上海市金山區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期12月質(zhì)量監(jiān)控（一模）數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024學(xué)年金山區(qū)第一學(xué)期質(zhì)量監(jiān)控高三數(shù)學(xué)試卷（滿分：150分，完卷時(shí)間：120分鐘）（答題請(qǐng)寫在答題紙上）一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果．1．已知全集，集合，則_________．2．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)___________．3．已知函數(shù)的表達(dá)式為則的值為_________．4．已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則的值為_________．5．的二項(xiàng)展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為_________．6．以為圓心且過點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是______________________．7．已知某圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為，半徑為的扇形，則該圓錐的母線與底面所成角的大小為_________．8．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則的值為_________．9．在內(nèi)，使成立的的取值范圍是__________．第10題圖10．某海濱浴場(chǎng)平面圖是如圖所示的半圓，其中是圓心，直徑為400米，是弧的中點(diǎn)．一個(gè)急救中心在棧橋中點(diǎn)上，計(jì)劃在弧上設(shè)置一個(gè)瞭望臺(tái)，并在間修建浮橋．已知越大，瞭望臺(tái)處的視線范圍越大，則處的視線范圍最大時(shí)，的長(zhǎng)度為米．（結(jié)果精確到1米）第10題圖11．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣n次（其中n為大于等于2的整數(shù)），設(shè)事件：n次中既有正面朝上又有反面朝上，事件：n次中至多有一次正面朝上，若事件A與事件B是獨(dú)立的，則n的值為_________．12．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量、滿足，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到向量．若，，則的最大值為_________．二、選擇題（本題共有4題，滿分18分，13、14每題4分，15、16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑．13．函數(shù)是（）． （A）最小正周期為的奇函數(shù) （B）最小正周期為的偶函數(shù) （C）最小正周期為的奇函數(shù) （D）最小正周期為的偶函數(shù)14．若“”是“”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）． （A）（B）（C） （D）15．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯用不同的平面截同一圓錐，得到了圓錐曲線，其中的一種如圖所示．用過點(diǎn)且垂直于圓錐底面的平面截兩個(gè)全等的對(duì)頂圓錐得到雙曲線的一部分，已知高，底面圓的半徑為4，為母線的中點(diǎn)，平面與底面的交線，則雙曲線的兩條漸近線所成角的余弦值為（）．第15題圖（A） （B） （C） （D）第15題圖16．已知三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)相等，且側(cè)棱兩兩垂直．設(shè)為該三棱錐表面（含棱）上異于頂點(diǎn)、、、的點(diǎn)，記．若集合中有且只有2個(gè)元素，則符合條件的點(diǎn)有（）個(gè)．（A）3 （B）6 （C）7（D）10三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．17．（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．已知常數(shù)，函數(shù)的表達(dá)式為．（1）證明：函數(shù)是奇函數(shù)；（2）若函數(shù)在區(qū)間的最大值為，求實(shí)數(shù)的值．18．（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，平面，是的中點(diǎn)，，．（1）證明：平面；第18題圖（2）求點(diǎn)到平面的距離．第18題圖19．（本題滿分14分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分,第3小題滿分6分．某高中舉行了一次知識(shí)競(jìng)賽．為了了解本次競(jìng)賽成績(jī)情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．將成績(jī)進(jìn)行整理后，依次分為五組（，，，，），其中第1組的頻率為第2組和第4組頻率的等比中項(xiàng)．請(qǐng)根據(jù)下面的頻率分布直方圖（如圖所示）解決下列問題：（1）求、的值；（2）從樣本數(shù)據(jù)在，兩個(gè)小組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法抽取7名學(xué)生，再?gòu)倪@7名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，求選出的兩人恰好來自不同小組的概率；第19題圖（3）某老師在此次競(jìng)賽成績(jī)中抽取了10名學(xué)生的分?jǐn)?shù)：，已知這10個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，方差，若剔除其中的95和81兩個(gè)分?jǐn)?shù)，求剩余8個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)與方差．第19題圖20．（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分．已知橢圓，拋物線與有一個(gè)相同的焦點(diǎn)．過點(diǎn)作互相垂直的兩條直線與，直線與交于點(diǎn)、，直線與交于點(diǎn)、．（1）求橢圓的離心率及拋物線的方程；（2）若直線的傾斜角為，求中點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）四邊形的面積是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．21．（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分．對(duì)于函數(shù)圖像上不同的三點(diǎn)、、（其中），記點(diǎn)處的切線為，若，則稱為函數(shù)在區(qū)間上的“點(diǎn)”．特別地，當(dāng)，則稱為函數(shù)在區(qū)間上的“和諧點(diǎn)”．（1）設(shè)，是函數(shù)在區(qū)間上的“點(diǎn)”，若，求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)“點(diǎn)”，求所有滿足條件的實(shí)數(shù)的值組成的集合；（3）設(shè)()，試探究函數(shù)的定義域內(nèi)是否存在一個(gè)包含“和諧點(diǎn)”的區(qū)間，若存在，求出該區(qū)間；若不存在，請(qǐng)說明理由．

答案一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）1．{-1，2} 2．6 3．2 4． 5．135 6． 7．45° 8．529． 10．173 11．3 12． 二、選擇題（本題共有4題，滿分18分，13、14每題4分，15、16題每題5分）13． 14． 15． 16．三、解答題（本大題滿分78分）17．（1）證明：由，解得，...........................3分所以的，任取，則，因?yàn)椋允瞧婧瘮?shù)．..............................6分（2）法一：當(dāng)，在上嚴(yán)格增，所以在上嚴(yán)格增，..............................8分因此，，..............................10分即，，所以.............................14分法二：，因?yàn)?，令，又所以在上?yán)格增，...........................8分因而，...........................10分所以，............................14分18．解：（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，因?yàn)榉謩e是中點(diǎn)，得出，所以四邊形是平行四邊形，...........................3分所以平面，不在平面內(nèi)，所以平面．...........................6分（2）法一：過點(diǎn)D作DE垂直與AC，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，平面，平面，，所以平面，即線段DE為點(diǎn)D到平面的距離，...........................10分在直角三角形ADC中，AD=1，AC=1，DE=，所以點(diǎn)到平面的距離為．...........................14分法二：因?yàn)槠矫?，又PA為三棱錐P-ADC底面ADC上的高，所以VP-ADC=，...........................10分設(shè)點(diǎn)D到平面的距離為的d，VD-PAC=，因?yàn)閂P-ADC=VD-PAC，所以，，所以點(diǎn)到平面的距離為．.............................14分解：（1）由，解得，...........................2分又，解得，.............................4分所以，.（2）按分層抽樣法，兩層應(yīng)分別抽取2人和5人，...........................6分事件A:“抽到的兩位同學(xué)來自不同小組”，所以．..........................8分（3）因?yàn)?，，所以，所以?..........................10分剔除其中的95和81兩個(gè)數(shù)，設(shè)剩余8個(gè)數(shù)為，，，…，，平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別為，，則剩余8個(gè)數(shù)的平均數(shù)：，...............12分方差：. .....................14分20．解：（1），，所以離心率為；...........................2分因?yàn)橛医裹c(diǎn)，所以拋物線............................4分（2）因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以直線的方程為：，.................6分聯(lián)立得，，消去得，...........................8分設(shè)，因?yàn)椋?，所以?..........................10分（3）因?yàn)?，與只有1個(gè)交點(diǎn)，所以不合題意；若，則，，，；.............11分若設(shè)，聯(lián)立得，，消去得，，，，，...........................13分，，，...........................15分，令，，...........................17分綜上，四邊形的面積最小值為．...........................18分解：（1）由題意：，..........................2分解得：．...............................4分（2）法一：因?yàn)?，，，所以，設(shè)，，....................5分，化簡(jiǎn)得：在上有且只有3個(gè)解，....6分令，，則，，①當(dāng)時(shí)，，得（舍），②當(dāng)時(shí)，設(shè)關(guān)于的方程，有兩個(gè)不同的根、，由韋達(dá)定理，得,,,不妨設(shè)，若，則，在內(nèi)有兩解，無解；若，則，，滿足題意，此時(shí)；.................8分若，則，在內(nèi)有兩解，則在內(nèi)有且只有1解，故，此時(shí)，綜上，的值組成的集合為............................10分法二：（2），，，直線斜率，由題意方程在區(qū)間上有3個(gè)不同的解，=1\*GB3①在區(qū)間上有3個(gè)不同的解，........................6分當(dāng)時(shí)，方程*只有一個(gè)解，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則=2\*GB3②（）函數(shù)的圖像如右圖，當(dāng)時(shí)，方程=2\*GB3②有1個(gè)根，方程=1\*GB3①有2個(gè)根；當(dāng)時(shí)，方程=2\*GB3②有2個(gè)根，，方程=1\*GB3①有3個(gè)根；...........................8分當(dāng)時(shí)，方程=2\*GB3②有2個(gè)根，，方程=1\*GB3①有4個(gè)根；當(dāng)時(shí)，方程=2\*GB3②有2個(gè)根，，方程=1\*GB3①有3個(gè)根；....................10分當(dāng)時(shí)，方程=