北京東城區(qū)2022屆高三一模數(shù)學(xué)試題 附解析

2022北京東城高三一模數(shù)學(xué)本試卷共6頁，150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【1題答案】【答案】D【解析】【分析】求出集合，利用并集的定義可求得集合.【詳解】因為，因此，.故選：D.2.下列函數(shù)中，定義域與值域均為R的是（）A. B. C. D.【2題答案】【答案】C【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)判斷.【詳解】A.函數(shù)定義域為，值域為R；B.函數(shù)的定義域為R，值域為；C.函數(shù)的定義域為R，值域為R；D.函數(shù)的定義域為，值域為，故選：C3.已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A.2 B.－2 C.1 D.－1【3題答案】【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運算性質(zhì)，結(jié)合復(fù)數(shù)虛部的定義進行求解即可.【詳解】由，所以的虛部為，故選：B4.已知數(shù)列的前項和，則是（）A.公差為2的等差數(shù)列 B.公差為3的等差數(shù)列C.公比為2的等比數(shù)列 D.公比為3的等比數(shù)列【4題答案】【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的第項與前項和的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的定義進行求解即可.【詳解】因為，所以當(dāng)時，有，，得，當(dāng)時，適合上式，因為，所以該數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列，故選：A5.已知，則（）A. B. C. D.【5題答案】【答案】C【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡，再代入計算可得；【詳解】解：因為，所以；故選：C6.已知正方體的棱長為1，為上一點，則三棱錐的體積為（）A. B. C. D.【6題答案】【答案】D【解析】【分析】由為到平面的距離，所以根據(jù)體積法可得，代入數(shù)值即可得解.【詳解】由為正方體，顯然為到平面的距離，所以，故選：D7.在中國農(nóng)歷中，一年有24個節(jié)氣，“立春”居首.北京2022年冬奧會開幕正逢立春，開幕式上“二十四節(jié)氣”的倒計時讓全世界領(lǐng)略了中華智慧.墩墩同學(xué)要從24個節(jié)氣中隨機選取3個介紹給外國的朋友，則這3個節(jié)氣中含有“立春”的概率為（）A. B. C. D.【7題答案】【答案】B【解析】【分析】利用古典概型運算公式進行求解即可.【詳解】這3個節(jié)氣中含有“立春”的概率為,故選：B8.已知、，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【8題答案】【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式、特殊值法結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】若，由基本不等式可得，則，，所以，“”“”；若，可取，，但，所以，“”“”.因此，“”是“”的充分不必要條件，故選：A.9.在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸和軸分別交于，兩點，，若，則當(dāng)，變化時，點到點的距離的最大值為（）A. B. C. D.【9題答案】【答案】B【解析】【分析】先求得A，兩點坐標(biāo)，根據(jù)得到，再結(jié)合可得到C軌跡為動圓，求得該動圓圓心的方程，即可求得答案.【詳解】由得，故由得，由得，設(shè)，則，即，即點C軌跡為一動圓，設(shè)該動圓圓心為，則，整理得，代入到中，得：，即C軌跡的圓心在圓上，故點（1,1）與該圓上的點的連線的距離加上圓的半徑即為點到點的距離的最大值，最大值為，故選：B10.李明開發(fā)的小程序在發(fā)布時已有500名初始用戶，經(jīng)過天后，用戶人數(shù)，其中為常數(shù).已知小程序發(fā)布經(jīng)過10天后有2000名用戶，則用戶超過50000名至少經(jīng)過的天數(shù)為（）（本題?。〢.31 B.32 C.33 D.34【10題答案】【答案】D【解析】【分析】經(jīng)過天后，用戶人數(shù)，根據(jù)題意可求得，由小程序發(fā)布經(jīng)過10天后有2000名用戶，可得，當(dāng)用戶達到50000名時有，根據(jù)對數(shù)運算，即可求得答案.【詳解】經(jīng)過天后，用戶人數(shù)又小程序在發(fā)布時已有500名初始用戶又小程序發(fā)布經(jīng)過10天后有2000名用戶即，可得……①當(dāng)用戶達到50000名時有即，可得……②聯(lián)立①和②可得，即故用戶超過50000名至少經(jīng)過的天數(shù)為34天故選：D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.在的展開式中，常數(shù)項為________.（用數(shù)字作答）【11題答案】【答案】【解析】【分析】利用二項式的通項公式進行求解即可.【詳解】二項式的通項公式為，令，所以常數(shù)項為，故答案為：12.已知向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格上小正方形的邊長為1，則________.【12題答案】【答案】5【解析】【分析】設(shè)出互相垂直的兩個單位向量，根據(jù)向量的加法表示出，，利用數(shù)量積的運算律求解即可.【詳解】設(shè)網(wǎng)格中方向向右，向上的單位向量分別為，且，則,,所以，故答案為：513.已知拋物線過點，則________；若點，在上，為的焦點，且，，成等比數(shù)列，則________.【13題答案】【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)點在拋物線上，代入可得，再由拋物線定義可得，，，又，，成等比數(shù)列，代入即可得解.【詳解】由拋物線過點，可得，所以，根據(jù)拋物線定義可得，，，由，，成等比數(shù)列，所以，可得，所以.故答案為：，.14.已知函數(shù)若，則不等式解集為________；若恰有兩個零點，則的取值范圍為________.【14題答案】【答案】①.②.【解析】【分析】當(dāng)時，不等式可轉(zhuǎn)化為或，解不等式即可求解；分，和分別討論的零點個數(shù)即可求解；【詳解】當(dāng)時，則不等式可轉(zhuǎn)化為或解得或，所以，則不等式的解集為；由題意可知的零點個數(shù)可轉(zhuǎn)為與的零點個數(shù)之和，當(dāng)時，沒有零點，沒有零點，此時沒有零點；當(dāng)時，沒有零點，有且僅有一個零點，此時只有一個零點；當(dāng)時，沒有零點，由可得，令，則，易知在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，；此時要有兩個零點則必有；綜上所述若恰有兩個零點，則的取值范圍為.故答案為：；15.某學(xué)校開展“測量故宮角樓高度”的綜合實踐活動.如圖1所示，線段表示角樓的高，，，為三個可供選擇的測量點，點，在同一水平面內(nèi)，與水平面垂直.現(xiàn)設(shè)計能計算出角樓高度的測量方案，從以下六組幾何量中選擇三組進行測量，則可以選擇的幾何量的編號為________.（只需寫出一種方案）①，兩點間的距離；②，兩點間的距離；③由點觀察點的仰角；④由點觀察點的仰角；⑤和；⑥和.【15題答案】【答案】①③④或②③⑤【解析】【分析】若要求角樓的高即長，必要知道一邊長，若知，兩點間的距離長，在梯形中解和即可，此時可選①③④；若知，兩點間的距離即長，則解和即可得解，此時可選②③⑤.【詳解】經(jīng)分析可知，若選①③④，在中，，，，所以，所以，所以，其中各個量均已知；若選②③⑤，已知和，則，由，所以，所以其中各個量均已知.其他選擇方案均不可求得長.故答案為：①③④或②③⑤三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知函數(shù).從下列四個條件中選擇兩個作為已知，使函數(shù)存在且唯一確定．（1）求的解析式；（2）設(shè)，求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間.條件①：；條件②：為偶函數(shù)；條件③：最大值為1；條件④：圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為．注：如果選擇的條件不符合要求，第（1）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.【16~17題答案】【答案】（1）選擇①④或③④均可得到（2）和【解析】【分析】（1）首先利用二倍角的正弦公式化簡函數(shù)，即可得到②與題設(shè)沖突，再分選擇①③、①④、③④三種情況討論，分別根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出、，即可求出函數(shù)解析式；（2）由（1）可得，再利用二倍角公式及輔助角公式化簡，最后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【小問1詳解】解：因為，所以，顯然當(dāng)時為奇函數(shù)，故②不能選，若選擇①③，即最大值，所以，解得，所以，又，所以，即，，解得，，故不能唯一確定，故舍去；若選擇①④，即圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以，解得，所以，又，所以，解得，所以；若選擇③④，即圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以，解得，所以，又的最大值為，所以，解得，所以；【小問2詳解】解：由（1）可得令，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，又，所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間有和；17.如圖，在三棱柱中，平面，，，為線段上一點.（1）求證：；（2）若直線與平面所成角為，求點到平面的距離.【17~18題答案】【答案】（1）證明過程見解析；（2）.【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式進行證明即可；（2）利用空間向量夾角公式，結(jié)合空間點到面距離公式進行求解即可.【小問1詳解】因為平面，平面，所以，而，因此建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：，，因為，所以，即，【小問2詳解】設(shè)平面的法向量為，，所以有，因為直線與平面所成角為，所以，解得，即，因為，所以點到平面的距離為：.18.根據(jù)Z市2020年人口普查的數(shù)據(jù)，在該市15歲及以上常住人口中，各種受教育程度人口所占比例（精確到0.01）如下表所示：受教育程度性別未上學(xué)小學(xué)初中高中大學(xué)?？拼髮W(xué)本科碩士研究生博士研究生男0.000.030.140.110.070.110.030.01女0.010.040.110.110.080.120.030.00合計0.010.070.250.220.150.230.060.01（1）已知Z市15歲及以上常住人口在全市常住人口中所占比例約為85%，從全市常住人口中隨機選取1人，試估計該市民年齡為15歲及以上且受教育程度為碩士研究生的概率；（2）從Z市15歲及以上常住人口中隨機選取2人，記這2人中受教育程度為大學(xué)本科及以上的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）若受教育程度為未上學(xué)、小學(xué)、初中、高中、大學(xué)?？萍耙陨系氖芙逃晗薹謩e記為0年、6年、9年、12年、16年，設(shè)Z市15歲及以上男性與女性常住人口的平均受教育年限分別為年和年，依據(jù)表中的數(shù)據(jù)直接寫出與的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）【18~20題答案】【答案】（1）;（2）答案見解析；（3）【解析】【分析】（1）結(jié)合概率乘法的計算公式即可求出結(jié)果；（2）求出X的可能取值，進而求出對應(yīng)的概率，即可求出結(jié)果；（3）根據(jù)平均數(shù)的概念即可得出結(jié)論.【小問1詳解】因為在該市15歲及以上常住人口中，受教育程度為碩士研究生的人口所占比例為0.06，則估計該市民年齡為15歲及以上且受教育程度為碩士研究生的概率85％；【小問2詳解】該市15歲及以上常住人口中，受教育程度為大學(xué)本科及以上的人口所占比例為0.23+0.06+0.01=0.3，X的可能取值為0，1，2，則,,,故X的分布列為0120.490.420.09,【小問3詳解】.19.已知函數(shù)．（1）若曲線在點處的切線斜率為，求的值；（2）若在上有最大值，求的取值范圍.【19~20題答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知可得，即可求得實數(shù)的值；（2）分、、三種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的最值與極值的關(guān)系可求得實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：函數(shù)的定義域為，，由已知可得，解得.【小問2詳解】解：因為，令.①當(dāng)時，對任意的，恒成立，則，此時函數(shù)在上單調(diào)遞減，沒有最大值；②當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，則，則，此時函數(shù)在上單調(diào)遞減，沒有最大值；③當(dāng)時，方程的兩根分別為，，由可知，列表如下：增極大值減所以函數(shù)在處取得最大值，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.20.已知橢圓的離心率為，焦距為．（1）求橢圓的方程；（2）過點作斜率為的直線與橢圓交于，兩點.是否存在常數(shù)，使得直線與直線的交點在，之間，且總有？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【20~21題答案】【答案】（1）（2）存在，.【解析】【分析】（1）由求出，再根據(jù)求出，可得結(jié)果；（2）設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓方程，由韋達定理得到與，將化為，即，再結(jié)合韋達定理可得對恒成立，從而可得.【小問1詳解】由題意可知，，解得，所以，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，則，得，設(shè)，，則，，依題意可得，因為在，之間，所以，所以,因為，所以得，得，得，將，代入上式并整理得，對恒成立，所以，即，故存在常數(shù)，使得直線與直線的交點在，之間，且總有.【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用平面集合知識將化為后，再結(jié)合韋達定理求解是解題關(guān)鍵.21.設(shè)數(shù)列.如果，且當(dāng)時，，則稱數(shù)列A具有性質(zhì).對于具有性質(zhì)的數(shù)列A，定義數(shù)列，其中.（1）對，寫出所有具有性質(zhì)的數(shù)列A；（2）對數(shù)列，其中，證明：存在具有性質(zhì)的數(shù)列A，使得與為同一個數(shù)列；（3）對具有性質(zhì)的數(shù)列A，若且數(shù)列滿足，證明：這樣的數(shù)列A有偶數(shù)個.【21~23題答案】【答案】（1）、、（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的定義，得到且，，，確定，按照或分別討論可得答案；（2）設(shè)數(shù)列：中恰有項為1，在按照、、三種情況分別討論可證結(jié)論；（3）按照的奇偶分類討論，結(jié)合數(shù)列的定義可證結(jié)論.【小問1詳解】因為，所以，則因為，，，所以，，，又，所以，或，當(dāng)時，，當(dāng)時，或，綜上所述：所有具有性質(zhì)的數(shù)列A為：、、.【小問2詳解】由于數(shù)列：，其中，不妨設(shè)數(shù)列：中恰有項為1，若，則符合題意，若，則符合題意，若，則設(shè)這項分別為