖形中判別三類角時(shí)，應(yīng)從角的兩邊入手，具有上述關(guān)系的角必有兩邊在同一直線上，此直線即為截線，而另外不在同一直線上的兩邊，它們所在的直線即為被截的線.同位角的邊構(gòu)成“F“形，內(nèi)錯(cuò)角的邊構(gòu)成“Z“形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”形.題型一利用基本圖形識(shí)別對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角題型一利用基本圖形識(shí)別對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角【例題1】如圖直線AB、CD交于點(diǎn)O，OE為射線，那么（）A.∠AOC和∠BOE是對(duì)頂角 B.∠COE和∠AOD是對(duì)頂角 C.∠BOC和∠AOD是對(duì)頂角 D.∠AOE和∠DOE是對(duì)頂角【分析】根據(jù)對(duì)頂角的定義可解此題.【解答】解：∵OE⊥AB于點(diǎn)O，∴∠AOE＝90°，∵OC平分∠AOE，∴∠AOC＝∠COE，∵∠BOD與∠AOC是對(duì)頂角且相等，故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)頂角的定義，熟記概念，準(zhǔn)確識(shí)圖求出各角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.解題技巧提煉分析圖形特征，根據(jù)對(duì)頂角的定義，首先判斷是否由兩條直線相交形成，其次再判斷兩個(gè)角的兩邊是否互為反向延長(zhǎng)線.【變式1-1】如圖中，∠1和∠2是對(duì)頂角的是（）A.B. C.D.【分析】根據(jù)對(duì)頂角的定義進(jìn)行判斷即可.【解答】解：由對(duì)頂角的定義可知，圖中的∠1與∠2是對(duì)頂角，故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)頂角，理解對(duì)頂角的定義是正確判斷的前提.【變式1-2】圖中∠1與∠2互為鄰補(bǔ)角的是（）A.B.C.D.【分析】利用鄰補(bǔ)角定義進(jìn)行解答即可.【解答】解：A、∠1與∠2對(duì)頂角，故此選項(xiàng)不合題意；B、∠1與∠2是鄰補(bǔ)角，故此選項(xiàng)符合題意；C、∠1與∠2不是鄰補(bǔ)角，故此選項(xiàng)不合題意；D、∠1與∠2是內(nèi)錯(cuò)角，故此選項(xiàng)不合題意；故選：B.【變式1-3】如圖，圖中鄰補(bǔ)角有幾對(duì)（）A.4對(duì) B.5對(duì) C.6對(duì) D.8對(duì)【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的概念判斷即可.【解答】解：∠1與∠2是鄰補(bǔ)角，∠1與∠4是鄰補(bǔ)角，∠3與∠2是鄰補(bǔ)角，∠3與∠4是鄰補(bǔ)角，∠5與∠6是鄰補(bǔ)角，∠5與∠8是鄰補(bǔ)角，∠6與∠7是鄰補(bǔ)角，∠7與∠8是鄰補(bǔ)角共8對(duì)，故選：D.【變式1-4】下列說(shuō)法正確的是（）A.互補(bǔ)的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角；B.相等的角必是對(duì)頂角；C.對(duì)頂角一定相等；D.若兩個(gè)角不是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角不相等.【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角以及對(duì)頂角的定義解決此題.【解答】解：A.有一條邊是公共邊，另一邊互為反向延長(zhǎng)線的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角，故A不符合題意.B.對(duì)頂角指角的兩邊互為反向的延長(zhǎng)線的兩個(gè)角，相等的角不一定是對(duì)頂角，故B不符合題意.C.根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)，得對(duì)頂角一定相等，故C符合題意.D.等腰三角形的底角相等，但兩個(gè)底角不是對(duì)頂角，故D不符合題意.故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查鄰補(bǔ)角以及對(duì)頂角，熟練掌握鄰補(bǔ)角以及對(duì)頂角的定義是解決本題的關(guān)鍵.【變式1-5】觀察下列各圖，尋找對(duì)頂角（不含平角）.如圖1，圖中有2條直線相交，則對(duì)頂角有

對(duì)；如圖2，圖中有3條直線相交于一點(diǎn)，則對(duì)頂角有

對(duì)；如圖3圖中有n條直線相交于一點(diǎn)，則對(duì)頂角有

對(duì).【分析】先將圖①②③中的對(duì)頂角對(duì)數(shù)求出來(lái)，觀察規(guī)律即可求解.【解答】解：當(dāng)2條直線相交于一點(diǎn)時(shí)對(duì)頂角有1×2=2對(duì)，當(dāng)3條直線相交于一點(diǎn)時(shí)對(duì)頂角有2×3=6對(duì)，當(dāng)4條直線相交于一點(diǎn)時(shí)對(duì)頂角有3×4=12對(duì)，∴對(duì)頂角對(duì)數(shù)與直線條數(shù)的關(guān)系為：對(duì)頂角對(duì)數(shù)=（直線條數(shù)-1）×直線條數(shù)，∴當(dāng)n條直線相交于一點(diǎn)時(shí)對(duì)頂角有（n﹣1）n=n2﹣n（對(duì)），故答案為：2；6；n2﹣n.題型二利用基本圖形識(shí)別對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角題型二利用基本圖形識(shí)別對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角【例題2】如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，∠AOE是直角.（1）直接寫出∠DOE的補(bǔ)角；（2）直接寫出∠DOE的余角；（3）若OF平分∠AOC，且∠COF＝20°，求∠DOE的度數(shù).【分析】（1）根據(jù)互補(bǔ)的定義確定∠DOE的補(bǔ)角；（2）根據(jù)互余的定義確定∠DOE的余角；（3）運(yùn)用平角的定義和角平分線的定義得∠DOE的度數(shù).【解答】解：（1）∠DOE的補(bǔ)角是：∠EOC.（2）∠DOE的余角是：∠DOB，∠AOC.（3）因?yàn)镺F平分∠AOC，所以∠AOC＝2∠COF＝40°，又因?yàn)椤螦OE＝90°，所以∠DOE＝180°﹣（∠AOE+∠AOC）＝180°﹣（90°+40°）＝50°.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線、補(bǔ)角、余角的定義以及角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題型，比較簡(jiǎn)單.解題技巧提煉準(zhǔn)確識(shí)別圖形，理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，再綜合角平分線的定義、對(duì)頂角的性質(zhì)及鄰補(bǔ)角的定義求解.【變式2-1】如圖，直線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠AOB＝48°，則∠COD的度數(shù)是（）A.42° B.48° C.96° D.132°【分析】根據(jù)對(duì)頂角相等解答即可.【解答】解：∵∠AOB和∠COD是對(duì)頂角，∴∠AOB＝∠COD，∵∠AOB＝48°，∴∠COD＝48°.故選：B.【變式2-2】如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，并且∠AOD＝3∠AOC，則∠AOD的度數(shù)為.【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義解決此題.【解答】解：∵∠AOD＝3∠AOC，∴∠AOC+∠AOD＝4∠AOC＝180°.∴∠AOC＝45°.∴∠AOD＝3∠AOC＝135°.故答案為：135°.【變式2-3】如圖，直線AC和直線BD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOC，若∠1+∠2＝80°，求∠3的度數(shù).【分析】由∠1+∠2＝80°，∠1＝∠2可求∠2，于是得出∠BOC的度數(shù)，再由OE平分∠BOC，即可求出∠3.【解答】解：∵∠1+∠2＝80°，∠1＝∠2，∴∠2＝40°，∴∠BOC＝180°﹣∠2＝140°，∵OE平分∠BOC，∴∠3=12∠【變式2-4】如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，已知∠BOE＝15°，∠AOD＝2∠DOE，則∠DOB的度數(shù)為.【分析】設(shè)∠DOB＝x，根據(jù)鄰補(bǔ)角的概念得到∠AOD＝180°﹣x，根據(jù)題意列出方程，解方程得到答案.【解答】解：設(shè)∠DOB＝x，則∠AOD＝180°﹣x，由題意得：180°﹣x＝2（x+15°），解得：x＝50°，∴∠DOB＝50°，故答案為：50°.【變式2-5】如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，∠AOC﹣2∠AOE＝20°，射線OF平分∠DOE，若∠BOD＝60°，求∠AOF的度數(shù).【分析】根據(jù)對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、角平分線的定義解決此題.【解答】解：∵∠AOC與∠BOD是對(duì)頂角，∴∠AOC＝∠BOD＝60°.∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝120°.∵∠AOC﹣2∠AOE＝20°，∴∠AOE＝20°.∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE＝100°.∵射線OF平分∠DOE，∴∠DOF=12∠DOE=50°.∴∠AOF＝∠AOD﹣∠DOF＝120°﹣50°【變式2-6】如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)E，射線EG在∠AEC內(nèi)（如圖1）.（1）若∠BEC的補(bǔ)角是它的余角的3倍，求∠BEC的角度；（2）若射線EF平分∠AED，∠FEG＝105°（如圖2），求∠AEG﹣∠CEG的值.【分析】（1）設(shè)∠BEC的度數(shù)為x，根據(jù)∠BEC的補(bǔ)角是它的余角的3倍列方程解方程可得；（2）根據(jù)角平分線的定義得：∠AEF＝∠DEF，根據(jù)∠FEG＝105°，得∠AEG＝105°﹣∠AEF，根據(jù)平角的定義可得∠CEG＝180°﹣105°﹣∠DEF，最后可得結(jié)論.【解答】解：（1）設(shè)∠BEC的度數(shù)為x，則180﹣x＝3（90﹣x），解得：x＝45°，∴∠BEC＝45°，（2）∵射線EF平分∠AED，∴∠AEF＝∠DEF，∵∠FEG＝105°.∴∠AEG+∠AEF＝105°，∵∠CEG＝180°+105°＝∠DEF＝75°+∠DEF，∴∠AEG﹣∠CEG＝105°﹣∠AEF＝（75°﹣∠DEF）＝30°.題型三有關(guān)垂線的綜合應(yīng)用題型三有關(guān)垂線的綜合應(yīng)用【例題3】如圖，點(diǎn)O在直線BD上，已知∠1＝20°，OC⊥OA，則∠DOC的度數(shù)為（）A.20° B.70° C.110° D.90°【分析】利用∠1與∠BOC互余求出∠BOC，利用∠DOC與∠BOC互補(bǔ)求出∠DOC.【解答】解：∵OC⊥OA，∠1＝20°，∴∠BOC＝90°﹣∠1＝90°﹣20°＝70°，∴∠DOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣70°＝110°，故選：C.解題技巧提煉結(jié)合垂直的條件確定已知角和未知角之間的關(guān)系，再結(jié)合角平分線、對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角等定義計(jì)算.【變式3-1】如圖，∠PQR＝132°，SQ⊥QR，QT⊥PQ，則∠SQT＝（）A.48° B.32° C.24° D.66°【分析】利用垂直的概念，得出∠PQS＝∠PQR°﹣90°，再利用互余的性質(zhì)，得出∠SQT＝∠PQT﹣∠PQS.【解答】解：∵，∠PQR＝132°，QT⊥PQ，∴∠PQS＝132°﹣90°＝42°，又∵SQ⊥QR，∴∠PQT＝90°，∴∠SQT＝∠PQT﹣∠PQS，＝90°﹣42°，＝48°.故選：A.【變式3-2】如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)E，EF⊥AB，垂足為E，∠CEA＝60°，則∠DEF的度數(shù)為（）A.100° B.120° C.150° D.160°【分析】根據(jù)對(duì)頂角相等得出∠DEB，根據(jù)垂直的定義求出∠FEB，相加可得結(jié)果.【解答】解：∵∠CEA＝60°，∴∠BED＝60°，∵EF⊥AB，∴∠FEB＝90°，∴∠DEF＝∠DEB+∠FEB＝60°+90°＝150°，故選：C.【變式3-3】如圖，直線AB、EF相交于點(diǎn)O，CD⊥AB于點(diǎn)O，∠EOD＝128°，則∠BOF的度數(shù)為.【分析】由平角的定義可知∠EOD+∠EOC＝180°，從而可求得∠EOC的度數(shù)，根據(jù)對(duì)頂角相等得∠DOF＝∠EOC＝52°，然后由垂線的定義可知∠DOB＝90°，從而求得∠BOF的度數(shù).【解答】解：∵∠EOD+∠EOC＝180°，∴∠EOC＝180°﹣128°＝52°，∴∠DOF＝∠EOC＝52°，∵CD⊥AB，∴∠DOB＝90°，∴∠BOF＝90°﹣52°＝38°，故答案為：38°.【變式3-4】在同一平面內(nèi)，若∠A與∠B的兩邊分別垂直，且∠A比∠B的3倍少20°，則∠A的度數(shù)為（）A.10° B.50° C.10°或130° D.10°或50°【分析】因?yàn)閮蓚€(gè)角的兩邊分別垂直，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，可設(shè)∠B是x度，利用方程即可解決問題.【解答】解：設(shè)∠B是x度，根據(jù)題意，得①兩個(gè)角相等時(shí)，如圖1：∠B＝∠A＝x，x＝3x﹣20，解得x＝10，故∠A＝10°，②兩個(gè)角互補(bǔ)時(shí)，如圖2：x+3x﹣20＝180，所以x＝50，3×50°﹣20°＝130°故∠A的度數(shù)為：10°或130°.故選：C.【變式3-5】如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOC，OF⊥CD.若∠BOD：∠BOE＝1：4，求∠AOF的度數(shù).【分析】由∠BOD：∠BOE＝1：4，列出關(guān)于∠BOD的方程，即可求出∠BOD的度數(shù)，根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠AOC的度數(shù)，再根據(jù)余角的定義，可得答案.【解答】解：設(shè)∠BOD＝x°，則∠BOE＝4x°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠BOE＝8x°，∵∠BOD+∠BOC＝180°，∴x+8x＝180，∴x＝20，∴∠AOC＝∠BOD＝x°＝20°，∵OF⊥CD，∴∠COF＝90°，∴∠AOF＝90°﹣∠AOC＝70°.【變式3-6】如圖，已知直線AB、CD相交于點(diǎn)O，射線OD平分∠BOF，OE⊥CD于點(diǎn)O，∠AOC＝35°.（1）求∠EOF的度數(shù)；（2）試判斷射線OE是否平分∠AOF，并說(shuō)明理由.【分析】（1）利用對(duì)頂角相等，角平分線的定義，垂線的性質(zhì)求解即可.（2）OE平分∠AOF.分別求出∠AOE，∠EOF即可判斷.【解答】解：（1）∵OD平分∠BOF，∴∠BOD＝∠DOF，∵∠BOD＝∠AOC＝35°，∴∠DOF＝35°，∵EO⊥CD，∴∠EOD＝90°，∴∠EOF＝90°﹣∠DOF＝55°.（2）OE平分∠AOF.理由如下：∵∠AOB＝180°，∠EOD＝90°，∴∠AOE+∠BOD＝90°，∵∠BOD＝35°，∴∠AOE＝55°，∵∠EOF＝55°，∴∠AOE＝∠EOF，∴OE平分∠AOF.題型四垂線段最短的實(shí)際應(yīng)用題型四垂線段最短的實(shí)際應(yīng)用【例題4】如圖，某地進(jìn)行城市規(guī)劃，在一條新修公路旁有一超市，現(xiàn)要建一個(gè)汽車站，且有A、B、C、D四個(gè)地點(diǎn)可供選擇.若要使超市距離汽車站最近，則汽車站應(yīng)建在（）A.點(diǎn)A處 B.點(diǎn)B處 C.點(diǎn)C處 D.點(diǎn)D處【分析】根據(jù)垂線段最短得出即可.【解答】解：建在點(diǎn)C處，根據(jù)垂線段最短，故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂線段最短，熟練掌握垂線段最短的知識(shí)點(diǎn)是解此題的關(guān)鍵.解題技巧提煉抽象成利用“垂線段最短”和“兩點(diǎn)之間，線段最短”求解的模型，再借助垂線段的性質(zhì)和線段的性質(zhì)求解.【變式4-1】如圖，某同學(xué)在體育課上跳遠(yuǎn)后留下的腳印，在圖中畫出了他的跳遠(yuǎn)距離，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識(shí)是（）A.兩點(diǎn)之間，線段最短 B.垂線段最短 C.兩點(diǎn)確定一條直線 D.經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直【分析】由點(diǎn)到直線的距離的定義及跳遠(yuǎn)比賽的規(guī)則作出分析和判斷.【解答】解：如圖，某同學(xué)在體育課上跳遠(yuǎn)后留下的腳印，在圖中畫出了他的跳遠(yuǎn)距離，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識(shí)是垂線段最短.故選：B.【變式4-2】如圖，斑馬線的作用是為了引導(dǎo)行人安全地通過馬路.小麗覺得行人沿垂直馬路的方向走過斑馬線更為合理，這一想法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（）A.過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直B.垂線段最短C.兩點(diǎn)之間，線段最短D.兩點(diǎn)確定一條直線【分析】由垂線的性質(zhì)，可選擇.【解答】解：A、垂線的一條性質(zhì)，故A不符合題意；B、直線外一點(diǎn)到這條直線上各點(diǎn)的連線中，垂線段最短，故B符合題意；C、連接兩點(diǎn)的所有線中，線段最短，故C不符合題意；D、兩點(diǎn)確定一條直線，是直線的性質(zhì)，故D不符合題意.故選：B.【變式4-3】如圖，生活中，有以下兩個(gè)現(xiàn)象，對(duì)于這兩個(gè)現(xiàn)象的解釋，正確的是（）A.兩個(gè)現(xiàn)象均可用兩點(diǎn)之間線段最短來(lái)解釋；B.現(xiàn)象1用垂線段最短來(lái)解釋，現(xiàn)象2用經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線來(lái)解釋；C.現(xiàn)象1用垂線段最短來(lái)解釋，現(xiàn)象2用兩點(diǎn)之間線段最短來(lái)解釋；D.現(xiàn)象1用經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線來(lái)解釋，現(xiàn)象2用垂線段最短來(lái)解釋.【分析】分別根據(jù)垂線段的性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)判斷即可.【解答】解：現(xiàn)象1用垂線段最短來(lái)解釋，現(xiàn)象2用兩點(diǎn)之間線段最短來(lái)解釋，故選：C.【變式4-4】如圖，點(diǎn)P，點(diǎn)Q分別代表兩個(gè)村莊，直線l代表兩個(gè)村莊中間的一條公路.根據(jù)居民出行的需要，計(jì)劃在公路l上的某處設(shè)置一個(gè)公交站.（1）若考慮到村莊P居住的老年人較多，計(jì)劃建一個(gè)離村莊P最近的車站，請(qǐng)?jiān)诠穕上畫出車站的位置（用點(diǎn)M表示），依據(jù)是；（2）若考慮到修路的費(fèi)用問題，希望車站的位置到村莊P和村莊Q的距離之和最小，請(qǐng)?jiān)诠穕上畫出車站的位置（用點(diǎn)N表示），依據(jù)是.【分析】（1）直接利用點(diǎn)到直線的距離的定義得出答案；（2）利用線段的性質(zhì)得出答案.【解答】解：（1）如圖，點(diǎn)M即為所示.依據(jù)是直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中垂線段最短（2）如圖，點(diǎn)N即為所示.依據(jù)是兩點(diǎn)之間線段最短；故答案為：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中垂線段最短；兩點(diǎn)之間線段最短.【變式4-5】已知點(diǎn)直線BC及直線外一點(diǎn)A（如圖），按要求完成下列問題：（1）畫出射線CA，線段AB.過C點(diǎn)畫CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D；（2）比較線段CD和線段CA的大小，并說(shuō)明理由；（3）在以上的圖中，互余的角為，互補(bǔ)的角為.（各寫出一對(duì)即可）【分析】（1）根據(jù)垂線的定義，線段，射線的定義作圖即可；（2）根據(jù)垂線段最短即可求解；（3）由互余、互補(bǔ)的定義解題即可.【解答】解：（1）如圖：（2）∵CD⊥AD，∴CA＞CD；（3）∵∠DAC+∠DCA＝90°，∴∠DAC與∠DCA互余，∵∠ADC+∠BDC＝90°+90°＝180°，∴∠ADC與∠BDC互補(bǔ)，故答案為：∠DAC、∠DCA；∠ADC、∠BDC.題型五點(diǎn)到直線的距離題型五點(diǎn)到直線的距離【例題5】如圖，線段AB外有一點(diǎn)P過點(diǎn)P作PE⊥AB垂足為E，連接PA、PB，PA＝8cm，PB＝6cm，PE＝4.5cm，若M是線段AB上任意一點(diǎn)，則P到M的最短距離為（）A.8cm B.6cm C.4.5cm D.無(wú)法確定【分析】根據(jù)垂線段最短得出即可.【解答】解：根據(jù)垂線段最短，則P到M的最短距離為不小于4.5cm，故選：C.解題技巧提煉分析圖形特征，結(jié)合已知條件利用點(diǎn)到直線的距離的定義:直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離得出答案.【變式5-1】如圖，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是點(diǎn)D，則下列說(shuō)法正確的是（）A.線段AC的長(zhǎng)表示點(diǎn)C到AB的距離 B.線段CD的長(zhǎng)表示點(diǎn)A到CD的距離 C.線段BC的長(zhǎng)表示點(diǎn)B到AC的距離 D.線段BD的長(zhǎng)表示點(diǎn)C到DB的距離【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離判斷即可得到答案.【解答】解：A、線段AC的長(zhǎng)是點(diǎn)A到BC的距離，錯(cuò)誤正確，不合題意；B、線段CD的長(zhǎng)是點(diǎn)C到AB的距離，錯(cuò)誤，不合題意；C、線段BC的長(zhǎng)是點(diǎn)B到AC的距離，正確，符合題意；D、線段BD的長(zhǎng)是點(diǎn)B到CD的距離，錯(cuò)誤，不合題意；故選：C.【變式5-2】下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)有（）①兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短；②過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；③平行于同一直線的兩條直線互相平行；④直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段叫做點(diǎn)到直線的距離.A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)【分析】根據(jù)直線的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離的定義，線段的性質(zhì)以及直線的表示對(duì)各小題分析判斷即可得解.【解答】解：①兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短，正確；②過平面上的一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故本命題錯(cuò)誤；③平行于同一直線的兩條直線互相平行，正確；④直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到直線的距離，故本命題錯(cuò)誤；綜上所述，正確的有①，③共2個(gè).故選：C.【變式5-3】點(diǎn)P為直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)A為直線l上一點(diǎn)，PA＝4cm，設(shè)點(diǎn)P到直線l的距離是dcm，則（）A.d＞4 B.d≥4 C.d＜4 D.d≤4【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離垂線段最短進(jìn)行求解即可.【解答】解：∵點(diǎn)P到直線l的距離是dcm，點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長(zhǎng)度，垂線段最短PA＝4cm∴d≤4，故選：D.【變式5-4】直線l上有A、B、C三點(diǎn)，直線l外有一點(diǎn)P，若PA=2cm,PB=4cm,PC=3cm,那么P點(diǎn)到直線l的距離是（）A.等于2cmB.小于2cmC.不大于2cmD.大于2cm且小于3cm【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義和垂線段最短的性質(zhì)解答.【解答】解：∵PA=2cm,PB=4cm,PC=3cm,∴P點(diǎn)到直線l的距離不大于2cm.故選：C.【變式5-5】如圖，在直角三角形ABC中，∠C＝90°.（1）畫出點(diǎn)C到AB的最短路徑CD；（2）請(qǐng)指出B到AC的距離是線段的長(zhǎng)度.【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離垂線段最短，即可得出答案.【解答】解：（1）根據(jù)題意，如圖所示，（2）B到AC的距離是線段BC的長(zhǎng)度，故答案為：BC.【變式5-6】如圖，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，AB＝5cm.（1）點(diǎn)B到AC的距離是cm；點(diǎn)A到BC的距是cm.（2）畫出表示點(diǎn)C到AB的距離的線段，并求這個(gè)距離.【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義求.（2）先畫垂線段，再計(jì)算距離.【解答】解：（1）∵∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，∴點(diǎn)B到AC的距離是線段BC的長(zhǎng)度，點(diǎn)A到BC的距是線段AC的長(zhǎng)度.故答案為：4，3.（2）如圖：作CD⊥AB于點(diǎn)D，則線段CD的長(zhǎng)度就是點(diǎn)C到AB的距離.∵S△ABC=12BC?AC=12AB?CD.∴CD=題型六同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的識(shí)別題型六同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的識(shí)別【例題6】同學(xué)們可仿照?qǐng)D用雙手表示“三線八角”圖形（兩大拇指代表被截直線，食指代表截線）.下面三幅圖依次表示（）A.同位角、同旁內(nèi)角、內(nèi)錯(cuò)角B.同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角C.同位角、對(duì)頂角、同旁內(nèi)角D.同位角、內(nèi)錯(cuò)角、對(duì)頂角【解答】解：根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念，可知第一個(gè)圖是同位角，第二個(gè)圖是內(nèi)錯(cuò)角，第三個(gè)圖是同旁內(nèi)角.故選：B.解題技巧提煉本題運(yùn)用了定義法，識(shí)別同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，其關(guān)鍵是看兩個(gè)角所涉及的直線是否只有三條，并且有沒有一條邊在同一直線（截線）上，如果沒有，就不是；如果有，再根據(jù)角的位置特征判斷.【變式6-1】如圖，下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（）A.∠1和∠4是內(nèi)錯(cuò)角B.∠4和∠5是同旁內(nèi)角C.∠2和∠4是對(duì)頂角D.∠3和∠5是同位角【分析】根據(jù)同位角、同旁內(nèi)角、內(nèi)錯(cuò)角的定義判斷即可.【解答】解：A、∠1和∠4不是內(nèi)錯(cuò)角，原說(shuō)法錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)符合題意；B、∠4和∠5是同旁內(nèi)角，原說(shuō)法正確，故此選項(xiàng)不符合題意；C、∠2和∠4是對(duì)頂角，原說(shuō)法正確，故此選項(xiàng)不符合題意；D、∠3和∠5是同位角，原說(shuō)法正確，故此選項(xiàng)不符合題意.故選：A.【變式6-2】如圖，下列結(jié)論：①∠2與∠3是內(nèi)錯(cuò)角；②∠1與∠A是同位角；③∠A與∠B是同旁內(nèi)角；④∠B與∠ACB不是同旁內(nèi)角，其中正確的是.（只填序號(hào)）【分析】根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的意義，結(jié)合圖形逐個(gè)判斷即可.【解答】解：如圖：∠2與∠3是直線AB、直線BC，被直線CD所截的一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角，因此①正確；∠1與∠A是直線CD、直線AC，被直線AB所截的一對(duì)同位角，因此②正確；∠A與∠B是直線AC、直線BC，被直線AB所截的一對(duì)同旁內(nèi)角，因此③正確；∠B與∠ACB是直線AB、直線AC，被直線BC所截的一對(duì)同旁內(nèi)角，因此④不正確.故答案為：①②③.【變式6-3】如圖所示，直線AB與BC被直線AD所截得的內(nèi)錯(cuò)角是；直線DE與AC被直線AD所截得的內(nèi)錯(cuò)角是；圖中∠4的內(nèi)錯(cuò)角是.【分析】根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角的定義找出即可.【解答】解：直線AB與BC被直線AD所截得的內(nèi)錯(cuò)角是∠1和∠3，直線DE與AC被直線AD所截得的內(nèi)錯(cuò)角是∠2和∠4，圖中∠4的內(nèi)錯(cuò)角是∠2和∠BED，故答案為：∠1和∠3，∠2和∠4，∠2和∠BED.【變式6-4】如圖：與∠FDB成內(nèi)錯(cuò)角的是；與∠DFB成同旁內(nèi)角的是.【分析】準(zhǔn)確識(shí)別內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的關(guān)鍵，是弄清哪兩條直線被哪一條線所截.也就是說(shuō)，在辨別這些角之前，要弄清哪一條直線是截線，哪兩條直線是被截線.【解答】解：如圖，與∠FDB成內(nèi)錯(cuò)角的是∠EFD、∠AFD和∠CBD，與∠DFB成同旁內(nèi)角的是：∠DBF、∠CDF、∠BDF和∠CBF.故答案分別是：∠EFD、∠AFD和∠CBD，∠DBF、∠CDF、∠BDF和∠CBF.【變式6-5】如圖所示，BF、DE相交于點(diǎn)A，BG交BF于點(diǎn)B，交AC于點(diǎn)C.（1）指出ED、BC被BF所截的同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角；（2）指出ED、BC被AC所截的內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角；（3）指出FB、BC被AC所截的內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角.【分析】根據(jù)同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同位角.內(nèi)錯(cuò)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角.同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角.進(jìn)行解答.【解答】解：（1）同位角：∠FAE和∠B；內(nèi)錯(cuò)角：∠B和∠DAB；同旁內(nèi)角：∠EAB和∠B；內(nèi)錯(cuò)角：∠EAC和∠BCA，∠DAC和∠ACG；同旁內(nèi)角：∠EAC和∠ACG，∠DAC和∠BCA；（3）內(nèi)錯(cuò)角：∠BAC和∠ACG，∠FAC和∠BCA；同旁內(nèi)角：∠BAC和∠BCA，∠FAC和∠ACG.【變式6-6】是∠2的同旁內(nèi)角，∠2是∠3的內(nèi)錯(cuò)角.（1）畫出示意圖，標(biāo)出∠1，∠2，∠3；（2）若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠1，∠2，∠3的度數(shù).【分析】（1）根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角；同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角進(jìn)行分析即可，進(jìn)而畫出圖形即可；（2）設(shè)∠3＝x，則∠2＝2x，∠1＝4x，利用鄰補(bǔ)角的關(guān)系得到x，進(jìn)而求出∠1，∠2，∠3的度數(shù).【解答】解：（1）如圖所示：（2）∵∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，∴設(shè)∠3＝x，則∠2＝2x，∠1＝4x，∵∠1+∠3＝180°，∴x+4x＝180°，解得：x＝36°，故∠3＝36°，∠2＝72°，∠1＝144°.相交線隨堂檢測(cè)1.如圖，兩條直線交于點(diǎn)O，若∠1+∠2＝80°，則∠3的度數(shù)為（）A．40° B．80° C．100 D．140°【解答】解：∵∠1＝∠2，∠1+∠2＝80°，∴∠1＝40°，∵∠1+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣∠1＝140°．故選：D．2.如圖，AC⊥BC，CD⊥AB，則點(diǎn)A到CD的距離是線段（）的長(zhǎng)度．A．CD B．AD C．BD D．BC【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的概念判斷即可．【解答】解：∵CD⊥AB，∴點(diǎn)A到AB的距離是線段AD的長(zhǎng)度，故選：B．3.已知點(diǎn)P在直線l上，過點(diǎn)P畫直線l的垂線，可以畫出多少條（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【分析】由垂線的性質(zhì)，即可選擇．【解答】解：∵在平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，∴點(diǎn)P畫直線l的垂線，只能畫一條．故選：A．4.如圖，已知直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠COB，如果∠EOB＝55°，那么∠BOD的度數(shù)是（）A．35° B．55° C．70° D．110°【分析】根據(jù)角平分線的定義，得∠BOC＝2∠EOB＝110°．再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義，得∠BOD＝180°﹣∠BOC＝70°．【解答】解：∵OE平分∠COB，∠EOB＝55°，∴∠BOC＝2∠EOB＝110°．∴∠BOD＝180°﹣∠BOC＝70°．故選：C．5.觀察如圖圖形，并閱讀相關(guān)文字：那么5條直線相交，最多交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A．10 B．14 C．21 D．15【分析】根據(jù)圖示解決問題．【解答】解：兩條直線相交，最多交點(diǎn)數(shù)為1個(gè)；三條直線相交，最多交點(diǎn)數(shù)為1+2＝3（個(gè)）；四條直線相交，最多交點(diǎn)數(shù)為1+2+3＝6（個(gè)）；五條直線相交，最多交點(diǎn)數(shù)為1+2+3+4＝10（個(gè)）．故選：A．6.如圖，在鐵路旁有一李莊，現(xiàn)要建一火車站，為了使李莊人乘車最方便，在鐵路線上選一點(diǎn)來(lái)建火車站，應(yīng)建在A點(diǎn)．理由：垂線段最短．【分析】從直線外一點(diǎn)到這條直線所作的垂線段最短，根據(jù)垂線段最短可得答案．【解答】解：根據(jù)垂線段最短可得：應(yīng)建在A處，理由：垂線段最短．故答案為：A，垂線段最短．7.如圖，直線AB、EF相交于點(diǎn)O，CD⊥AB于點(diǎn)O，∠EOD＝128°，則∠BOF的度數(shù)為38°．【分析】由平角的定義可知∠EOD+∠EOC＝180°，從而可求得∠EOC的度數(shù)，根據(jù)對(duì)頂角相等得∠DOF＝∠EOC＝52°，然后由垂線的定義可知∠DOB＝90°，從而求得∠BOF的度數(shù)．【解答】解：∵∠EOD+∠EOC＝180°，∴∠EOC＝180°﹣128°＝52°，∴∠DOF＝∠EOC＝52°，∵CD⊥AB，∴∠DOB＝90°，∴∠BOF＝90°﹣52°＝38°，故答案為：38°．8.一個(gè)