新教材2025屆高考數(shù)學(xué)二輪專項分層特訓(xùn)卷二命題點加強(qiáng)練命題點2常用邏輯用語小題突破

命題點2常用邏輯用語一、單項選擇題1．[2024·天津模擬]已知命題p：?x>0，使得(x＋1)ex>1，則?p為()A．?x≤0，使得(x＋1)ex≤1B．?x>0，使得(x＋1)ex≤1C．?x>0，使得(x＋1)ex<1D．?x≤0，使得(x＋1)ex≤12．[2024·河南駐馬店模擬]已知p：x＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，q：sinx＝1，則p是q的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．[2024·安徽安慶模擬]已知向量a，b是兩個單位向量，則“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))<eq\r(2)”是“〈a，b〉為銳角”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件4．[2024·山東臨沂模擬]“θ＝kπ±eq\f(π,3)(k∈Z)”是“θ＝eq\f(kπ,3)(k∈Z)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件5．[2024·安徽宿州模擬]“cosα＝eq\f(1,2)”是“cos2α＝－eq\f(1,2)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件6．[2024·北京通州模擬]等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，前n項和為Sn，則“a1>0”是“{Sn}是遞增數(shù)列”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件7．[2024·全國甲卷]“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的()A．充分條件但不是必要條件B．必要條件但不是充分條件C．充要條件D．既不是充分條件也不是必要條件8．[2024·河南開封模擬]a，b為實數(shù)，則“a>b>1”是“|lna|>|lnb|”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件9．[2024·新課標(biāo)Ⅰ卷]記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，設(shè)甲：{an}為等差數(shù)列；乙：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列，則()A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件10．[2024·安徽黃山模擬]“a<1”是“函數(shù)f(x)＝log2[(1－a)x－1]在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增”的()A．充分不必要條件B．充要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件二、多項選擇題11．[2024·遼寧沈陽二中二模]對隨意實數(shù)a，b，c，給出下列命題，其中假命題是()A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要條件B．“a>b”是“a2>b2”的充分條件C．“a<5”是“a<3”的必要條件D．“a＋5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充分不必要條件12．[2024·江蘇南通模擬]下列命題正確的是()A．“a>1”是“eq\f(1,a)<1”的充分不必要條件B．命題“?x<1，x2<1”的否定是“?x<1，x2≥1”C．設(shè)x，y∈R，則“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要不充分條件D．設(shè)a，b∈R，則“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分條件[答題區(qū)]題號123456789101112答案三、填空題13．已知命題p：“?x∈[1，2]，a<x＋eq\f(1,x)”，若p為真命題，則實數(shù)a的取值范圍為________．14．[2024·河南鄭州模擬]若“?x∈R，x2－6ax＋3a<0”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍為________．15．[2024·山東濰坊模擬]若“x＝α”是“sinx＋cosx>1”的一個充分條件，則α的一個可能值是________．16．[2024·遼寧大連模擬]已知p：－x2＋4x－3≥0，q：a－1≤x≤2a－3(a>2)，若p是q的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍為________．命題點2常用邏輯用語(小題突破)1．解析：依據(jù)命題的否定的定義，因為命題p：?x>0，使得(x＋1)ex>1，所以?p為?x>0，使得(x＋1)ex≤1，故選B.答案：B2．解析：若x＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)則sinx＝1，或sinx＝－1，故由p得不到q；若sinx＝1，則x＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z),所以由q可以推出p，故p是q的必要不充分條件．故選B.答案：B3．解析：因為a，b為單位向量，所以由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))<eq\r(2)兩邊平方得a2－2a·b＋b2＝2－2a·b<2，所以得a·b>0，而〈a，b〉∈[0，π]，所以a，b夾角為0或銳角；所以“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))<eq\r(2)”是“〈a，b〉為銳角”的必要不充分條件．故選B.答案：B4．解析：因為{θeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(θ＝\f(kπ,3)，k∈Z))}＝{θeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(θ＝kπ－\f(π,3)))或θ＝kπ或θ＝kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z}，所以，，因此，“θ＝kπ±eq\f(π,3)(k∈Z)”是“θ＝eq\f(kπ,3)(k∈Z)”的充分不必要條件．故選A.答案：A5．解析：由cosα＝eq\f(1,2)可得cos2α＝2cos2α－1＝－eq\f(1,2)，即充分性成立；當(dāng)cos2α＝2cos2α－1＝－eq\f(1,2)時，可得cosα＝±eq\f(1,2)；所以必要性不成立；所以“cosα＝eq\f(1,2)”是“cos2α＝－eq\f(1,2)”的充分不必要條件．故選A.答案：A6．解析：在等比數(shù)列{an}中，取a1＝1，q＝－1，此時an＝(－1)n－1，{an}為搖擺數(shù)列，∴S1＝1>S2＝0，故充分性不成立；若等比數(shù)列{an}的公比為q，且{Sn}是遞增數(shù)列，∴Sn>Sn－1，∴Sn－Sn－1>0，∴n≥2，an＝a1qn－1>0，a2＝a1q>0，a3＝a1q2>0，則a1>0，所以，數(shù)列{Sn}為遞增數(shù)列時，a1>0成立，故必要性成立．所以，“a1>0”是“數(shù)列{Sn}為遞增數(shù)列”的必要不充分條件．故選B.答案：B7．解析：當(dāng)sin2α＋sin2β＝1時，例如α＝eq\f(π,2)，β＝0但sinα＋cosβ≠0，即sin2α＋sin2β＝1推不出sinα＋cosβ＝0；當(dāng)sinα＋cosβ＝0時，sin2α＋sin2β＝(－cosβ)2＋sin2β＝1，即sinα＋cosβ＝0能推出sin2α＋sin2β＝1.綜上可知，sin2α＋sin2β＝1是sinα＋cosβ＝0成立的必要不充分條件．故選B.答案：B8．解析：因為a>b>1，依據(jù)對數(shù)函數(shù)y＝lnx單調(diào)性可知lna>lnb>0成立，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(lna))>eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(lnb))，即“a>b>1”是“|lna|>|lnb|”的充分條件，取a＝eq\f(1,3)，b＝2，此時eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(lna))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,3)))＝ln3>ln2＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ln2))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(lnb))，但a<1<b，故“a>b>1”不是“|lna|>|lnb|”的必要條件，所以“a>b>1”是“|lna|>|lnb|”的充分不必要條件．故選A.答案：A9．解析：方法一甲：{an}為等差數(shù)列，設(shè)其首項為a1，公差為d，則Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d，eq\f(Sn,n)＝a1＋eq\f(n－1,2)d＝eq\f(d,2)n＋a1－eq\f(d,2)，eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝eq\f(d,2)，因此eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；反之，乙：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列，即eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝eq\f(nSn＋1－（n＋1）Sn,n（n＋1）)＝eq\f(nan＋1－Sn,n（n＋1）)為常數(shù)，設(shè)為t，即eq\f(nan＋1－Sn,n（n＋1）)＝t，則Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)，有Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2，兩式相減得：an＝nan＋1－(n－1)an－2tn，即an＋1－an＝2t，對n＝1也成立，因此{(lán)an}為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件，C正確．方法二甲：{an}為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列{an}的首項a1，公差為d，即Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d，則eq\f(Sn,n)＝a1＋eq\f(（n－1）,2)d＝eq\f(d,2)n＋a1－eq\f(d,2)，因此eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；反之，乙：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列，即eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝D，eq\f(Sn,n)＝S1＋(n－1)D，即Sn＝nS1＋n(n－1)D，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D，當(dāng)n≥2時，上兩式相減得：Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D，當(dāng)n＝1時，上式成立，于是an＝a1＋2(n－1)D，又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D為常數(shù)，因此{(lán)an}為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件．故選C.答案：C10．解析：令u＝(1－a)x－1，y＝log2u，若f(x)＝log2[(1－a)x－1]在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，因為y＝log2u是(1，＋∞)上的增函數(shù)，則需使u＝(1－a)x－1是(1，＋∞)上的增函數(shù)且u>0，則1－a>0且1－a－1≥0，解得a≤0.因為，故a<1是a≤0的必要不充分條件，故選C.答案：C11．解析：A：由a＝b有ac＝bc，當(dāng)ac＝bc不肯定有a＝b成立，必要性不成立，假命題；B：若a＝1>b＝－2時a2<b2，充分性不成立，假命題；C：a<5不肯定a<3，但a<3必有a<5，故“a<5”是“a<3”的必要條件，真命題；D：a＋5是無理數(shù)則a是無理數(shù)，若a是無理數(shù)也有a＋5是無理數(shù)，故為充要條件，假命題．答案：ABD12．解析：對于A，eq\f(1,a)<1即為a<0或a>1，因為a>1可以推出a<0或a>1，a<0或a>1推不出a>1，故“a>1”是“eq\f(1,a)<1”的充分不必要條件，故A正確．對于B，命題“?x<1，x2<1”的否定是“?x<1，x2≥1”，故B正確．對于C，當(dāng)x≥2且y≥2時，有x2＋y2≥8≥4，取x＝y(tǒng)＝eq\r(2)，滿意x2＋y2≥4，但x≥2且y≥2不成立，故“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要條件，故C錯誤．對于D，取a＝1≠0，b＝0，此時ab＝0，故ab≠0不成立，當(dāng)ab≠0時，必有a≠0，故“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分條件，故D正確．故選ABD.答案：ABD13．解析：由p為真命題，有a<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\do7(min)，而函數(shù)y＝x＋eq\f(1,x)在x∈[1，2]上單調(diào)遞增，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\do7(min)＝2.答案：(－∞，2)14．解析：由條件可知“?x∈R，x2－6ax＋3a≥0”為真命題，則Δ＝36a2－12a≤0，即0≤a≤eq\f(1,3).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))15．解析：由sinx＋cosx>1可得eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))>1，則sin(x＋eq\f(π,4))>eq\f(\r(2),2)，所以2kπ＋eq\f(π,4)<x＋eq\f(π,4)<2kπ＋eq\f(3π,4)(k∈Z)，解得2kπ<x<2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，因為“x＝α”是“sinx＋cosx>1”的一個充分條件，故α的一個可能取值為eq\f(π,4).答案：eq\f(π,4)(只需滿意α∈eq\b\lc\