2024-2025學年江西省“三新協同教研共同體”高二上學期12月聯考數學試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年江西省“三新協同教研共同體”高二上學期12月聯考數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知拋物線C:y=ax2(a>0)，則拋物線C的焦點到準線的距離為A.14a B.12a C.2a 2.已知直線l:sin20°?x+cos20A.20° B.70° C.160°3.已知向量a=(1,2,?2)，b=(2,y,1)，且b在a上的投影數量為455，則實數A.655 B.?25 C.24.三名同學每人均從江西井岡山、廬山、三清山和龍虎山四大名山中任選一個旅游，則這四大名山中僅有廬山未被選中的概率為(

)A.34 B.827 C.495.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AP=λAB+λADA.90° B.45° C.60°6.已知直線l:sin2α?x+y+cos2α=0(α∈R)與圓C:x2+yA.2 B.27 C.27.已知O為坐標原點，點P在雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)上，點A，B分別在雙曲線C的兩條漸近線上，且|OA|=4|OB|=4，若△OAPA.5或52 B.2 C.5 8.在等腰直角△ABC中，AC=BC=22，M是△ABC所在平面內的一點，滿足|MA+MB+A.1 B.13 C.23二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.某單位安排7名員工周一到周日為期一周的值日表，每名員工值日一天且不重復值班，其中甲不排在周一，乙不排在周三，則不同的安排方案種數為(

)A.A77?2A66+A510.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F，A為y軸上一點，且|AF|=6，線段AF與拋物線C相交于點B，AB=A.|OA|=82 B.p=4

C.直線AF的方程為4x+2y?8=0 D.11.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2A.當y=x，z=1時，三棱錐B?CDM的體積為43

B.當x+y+z=1，且|C1M|=573時，點M的軌跡的長度為2π

C.當x∈[0,1]，y=z=1時，|B1M|+|MD|的最小值為5

D.當三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知e=(2,?4,z)是直線l的一個方向向量，n=(?1,y,?12)是平面α的一個法向量，若l⊥α，則13.若一個三位數中十位上的數字比百位上的數字和個位上的數字都大，則稱這個數為“凸數”，如360，253等都是“凸數”.用0，1，2，3，4這五個數字組成無重復數字的三位數，則在組成的三位數中“凸數”的個數為

.(用數字作答)14.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F，左、右頂點分別為A，B，過點F且與x軸垂直的直線交橢圓C于點P，若PQ=2QF，直線四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)已知雙曲線C的中心為坐標原點O，焦點F1，F2在坐標軸上，離心率為6(1)求雙曲線C的標準方程;(2)過點A作直線與雙曲線C的一條漸近線垂直，垂足為B，求△OAB的面積．16.(本小題12分)按要求完成下列問題：(1)從n個不同的小球中取出m個有A種方法，從n個不同的小球中取出m?1個有B種方法，從n+1個不同的小球中取出m個有D種方法，試判斷A+B與D的大小關系，并證明你的結論;(2)若C30+C17.(本小題12分)

如圖1，等腰直角△ABC的斜邊BC=4，D為BC的中點，沿BC上的高AD折疊，使得二面角B?AD?C為60°，如圖2，M為CD的中點．

(1)證明：BM⊥AC．(2)求二面角M?AB?D的余弦值．(3)試問在線段AC上是否存在點Q，使得直線MQ與平面ABM所成角的正弦值為210?若存在，求出線段AQ的長度18.(本小題12分)已知拋物線C:y2=2px(p>0)上一點P(1,2)，過點P作圓M:(x?2)2+y(1)當r=1時，求△MAB的面積;(2)證明：直線AB過定點．19.(本小題12分)在平面直角坐標系xOy中，定義：d(A,B)=|x1?x2(1)已知A(2,0)，d(A,B)=2，求|AB|的取值范圍．(2)我們把到兩定點F1(?1,0)，F2(1,0)的“曼哈頓距離”之和為?①求軌跡Γ上的動點M與直線2x?y+8=0上的動點P的“曼哈頓距離”的最小值．?②若多邊形的頂點都在同一個橢圓上，我們將這個橢圓稱為該多邊形的外接橢圓，軌跡Γ的外接橢圓為C.若H，N，K，Q這四個點均在橢圓C上，直線HN過橢圓C的右焦點，且滿足HQ=NK，求四邊形HNKQ面積的最大值．參考答案1.B

2.C

3.A

4.D

5.D

6.B

7.A

8.B

9.ABC

10.BD

11.AD

12.3

13.14

14.1215.解：(1)由雙曲線C過點A(22,0)，可設方程為x28?y2b2=1(b>0)，

則e2=1+b28=(62)2，得b2=4，

∴16.解：(1)A+B=D，

證明如下：易知A=Cnm，B=Cnm?1，D=Cn+1m，

A+?B=Cnm+Cnm?1=n!(n?m)!m!+n!(n?m+1)!(m?1)!

=n!×(n?m+1)(n?m)!m!×(n?m+1)+n!×m(n?m+1)!(m?1)!×m

=n!×(n+1)(n?m+1)!m!17.解：(1)在圖1的等腰直角△ABC中，D為BC的中點，則AD⊥BC，

所以在圖2中，有AD⊥BD，AD⊥CD，

又BD∩CD=D，BD、CD?平面BCD，

所以AD⊥平面BCD，

因為BM?平面BCD，

所以AD⊥BM．

因為AD⊥平面BCD，所以∠BDC是二面角B?AD?C的平面角，

即∠BDC=60°，所以△BCD為正三角形，

因為M為CD的中點，所以CD⊥BM，

因為AD∩CD=D，AD、CD?平面ACD，

所以BM⊥平面ACD，

因為AC?平面ACD，

所以BM⊥AC．

(2)以D為原點，DC，DA所在直線分別為y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．

易知A(0,0,2)，B(3,1,0)，C(0,2,0)，M(0,1,0)，

所以AB=(3,1,?2)，BM=(?3,0,0)．

設平面ABM的法向量為n1=(x,y,z)，

則3x+y?2z=0,?3x=0,所以平面ABM的一個法向量為n1=(0,2,1)．

同理平面ABD的個法向量為n2=(?1,3,0)，

所以cos<n1，n2>=n1?n2|n1||n2|=2325=155，

18.解：(1)因為點P(1,2)在拋物線C:y2=2px上，

所以4=2p，解得p=2，則拋物線C:y2=4x．

當r=1時，直線x=1為圓M的一條切線，

不妨設直線x=1為直線PA，則A(1,?2)．

設直線PB的方程為y?2=k(x?1)，即kx?y?k+2=0．

因為直線PB為圓M的切線，所以d=r，即|2k?k+2|k2+1=1，解得k=?34，

則PB的方程為y=?34x+114．

由y=?34x+114,y2=4x,得9x2?130x+121=0．

設B(x0,y0)，則1?x0=1219，解得x0=1219，

所以y0=?223，則B(1219,?223).

又因為A(1,?2)，所以直線AB的方程為y=?37x?117，

則|AB|=1+(?37)2|x0?xA|=16589，

又點M到直線AB的距離為175858，

所以S△MAB19.解：(1)設點B(x,y)，則d(A,B)=|x?2|+|y|=2，

則當x≥2，y≥0時，有x+y=4;

當x<2，y≥0時，有x?y=0;

當x≥2，y<0時，有x?y=4;

當x<2，y<0時，有x+y=0．

作出圖象，如圖所示，

則|AB|的取值范圍為[2,2]．

(2)?①設到兩定點F1(?1,0)，F2(1,0)的“曼哈頓距離”之和為4的點為R(x,y)，

則Γ的方程為|x+1|+|y|+|x?1|+|y|=4，即|x+1|+|x?1|+2|y|=4．

畫出Γ的圖象，其為六邊形，如圖所示

作與直線2x?y+8=0平行且過六邊形的左頂點的直線，易得此直線方程為2x?y+4=0，

在直線2x?y+8=0上任取一點P，以P為中心作曼哈頓正方形交直線2x?