拔尖2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題突破專題33圓與新定義綜合問題

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘（全國通用）

專題33圓與新定義綜合問題

典例剖析“

【例1】（2022?石景山區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，點(diǎn)P不在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)。關(guān)于x

軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)戶關(guān)于），軸的對稱點(diǎn)為。2,稱△PPP2為點(diǎn)。的“關(guān)聯(lián)三角形”.

（1）已知點(diǎn)A（1,2）,求點(diǎn)A的“關(guān)聯(lián)三角形”的面積；

（2）如圖，已知點(diǎn)8（〃?，加），。丁的圓心為7（2,2）,半徑為2.若點(diǎn)B的“關(guān)聯(lián)三

角形”與。丁有公共點(diǎn)，直接寫出機(jī)的取值范圍；

（3）已知00的半徑為八OP=2r,若點(diǎn)P的“關(guān)聯(lián)三角形”與。。有四個公共點(diǎn)，直

接寫出NPPIP2的取值范圍.

【分析】（1）根據(jù)x軸，y軸對稱，求出相應(yīng)的對稱點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式求出面

積即可；

（2）四邊形OAQC是07.的外接四邊形，Q求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，即可判斷；

（3）分兩種情形：當(dāng)PP2與。。相切于點(diǎn)E時，如圖2中，當(dāng)PP1與00相切于點(diǎn)產(chǎn)

時，如圖3中，分別求解即可.

【解答】解：（I）???點(diǎn)4（1,2）關(guān)于x軸對稱的對稱點(diǎn)（1,-2）,點(diǎn)A關(guān)于yz軸對稱

的點(diǎn)42（-1,2）,

=X2X4=4：

?^AAA：A2f

（2）???07'的圓心為?。?,2）,半徑為2,

???四邊形OAOC是07的外接四邊形（如圖1中），

???￡>（4,4）,

???點(diǎn)5的“關(guān)聯(lián)三角形”與or有公共點(diǎn)，且B（/?,〃）,

二2-&V〃W4；

(3)當(dāng)PP2與OO相切于點(diǎn)￡時，如圖2中，

VOE=r,OP=2r,

：.ZOPE=30°,

???NOPPI=/OPIP=60°,

???當(dāng)60°VNOP]PV90"時，點(diǎn)尸的“關(guān)聯(lián)三角形”與。。有四個公共點(diǎn).

：,ZOPF=ZOP\P=3^,

.??當(dāng)()°VNOP/V300時，點(diǎn)。的“關(guān)聯(lián)三角形”與。。有四個公共點(diǎn)，

綜上所述，點(diǎn)P的“關(guān)聯(lián)三角形”與OO有四個公共點(diǎn)，/尸PP2的取值范圍為：0°<

圖2

圖1

【例2】（2022?朝陽區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系宜萬中，。。的半徑為1,48=1,且A,B

兩點(diǎn)中至少有一點(diǎn)在。。外.給出如下定義：平移線段A8,得到線段A'B'（A',B'

分別為點(diǎn)A,8的對應(yīng)點(diǎn)），若線段A'B,上所有的點(diǎn)都在。。的內(nèi)部或上，則線段

A4'長度的最小值稱為線段AB到0。的“平移距離”.

（1）如圖1,點(diǎn)4,B\的坐標(biāo)分別為（-3,0）,（-2,0）,線段4出到。。的“平移

距離”為2,點(diǎn)M色的坐標(biāo)分別為（-￡,林，線段上班到OO

乙乙

的“平移距離”為_除_:

（2）若點(diǎn)A,B都在直線y=?x+2正上，記線段AB到。。的“平移距離”為d,求

d的最小值：

（3）如圖2,若點(diǎn)4/標(biāo)為（1,V3）＞線段4B到00的“平移距離”為1,畫圖并說

明所有滿足條件的點(diǎn)6形成的圖形（不需證明）.

【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，以及線段A8到。。的“平移距離”的定義判斷即可.

（2）如圖1中，作等邊△OEE,點(diǎn)E在入?軸上，OE=EF=OF=\,設(shè)直線尸相"2盯

交x軸于也，交y軸于M則M（-2,0）,N（0,2行），過點(diǎn)石作于從解

直角三角形求出E”即可判斷.

（3）如圖3,連接04,交。。于點(diǎn)A',則04=2,AA'=1,運(yùn)用“平移距離”的定

義和平移的性質(zhì)即可得出答案.

【解答】解：（1）根據(jù)“平移距離”的定義可得：線段4用到。。的“平移距離”為2,

如圖1,設(shè)A282與），軸交于￡線段上仍向下平移得到的弦A'2〃2,線段A'2B'

2與），軸交于點(diǎn)F,

則A'2尸=2,OA'2=1,OE=^J'3,

2

??.。尸=返，

2

JAM'2=￡尸=?！辍?。/=?一返=返，

22

???線段上班到。。的“平移距離”為與.

故答案為：2,畢,

2

（2）如圖2中，作等邊△0EE點(diǎn)E在x軸上，0E=EF=0F=l,

設(shè)直線交x軸于M,交），軸于M則M（-2,0）,N（0,245），

過點(diǎn)E作EH_LMN于從

'：0M=2,0N=2?,

???lanNMW0=V§,

???NNMO=60°,

，石”=￡M?sin60。二①，

2

觀察圖象可知，線段延到。。的“平移距離”為力的最小值為返.

2

（3）如圖3,連接04,交。0于點(diǎn)X,

則0A={F+（而）2=2,

???。4到OO任意一點(diǎn)距離的最小值為0V-OA-1-1,

???點(diǎn)“（A,近），

22

設(shè)平移后圓上另一點(diǎn)為8',由題意得：A'B'=1,

有三種情況：

①點(diǎn)8,與點(diǎn)0重合，則點(diǎn)8的坐標(biāo)為（』，返）；

22

②點(diǎn)4'與點(diǎn)（1,0）重合，則點(diǎn)8的坐標(biāo)為（2,Y2）；

22

③點(diǎn)夕與點(diǎn)（-￡,g）重合，則點(diǎn)8的坐標(biāo)為（0,V3）；

乙乙

[例3]（2022?開福區(qū)校級一模）我們不妨定義：有兩邊之比為1：近的三角形叫敬“勤

業(yè)三角形”.

（1）下列各三角形中，一定是“勤業(yè)三角形”的是③④；（填序號）

①等邊三角形；②等腰直角二.角形；③含30。角的直角三角形；④含120°角的等腰一：

角形.

（2）如圖1,△A8C是。0的內(nèi)接三角形，AC為直徑，D為AB上一點(diǎn)、,且8。=24。，

作OEJ_OA,交線段OA于點(diǎn)尺交于點(diǎn)E,連接B石交AC于點(diǎn)G.試判斷AAE力

和△48E是否是“勤業(yè)三角形”？如果是，請給出證明，并求出工旦的值；如果不是，請

BE

說明理由；

（3）如圖2,在（2）的條件下，當(dāng)ABFG=2：3時，求/出強(qiáng)的余弦值.

E

C

G

O

A

D

圖1圖2

【分析】(1)根據(jù)“勒業(yè)三角形”的定義進(jìn)行計(jì)算，即可一一判定：

(2)如圖，連結(jié)設(shè)可證得NA3E=a,AADE^AAEB,可得

AE^=AB*AD,結(jié)合可得A8=?AE,即可判定△AE。和△A3E都是“勤

3

業(yè)三角形”，再根據(jù)柞似三角形的性質(zhì)即可求得膽的值；

BE

(3)如圖，過點(diǎn)G作G/〃AB交。E于點(diǎn)/,可得△FG/s/\"。，AE/G^AEDB,可

設(shè)EG=3m則BE=4a,利用股巫，可求得E。=生旦EF=^Z1從而可得

BE335

答案.

【解答】解：①等邊三角形各邊的比值為1,故等邊三角形不是“勤業(yè)三角形”：

②等腰直角三角形兩直角邊的比值為1,直角邊與斜邊的比為1：血，故等腰直角三角

形不是“勤業(yè)三角形”；

③設(shè)含30角的直角三角形的最短邊長為〃，則斜邊長為2a,另一條直角邊長為fa,a：

V3?=l：4E，故含30°角的直角三角形是“勤業(yè)三角形"；

④如圖：ZkABC中，AB=AC,Za=120°,過點(diǎn)A作AQ_LBC于點(diǎn)。，

設(shè)AO=a,PPJAB=AC=2a,BD=DC=J^a,

???8C=2“Z’

/.AB：BC=AC：BC=1：V3?

?；含120c角的等腰三角形是“勤業(yè)三角形”,

故答案為：③④;

(2)解：/XAEO和△A3E都是“勤業(yè)三角形”,

證明如下：

如圖：連接?！?設(shè)

???ZAOE=2ZABE=2a,

?：OA=OE，

：,ZOAE=—(180°-ZAOE)=—(180°-2a)=90°

22

XVDEIAC,

AZAED+ZOAE=9()°,即NAEQ+90，-a=90°,

???^AED=ZABE=a,

叉,：4EAD=4BAE,

???^ADE^AAEB,

,AE_AD_DE

AB"AB"EB'

AEr=AD*AB,

<BD=2AD,

：.AD=—AB

3t

???AE24AB2,AE2=3AD2,

J

.AE1AD1

??-~?--------~~T=",

ABAEV3

和△ARE都是“勒業(yè)二角形

.DE_AE_1_V3

一前加詬工

(3)解：如圖：過點(diǎn)G作G/〃4B交OE于點(diǎn)/,

c

AAFG/^AMD,AE/G^AED^,

,GI_IF__GF_3EG__GI__EI

“AD-DF-AF-2'EB-BD.ED'

q

：,GI=-AD

2f

\'BD=2AD,

???'GI'=3'

BD4

?EG二￡1二fl二3

??前而而N

設(shè)七G=3mEB=4a,

由(2)知，理工1,

BE3

??.曰=曰￡。=?小DI=ED?El=^-a$a烏a，

433

??”整DlWa，

DD

:.EF=￡/+/F=V3a+—a=a，

55

在RlZ\E『G中，

673

cosN在叵

EG3a5

即COS/BED=3&.

5

【例4】（2022?清苑區(qū)二模）【問題提出】

如圖1,。0與直線。相離，過圓心。作直線。的垂線，垂足為“，且交。。于P、Q兩

點(diǎn)（Q在P、〃之間）.我們把點(diǎn)夕稱為OO關(guān)于直線。的“遠(yuǎn)點(diǎn)”，把PQ?P〃的值稱為

OO關(guān)于直線。的“遠(yuǎn)望數(shù)”.

（1）如圖2,在平面直角坐標(biāo)系X。,?中，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0,4）,過點(diǎn)E畫垂直于y軸

的直線〃?，則半徑為1的OO關(guān)于直線m的“遠(yuǎn)點(diǎn)”坐標(biāo)是（直7）,直線m

向下平移3或5個單位長度后與GO相切.

（2）在（1）的條件下求OO關(guān)于直線機(jī)的“遠(yuǎn)望數(shù)”.

【拓展應(yīng)用】

（3）如圖3,在平面直角坐標(biāo)系工0），中，直線/經(jīng)過點(diǎn)（）），與y軸交于點(diǎn)N,

點(diǎn)尸坐標(biāo)為（I,2）,以R為圓心，。尸為半徑作。立若。尸與直線/相離，O是0尸關(guān)

于直線/的“遠(yuǎn)點(diǎn)”.且關(guān)于直線/的“遠(yuǎn)望數(shù)”是12遍，求直線/的函數(shù)表達(dá)式.

【分析】（1）根據(jù)遠(yuǎn)點(diǎn)，遠(yuǎn)望數(shù)的定義判斷即可.

（2）根據(jù)遠(yuǎn)望數(shù)的定義，求出4645的長即可解決問題.

（3）如圖，設(shè)直線/的解析式為），=匕+4連接。尸并延長，交OF于H,交直線/于點(diǎn)

G,設(shè)直線/交y軸于N（0,〃），由勾股定理及解直角三角形求出點(diǎn)N（0,3后,再

運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案.

【解答】解：（1）根據(jù)“遠(yuǎn)點(diǎn)”定義,可得點(diǎn)A是0。關(guān)于直線機(jī)的“遠(yuǎn)點(diǎn)”，

???。。的半徑為1,

AA（0,-1）；

???點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0,4）,

；?OA=4,

???當(dāng)直線m向下平移3個單位或5個單位后。。相切，

故答案為：（0，-1）,3或5.

（2）??,￡的坐標(biāo)為（0,4）,OB=OA=\,

：,AE=OE+OA=5,AB=2,

關(guān)于直線用的“遠(yuǎn)望數(shù)”=A8?AE=2X5=10.

（3）設(shè)直線/的解析式為y=匕+/?JW0）,

連接。尸并延長，交OF于H,交直線/于點(diǎn)G,設(shè)直線/交），軸于N（0,〃）,

???點(diǎn)/坐標(biāo)為（I,2）;

；?OF=yj12+22=V5?

???。尸為OF的半徑，

：.OH=2?

???O是。/關(guān)于直線/的“遠(yuǎn)點(diǎn)”.且0/關(guān)于直線/的“遠(yuǎn)望數(shù)”是12遙,

???OG_LMN于點(diǎn)G,0H、0G=\2標(biāo),

即2^506=12^5.

???OG=G,

二點(diǎn)M（6心0）,

：?OM=6正,

=22

：?MGVOM-OG=V（6V5）2-62=12,

ONOG

??FanNNM0==

OMMG

.n_6

yF

/.n=3yf5,

:.N（0,3巫）,

把M（6正,0）,N（0,3V5）分別代入）=依+力awo）,

得］6V5k+b=0

lb=3V5'

2

解得；，2,

b=3V5

???直線/的函數(shù)表達(dá)式為_y=+3遙

滿分訓(xùn)練.

一.解答題（共20題）

1.（2022?長沙縣校級三模）約定：若三角形一邊上的中線將三角形分得的兩個小三角形中

有一個三角形與原三角形相似，我們則稱原三角形為關(guān)于該邊的“優(yōu)美三角形”.例如：

如圖1,在△A8C中，AO為邊3c上的中線，△A3。與△43C相似，那么稱△A4C為關(guān)

于邊的“優(yōu)美三角形”.

（1）如圖2,在AA4c中，BC=4^AB,求證：△A5C為關(guān)于邊6C的“優(yōu)美三角形”；

（2）如圖3,已知△ABC為關(guān)于邊8c的“優(yōu)美三角形”，點(diǎn)。是△ABC邊8C的中點(diǎn)，

以BD為直徑的。0恰好經(jīng)過點(diǎn)A.

①求證：直線C4與G。相切：

②若。。的直徑為2加，求線段A8的長；

（3）已知三角形ABC為關(guān)于邊4c的“優(yōu)美三角形"，4C=4,N4=30°,求△4BC的

面積.

【分析】（1）利用兩達(dá)成比例，夾角相等證明即可求解；

（2）①連接0A,證明NCAO+/OAQ=90°,可得。4_LAC,再由OA是。0的半徑,

即可證明直線AC與。。相切；

②由△C4OS/\CBA,求出4。=4?,再由&=或=返，設(shè)AO=&x,則48=2x,

ADDC2

在Rt^ABD中，利用勾股定理求出x的值，即可求AB=4；

（3）過點(diǎn)A作A￡_L8C交于￡點(diǎn)，分兩種情況討論：①若△BADSABCA,可求.48=

2V2.在RtZiABE中，AE=-AB=yj2^則S”3C=工辦￡：?8。=2近；②若△CAZ）s

22

△C8A,可求AC=2血，在RlZXABE中，設(shè)則/邁=?x,CE=4-V3v?在

RhMEC中，利用勾股定理可求x=J5±l,再求S"6C=,?4石?8。=245±2.

【解答】（1）證明：:4。是中線，

.?.8Q=28C=亞A8,

22

,BD_AB_V2

ABCB~2'

；?△4BOS/\CBA,

???△A8C是關(guān)于邊8C的“優(yōu)美三角形”;

(2)①證明：連接0A,

???XRBC為關(guān)于邊BC的“優(yōu)美三角形”，

:.XCQsXCBN,

：,ZCAD=ZCBA,

?：OA=OB,

：,ZOAB=ZCBA,

：.^CAD=ZOAB,

???8。是。。的直徑，

.??N/MO=9()°,

：.^OAB+ZOAD=W,

???NC4Z)+NOAD=90°,

：.OA±AC.

???Q1是00的半徑，

?,?直線AC與OO相切；

②解：VACAD^ACSA,

：.A(^=CD*BC,

?"C=4V§,

..AD_AC_V2

,ABBC2'

設(shè)則4B=2x,

在RtAABD中，AB2+AD2=BD2,即4』+2^=24,

；?x=2,

???43=4；

(3)解：過點(diǎn)A作AEJ_8C交于E點(diǎn)，

①若△ZMOS^BCA,

:,AB2=BD*BC,

:.AB=2版,

在中，ZB=30°,

:.AE=~AB=42^

2

/.SAABC=—?AE?8C=2&：

2

②若△CAQSACBA,

.,?AC2=CQ?BC,

：.AC=2yJ~2,

在RtZMBE中，ZB=30°,

設(shè)AE=x,則BE=/§x,

???CE=4-V3r>

在RtZ\AEC中，AC1=AE1+CE1,

，7+(4-V3v)2=8,

解得1,

???S,M8C=2?4E?BC=26±2;

2

綜上所述：△ABC的面積為2近或2y±2.

圖1

2.(2022?西城區(qū)校級模擬)點(diǎn)P(xi,)"),QCx2,￥2)是平面直角坐標(biāo)系中不同的兩個點(diǎn)，

且xiRr.若存在一個正數(shù)A,使點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)滿足|)“-泗=%1-文2|,則稱P,Q為

一對“限斜點(diǎn)”，女叫做點(diǎn)P,Q的“限斜系數(shù)”，記作左(P,Q).由定義可知，k(P,

Q)=k(Q,P).

例：若P(l,0),Q(3,-1),有-3|,所以點(diǎn)P,Q為一對“限斜點(diǎn)”，且

224

“限斜系數(shù)”為士.

4

已知點(diǎn)4(1,0),B(2,0),C(2,-2),D(2,—).

2

(1)在點(diǎn)A,B,C,D中，找出一對“限斜點(diǎn)”：A、C或4、D,它們的“限斜系

數(shù)”為2或1；

(2)若存在點(diǎn)E,使得點(diǎn)E,A是一對“限斜點(diǎn)”，點(diǎn)E,B也是一對“限斜點(diǎn)”，且它

們的“限斜系數(shù)”均為I.求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)。0半徑為3,點(diǎn)M為。0上一點(diǎn)，滿足M7=l的所有點(diǎn)7；都與點(diǎn)C是一定“限

斜點(diǎn)”，且都滿足女(7,C)21,直接寫*點(diǎn)M的橫坐標(biāo)用w的取值范圍.

【分析】(1)根據(jù)定義通過計(jì)算求解即可；

(2)設(shè))，)，由題意可得II，bi=|x-2],求解方程即可求點(diǎn)E的坐標(biāo);

(3)由題意可知C點(diǎn)在直線)，=-x上，T點(diǎn)在以M為圓心1為半徑的圓上，/點(diǎn)在以

0為圓心3為半徑的圓上，則丁點(diǎn)在以O(shè)為圓心2為半徑的圓上或以O(shè)為圓心4為半徑

的圓上，當(dāng)7點(diǎn)在直線了=-X上時，k=\,再由大(7,C)21,可知7點(diǎn)在直線)，=-

x的上方，丁點(diǎn)在直線y=-x的上方，直線y=x-4的上方，半徑為2的圓和半徑為4

的圓構(gòu)成的圓環(huán)內(nèi)部.

【解答】解：(1)A(1,0),C(2,-2),<|0+2|=2|1-2|,

???4、C為一對“限斜點(diǎn)”，且“限斜系數(shù)”為2；

A(1,0),D(2,—),有|0-3=2|1-2|,

222

??洛、。為一對“限斜點(diǎn)”，且“限斜系數(shù)”為」；

2

故答案為：A、?；駻、。，2或工：

2

(2)設(shè)石(x,y),

???M=b",M=lx-2|,

A|x-l|=k-2|,

解得x=W，

2

(3)VC(2,-2),

:?C點(diǎn)在直線)，=-x上,

VA/T=1,

???7點(diǎn)在以M為圓心1為半徑的圓上,

???M點(diǎn)在以O(shè)為圓心3為半徑的圓上，

???7的軌跡是半徑為2的圓和半徑為4的圓構(gòu)成的圓環(huán)，

當(dāng)丁點(diǎn)在直線y=-x上時，設(shè)7(〃?，-W,

/.|-nj+2\=k\m-2\,

k=\

Vk(T,C)21,

工7點(diǎn)在直線y=-x的上方，直線y=x-4的上方，半徑為2的圓和半徑為4的圓構(gòu)成

的圓環(huán)內(nèi)部,如圖所示，

:.-旦加WXMW4.

2

3.(2022?常州一模)對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形M、M給出如下定義：P為圖形

M上任意一點(diǎn)，Q為圖形N上任意一點(diǎn)，如果尸、。兩點(diǎn)間的距離有最小值，那么稱這

個最小值為圖形M、N間的“圖距離“，記作d(M,N).已知點(diǎn)4(-2,6),8(-2,

-2),C(6,-2).

(1)d(點(diǎn)O,AABC\

(2)線段L是直線y=x(-2WxW2)上的一部分，若d(3AABC)=1,且L的長

度最長時，求線段L兩個端點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

(3)。7的圓心為7",0),半徑為1.若d(O7,△ABC)=1,直接寫出，的取值范

【分析】(1)圓出圖形，結(jié)合定義即可求解;

(2)線段L上點(diǎn)R(-L7)到△ABC的邊48的距離是1,到邊8c的距離是1；過

點(diǎn)S作SH//X軸交AC于點(diǎn)”,直線)，=x交線段AC于點(diǎn)G,過G點(diǎn)作GWLGH交于W,

V?

求出直線AC與直線y=x的交點(diǎn)G(2,2),在等腰直角三角形aSG”中，求出GW=牛,

貝I」可求5(2-亞，2-亞)，即可求解；

22

(3)分三種情況討論：①當(dāng)07在△ABC的左側(cè)時，7(-4,0)；②當(dāng)在△ABC內(nèi)

部時，當(dāng)T點(diǎn)與。點(diǎn)重合時，滿足題意；過7點(diǎn)作7M_LAC交十M,設(shè)直線AC與x軸

交點(diǎn)為M則是等腰直角三角形，求出7X4-2加,0),可得0W/W4-2a時，

若d(3,△48C)=1；③當(dāng)在右側(cè)時，過7點(diǎn)作7K_L4c交于K,同②可

求7(4+2近，0),則/=-4或0W/W4-2&或f=4+2⑦時，4(07,△ABC)=1.

【解答】解：(1)如圖1,點(diǎn)。到△ABC的最短距離為2,

(點(diǎn)O,△A4C)=2：

(2)如圖2,VA5=8,BC=8,

???NA=NC=45°,

??'=/是第一、三象限的角平分線，

，直線y=x垂直線段AC,

線段L上點(diǎn)R(-1,-1)至的邊AB的距離是1,到邊BC的距離是1,

設(shè)線段L上點(diǎn)S到線段AC的距離為1,

過點(diǎn)S作S”〃x軸交AC于點(diǎn)從直線y=x交線段4c于點(diǎn)G,過G點(diǎn)作GWJ_GH交

于W,

設(shè)直線AC的解析式為y=h+A,

,f-2k+b=6

l6k+b=-2,

解得(k=T，

Ib=4

二尸-x+4,

聯(lián)立方程組(y=x,

(y=-x+4

解得卜=2

ly=2

:.G(2,2),

???△SGH是等腰直角三角形，

VSG=1,

.?.GW=—,

2

2號

.??線段SR的長是線段L長的最大值，

此時線段L的兩個端點(diǎn)橫坐標(biāo)為-1，2-亞;

2

（3）①當(dāng)。丁在△A6C的左側(cè)時,

'：d（OT,△ABC）=1,OT的半徑為1，

???7(-4,0),

.*./=-4：

②當(dāng)Or在內(nèi)部時，

如圖3,當(dāng)7點(diǎn)與。點(diǎn)重合時，d9T,△4BC）=1,

此時r=0,

如圖4,過r點(diǎn)作7M_LAC交于M,設(shè)直線4c與工軸交點(diǎn)為M

???48=8,BC=8,

/.ZA=ZC=45°,

：?NMNP=45°,

是等腰直角三角形，

,:TM=2,

???77V=2近，

.???。?-2近，0）,

???/=4?a，

.??0./W4?2班時,若d（OT,△ABC）=1；

③如圖5,當(dāng)。丁在△/IBC右側(cè)時，過了點(diǎn)作7K_LAC交于K,

由②可知△K77V是等腰直角三角形，

,:TK=2,

,77V=2加,

.??7（4+2近，0）,

.*./=4+2^2：

綜上所述：/=-4或0WfW4-2*\/^或

圖3

圖2

r-r-r-=

4.（2022?秦淮區(qū)二模）【概念認(rèn)識】

與矩形一邊相切（切點(diǎn)不是頂點(diǎn)）且經(jīng)過矩形的兩個頂點(diǎn)的圓叫做矩形的第I類圓；與

矩形兩邊相切（切點(diǎn)都不是頂點(diǎn)）且經(jīng)過矩形的一個頂點(diǎn)的圓叫做矩形的第H類圓.

【初步理解】

（1）如圖①?③，四邊形A8CO是矩形，OOi和。02都與邊AQ相切，03與邊A8

相切，OOi和003都經(jīng)過點(diǎn)8,。3經(jīng)過點(diǎn)。，3個圓都經(jīng)過點(diǎn)C.在這3個圓中，是

矩形/WCO的第I類圓的是①，是矩形/WCO口勺第II類圓的是②.

【計(jì)算求解】

（2）已知一個矩形的相鄰兩邊的長分別為4和6,直接寫出它的第I類圓和第H類圓的

半徑長.

【深入研究】

（3）如圖④，已知矩形ABCD,用直尺和圓規(guī)作圖.（保留作圖痕跡，并寫出必要的文

字說明）

①作它的1個第I類圓;

②作它的1個第n類版.

【分析】(1)由定義直接判斷即可；

(2)第I類圓分兩種情況求：當(dāng)AO=6,AB=4時和AO=4,BC=6時：第I類圓和第

II類圓都利用勾股定理和垂徑定理求解即可；

(3)第一步：作/B4Z)的平分線；第二步：在角平分線上任取點(diǎn)E,過點(diǎn)E作E凡LA。，

垂足為點(diǎn)F;第三步：以點(diǎn)E為圓心，E/為半徑作圓E,交AC于點(diǎn)G,連接/G；第四

步過點(diǎn)C作C，〃尸G,CH交AD于點(diǎn)H；第五步過點(diǎn)〃作AO的垂線，交NBA。的平

分線于點(diǎn)O;第六步：以點(diǎn)。為圓心，O”為半徑的圓，OO即為所求第II類圓.

【解答】解：(1)由定義可得，①的矩形有一條邊4D與OOi相切，點(diǎn)仄C在圓上，

???①是第I類圓；

②的矩形有兩條邊人。、與03相切，點(diǎn)C在圓上，

，②是第n類圓；

故答案為：①，②；

(2)如圖1,設(shè)A0=6,AB=4,切點(diǎn)為E,過點(diǎn)。作EFLBC交BC于F,交AO于上，

連接BO,

設(shè)BO=r,則OE=r,0F=4-r,

由垂徑定理可得，BF=CF=3,

在RtZ\B。尸中，於=(4-r)2+32,

解得「=空：

8

如圖2,設(shè)入。=4,8c=6,切點(diǎn)為E,過點(diǎn)。作EILAC交于凡交AD于E,連

接B0，

設(shè)BO=r,則OE=r,。尸=6-r,

由垂徑定理可得，BF=CF=2,

在尸中，r=(6-r)2+22,

解得「=衛(wèi)；

3

綜上所述：第I類圓的半徑是絲或兇；

83

如圖3,40=6,A8=4,過點(diǎn)。作MN_LAO交于點(diǎn)M,交8c于點(diǎn)N,連接OC,

設(shè)A8邊與。0的切點(diǎn)為G,連接OG,

：.GO1AB,

設(shè)。M=r,貝l」OC=r,則0N=4-r,

?：OG=r,

:.BN=r,

:,NC=6-r,

在Rt^OCN中，/=(4-r)2+(6-r)2,

解得r=10-

???第II類圓的半徑是10-473；

(3)①如圖4,

第一步，作線段4。的垂直平分線交于點(diǎn)￡

第二步，連接EC,

笫三步，作EC的垂直平分線交石尸于點(diǎn)O,

第四步，以。為圓心，￡0為半徑作圓，

???。。即為所求第I類圓；

②如圖5,

第一步：作N84O的平分線；

第二步：在角平分線上任取點(diǎn)E,過點(diǎn)￡作垂足為點(diǎn)F;

第三步：以點(diǎn)E為圓心，七尸為半徑作圓日交AC于點(diǎn)G,連接/G；

第四步：過點(diǎn)。作C”〃尸G,CH交AD于點(diǎn)H；

第五步：過點(diǎn)〃作A。的垂線，交N84。的平分線于點(diǎn)0：

第六步：以點(diǎn)。為圓心，0H為半徑的圓，00即為所求第H類圓.

圖2

ED

5.（2022?豐臺區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系宜萬中，。。的半徑為1,A為任意一點(diǎn)，8為。0

上任意一點(diǎn).給出如下定義：記A,8兩點(diǎn)間的距離的最小值為〃（規(guī)定：點(diǎn)A在。。上

時，〃=0）,最大值為外那么把號的值稱為點(diǎn)4與O。的“關(guān)聯(lián)距離”，記作d（A,

O。）.

（1）如圖，點(diǎn)。，E,尸的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù).

①d（。，。0）=2；

②若點(diǎn)M在線段石尸上，求“（M,00）的取值范圍；

（2）若點(diǎn)N在直線y=?x+K巧上，直接寫出，/（MOO）的取值范圍；

（3）正方形的邊長為那，若點(diǎn)P在該正方形的邊上運(yùn)動時，滿足d（P,OO）的最小值

為I，最大值為'而，直接寫出，〃的最小值和最大值.

【分析】（1）①運(yùn)用新定義“關(guān)聯(lián)距離”，即可求得答案；

②根據(jù)新定義“關(guān)聯(lián)距離”，分別求出OO）=2,d（F,OO）=3,即可得出答

案；

（2）設(shè)ON=d,可得p=d-1,q=d+l,運(yùn)用新定義“關(guān)聯(lián)距離”，可得d（M0。）

=d,再利用S"03=』04?08=2A8?ON,即可求得答案；

22

(3)如圖2,找出特殊位置，分別畫出圖形，即可得出答案.

【解答】解：(1)①(0,2)到。0的距離的最小值〃=1,最大值q=3,

1+3

：.d(D,OO)=-^=2,

2

故答案為：2；

②當(dāng)M在點(diǎn)E處，d(E,。。)=2,

當(dāng)M在點(diǎn)尸處，d(F,。。)=21=3,

2

???2W4(M,OO)C3；

(2)設(shè)ON=d,

:.p=d-r=d-1,q=d+r=d+l,

(MOO)=21a=d-l+d+l=d,

22

???點(diǎn)N在直線y=V3K+W§上，

設(shè)直線交工軸于點(diǎn)從交)，軸于點(diǎn)A,如圖1,

貝i]x=0時，y=2?,y=0時，x=?2,

?"(0,2V3)，B(-2,0),

：.OA=2^j3,08=2,

/MB=V0A2-H3B2=4>

當(dāng)。N_LA8時，d(MO。)最小，

S^AOB=—OA?Oli=—AR*ON,即』X2yX?.=—X40M

2222

：?0N=g,

???ON無最大值，

：.d(N,O。)^V3；

(3)如圖2,???d(P,0O)的最小值為I,最大值為J15，

，兩個同心圓中，小圓的半徑為1，大圓的半徑為03，

VKL=V10-1，

???〃?的最小值是華工=《后-零"，

V22

在RlZkOMH中，OM=V15，0H=m-1,MH=^rn,

2

:.(m-1)2+(Xn)2=(V10)2,

解得：〃?=-2(舍去)或"?=￥；

6.（2022?大興區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系xQv中，。。的半徑為1,己知點(diǎn)A,過點(diǎn)A作

直線MM對于點(diǎn)A和直線MN,給出如下定義：若將直線繞點(diǎn)4順時針旋轉(zhuǎn)，直線

MN與。。有兩個交點(diǎn)時，則稱MN是。O的“雙關(guān)聯(lián)直線”，與。。有一個交點(diǎn)P時，

則稱MN是的“單關(guān)聯(lián)直線”，4P是。。的“單關(guān)聯(lián)線段”.

（1）如圖1,A（0,4）,當(dāng)MN與），軸重合時，設(shè)MN與。0交于C,。兩點(diǎn).則MN

是OO的“雙關(guān)聯(lián)直線”（填“雙”或“單”）；區(qū)的值為§交立；

AD-5-3-

（2）如圖2,點(diǎn)A為直線y=-3/4上一動點(diǎn)，4P是。。的“單關(guān)聯(lián)線段”.

①求OA的最小值；

②直接寫出△APO面積的最小值.

（2）①利用垂線段最短，過點(diǎn)0作。4垂直于直線），=-3x+4于點(diǎn)A,則此時0A最小，

利用三角形的面積公式解答即可；

②利用。。的“單關(guān)聯(lián)線段”的定義可得AP與。。相切，判斷0A最小時，尸。的面

積最小，利用勾股定理和直角三角形的面積公式解答即可.

【解答】解：（1）當(dāng)MN與），軸重合時，

???MN與。。交于C,D兩點(diǎn),

.??根據(jù)。。的“雙關(guān)聯(lián)直線”的定義可知：是。。的“雙關(guān)聯(lián)直線”：

當(dāng)點(diǎn)C在y軸的正半軸時，人。=3,人。=5,

.AC.3

??;

AD5

當(dāng)點(diǎn)。在），軸的正半粕時，AD=3,AC=5,

?

???AC'=5,

AD3

綜上，空的值為：或與

AD53

故答案為：雙：3或主：

53

（2）①過點(diǎn)。作。A垂直于直線），=-3x+4于點(diǎn)4如圖，

設(shè)直線y=-3x+4與)，軸交于點(diǎn)M,與x軸交于點(diǎn)M

令x=0,則y=4,

:,M(0,4),

???OM=4,

令y=0,貝lj-3x+4=0,

.r_4

3

4、

:.N(z—,0),

3

4

：.ON=土,

3

???^=VOM2X)N2=?

o

7

SA0W4XOM.ON吾XOA?MN,

乙乙

??.4X3=±ZI^XO4

33

.如=班

5

②△APO的面積最小值為堡?.理由：

10

???AP是。。的“單關(guān)聯(lián)線段”，

???AP與OO相切于點(diǎn)P,則OP_LOA,即△APO為直角三角形，

由于?△人PO的一個直角邊為1,當(dāng)。1最小時，△人PO的面積最小,

???當(dāng)。4垂直于直線.y=-3x+4于點(diǎn)A時，△APO的面積最小.

連接OP,如圖，

由題意：AP為OO的切線，

：.AP10P,

A/'P=VOA2-OP2=,

???尸。的面積最小值為gx隼X1=率.

2510

7.(2022?寧波模擬)定義：圓心在三角形的一條邊上，并與三角形的其中一邊所在直線相

切的圓稱為這個三角形的切圓，相切的邊稱為這個圓的切邊.

(1)如圖1,△A3C中，AB=CB,N4=3()°,點(diǎn)。在AC邊上，以O(shè)C為半徑的O。

恰好經(jīng)過點(diǎn)8,求證：。。是AABC的切圓.

(2)如圖2,△AbC中，A6=AC=5,fiC=6,0O是△AbC的切圓，且另外兩條邊都

是。。的切邊，求。。的半徑.

(3)如圖3,△人中，以A8為直徑的恰好是△48C的切圓，AC是OO的切邊,

O。與8c交于點(diǎn)F,取弧8尸的中點(diǎn)。，連接AD交BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作于

點(diǎn)、H,若CF=8,8尸=10,求AC和的長.

圖1圖2圖3

【分析】(1)連接。8,說明AB是圓的切線即可利用新定義得出結(jié)論;

(2)利用分類討論的方法分兩種情況解答：①當(dāng)圓心。在8C邊上，。。與AB,AC邊

相切于點(diǎn)ALN時，連接OA,OM,ON,利用切線長定理和切線的性質(zhì)定理，和相似三

角形的判定定理與性質(zhì)求得線段DM,再利用勾股定理即可求出圓的半徑：②當(dāng)圓心O

在4c邊上，。0與AB,邊相切于點(diǎn)M,N時，連接OM,ON,BO,過點(diǎn)A作A”

_L8C于點(diǎn)”，利用切線的性質(zhì)定理和三角形的面積公式，設(shè)OM=ON=r,列出方程即

可求解：

（3）連接AF,利用直徑所對的圓周角為直角和切線的性質(zhì)定理證明得到△AC/S/^AF,

利用相似三角形的性質(zhì)求的4凡利用勾股定理求得AC；利用角平分線的性質(zhì)求得巴月

BE,再利用平行線分線段成比例定理即可求得EH.

【解答】（1）證明：連接（陽，如圖，

AZ4=ZC=30°.

???NC4B=1800-ZA-ZC=120°.

?：OB=OC,

AZO?C=ZC=30°.

：.ZOBA=ZC8A-ZOBC=90°.

即O8_LBA.

?.?0/3是圓的半徑，

???48與OO相切.

???圓心O在AC邊上，

???。。是△ABC的切圓；

(2)解：①當(dāng)圓心。在BC邊上，00與AB,AC邊相切于點(diǎn)M,N時,

連接。4,OM,ON,如圖，

：.OM1AB,ON±AC,AO平分NBAC.

：AB=AC,

：,AOLBC,OB=OC=—BC=3.

2

???A0_L8。，OMLAB,

??.△BOA/s/xw.

,OBBM

■?—

ABOB

,3BM

??

53

9

，8M=*.

5

AOM=^/OB2-BM2=V;

□

②當(dāng)圓心。在AC邊匕。。與A8,BC邊相切于點(diǎn)M,N時,

連接OM,ON,BO,過點(diǎn)A作人H_LBC于點(diǎn)，，如圖，

設(shè)OM=ON=r,

???A8,BC是00的切線,

：.OM±AB,ON±BC.

*：AB=AC,AHme,

；.BH=CH=2BC=3,

2

???A"=、AB2-BH2=4.

???S/kABC弓X8C?AH=￡X6><4=12.

,**S；^\HC=S/\ABO^S^CHOr

...J.xA4?什』X6c?，=12.

22

???yX5r-^X6r=12.

?l24

11

綜上，。。的半徑為孕或空；

511

(3)解：連接AF,如圖,

E'B

D

?.?A4為。。的直徑，

：,AFLBC.

???OO是△ABC的切圓，AC是OO的切邊，

：.AB±AC.

，AACFsXBAF.

?,■AF—BF

CFAF

,AF10

8AF

.*./1F=4A/5.

.,MC=^/CF2+AF2=i2,

A/?=VAF2+BF2=6^^-

???。是弧BF的中點(diǎn)，

：.ZFAD=ZBAD.

...FE二步_4?二2

「BE~AB6^5~3,

設(shè)FE=2k,則3E=3k,

,：BF=FE+BE=\(),

：.2k+3k=\O.

:?k=2.

：.EF=4fBE=6.

???￡”?AC1AB,

J.EH//AC.

?BEEH

??"i一二.

BCAC

._6__EH

??8+10二12.

：.EH=4.

8.(2022?朝陽區(qū)一模)在平面直角坐標(biāo)系xO.v中，對于直線/：)，=心:+兒給出如下定義:

若直線/與某個圓相交，則兩個交點(diǎn)之間的距離稱為直線/關(guān)于該圓的“圓截距”.

(1)如圖1,OO的半徑為1,當(dāng)&=1,0=1時，直接寫出直線/關(guān)于OO的“圓截距”:

（2）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1,0）,

①如圖2,若。M的半徑為1,當(dāng)b=l時，直線/關(guān)于。”的“圓截距”小于求

%的取值范圍;

②如圖3,若OM的半徑為2,當(dāng)女的取值在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)變化時，直線/關(guān)于0M的“圓

截距”的最小值2,直接寫出〃的值.

【分析】（1）根據(jù)A和〃的值直接寫出直線的解析式，設(shè)直線與工軸交于點(diǎn)A，與），軸交

于點(diǎn)8,根據(jù)勾股定理求出“圓截距”即可；

（2）①根據(jù)圓的垂徑定理，確定弦長為當(dāng)后時，弦的位置，注意分類，確定直線的解

5

析式，根據(jù)直線的增減性確定出的取值范圍即可：

②當(dāng)最短弦長為2時，分弦在x軸上方和x軸下方兩種情況討論求解.

【解答】解：（1）:4=1,b=\,

???直線/的解析式為），=x+l,

設(shè)直線與工軸交于點(diǎn)A,與